6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例3題型分類向量方法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個(gè)步驟：(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.（一）向量在物理中的應(yīng)用用向量解決物理問題的一般步驟(1)問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型.(3)參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值.(4)問題的答案，即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.題型1：力的合成11．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知力，且和三個(gè)力的合力為，則．【答案】【分析】利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】解：設(shè)，則，即，解得，所以.故答案為：.12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）一物體在力的共同作用下從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)．在這個(gè)過程中三個(gè)力的合力所做的功為．【答案】【分析】先根據(jù)向量坐標(biāo)表示的加法運(yùn)算求出合力，再求出位移，再求出即可得解.【詳解】因?yàn)椋院狭Γ郑裕慈齻€(gè)力的合力做的功等于.故答案為：.13．（2023上·安徽合肥·高三校考開學(xué)考試）一質(zhì)點(diǎn)受到同一平面上的三個(gè)力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知，成120°角，且，的大小都為6牛頓，則的大小為牛頓.【答案】6【分析】根據(jù)向量的合成法則以及向量的模長公式，進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】設(shè)三個(gè)力，，分別對(duì)于的向量為：則由題知所以所以又所以所以的大小為：6故答案為：614．（2023·四川資陽·高一校考期末）如圖所示，一根繩穿過兩個(gè)定滑輪，且兩端分別掛有和的重物，現(xiàn)在兩個(gè)滑輪之間的繩上掛一個(gè)重量為的物體，恰好使得系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求正數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)出坐標(biāo)，把平衡關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，然后根據(jù)三角的相關(guān)公式整理出正數(shù)關(guān)于角的函數(shù)，再進(jìn)行恒等變換求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】如圖建立坐標(biāo)系，記OB、OA與軸的正半軸的夾角分別為，則由三角函數(shù)定義得，，由于系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，∴∴，【方法一】移項(xiàng)，（1）、（2）平方相加得：，即，而存在正數(shù)使得系統(tǒng)平衡，∴△＝，∴.（因滑輪大小忽略，寫成亦可，不扣分．這時(shí)均為0）由（*）解得，由（2）式知∴，這是關(guān)于的增函數(shù)，∴正數(shù)的取值范圍為.【方法二】（1）、（2）平方相加得：，由（1）知，，而∴隨單調(diào)遞增，∴（這里的銳角滿足，此時(shí)）且（寫成不扣分，這時(shí)均為0）∴從而，∴，即，∴,

∴正數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，考查了有實(shí)際物理背景的向量之間的運(yùn)算，利用向量加法的法則建立起相關(guān)的方程，然后求出參數(shù)，用向量法求解物理問題是向量的一個(gè)重要運(yùn)用.15．（2023下·四川綿陽·高一校考期末）平面上三個(gè)力、、作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，，，與的夾角為，求：(1)的大小；(2)與夾角的大小．【答案】(1)(2).【分析】（1）三個(gè)力平衡則三個(gè)力的和為；移項(xiàng)，利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的大小．（2）利用三角函數(shù)的余弦定理求出兩個(gè)向量的夾角大小．【詳解】（1）解：三個(gè)力平衡，，，（2）解：與的夾角可由余弦定理求得，，與的夾角為則與的夾角為．16．（2023下·上海虹口·高一華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考期末）高一學(xué)生將質(zhì)量為20kg的物體用兩根繩子懸掛起來，如圖（1）（2），兩根繩子與鉛垂線的夾角分別為45°和30°，則拉力與大小的比值為.【答案】【分析】根據(jù)繩子拉力的水平方向上分力的合力為0可求出答案.【詳解】設(shè)N，N，則，可得.故答案為：17．（2023下·山西·高一統(tǒng)考期末）如圖，作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力，，處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為，則的大小為.【答案】1【分析】根據(jù)力的平衡，可得向量的和為，由向量的模長即可求解力的大小.【詳解】，，三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，即則故答案為：1題型2：速度、位移的合成21．（2023下·湖北荊州·高一公安縣車胤中學(xué)校考階段練習(xí)）某人先向東走，位移記為，接著再向北走，位移記為，則表示（

）A．向東南走 B．向東北走C．向東南走 D．向東北走【答案】D【分析】根據(jù)向量方向和模長可得結(jié)果.【詳解】由題意知：，位移方向?yàn)闁|北方向，表示向東北走.故選：D.22．（2023高一練習(xí)）長江某地南北兩岸平行.如圖所示，江面寬度，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在A的正北方向.回答下面的問題.（1）當(dāng)時(shí)，判斷游船航行到達(dá)北岸的位置在的左側(cè)還是右側(cè)，并說明理由.（2）當(dāng)為多大時(shí)，游船能到達(dá)處？需要航行多長時(shí)間？【答案】（1）左側(cè)，理由見解析

（2）；【分析】（1）先計(jì)算出，也即合速度的大小，然后利用向量夾角的計(jì)算公式，計(jì)算得，由此判斷出游船航行到達(dá)北岸的位置在的左側(cè).（2）先求得與合速度方向的夾角的正弦值，利用誘導(dǎo)公式求得，此時(shí)游船能到達(dá)處.利用路程除以，求得需要航行的時(shí)間.【詳解】（1）左側(cè)，理由如下：，由，得..由，得.∵游船航行到達(dá)北岸的位置在點(diǎn)的左側(cè)（如圖（1））

（2）如圖（2），要使游船航行到達(dá)北岸的處，必須.，.需要航行的時(shí)間.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用向量解決實(shí)際應(yīng)用問題，考查向量模、夾角和數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.23．（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2.一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行的速度大小是.【答案】【分析】由已知條件求解直角三角形，根據(jù)向量的平行四邊形法則，結(jié)合向量的模長公式，即可求解小貨船航行速度的大小.【詳解】由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：因?yàn)橐粭l東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東，，在中，有，所以，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為．故答案為：24．（2023下·北京通州·高一統(tǒng)考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的地出發(fā)，向河對(duì)岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為.設(shè)這艘船行駛方向與水流方向的夾角為，行駛完全程需要的時(shí)間為，若船的航程最短，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】作出圖形，由題意可得，可分析的范圍，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出，據(jù)此可求出速度，再由求解.【詳解】如圖，

由圖可知，，所以，故，所以又因?yàn)椋裕裕ǎ?故選：B題型3：功、動(dòng)量的計(jì)算31．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）力作用于質(zhì)點(diǎn)P，使P產(chǎn)生的位移為,則力對(duì)質(zhì)點(diǎn)P做的功是.【答案】【解析】直接由功的公式，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】解:由題易得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)量積的物理意義，屬于基礎(chǔ)題．32．（2023下·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，一個(gè)力作用于小車，使小車發(fā)生了40米的位移，的大小為50牛，且與小車的位移方向（的方向）的夾角為，則力做的功為牛·米.【答案】1000【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義，求出小車位移方向力的大小，即可求出力做的功.【詳解】解：小車位移方向力的大小為牛，所以力做的功為牛·米.故答案為：1000.33．（2023下·江蘇無錫·高一輔仁高中校考階段練習(xí)）一物體在力F→的作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn).已知，則F→對(duì)該物體所做的功為（

）A． B．15 C．28 D．【答案】B【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意得：，設(shè)F→對(duì)該物體所做的功為：故選：B一、單選題1．（2023下·福建福州·高一福建省福州第八中學(xué)校考期中）當(dāng)兩人提起重量為的旅行包時(shí)，夾角為，兩人用力都為，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)力的平衡或平面向量的和為零向量即可求出．【詳解】由題意作出示意圖，由可知，，四邊形為菱形，且都是正三角形，所以．故選：D．2．（2023上·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期中）一質(zhì)點(diǎn)在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由點(diǎn)A(10，﹣5)移動(dòng)到B(4，0)，則，的合力F對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所做的功為（

）A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110【答案】A【解析】先求出，的合力F的坐標(biāo)、的坐標(biāo)，再求出由共點(diǎn)力平衡得合力對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所做的功.【詳解】由題意可知，，的合力=+=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，，則由共點(diǎn)力平衡得合力對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所做的功為.故選：A.3．（陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)20222023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知兩個(gè)力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，那么的大小為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的加減法及其幾何意義求解【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，所以的大小為，故選：B4．（2023下·山東臨沂·高一校考階段練習(xí)）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（

）A． B．61 C．75 D．60【答案】D【分析】用向量表示兩只胳膊的拉力的大小和方向，它們的合力與體重相等，求出，再化為千克即可得．【詳解】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，，所以，因此該學(xué)生體重為（kg）.故選：D．5．（2023下·遼寧朝陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2023年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事．冰球運(yùn)動(dòng)是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進(jìn)行的相互對(duì)抗的集體性競技運(yùn)動(dòng)，在冰球運(yùn)動(dòng)中，冰球運(yùn)動(dòng)員腳穿冰鞋，身著防護(hù)裝備，以球桿擊球，球入對(duì)方球門，多者為勝．小趙同學(xué)在練習(xí)冰球的過程中，以力=(6，24)作用于冰球，使冰球從點(diǎn)A(1，1)移動(dòng)到點(diǎn)B(6，11)，則對(duì)冰球所做的功為（

）A．210 B．210 C．270 D．270【答案】D【分析】由平面向量數(shù)量積的定義即可得出答案.【詳解】由題意得=(5，10)，故力對(duì)冰球所做的功為·=5×6+24×10=270．故選：D.6．（2023下·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校校考期中）長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在A的正北方向，則游船正好到達(dá)處時(shí)，等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意分析可得，即可求解.【詳解】設(shè)船的實(shí)際速度為，因?yàn)辄c(diǎn)在A的正北方向，所以，所以.故選：D.7．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）長江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積公式、模長公式以及兩向量垂直的充要條件求解.【詳解】由題意知，則，因?yàn)椋矗?故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.8．（2023下·山東煙臺(tái)·高一統(tǒng)考期中）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對(duì)岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求解直角三角形，根據(jù)向量的平行四邊形法則，結(jié)合向量的模長公式，即可求解小貨船航行速度的大小．【詳解】解：由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為，故選：C.9．（2023下·山東·高一階段練習(xí)）若平面上的三個(gè)力作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知，與的夾角為，則力的大小為（

）．A．7 B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)三力平衡得到，然后通過平方將向量式數(shù)量化得到，代入數(shù)據(jù)即可得到答案.【詳解】根據(jù)三力平衡得，即，兩邊同平方得，即即,解得故選：D.二、多選題10．（2023下·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）一物體受到3個(gè)力的作用，其中重力的大小為4N，水平拉力的大小為3N，另一力未知，則（

）A．當(dāng)該物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，B．當(dāng)與方向相反，且時(shí)，物體所受合力大小為C．當(dāng)物體所受合力為時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的加法法則作圖可判斷AB；根據(jù)題意分析與的合力大小可判斷C；由與共線時(shí)合力取得最值可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：由題知，的大小等于重力與水平拉力的合力大小，由圖知，故A正確；B選項(xiàng)：如圖，物體所受合力應(yīng)等于向量與的和向量的大小，顯然B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)；當(dāng)物體所受合力為時(shí)，說明與的合力為，所以，C正確；D選項(xiàng)：由上知，重力與水平拉力的合力為，N，易知當(dāng)與同向時(shí)合力最大，最大值為7N，反向時(shí)合力最小，最小值為3N，即，故D正確.故選：ACD11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（

）A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變【答案】AC【分析】設(shè)水的阻力為，繩子的拉力為,與水平方向的夾角為，根據(jù)題意則有，然后逐一分析判斷即可.【詳解】解：設(shè)水的阻力為，繩子的拉力為,與水平方向的夾角為，則有，所以，因?yàn)樵龃螅瑴p小，所以增大，加上浮力等于船的重力，所以船的浮力減小.故選：AC.三、填空題12．（2023下·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為米，一個(gè)人從岸邊游向?qū)Π?已知他在靜水中游泳時(shí)，速度大小為每分鐘米，水流速度大小為每分鐘12米.①當(dāng)此人垂直游向河對(duì)岸，那么他實(shí)際前進(jìn)速度的大小每分鐘米；②當(dāng)此人游泳距離最短時(shí)，他游到河對(duì)岸的需要分鐘.【答案】24；20.【分析】（1）求出即得解；（2）求出他游到河對(duì)岸的速度即得解.【詳解】解：（1）如圖所示，當(dāng)此人垂直游向河對(duì)岸，那么他實(shí)際前進(jìn)速度的大小為，他實(shí)際前進(jìn)速度的大小每分鐘24米.（2）如圖所示，當(dāng)此人游泳距離最短時(shí)，他游到河對(duì)岸的速度為，所以他游到河對(duì)岸的需要分鐘.故答案為：24；20.13．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，一力作用在小車上，其中力的大小為，方向與水平面成角，當(dāng)小車向前運(yùn)動(dòng)時(shí)，力做的功為.【答案】50【分析】根據(jù)力做功的計(jì)算公式計(jì)算可得；【詳解】解：.故答案為：.14．（2023下·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h．一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于對(duì)岸B（AB與河岸的方向垂直）的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨．若水流的速度與小貨船的速度（自身動(dòng)力產(chǎn)生的速度）的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航行的合速度方向與正西方向的夾角為，小貨船的速度大小為km/h．【答案】30°【分析】①利用圖象結(jié)果求正切值即可求解；②利用余弦定理求得船速，結(jié)合三角形求得航行方向.【詳解】如圖，，，，∴合速度的方向與水流的方向成150°的角，與正西方向的夾角為30°，設(shè)小貨船的速度為，水流速度為，合速度為，則，∴小船航行速度的大小為.故答案為：①30°；②15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在水流速度為的河中，要使船以的速度與河岸成直角橫渡，則船行駛速度的大小為，與水流方向所成的角為．【答案】20【分析】表示水流方向，表示垂直于對(duì)岸橫渡的方向，表示船實(shí)際航行的方向，則，由可得答案.【詳解】如圖，表示水流方向，表示垂直于對(duì)岸橫渡的方向，表示船實(shí)際航行的方向，則，由題意知，，所以，且．所以船行駛速度的大小為，與水流方向所成的角為．故答案為：①20②．四、解答題16．（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）一條寬為km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個(gè)碼頭A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速為4km/h，問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達(dá)彼岸B碼頭？用時(shí)多少？【答案】船實(shí)際航行速度大小為4km/h，與水流成120°角時(shí)能最快到達(dá)B碼頭，用時(shí)半小時(shí)【詳解】如圖所示，設(shè)為水流速度，為航行速度，以AC和AD為鄰