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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精2、3冪函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)1冪函數(shù)冪函數(shù)的一般形式為y=x。
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞].當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí),設(shè)a=—k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn),一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對(duì)于x〉0,則a可以是任意實(shí)數(shù);
排除了為0這種可能,即對(duì)于x〈0和x>0的所有實(shí)數(shù),q不能是偶數(shù);
排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù),a就不能是負(fù)數(shù).
總結(jié)起來(lái),就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:
如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);
如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定,即如果同時(shí)q為偶數(shù),則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。
在x大于0時(shí),函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí),則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的。知識(shí)點(diǎn)2冪函數(shù)性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1);(2)時(shí),冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn),并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸;(3)時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時(shí),圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸。學(xué)習(xí)結(jié)論冪函數(shù)的一般形式:y=x冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1);(2)時(shí),冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn),并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸;(3)時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時(shí),圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸。典型例題例題1。已知冪函數(shù)y=-2(m∈Z),m為何值時(shí),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且不過(guò)原點(diǎn)?答案:±1解析:令m2—2=-1,∴m=±1,即m=±1滿足題意。例題2.討論y=—x3的單調(diào)性,并證明.證明:設(shè)x1、x2∈R,且x1〈x2。則f(x1)-f(x2)=x23—x13=(x2—x1)·(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+)2+x22]。∵x2—x1〉0.(x1+)2>0。x22≥0,故(x1+)2+x22>0,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)為R上的減函數(shù)。例題3已知(0。713)m<(1。30。7)m,求m的取值范圍.答案:m〉0解析:∵0.71。3<0.70=1,1.
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