2022-2023學年河南省焦作市沁陽市高二上學期期末數學試題

一、單選題

1.命題“任意“>。，?τ■—Nl”的否定是（）

X

A.存在XVO,√7+,≥lB.存在x>0,√x÷-?<l

XX

C.任意x>0,H—<1D.任意XVO,>∕xH—≥1

XX

【答案】B

【分析】根據全稱命題與存在性命題的之間的關系，準確改寫，即可求解.

【詳解】根據全稱命題與存在性命題的之間的關系，

可得：命題“任意x>0,?/??+—≥1”的否定是"存在X>0,?τ■—<1,.

XX

故選：B.

2.已知等差數列｛4｝的前〃項和為S”，若席=170,則%+為+孫的值為（）

A.10B.20C.25D.30

【答案】D

【分析】利用等差數列下標和性質求得%=10,進而求得%+%+%的值.

1717

【詳解】等差數列｛%｝中，5,7=y（ɑl+?,7）=y×2?9=17a9=170,

貝∣J%=1O,則%+為+%=3%=3。

故選：D

3.關于X的不等式「丁c≥0的解集是(IM(2,y),貝IJa的取值范圍是

Jr-3x÷2

A.(-∞,1)B.(2,+∞)C.(1,2)D.[1,2]

【答案】C

,Y—/7

【詳解】??2/≥0

X-3x+2

.(x-α)(x-2)(x-l)≥0

"(x-2)(x-l)≠0

???不等式—NO的解集是(l,α]52,k)

X—JX+2

.?.用數軸表示如圖：?）人從一*

.?↑<a<2f故選C

4.已知。，b,Jd均為實數，下列不等關系推導成立的是()

A.若α>b,c<d=>a+c>b-?-dB.若a>b,c>d^=>ac>bd

C.若be-ad>0,--y<0=>Λ?>0D.若a>>0,c>d>O=>g>形

【答案】D

【分析】舉反例否定選項AB：求得油的正負判斷選項C；求得行,后的大小關系判斷選項D.

【詳解】由3>1,2<7,可得3+2<l+7,則選項A判斷錯誤；

由3>1,-3>-7,可得3x(-3)<1x(—7),則選項B判斷錯誤；

c_d=bc-ad<Q^又bc-ad>Q,則必<().則選項C判斷錯誤;

abab

由c>d>O,口J得二>—>0,又a>b>0,

ac

則］>2>0,則g>g.則選項D判斷正確.

故選：D

5.在.,ABC中，角4,B,C的對邊分別為“，b,c,若/tanBu/^tanA,則角A與角8的關系

為()

A.A=BB.A+B=90o

C.A=B且A+3=90°D.A=B或A+3=90°

【答案】D

【分析】利用正弦定理和余弦定理求得“，b,C之間的關系，進而得到角A與角8的關系.

【詳解】由MtanB=^tanA,可得立字=也苧，

cosBcosA

21,2

貝I]——=——，貝(JQCOSA-bcosB=O,

cosBcosA

,b~+c~-a~er+c-b~,

貝rπIlJ--------------a=---------------b,

2bcIac

貝Ij(6+c?-a2^a2-(α2+c2-b2)b2=O,

整理得(/一幻6-精一萬)=0,

貝!∣α=b或c?="+/,則A=B或A+8=9θo.

故選：D

6.已知數列I，?。，…，2，3,…，--則其第43項為()

1223?3nnnn

5678

C

A.-9B.-99-D.9-

【分析】運用歸納及等差數列前“項和求解即可.

【詳解】以1為分母的有1項：上

以2為分母的有2項：?,|;

以3為分母的有3項：?1彳2，3

???

以此類推：以〃為分母的有〃項：11,2

nn

n(n+?)

所以1+2++n=

2

又因為等＜43＜掌可得第43項為分母為9的第7個數,

所以此數列的第43項為：?7

9

故選：C.

2x-y≤0

7.已知點A(2,l),。是坐標原點，點P(X,y)的坐標滿足：-x-2y+3≥0,設Z=OP?QA,則Z的最

y≥0

大值是()

A.-6B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】先由不等式組得到可行域，將目標函數化為y=-2x+z,由圖像得到在過點8(1,2)時Z取

得最大值，代入約束條件求解即可.

'2x-y≤0

【詳解】解：不等式組?x-2y+3≥0,它的可行域如圖：

y≥0

urn

。為坐標原點，點A的坐標為A(2,l),點P(X,y),則OP=(X,y),OA=(2,1),

所以Z=OpoA=2x+y,則y=-2x+z,如圖直線y=-2x+z經過可行域的點B時縱截距最大，即Z

取得最大值，

,[2x-y=0,[x=l/C

由；α八，解得ο，即取⑵，

[x-2γ÷3=0[y=2

將(1,2)代入得ZgX=2xl+2=4,

故選：D.

8.已知命題p：|x-H<4,命題g：(x-2)(3-x)>0.若力是r的充分不必要條件，則實數。的取值

范圍是

A.[-1,6]B.(―∞,-1)C.(6,+∞)D.(-∞,-1)(6,+∞)

【答案】A

【詳解】由題意可知：qr(x-2)(3-x)>0,解得：2<x<3,

p:|x-a|<4,-4<χ-a<4,T+αvxv4+α,

-πP:X≥4+?或x≤α-4,

F:x23或x≤2,若「P是Tl的充分條件，

則「P是TI的子集，

α+4≥3J≡Lo-4≤2,

解得-l≤α≤6.

故答案為A.

9.設K，玲分別為雙曲線C:*-∕=l（α>08>0）的左、右焦點，點P為雙曲線右支上一點，M是

ρ入的中點，且OM?LP∕"3?PFi?=4?PF2?,則雙曲線的離心率為（）

A.5B.bC.ID.4

【答案】A

【分析】根據幾何關系，可知P^?LP入，再結合雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】點QM分別是線段耳K和尸居的中點，所以。〃//尸耳，因為OMLPZ"

所以PaLP瑪，

因為IP制TP閭=2,3?PF]=4?PF2?,解得：I尸耳∣=8α,∣%∣=60,

-2

?PFf+?PF2f=4c,即IOOa2=4/,

解得：e=-=5.

a

故選：A

10.在棱長為2的正方體力Ba）-AAGR,中，M、N分別是A蜴、8的中點,則點B到截面AMGN

的距離為（）

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量點到平面距離公式進行計算.

【詳解】以O為坐標原點，。4，。仁。2所在直線分別為兌％2軸，建立空間直角坐標系,

則A(2,0,0),M(2,1,2),N(O,1,O),C(0,2,2),5(2,2,0),

設平面AMCN的法向量為m=(x,y,Z),

in-AM=(X,y,z).(0,1,2)=y+2z=0

m?AN=(x,?z)?(-2,l,0)=-2x+y=0

令X=1,貝IJy=2,z=-l,

故設平面AMGN的法向量為加=(1,2,-1),

?ΛB-lt]1(0,2,0)?(l,2,-l)∣2√6

所以點5到截面AMGN的距離為仆旨』一號

J1+4+1

11.已知產是拋物線/=4X上的一個動點，則點P到直線4:3x-4y+12=0和。：x+2=0的距離之和

的最小值是()

22

A.3B.4C.——D.6

5

【答案】B

【分析】先判斷直線4與拋物線的位置關系，過點P作向《于點M,PN：Ll于一息N,連接尸尸,

根據拋物線的定義，得到IPNI=IPFI,推出IpNl+∣PM∣=四∣+∣∕W∣,結合圖形，可得M,P,尸共線

時，IPH+1PM最小，進而可得出結果.

Y~=4x1￡

【詳解】由:一「SC消去X得y2-9y+16=0,

3x-4y+12=03

yY-4×16<0,所以方程V-與y+16=0無解,

因為q

即直線4：3x-4y+12=0與拋物線無交點;

過點尸作尸M，4于點M,PNL于■點、N,記拋物線y2=4x的焦點為尸(1,0),連接PF,

因為/∕x+2=0點P到直線/∕x+2=0的距離為IPNl+1,//+1=0為拋物線V=4x的準線，根據拋

物的定義可得，∣PN∣=∣∕*∣,

則P到直線/,和I2的距離之和為IPM+1+?PM?=?PF?+?PM?+1,

若M,P,F三點不共線，則有IPFl+∣PM∣>∣FM∣,

當M,P,尸三點共線，且P位于之間時，∣PF∣+∣PMI=IFM，

則歸川+1PMNlFM,

∣3-0+12∣

又IFM=3

所以IPM+∣PM∣=IPFMPM+1≥3+1=4,即所求距離和的最小值為4.

12.如下圖，48兩點都在河的對岸(不可到達)，為了測量AB兩點間的距離，選取一條基張C。,

測得：CD=20Om,ZADB=NACB=30,ZCBD=60,則AB=()

?200√3

A.———mB.200√3mC.l()()√2mD.數據不夠，無法計算

3

【答案】A

【分析】根據給定條件，確定ACl6。，再借助直角三角形勾股定理計算作答.

【詳解】在四邊形AfiC。中，因為NAOB=ZAC8=30,NCBD=60,WZCBD+ZACB=90,則

AClBD,

令ACBo交于。，IJIIJOD=———=√30Λ,OC=———=√30B,

tanZADBtanZACB

顯然OD2+OC2=CD2=2002,于是301+3OB2=200，而OA2+OB2=AB2,

BlbUB2=-,解得AB=蟹巨.

33

故選：A

二、填空題

13.在TABC中，其三邊分別為〃，b,C且三角形的面積S="'L,則角C=.

4

TT

【答案】J45。

4

【分析】根據面積公式結合余弦定理計算出tanC的值，即可求解出C的值.

【詳解】因為SHsinC=a+b——,所以2必SinC="+6一/-2abcosC,

24

則tanC=1,

又C∈(0,兀)，所以C=：.

故答案為：?.

4

14.已知數列｛為｝滿足al=?,an-atl^=2atlan^,則ah=.

【答案】?

Ilr\111

【分析】依題意可得-------=2,即可得到一是以1為首項，2為公差的等差數列，從而求出一,

ιι+la∏［ClftJ&

即可得解.

2

【詳解】解：由6=1,4,-/+1=2α√z,,+∣,同時除以4,Al+∣可得」----=.

an+lCln

即［工］是以L=I為首項，2為公差的等差數列.

l?jq

所以L='+5x2=ll,即%=1.

4611

故答案為：??.

15.過橢圓W+［=l內一點P(3,l),且被這點平分的弦所在直線的方程是

164

【答案】3x+4y-13=0

【分析】利用點差法即可求得過點尸(3，1)且被點尸平分的弦所在直線的方程.

［詳解】設該直線與橢圓的兩個交點分別為A(Λ-I,yl),B(x2,y2),

則xl+X2=6,γ1+γ2=2

22o2

又三+近=1,三+2￡=1,兩式相減得

164164

(X,-?)(Λ?+J?)(y-y)(y,+j)

I_U122-

164

則/El+"?=。，則皿=-1,

164Xl-X24

3

則所求直線方程為y=-4(x-3)+l,即3x+4y-13=0

經檢驗3x+4yT3=0符合題意.

故答案為：3x+4y-13=0

16.已知函數〃X)=I^■+%,若正實數。，方滿足/(4α)+"6-9)=0.則：的最小值為

【答案】1

【分析】先判斷f(x)的單調性和奇偶性，求出。與。的關系，再運用基本不等式求解.

χx

【詳解】〃-力y-=-*17=-9曷—17=-“",”0)是奇函數；

又/(x)=ι-/y+xj(x)=+1>°，?.F(X)是單調增函數，

由/(4α)+∕e-9)=0得/(44)=-∕e-9)=∕(9-6),.?.44=9-84α+∕j=9,m+g=l,

當且僅當==粵,b=2α時等號成立;

故答案為：L

三、解答題

17.已知命題p：方程——+」—=l(a>0)表示雙曲線，命題q：方程E+上=1表示焦點在

m-3am-4aa一12一桃

y軸上的橢圓.

⑴若命題q為真命題，求m的取值范圍；

(2)若P是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.

-313

【答案】(1)1<W<—；(2)-<a≤-

23o

22

【分析】ɑ)命題q為真命題，即方程工+-=1表示焦點在y軸上的橢圓，只需要滿足2-m

tn-?2-tn

>m-l>0即可；(2)p是q的充分不必要條件，則P命題下m的范圍是q命題下m的范圍的子集.

【詳解】(I)Y命題q為真命題，；?2—m>m—1>0,.,.Km<^.

11

(2)方程J"+'=l(a>O)表示雙曲線，則(m-3a)(m-4a)V0(a>0),解得3aVmV4a,Yp是q

■—2Λ■—4J?

的充分不必要條件，?13解得ka∕?

4a-?2T

【點睛】判斷充要條件的方法是：①若Pnq為真命題且qnp為假命題，則命題P是命題q的充分

不必要條件；②若p=q為假命題且q今P為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p=q

為真命題且qnp為真命題，則命題P是命題q的充要條件；④若Pnq為假命題且qnp為假命題，

則命題P是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰

必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題P與命題q的關系.

18._ABC的內角AB,C的對邊分別為",4c,已知2coSCgCOS3+6CoSA)=c?.

(1)求角C的大小：

⑵若c=√7,ΛBC的面積為手，求一ASC的周長.

【答案M嗚

⑵5+√7.

【分析】(1)由正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得2cosCsin(A+3)=sinC,求得CoSC=；,

即可求得C值；

(2)由余弦定理求得(α+6)2-3"=7,再由S=延，求得必=6,進而得到α+6=5,即可得到

2

ABC的周長.

【詳解】(1)解：因為2cosC(αcosjβ+Z?COSA)=c,

由正弦定理化簡得2cosC(sinAcosB+sinBCOSA)=sinC,

整理得2cosCsin(A+B)=sinC,

因為Ce(O,兀)，可得SinC>0,且Sin(A+B)=sinC,所以COSC=g,

TT

又因為Ce(O,π),所以C=].

(2)解：由余弦定理C'2=∕+6-2"COSC,可得7=M+/一24b?g,

即（Q+b）2-3ab=7,

又由S=LbsinC=走ɑb=,解■得ab=6,

242

將4。=6代入（4+勿2-34/7=7,可得（α+%）2=25,所以α+%=5,

故./3C的周長為5+"?

19.已知數列應｝滿足q=l,a,^=an+2,數列己｝的前“項和為S”,且S,,=2-2.

（1）求數列｛4｝、｛〃,｝的通項公式；

（2）設CJ,=*,求數列｛q,｝的前”項和T,?

【答案】（l）αzι=2〃-1也=佶］；

【詳解】試題分析：⑴由等差數列的定義和通項公式可得an；運用數列的遞推式：當n=l時，b1=S1,

當n>2時，bn=Sn-Sn-1,即可得到｛bn｝的通項公式；

2/1-1

（2）由（1）知5="也=F-，運用數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式,

即可得到所求和.

試題解析：

（1）因為4=1,??+,-an=2,所以｛q｝為首項是1,公差為2的等差數列，

所以a”=l+（n-l）×2=2n-l

又當〃=1時，々=S∣=2—4,所以4=1,

當“≥2時，S"=2-b“…①Si=2-肥…②

由①-②得a=~bn+bn.λ,即工=；,

0n-?乙

π-l

所以也｝是首項為1,公比為;的等比數列，故”=（?I.

9/7—1

（2）由（1）知％=α也=尸，則

Tl352n-lG

7:=F+F+F++尸①

坊=1+3++=+出②

22l232w^'T

CITl2222〃-1

①-②得/,=呼+吩+*+^zr-?

〃z,1

11112-11?2^2〃-1.2〃+3

=1+1H----卜H----------------=IH----------：-----------=3-----------

22"-22".1T2"

1—

2

2n+3

所以北=6_

點睛：用錯位相減法求和應注意的問題（1）要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形;

⑵在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn—qSn”的表

達式；（3）在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情

況求解.

22

20.已知橢圓C：]+卓=1（。＞匕＞0）的焦距為2,以橢圓短軸為直徑的圓經過點M（1,點），橢圓

的右頂點為A.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點。（2,-2）的直線/與橢圓C相交于兩個不同的交點P,Q,記直線AP,AQ的斜率分別為尤，

?2,問K+&是否為定值？并證明你的結論.

【答案】（1）工+匕=1（2）見解析

43

【分析】（1）由己知求得C與b,再由隱含條件求得a,則橢圓方程可求；

（2）當直線PQ的斜率不存在時，顯然不合題意；當直線PQ的斜率存在時，設直線方程為

y+2=k（x-2）,與橢圓方程聯立，化為關于X的一元二次方程，利用根與系數的關系結合斜率公式

3

即可求得K+k2為定值萬.

【詳解】（1）由題意可知，2c=2,貝∣Jc=l,b=∣OM∣=√3,

.?.a=?/b2+c2=2，

22

可得橢圓標準方程為二+q=1；

（2）當直線PQ的斜率不存在時，顯然不合題意；

當直線PQ的斜率存在時，設直線方程為y+2=k（x-2）,即丘-y-2k-2=0,

聯立方程組°,W（3+4k2）x2-16（k2+k）x+（16k2+32k+4）=0.

由*=—（24k+3）＞0,得k＜—.

8

16++4

設P(x”yjQ(x2，y2)，則x∣+x?=史二χ∣χ2=?^2

3+4k-3+4k

.kι+k2=%+丫2=k(x∣_2)_2+k(xz-2)-2=之卜2(x∣+x1)

?x1-2x2-2x∣-2X2-2x1x2-2(X1+X2)+4

2

2f16k÷16k

C,I3+4k'--J『32k-243

=2k------?----------------------?-----------=2k-------------=-?

!6k2+32k+4C16k2+16k,162

-----------5------2×---------+4

3+4k23+4k2

3

所以K+b為定值∣?.

【點睛】本題主要考查橢圓的定義及標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題,解答此類題

目，通常聯立直線方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組，應用一元二次方程根與系數的關系進行

求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯

思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.

21.如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABC。中，A3J.AC,B4_1_平面

ABCD,S.PA=AB=2,AC=I,點E是尸。的中點.

(2)求二面角E-AC-B的大小.

【答案】(1)見解析(2)135°

【詳解】試題分析：(1)一般線面平行考慮連接中點，形成中位線，連BD交AC于M,連接EM

即可；(2)以A為原點建系，顯然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角.

試題解析:

；PA，平面ABa),AB,ACU平面ABCO,

ΛPAlAC,PAVAB,且HC?LAB,以A為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系.

Ii

ι)

(1)VD(l,-2,0),P(0,0,2),.?.

4E*,-1,1),AC=(1,0,0),

?—v+z=O

設平面AEC的法向量為4=(x,y,z),則｛2',取y=l,得4=(0,1,1).