第8章

線性離散控制系統的分析與設計

目錄8-l離散系統的基礎知識8-2z變換及其反變換

8-3

離散系統的數學模型

8-4

離散控制系統的穩定性分析

8-5

離散控制系統的穩態誤差8-6離散控制系統的動態性能8-7

離散控制系統的校正

1

近年來，隨著脈沖技術、數字計算機和微處理器的迅速發展和廣泛應用，數字控制器在許多場合已經逐步取代了模擬控制器。由于數字控制器接收、處理和傳送的是數字脈沖信號，因此稱采用數字控制器的系統為離散控制系統或采樣控制系統。離散控制系統與連續控制系統相比，盡管在信號傳遞方式上有所不同，但在分析方法方面有很多相似之處。2

有關連續系統的理論雖然不能直接用來分析離散系統，但通過z變換法，可以把連續系統中的許多概念和方法，推廣應用到離散控制系統的分析和設計中。本章主要介紹離散信號的采樣過程、采樣定理、采樣信號的復現、z變換、離散控制系統的數學模型、離散系統的穩定性、穩態誤差和瞬態響應等離散控制系統分析和設計的基礎內容。38-l離散系統的基礎知識

在連續系統中，系統各處的信號都是時間的連續函數，這種在時間上連續，在幅值上也連續的信號稱為連續信號或模擬信號。近年來，隨著脈沖技術和數字計算機的蓬勃發展，離散控制系統的應用越來越廣泛。與連續系統顯著不同的特點是離散系統中至少有一處或幾處信號在時間上為離散的脈沖或數字信號。實際中，當連續系統中的信號以間斷方式獲得時，該連續系統也就變成離散系統。4

圖8-l計算機控制系統方框圖

對于圖8-l所示的計算機控制系統。由于數字計算機只能處理二進制的斷續信號，所以計算機接收和輸出的信號均為離散信號。5模數轉換器A/D的作用是定時地將連續的誤差信號e(t)轉換成計算機能接收的離散的數字誤差信號e(kT)。離散的誤差信號e(kT)以二進制脈沖數碼送入計算機，計算機按一定要求進行運算后輸出數字控制信號u(kT)。這樣，計算機以采樣周期T輸出的數字量，可以用一個與輸入采樣開關同步的采樣開關的輸出來代替。6由于受控對象的執行裝置通常按連續信號進行控制，所以由數字計算機輸出的離散信號，應先轉換成連續信號，這種轉換是由模數轉換器D/A來實現的。由于A/D轉換器精度足夠高，所形成的量化誤差可以不計，因而輸入通道一般把A/D轉換器用周期為T的采樣開關來代替。而D/A相當于一個保持器。這樣，由計算機作為控制器的采樣控制系統可以等效為一個典型的離散控制系統，如圖8-2所示。7

下面將進行討論在怎樣的條件下，離散信號可以按一定的方式恢復出原來的連續信號，以及對離散控制系統如何進行分析等。采樣控制系統和數字控制系統均稱為離散控制系統。

由于離散信號僅是連續信號在離散采樣點上的值，所以離散信號與連續信號的關系是局部與整體的關系。88.1.1信號的采樣

離散系統的特點是系統中有一處或數處的信號是脈沖序列或數字序列。在離散系統中，為了把連續信號變換為脈沖信號，需要使用采樣器；另一方面，為了控制連續式元部件，又需要使用保持器將脈沖信號變換為連續信號，因此，為了定量研究離散系統，必須對信號的采樣過程和保持過程用數學的方法加以描述。91.采樣過程

在采樣控制系統中總存在一個把連續信號f(t)轉換成離散信號（采樣信號）f*(t)的過程，這樣的過程稱為采樣過程。實現這個采樣過程的的裝置稱為采樣開關或采樣器。

10圖8-3采樣過程

(1)采樣信號的描述

連續信號f(t)加到采樣開關輸入端，如果采樣開關每隔時間T閉合一次，閉合持續時間為

，于是采樣開關輸出端得到寬度為

的脈沖序列f*(t)。通常閉合時間

比采樣周期T及系統各元件的時間常數要小得多，即

<<T，這樣連續信號f(t)經過采樣后變成一串脈沖序列f*(t)，如圖8-3所示。11

這種理想的采樣過程，可以借助于數學上的脈沖信號來描述。連續信號f(t)經采樣后的脈沖序列f*(t)在kT時刻的脈沖信號f(kT)可表示為

(8-1)

式中，

(t)為單位脈沖信號。

連續信號f(t)經采樣開關得到的脈沖序列f*(t)可表示為(8-2)12(8-3)

或寫成

式中，

為單位理想脈沖序列。采樣過程的物理意義可由式(8-3)看出，采樣過程可以看作是單位理想脈沖序列

T(t)對輸入信號f(t)進行幅值調制的過程，其中

T(t)為載波信號，f(t)為調制信號，采樣器為幅值調制器，輸出為脈沖序列f*(t)，如圖8-4所示。圖8-4調制過程13由于連續信號f(t)在采樣時刻kT有故式(8-2)也可寫成

(8-4)

14(2)采樣信號的頻譜由于采樣信號的信息并不等于連續信號的全部信息，所以采樣信號的頻譜與連續信號的頻譜相比，要發生變化，研究采樣信號的頻譜，目的是找出采樣信號的頻譜與連續信號的頻譜之間的互相聯系。

因為單位脈沖序列

T(t)是周期為T的周期函數，其采樣頻率15

T(t)可以展開成富里葉級數

(8-5)

此時脈沖序列f*(t)可以表示為

(8-6)

取拉普拉斯變換，可得

(8-7)

16令得f*(t)的頻域表達式

(8-8)

可以看到，采樣信號f*(t)的頻譜F*(j

)是頻率

s的周期函數，它的頻譜將沿著頻率軸，從

=0開始，左右每隔一個采樣周期

s重復依次采樣前連續信號f(t)的頻譜，但幅值減小為原來的1/T。

172.采樣定理

對一個連續信號f(t)經過采樣后，只能得到采樣信號f*(t)在采樣點上的數值f(0)，f(T)，f(2T)，…，因此，從時域上來看，采樣過程將損失f(t)所含的信息。怎樣才能使采樣信號f*(t)基本上反映連續信號f(t)的變化呢?下面先從采樣過程及信號頻譜的變化，給出采樣定理。18

連續信號f(t)經采樣后的脈沖信號f*(t)可由式(8-8)頻域表達式給出。連續信號f(t)的頻譜函數F(jω)，通常為一孤立的連續頻譜，頻帶寬度是有限的

ωmax，如圖8-5(a)所示。而采樣信號f*(t)的頻譜F*(jω)則具有以采樣頻率

s為周期的無窮多個頻譜之和，如式(8-8)所示。圖8-5連續信號及采樣信號的頻譜19式(8-8)中，當

時，

稱為采樣信號的主頻譜，其余

分量，稱為高次頻譜分量或附加頻譜分量。也就是，連續信號經采樣后的采樣信號頻譜中，除包含有主頻譜之外，還有很多高次頻譜，可以分兩種情況作出采樣頻譜特性，如圖8-5(b)和(c)。時的頻譜

20

時的采樣信號頻譜，

圖8-5(b)為滿足

F*(j

)的各頻譜分量彼此不發生重疊，則有可能通過一個理想的低通濾波器，將

的高頻分量全部濾掉，而F*(j

)中僅留下主頻譜部分。這樣連續信號經采樣后再通過一個理想低通濾波器就可復現原連續信號。21對圖8-5(c)，時采樣信號頻譜分量彼此相互重疊，不可能實現既濾掉所有高頻頻譜分量，而又不損失主頻譜，因此不能復現原來的連續信號。通過以上分析，可得采樣定理(Shinnon定理)：如果對一個具有有限頻譜的連續信號采樣，當采樣頻率，那么采樣后的信號可以無失真地復現原連續信號。22

實際中應注意以下兩點：

(1)如果是一非周期連續函數的信號，這時頻譜中的最高頻率是無限的，如圖8-6所示，這時，無論采樣頻率多高，采樣后的頻譜波形總是互相重疊的，但通常頻率相當高時，幅值不大，因此可做近似處理，將連續信號頻譜時截斷，此時頻率作為最高角頻率ωmax，b為給定的信號損失允許值。圖8-6非周期函數的處理23

(2)采樣定理給出了采樣頻率的最低限度，

,s不能太低，否則信息損失太大，原信號不能準確恢復。而s也不能過大，實現起來有困難，同時干擾信號影響也增大。

24離散控制系統設計的一個主要問題是采樣周期T的選取。采樣定理給出了采樣周期的最大值。顯然，采樣周期T選得越小，也就是采樣角頻率s選得越高，對系統控制過程的信息了解就越多，控制效果就會更好。但是，采樣周期T選得過短，將增加不必要的計算負擔；采樣周期T選得過長，又會給控制過程帶來較大的誤差，降低系統的動態性能，甚至有可能導致整個控制系統失去穩定性。因此，采樣周期T的選擇要根據實際情況綜合考慮，合理選擇。在一般工業過程控制中，微型計算機所能提供的運算速度，對于采樣周期T的選擇來說，有很大的回旋余地。25

應當指出，采樣信號f*(t)完全復現連續信號f(t)的前提是選擇恰當的采樣周期。然而，實際中并不存在理想濾波器，只能用特征接近理想濾波器的低通濾波器來實現，零階保持器是常用的低通濾波器，為此需要研究信號的保持過程。268.1.2信號的保持1.信號恢復

連續信號采樣后的脈沖信號的頻譜中除主頻譜之外，還包含了無窮多高頻頻譜。顯然，高頻分量相當于給系統加入了噪聲，嚴重時會使系統部件受損。當采樣頻率滿足采樣定理時，在采樣開關后串入一個信號復現濾波器，通過它使離散信號復原成原連續信號。27

當采樣頻率滿足采樣定理時，采樣信號頻譜F*(j

)的各頻譜分量彼此不發生重疊，即當

時，有

或28

由此可見，如果讓采樣信號f*(t)通過一個僅讓主頻譜通過的理想低頻濾波器G(j

)，則可濾出原信號f(t)的頻譜F(j

)，從而在其輸出端就可得到恢復的原連續信號f(t)。理想低頻濾波器G(j

)的頻譜特性：29

但是在實際中，這種理想的低通濾波器是不存在的。工程上，通常只能采用接近理想濾波器性能的保持器來代替。保持器是將采樣信號轉換成連續信號的元件，其任務是解決各采樣時刻之間的插值問題，即按現時刻或過去時刻

的采樣值，推算下一采樣時刻到來之前，這一段時間的函數值。30通常把具有恒值、線性和拋物線外推規律的保持器分別稱為零階、一階和二階保持器。其中最簡單、應用最廣的是零階保持器。312.零階保持器

零階保持器的作用是將采樣時刻的采樣值f(kT)恒定不變地保持到下一個采樣時刻(k+1)T，從而使采樣信號f*(t)變成階梯信號fh(t)，如圖8-7所示。由于是常值外推，在每個采樣區間內的值為常數，其導數為零，故稱零階保持器。32圖8-7零階保持器的輸入-輸出特性

圖8-8零階保持器的脈沖輸出函數33從圖8-7可看出，零階保持器輸入為單位脈沖時，其輸出為一高度為l，寬度為T的矩形波，如圖8-8所示的gh(t)，其可分解為兩個階躍函數之和。

(8-9)兩邊取拉普拉斯變換，可得零階保持器的傳遞函數

(8-10)

34以代入，可得零階保持器的頻率特性(8-11)

幅頻特性：

(8-12)相頻特性：

(8-13)35

零階保持器的幅頻和相頻特性曲線如圖8-9所示。由圖可見，其幅值隨頻率增加而衰減，是一低通濾波器、但不是一個理想的低通濾波器。它除了允許采樣信號的主頻譜分量通過以外，尚允許部分高頻分量通過。因此，由零階保持器恢復的連續信號與原來的連續信號是有差異的。且從相頻特性看，零階保持器是一個相位滯后元件，滯后相位隨

增加而增加。36圖8-9零階保持器的頻率特性圖8-10零階保持器的相位滯后特性37如果將零階保持器階梯形輸出信號的每個區間的中點連接起來，如圖8-10所示，則可得到一條與原信號形狀一致而在時間上滯后T/2的時間響應，它反映了零階保持器的相位滯后特性。在閉環系統中，保持器的引入，將降低系統的相對穩定性。但相對于一階、二階保持器來說，零階保持器的相位滯后是最小的。因此，在離散系統中經常采用零階保持器。38零階保持器可采用無源網絡來近似實現，若將零階保持器傳遞函數中eTs展開成級數形式，則Gh(s)有

(8-14)39式(8-14)可用圖8-11所示的RC網絡來實現。圖8-11近似零階保持器的RC網絡403.一階保持器一階保持器以兩個采樣值為基礎實行外推，其外推關系可表示為(8-15)

式中，t為kT到(k+1)T之間的時間變量。外推函數的斜率為一階差分，即經一所保持器后采樣信號的輸出如圖8-12所示。41圖8-12一階保持器輸出信號圖8-13一階保持器的單位脈沖響應(a)(b)42一階保持器的單位脈沖函數，如圖8-13(a)所示，也可以分解成一系列階躍函數和斜坡函數之和，如圖8-13(b)所示。根據一階保持器脈沖響應函數的分解，可得一階保持器的傳遞函數為(8-16)

43一階保持器的頻率特性為一階保持器的頻率特性如圖8-14所示。圖中虛線為零階保持器的頻率特性。與零階保持器相比較，一階保持器的幅頻特性普遍高一些，因此，高頻分量通過一階保持器也容易一些。

44

此外，一階保持器的相位滯后比零價保持器更大，對系統的穩定性更不利，再加上一階保持器的結構更為復雜，因此一般在實際中很少應用一階保持器，也不用高階保持器，而廣泛采用零階保持器。圖8-14一階保持器的頻率特性458-2z變換及其反變換在連續系統分析中，應用拉普拉斯變換作為數學工具，將系統的微分方程轉化為代數方程，建立了以傳遞函數為基礎的復頻分析法，使得問題得以大大簡化。在離散系統分析中，采用z變換作為數學工具，將系統的差分方程轉化為代數方程，建立了以脈沖傳遞函數為基礎的復頻分析法。468.2.1z變換定義對式(8-4)兩邊取拉普拉斯變換就可得脈沖序列的拉普拉斯表達式

(8-17)

由于上式是一個關于超越函數e-kTs的無窮級數，不便于分析系統，故令

代入

47式(8-17)，并將F*(s)寫成F(z)，則由上式可得：

即一個離散函數f*(t)的z變換的定義為：(8-18)

因為z變換只對采樣點上的信號起作用，因此也可寫成(8-19)48

在z變換中，由于只考慮采樣時刻的采樣值，因而不能反映在采樣點之間的特性。通常稱F(z)是f(t)的z變換，實質上是指經過采樣后f*(t)的z變換。采樣函數f*(t)對應的z變換是唯一的，反之亦然。但是，離散函數f*(t)對應的連續函數卻不是唯一的，可以有無窮多個。498.2.2z變換方法

1．級數求和法直接根據z變換的定義式(8-19)來求取。上式級數展開式是開放形式的，有無窮多項，但對一些常用的z變換的級數展開式可以用閉合型函數表示。50例8-1

求單位階躍函數和指數的z變換。解①對于單位階躍函數，其

函數這是一個公比為z-1的等比級數，若51即

時，級數收斂，則上式可寫成閉合型。②對于指數函數同理可得522．部分分式法

設連續函數f(t)的拉普拉斯式為有理分式函數，將F(s)按它的極點可以展開成部分分式和的形式，即(8-20)

式中，pi為F(s)的極點；Ai為系數。根據

便可求得相應函數的z變換。

(8-21)

53例8-2

求的z變換。解由于

故

由于連續函數f(t)的拉氏變換是唯一的，它的z變換也是唯一的，所以有54

3．留數法若

，根據留數，連續函數f(t)的z變換為：

(8-22)式中，為F(s)的全部極點。55（1）對于F(s)的單極點pi的留數為

(8-23)

（2）對于F(s)的具有q階重極點pj的留數為

(8-24)

56例8-3

求

的z變換。

解因為

處有二重極點，其留數為在s=-157故

附錄表A-1給出了一些常見函數及其相應的拉普拉斯變換和z變換。利用此表根據已知函數或其拉氏變換式直接查出其對應的z變換，這也是實際中廣泛使用的方法。58598.2.3z變換的基本定理與拉普拉斯變換類似，在z變換中有一些基本定理，可以使z變換運算變得簡單和方便。1．線性定理若

則有

，且a,b為常數

(8-25)

推廣到一般情況(8-26)60

2．滯后定理(負偏移定理)設連續函數f(t)，若則有

(8-27)

證明61

滯后定理表明，原函數在時域中延遲n個采樣周期，相當于其z變換乘以z-n。特別，當

時，，上式為

(8-28)62

3．超前定理(正偏移定理)

設，則(8-29)63證明:若滿足則64

4．初值定理設且

存在，則

(8-30)

證明

兩邊取

的極限，則

65

5．終值定理

設f(t)的z變換為F(z)，且以原點為圓心的單位圓上以及圓外沒有極點，則

(8-31)

證明因為

在z平面上66所以即

兩邊取

的極限，則有

67所以

z變換的終值定理形式亦可表示為在離散系統分析中，常采用終值定理求取系統的的穩態誤差，它和用拉氏變換的終值定理求取連續系統穩態誤差時的情況極為類似。68

6．復偏移定理設

，則

(8-32)

證明

令

，則

69

7．卷積和定理

設

的z變換分別為

且

時，

若

卷積和定理可表示為

，則

(8-33)

證明略708.2.4z反變換

和拉普拉斯反變換類似，z反變換就是根據F(z)求出原連續函數f(t)的離散序列f*(t)，反變換可表示為

(8-34)1．長除法長除法是將F(z)的分母除分子，可以求出按z-k降冪排列的級數展開式，然后用z反變換式求出相應的采樣函數的脈沖序列。這是一種常用而簡便的z反變換法，但該方法不易得到閉合形式。71

F(z)的一般表達式為

(8-35)

首先將上式F(z)按z降冪排列，然后根據多項式除法將其表示成z-k降冪級數的形式則F(z)的z反變換為

(8-36)

(m

n)72例8-4

已知

，試求其z反變換。解首先將F(z)表示成如下按z降冪排列的形式然后利用綜合除法，將F(z)表示成所以F(z)的z反變換為73綜合除法742．部分分式法部分分式法是將F(z)展開成若干個分式和的形式，每一個分式可通過查附錄表A-1，求出對應的時間函數f(t)，并將其轉換為采樣信號f*(t)。由于在z變換表中，所有的分子中都有z因子，進行部分分式展開時，需先把結果的每一項都乘以z，即得F(z)的展開式。展開成部分分式，然后將所得75例8-5

已知

，試求z反變換。

解

首先將展開成部分分式

所以

查附錄表A-1得

或

解

首先將展開成部分分式

解

首先將解

首先將763．留數法

若

，根據留數，則F(s)的z反變換為：

(8-37)

式中，為F(z)的全部極點。

77(1)對于F(z)的單極點pi的留數為(8-38)(2)對于F(z)的具有q階重極點pj的留數為(8-39)78

例8-6

用留數法求

解在處為二重極點，其留數為的z反變換。在處為單極點，其留數為79所以

或

強調指出，z反變換只能給出采樣信號f*(t)，而不能提供連續信號f(t)。808-3離散系統的數學模型8.3.1差分方程對連續系統的動態過程，通常采用微分方程來描述，而對于離散系統，則采用差分方程來描述其動態過程。如同用拉普拉斯變換法求解微分方程一樣，在離散系統中用z變換解差分方程也很方便。811．差分的定義

連續函數f(t)，采樣后的離散信號f(kT)，通常為方便起見，當T為常數時，書寫中略去T，即f(kT)縮寫為f(k)。一階前向差分的定義為82n階前向差分定義為

(8-40)

二階前向差分定義為83二階后向差分定義為

n階后向差分定義為

(8-41)

同理，一階后向差分定義為84

2．差分方程

如果一個方程中除含有函數本身外，還有函數的差分，則稱此方程為差分方程，即(8-42)

對于輸入、輸出均為離散信號的線性定常離散系統，描述其動態過程的線性定常差分方程為85上式也可寫為

(8-43)

式中，r(k)為輸入信號；y(k)為輸出信號；a1,a2,…,an，b0,b1,…,bm為常數。86差分方程的階次應是最高差分與最低差分之差。式(8-43)中，方程階次為

n階差分方程也可寫成

次。

(8-44)87

3．差分方程的求解

(1)迭代法根據式(8-44)可得

若已知k時刻的輸入和k時刻以前的輸入、輸出值，可求出k時刻的輸出。

(8-45)

88例8-7

已知系統差分方程為輸入序列初始條件為

試用迭代法求系統的輸出序列y(k)。解根據初始條件及差分方程得例8-7

已知系統差分方程為例8-7

已知系統差分方程為89圖8-15例8-7輸出波形系統在階躍信號作用下的輸出如圖8-15所示。

90

(2)z變換法用z變換法解差分方程，與用拉普拉斯變換求解微分方程一樣，z變換能夠將差分方程變換為以z為變量的代數方程。然后，通過z反變換，就可求出差分方程的解。

例8-8

用z變換法解二階離散系統差分方程初始條件。

91解對方程式兩邊取z變換整理代入初始條件得z反變換得92可以看出，同采用拉氏變換解微分方程一樣，z變換解差分方程時初始條件已自動地包含在代數表達式中。另外，此方程的輸入信號統響應是由初始條件激勵的。

，系938.3.2脈沖傳遞函數與連續系統中的傳遞函數概念相對應，脈沖傳遞函數是描述離散系統的數學模型。它反映了離散系統輸入輸出序列之間的轉換關系。根據脈沖傳遞函數可以獲得離散系統與系統性能指標之間的關系等信息，它是離散系統分析與設計的基礎。

94

如果離散系統的初始條件為零，輸入信號r(t)經采樣后為離散信號r*(t)，其z變換為R(z)，連續部分輸出為y(t)，采樣后y*(t)的z變換為Y(z)，如圖8-17所示。圖8-17系統脈沖傳遞函數

1．脈沖傳遞函數的定義95

即零初始條件下，系統輸出的z變換與輸入z變換之比。離散系統的脈沖傳遞函數G(z)與輸入信號R(z)和輸出信號Y(z)的關系，如所示。

如果已知系統的脈沖傳遞函數G(z)，及輸入信號的z變換R(z)，那么系統輸出的z變換為(8-46)

(8-47)

脈沖傳遞函數定義為96

對離散系統，輸入信號r(t)經采樣后為r*(t)，其z變換為R(z)，但是對于大多數實際系統，其輸出為連續信號y(t)而不是采樣信號y*(t)。在這種情況下，可以在連續信號的輸出端虛設一個采樣開關，它與輸入端采樣開關同步工作，如圖8-17中虛線。這樣y(t)經采樣開關后，變為采樣信號y*(t)，它的z變換為Y(z)，就可以用脈沖傳遞函數的概念。97在連續系統中，傳遞函數是系統單位脈沖響應的拉普拉斯變換。同樣對離散系統，脈沖傳遞函數是系統單位脈沖響應的z變換。實際上，若離散系統輸入為單位脈沖函數

(t)，其z變換為系統的輸出為脈沖響應g(t)，由式(8-47)，得(8-48)

982．脈沖傳遞函數的求取

(1)根據脈沖傳遞函數的定義，若已知系統連續傳遞函數G(s)或脈沖響應函數g(t)，則脈沖傳遞函數G(z)為(8-49)

(2)若已知系統的差分方程，在零初始條件下，輸出的z變換和輸入的z變換之比即為脈沖傳遞函數，即(8-50)99例8-9

系統結構如圖8-18所示，其中連續部分的傳遞函數試求系統開環脈沖傳遞函數G(z)。解將G(s)展開成部分分式直接由z變換公式得100例8-10

已知系統差分方程

試求系統脈沖傳遞函數G(z)。解在零初始條件下，對差分方程兩邊求z變換，得根據脈沖傳遞函數定義，則

1013．離散系統開環脈沖傳遞函數控制系統是由許多環節按不同的連接方式組成的，若已知每個環節的傳遞函數，常可以利用結構圖變換方法，求得整個系統的傳遞函數。但與連續系統不同，在離散系統中，既有連續信號又有離散信號，且采樣開關位置也有所不同，因此，不能簡單照搬連續系統結構圖變換方法來處理。102

(1)串聯環節之間無采樣開關

對于如圖8-19所示，系統串聯的兩個環節Gl(s)和G2(s)之間無采樣開關時，系統輸出為圖8-19環節串聯之間無采樣開關103信號采樣后z變換為開環系統的脈沖傳遞函數為

(8-51)104即當串聯環節之間無采樣開關時，等效開環脈沖傳遞函數等于各環節傳遞函數之積的變換。顯然這個結論同樣可以推廣到n個環節串聯而各相鄰環節之間都沒有采樣開關分隔的情況。

(8-52)

105對每一環節輸入輸出均有采樣開關，每一環節輸入輸出均為采樣信號，則有圖8-20環節串聯之間有采樣開關

和

(2)串聯環節之間有采樣開關系統串聯的兩個環節之間有采樣開關，如圖8-20所示。106信號采樣后

和

z變換后

和

所以

(8-53)

開環系統的脈沖傳遞函數為107即當環節串聯且環節之間有采樣開關時，等效開環脈沖傳遞函數為各環節脈沖傳遞函數之積。這個結論同樣可以推廣到n個環節串聯而各相鄰環節之間都有采樣開關分隔的情況。(8-54)

注意：前者表示兩個串聯環節的傳遞函數相乘后取z變換，后者表示先各自取z變換后再相乘。108零階保持器的傳遞函數為

Gp(s)為連續部分的傳遞函數。

圖8-21有零階保持器的開環系統(3)有零階保持器的開環脈沖傳遞函數具有零階保持器的開環脈沖傳遞函數如圖8-21(a)所示。109系統的輸出

z變換后開環系統的脈沖傳遞函數為

(8-55)

110

離散系統結構圖如圖8-22所示，輸入信號未經采樣開關直接進入G1(s)，連續環節G1(s)的輸入為連續信號r(t)，其輸出也是連續信號x(t)(4)輸入端無采樣開關時圖8-22開環離散系統111和

信號采樣后

和

z變換后和所以

所以112故有

(8-56)由上式看出當連續信號直接進入連續環節時，換表達式Y(z)，而求不到脈沖傳遞函數G(z)。求不出的形式，即只能求得輸出的變113

4．閉環系統脈沖傳遞函數由于采樣開關位置的不同，離散系統可以有多種結構形式。圖8-23是一種比較常見的閉環離散系統結構圖。

圖8-23閉環采樣系統結構圖

114圖中虛線所示的采樣開關是為了分析方便而虛設的，且它們均以周期T同步工作。從圖中可得反饋信號輸出信號和偏差信號為信號采樣后

和

115信號z變換為和

即

(8-57)

所以閉環脈沖傳遞函數為(8-58)

116例8-11

求圖8-24所示系統的閉環傳遞函數。圖8-24閉環離散系統

解由圖可得117采樣后

Z變換后

118由此可見，求取閉環系統脈沖傳遞函數的方法與連續系統完全類似，唯一需要注意的是，獨立環節的脈沖傳遞函數一定是在兩個采樣開關之間才能求得。即

119

如圖8-23，前向通道脈沖傳遞函數G1(z)G2G3(z)，而回路的獨立環的脈沖傳遞函數為G1(z)G2G3H(z)。實際上，對于同一離散系統，其采樣開關的位置可能有很大的差別。因此，它們的脈沖傳遞函數或輸出表達式可能不同。表8-1中列出了一些典型離散系統的結構圖及其輸出表達式。120表8-1典型采樣系統結構圖及輸出表達式1211228-4離散控制系統的穩定性分析8.4.1離散系統穩定的條件

我們知道，連續系統穩定的充分必要條件是系統的閉環特征根均在s平面的左半平面。在z平面上來研究離散系統的穩定性，首先要弄清s平面與z平面的映射關系。

123根據z變換的定義，復變量z和s的關系為(8-59)

式(8-59)就是s平面與z平面之間的映射關系。將s平面上任意一點

代入得

(8-60)

式中，

1．s平面到z平面的映射124(a)s平面(b)z平面圖8-24s平面和z平面的映射關系125(1)s平面上的虛軸，即即s平面上的虛軸，映在z平面上為：，那么射到z平面上是以原點為圓心的單位圓。如圖8-24所示。126

(2)s平面上左半平面，即即s平面的左半平面映射到z平面是以原點為圓心的單位圓內部。如圖8-24所示。(3)s平面上右半平面，即

即s平面的右半平面映射到z平面是以原點為圓心的單位圓外部。如圖8-24所示。127在此應注意，

+時,z的角度也從-變到+，現在取s平面內j軸上一點，當這個點在j軸上從移動到，z平面上的相應點沿單位圓從-π剛好逆時針變化到π，正好轉了一圈。當

從-到+變化時，對應

z平面上便重復地畫了無窮多個圓，把

從，所以當

從-變到到的頻帶稱為主頻帶，其它稱為次頻帶，如圖8-25所示。128離散函數

z變換的這種周期性，也說明了函數離散化后的頻譜會產生周期性的延拓。圖8-25s平面內頻帶區域1292．離散系統穩定條件

根據s平面與z平面的映射關系，對線性離散系統如圖8-23所示，閉環脈沖傳遞函數為特征方程式為(8-61)

系統特征根p1，p2，…，pn即閉環脈沖傳遞函數的極點。130

閉環離散系統穩定的充分必要條件是：離散系統特征方程的所有根（即閉環脈沖傳遞函數的極點）均位于z平面上以原點為圓心的單位圓之內，也就是特征根的模均小于l。

131

用上述方法研究離散系統的穩定性，對于一、二階系統還可以采用，對于高階系統來說，求解是件非常麻煩的工作。特別是要研究當系統結構和參數變化對穩定性的影響時，更不方便，是否可以像連續系統那樣，不解特征根，而是根據方程的系數來分析系統的穩定性呢？下面詳細討論。1328.4.2代數判據對于線性離散系統，系統穩定的充分必要條件是閉環系統的特征根均在z平面上單位圓內部，而勞斯判據只能判斷系統特征根是否在s平面虛軸的左半部。因此，需將z平面上的單位圓變換為另一復變量w平面的虛軸，并使z平面的單位圓內部變換為w平面的左半平面，這樣連續系統的各種代數判據，就可以用來判別線性離散系統的穩定性。133這種坐標變換經過s到z，z到w兩次線性變換，稱為雙線性變換或稱w變換。圖8-26表示雙線性換過程。圖8-26雙線性變換134雙線性變換有以下兩種定義

或

則

則

式中，z和w均為復變量，可寫為和

(8-62)

135根據式(8-62)有

(8-63)

當

時，即在右半w平面上任取一點時，

，對應于z平面的單位圓外；時，即在左半w平面上任取一點時，

，對應于z平面的單位圓內；時，即在w平面虛軸上任取一點時，

，對應于z平面的單位圓上。

136所以，對離散系統的閉環特征方程，令或

可直接應用勞斯判據判定系統的穩定性。進行w變換后，137

例8-12

已知系統結構圖如圖8-27所示，采樣周期T＝0.1s。試確定系統穩定時K的取值范圍。解系統的開環脈沖傳遞函數為系統的閉環脈沖傳遞函數為138特征方程為

令

代入得

139根據代數判據知，對于線性二階系統，只要系統中各項系數大于零，系統總是穩定的。由

得

由此可見，要使系統穩定。增益K應在0~4.32之間取值。對于二階系統加采樣開關后，系統穩定時K

的范圍就有了限制，加大K會導致系統不穩定.140一般而言，當采樣頻率增高時，系統的穩定性會得到改善。應該指出，在許多情況下加入采樣開關對系統穩定性不利。但對一些特殊情況，例如系統有大滯后環節時，加入采樣開關往往還能改善系統的穩定性。上面我們直接應用了連續系統的Routh判據來判別系統穩定性。141

實際上，采用雙線性獲得w平面的特征多項式D(w)后，凡是適合線性連續系統分析穩定性的方法，均可用來分析線性離散系統的穩定性。如在w平面繪制離散系統的極坐標圖、對數坐標圖及求解離散系統的穩定裕量等等。但對于繪制離散系統的根軌跡，可直接在z平面進行，根軌跡與單位圓的交點，即為離散系統的穩定邊界，其余繪制方法和步驟和連續系統相同.

1428-5離散控制系統的穩態誤差穩態誤差是系統穩態性能的一個重要指標。連續系統中，系統穩態誤差的大小與系統自身的結構、參數及輸入信號有關，并且穩態誤差可以利用拉普拉斯變換中的終值定理求取。對于離散系統，同樣可以采用類似于連續系統的分析計算方法來求采樣瞬時的穩態誤差。1438.5.1典型輸入信號下的穩態誤差

設圖8-28所示的單位反饋離散系統的開環脈沖傳遞函數為G(z)。由圖可求得給定信號r(t)作用下誤差的z域表達式圖8-28單位反饋采樣系統144(8-64)

設閉環系統穩定，根據z變換的終值定理，離散系統采樣時刻的穩態誤差為(8-65)145離散系統的穩態誤差與輸入信號的形式及系統結構、參數有關。下面討論三種典型輸入。由于s平面的

，對應于z平面的

點，所以仿照連續系統中系統類型的劃分，對離散系統按開環脈沖傳遞函數G(z)中含有為0型、I型和II型等系統。的極點個數分1461．輸入信號為單位階躍函數，則有將R(z)代入(8-65)式得

(8-66)(8-67)KP稱為靜態位置誤差系數。147

對0型系統，G(z)中不含

的極點，此時KP為一有限值，對I型或I型以上系統，G(z)中至少含一個

的極點，此時

所以單位反饋系統在階躍信號作用下穩態采樣瞬時無差的條件是G(z)中至少有一個的極點。148

2．輸入信號為單位斜坡函數

則有

將R(z)代入(8-65)式得

(8-68)

(8-69)KV稱為靜態速度誤差系數149對0型系統，G(z)中不含的極點，此時

對I型系統，G(z)中含一個

時Kv=有限值，的極點，此

對II型或II型以上系統，G(z)中至少含2個的極點，

所以單位反饋系統在斜坡信號作用下穩態采樣瞬時無差的條件是G(z)中至少有兩個

的極點。150

3．輸入信號為單位加速度函數

則有

將R(z)代入(8-65)式得(8-70)

(8-71)Ka稱為靜態加速度誤差系數。151對于0型或I型系統，

對于II型系統，=有限值，

對于III型或III型以上系統，

所以，單位反饋系統在加速度信號輸入下穩態采樣瞬時無差的條件是G(z)中至少有三個的極點。152綜上所述，在三種典型輸入信號作用下，靜態誤差系數的定義如表8-2所示。從表中可見，連續系統與離散系統的誤差系數的計算非常相似，但離散系統的穩態誤差還與采樣周期

T有關。在三種典型輸入信號作用下系統的穩態誤差如表8-3所示。但應注意，上面是針對單位反饋系統討論的，對非單位反饋，穩態誤差的定義與連續系統類似。153表8-2連續與采樣系統穩態誤差的定義154表8-3典型輸入信號的穩態誤差1558.5.2干擾信號作用下的穩態誤差圖8-29所示系統，在擾動信號n(t)單獨作用下系統的輸出為圖8-29離散系統結構圖(8-72)

故擾動單獨作用下系統誤差為(8-73)

156其穩態誤差為

(8-74)和連續系統類似，為了消除干擾所產生的穩態誤差，要求系統在干擾作用點之前應具有一定數量的積分環節。1578-6離散控制系統的動態性能在線性連續系統中，若已知系統的傳遞函數和輸入信號，由拉普拉斯反變換便可求出該信號作用下的輸出響應。即

(8-75)式(8-75)中,R(s)為輸入信號的拉氏變換；GB(s)為系統閉環傳遞函數。158根據系統閉環極點和零點在s平面的分布，可估算出它對應的瞬態響應形狀。與此類似，離散系統中的瞬態響應與閉環脈沖傳遞函數極點、零點在z平面上的分布也有著密切關系。1598.6.1離散系統的輸出響應若已知離散系統閉環脈沖傳遞函數則在給定信號r(t)下的響應y*(t)為

(8-76)例8-13已知單位反饋離散系統的開環脈沖傳遞函數為試求時的系統輸出響應。160解離散系統閉環脈沖傳遞函數為輸出的z變換為161長除得

z反變換得162離散系統輸出響應曲線如圖8-30所示。由圖可見，系統的階躍響應為衰減振蕩，最大超調量約40%，上升時間tr約2T，峰值時間tp約3.5T。圖8-30離散系統的階躍響應在此注意，輸出響應僅能得到采樣點上的值，即輸出為脈沖序列。當采樣周期T很小時，可用虛線來近似連續輸出，如圖所示。1638.6.2閉環零點、極點分布對瞬態晌應的影響

設系統閉環脈沖傳遞函數為(8-77)164式中,zj(j=l,2,…,m)為GB(z)的零點；pi(i=l,2,…,n)為GB(z)的極點，且當輸入信號為階躍信號即，且假設閉環極點pi無重極點時，有按極點展開成部分分式165進行z反變換，得

(8-78)

式中，第一項為穩態分量，第二項為瞬態分量，瞬態分量是收斂、發散還是振蕩完全取決于極點pi在z平面上的分布。下面分幾種情況討論。1661．閉環極點為實根(1)若，極點在單位圓外的正實軸上，隨k增大而增大，即時間響應是單調發散；

(2)若，極點在正實軸的單位圓上，為常值，即時間響應為等幅振蕩；

167

(3)若，極點在單位圓內的正實軸上，總為正，且隨n增大而單調減小，故時間響應單調衰減。愈靠近原點，衰減愈快；

(4)若，極點在單位圓內的負實軸上，隨k變換出現正負交替衰減，即時間響應是正負交替的衰減振蕩，振蕩頻率為

/T；168

(5)若，極點在負實軸的單位圓上，其時間響應是正負交替的等幅振蕩，振蕩頻率為

/T；

(6)若，極點在單位圓外的負實軸上，時間響應為正負交替的發散振蕩過程。169

2．閉環極點為復根若存在一對共軛復極點對應的暫態分量為

(8-79)式中

，為共軛復系數，

則式(8-79)變為170所以，共軛復極點對應的暫態響應是以余弦規律振蕩的，振蕩頻率為，即它與共軛復極點的幅角

有關，幅角越大，振蕩頻率越大，當

時，一對共軛復極點成為負實軸上一對極點，此時振蕩頻率最大，等于

/T，暫態分量的模值與成正比。171(l)若，極點在單位圓內，時間響應是衰減振蕩的，復極點離原點越近，衰減越快。(2)若，極點在單位圓上，時間響應是等幅振蕩的。(3)若，極點在單位圓外，時間響應是振蕩發散的，越大，發散越快。172

閉環極點在z平面上位置不同，對應的暫態分量也不同，如圖8-31所示。當閉環極點位于單位圓內時，其對應的暫態分量是衰減的。極點距z平面坐標原點越近，則衰減速度越快。若極點位于單位圓內的正實軸上，則對應的暫態分量單調衰減。若極點是位于單位圓內的共軛復極點，其對應的暫態分量為衰減振蕩的，極點的幅角越大，振蕩頻率越高。若閉環極點位于單位圓外，則對應的暫態分量是發散的。這意味著閉環離散系統是不穩定的。173為了使離散系統具有比較滿意的暫態響應性能，閉環脈沖傳遞函數的極點位于單位圓內的右半部，并盡量靠近

z平面的坐標原點。而閉環零點影響暫態分量的系數Ai即影響響應的快慢。圖8-31極點分布與暫態響應1743．主導極點仿照線性連續系統中主導極點的概念，對離散系統中主導極點的定義為：若離散系統的一對單位圓內極點靠近單位圓，而其它零、極點均在原點附近，離這對極點相當遠，那么系統瞬態響應主要由這一對極點來決定，稱為主導極點。設系統的一對主導極點為175而其余閉環極點均在單位圓內，并且相對地遠離單位圓，則系統暫態響應的峰值時間tp和最大超調量可近似計算為

（8-80）式(8-80)表明，主導極點距z平面的原點越近，系統的超調量越小。主導極點的相角

越大，系統的峰值時間越小。176另外，由于越大，則超調量Mp越小，所以Mp和tp這兩者是相互矛盾的。因此，在確定閉環主導極點時，應在指標Mp和tp間選取一個折衷方案。如果除了一對主導極點外、系統還有一些距原點較近的零、極點，它們也會對系統暫態響應帶來一些影響。177例8-14若系統的閉環脈沖傳遞函數為試求其單位階躍響應的離散值，并分析系統的動態性能。采樣周期T=0.2秒。178解系統的閉環脈沖傳遞函數為當輸入量時，輸出量的z變換為：179180基于z變換定義，由上式求得系統在單位階躍外作用下的輸出序列y(kT)為181根據上面各離散點數據繪出系統單位階躍響應曲線如圖8-32由圖求得給定離散系統的近似性能指標為：上升時間，峰值時間，超調量圖8-32單位階躍響應曲線1828.6.3離散系統的根軌跡分析上面討論了線性離散系統的瞬態響應與閉環脈沖傳遞函數零、極點分布的關系。在開環脈沖傳遞函數零、極點已知的條件下，也可利用根軌跡法分析離散系統。設離散系統結構圖如圖8-33所示。圖8-33離散控制系統183系統的開環脈沖傳遞函數(8-81)式中，zj(j=l,2,…,m)為系統開環零點；pi(i=l,2,…,n)為系統開環極點。系統的特征方程為(8-82)

184可見，它的形式與連續系統繪制根軌跡的形式完全一樣，所以，連續系統繪制根軌跡的一切規則和步驟均可用于離散系統根軌跡的繪制。185例8-15

設單位反饋系統的結構圖如圖8-34，試用根軌跡法分析系統.圖8-34單位反饋系統結構圖186解系統開環脈沖傳遞函數根據繪制根軌跡的規則，可得到

(1)根軌跡共有兩條，分別起始于兩個開環極點，當K

時，一條根軌跡趨向于–0.722，另一條根軌跡趨向-

處；187

(2)實軸上的[0.368,1]線段和[-

,-0.722]線段為根軌跡；

(3)根軌跡的分離點由求得：。利用相角條件可以證明根軌跡為一圓，圓心為(-0.72，0)，半徑為1.37，根軌跡如圖8-35所示。188

根軌跡與單位圓的交點為臨界狀態，它的求取不能直接采用連續系統中臨界狀態的方法。常采用根與系數的關系或雙線性變換后，再用連續系統臨界狀態的求取方法。圖8-35例8-15系統根軌跡圖189

本例根軌跡與單位圓交點處為一對共軛復極點，設為。閉環離散系統的特征方程為根據根與系數關系有同時

求得

190對于連續二階系統只要系統就穩定，而系統離散后穩定性變差，穩定范圍K的取值為1918-7離散控制系統的校正在設計離散控制系統時，為了滿足對系統性能指標所提出的要求，常常需要對系統進行校正。與線性連續系統類似，離散系統的校正也需考慮校正裝置的特性和校正方式。校正裝置可以串聯在系統的前向通道中或并聯在系統的局部反饋通道中。按校正裝置的作用分為超前校正、滯后校正和滯后-超前校正。就校正裝置的信號而言分為連續校正和斷續校正(或數字校正)。192校正步驟與線性連續系統相似，根據對系統提出的性能指標及某些約束條件，先確定校正裝置的脈沖傳遞函數，然后實現校正裝置。1938.7.1采用伯德圖的方法對連續系統中的各種校正方法，經過一些變換后，都可以推廣到離散系統中來。1．近似方法確定串聯校正裝置設單位反饋采樣系統如圖8-36所示。圖中Gh(s)為零階保持器；Gc(s)為串聯校正裝置的傳遞函數；G0(s)為被控對象的傳遞函數。194由圖8-36可得系統的開環脈沖傳遞函數為(8-83)

圖8-36帶數字控制器的離散系統圖195從上式可見，校正裝置的脈沖傳遞函數Gc(z)很難從GhGcG0(z)中分解出來，也就是說只能試探地選擇Gc(z)，求出GhGcG0(z)的特性，并校驗是否能滿足要求的性能指標。若不能滿足，應重新選擇Gc(z)，經過多次試探，才能得到較為滿意的結果。196實際設計中，常采用一些近似方法來簡化設計過程。

(1)若采樣頻率比較高，并大于閉環系統和保持器的帶寬時，可以把采樣開關和零階保持器忽略，這樣處理后采樣系統可近似為連續系統，可利用連續系統的校正方法對采樣系統進行校正。最后，要對經過校正的采樣系統的各項性能指標校驗。197

(2)把采樣開關和零階保持器近似為一個滯后元件，滯后時間為T/2，等效后系統結構圖如圖8-37，系統的開環傳遞函數為(8-84)

圖8-37等效后的系統結構圖此時，可按連續系統校正方法求校正裝置Gc(s)，這種近似較第一種方法精度要高。1982．在ω域進行Bode圖校正串聯校正裝置采用數字控制器；如圖8-38所示，圖中D(z)為數字控制器的傳遞函數。系統的開環脈沖傳遞函數為圖8-38帶數字控制器的離散系統199為了采用Bode圖進行校正設計，可對系統進行雙線性變換，其基本步驟為

(1)求出校正前系統的開環脈沖傳遞；

(2)進行z-ω的線性變換,，將變換

(3)令，代入，繪制的Bode圖；為200

(4)根據ω域的Bode圖，用和連續系統同樣的方法確定ω域的校正裝置的傳遞函數；

(5)校正后系統的開環傳遞函數為

(8-85)校驗校正后系統的性能指標。

201(6)若滿足性能指標，則將反變換成。否則返回步驟(4)，重新設計；(7)實現D(z)。2028.7.2最少拍控制系統的校正連續系統中，暫態過程在理論上只有當時間時才能結束。但是，在離散系統中，暫態過程卻可在有限時間內結束。我們將在典型輸入信號作用下，經過最少采樣周期(通常一個采樣周期也稱為一拍)，使系統輸出的采樣誤差為零，達到完全跟蹤系統，稱之為最少拍控制系統或最快響應系統。下面討論最少拍控制系統的設計。203在圖8-39所示單位反饋線性離散系統中，系統的閉環脈沖傳遞函數為圖8-39離散控制系統(8-86)

204式中，

(8-88)

根據對控制系統性能指標的要求及典型輸入信號和其它約束條件，確定希望的閉環脈沖傳遞函數GB(z)，再由式(8-88)去確定控制器。2051．從準確性看控制系統在典型輸入信號，如階躍輸入、斜坡輸入和加速度輸入時，在采樣時刻無穩態誤差。對圖8-39所示系統，誤差脈沖傳遞函數為式中，。206采樣瞬時穩態誤差為

(8-89)而當典型輸入信號r(t)為階躍信號、斜坡信號和加速度信號時的z變換，可用以下一般形式表示，即

(8-90)

式中，

為不包含

r由典型輸入信號來確定。

的

的多項式；207將式(8-90)代入式(8-89)得(8-91)

要實現系統采樣瞬時無穩態誤差，則有如下形式

應具

(8-92)

式中，是不含有的的多項式。2082．從快速性要求看為了使離散系統在最少采樣周期內結束過渡過程，需使系統的閉環脈沖傳遞函數或中所含項最少。為此，最好選取，此時系統的暫態響應過程可在最少拍內完成，因此，有和

由上式求得的或輸入信號作用下無穩態誤差，又同時使過渡過程最快。是既保證了在典型2093．從穩定性角度考慮或由式(8-88)來看，為保證閉環系統穩定，閉環脈沖傳遞函數和的極點均在單位圓內。若開環脈沖傳遞函數中包含有z平面上單位圓外或圓上的零點和極點時，為保證閉環系統穩定及可實現，對閉環脈沖傳遞函數和提出附加要求。210

(1)的零點應能補償中所含單位圓外或圓上的極點；

(2)的零點去抵消中所含單位圓外或圓上的零點；

(3)為保證的分母階次大于或等于分子階次，由于中常含有因子，故要求也應包含有因子。又考慮到，所以，應為包含常數項為1的的多項式。211例8-16

已知圖8-39所示系統的開環脈沖傳遞函數為試求在單位階躍信號作用下最少拍系統的數字控制器。212解單位階躍信號為中含有因子及單位圓上極點和單位圓外的零點。為此，從穩定性、準確性、最少拍及可實現等方面考慮和，設解得

213所以

由式(8-90)得系統的單位階躍響應為214系統的暫態響應過程經兩個采樣周期內結束，如圖8-40所示。它比當穩定時的單位階躍響應的暫態過程多了一拍，這是由于中含有一個單位圓外的零點所造成的圖8-40單位階躍響應215最少拍系統設計只能保證在采樣點上穩態誤差為零，而在采樣點之間系統的輸出可能會出現波動，因而這種系統稱為有紋波系統。紋波的存在不僅影響響應精度，而且會增加系統的機械磨損和功耗。為改進其動態特性，可以延長暫態響應時間；達到消除系統的穩態誤差且在輸入輸出相等后，無紋波存在。這就是最少拍的無紋波系統，讀者若有興趣可參閱有關文獻。2168-8基于MATLAB的離散控制系統的分析與設計

MATLAB提供了多種求取離散系統的函數，使用它們可以很方便對離散控制系統進行分析和設計。2178.8.1利用MATLAB實現z變換

MATLAB的符號工具箱中，給出了求解z變換及其反變換的函數ztrans()和iztrans()，其調用格式分別為：F=ztrans(f,n,z)和f=iztrans(F,z,n)其中，f表示時域序列f(n)或時間函數f(t)；n表示時間序列；F表示Z域函數F(z)；z表示Z域變量。218例8-17求函數的z變換和函數的z反變換。解MATLAB命令如下>>symsktz;f=k*t^1;F1=ztrans(f),F=k*z/(z-1)^2;f1=iztrans(F)

結果顯示：

F1=k*z/(z-1)^2f1=k*n2198.8.2利用MATLAB實現連續系統的離散化利用MATLAB控制系統工具箱中提供的函數c2dm()可將連續系統的模型離散化，其作用相當于在連續環節輸入端加一個采樣開關和零階保持器，調用格式為[numd,dend]=c2dm(num,den,T)式中，num,den為連續系統傳遞函數的分子分母系數；numd,dend為離散化后脈沖傳遞函數的分子分母系數；T為采樣周期。220例8-18已知系統如圖8-41所示。利用MATLAB求系統在T=1秒時的開環脈沖傳遞函數。圖8-41單位反饋系統結構圖221解

MATLAB命令如下>>num=1;den=conv([1,0],[1,1]);T=1;>>[numd1,dend1]=c2dm(num,den,T);printsys(numd1,dend1,'z')結果顯示：num/den=0.36788z+0.26424------------------------------z^2-1.3679z+0.367882228.8.3利用MATLAB分析離散系統的穩定性在分析控制系統時，首先遇到的問題就是系統的穩定性。判斷一個線性系統穩定性的一種最有效的方法是直接求出系統所有的極點，然后根據極點的分布情況來確定系統的穩定性。對線性系統來說，如果一個離散系統的所有極點都位于左半z平面的單位圓內，則該系統是穩定的。223

MATLAB中根據特征多項式求特征根的函數為roots()，其調用格式為r=roots(P)其中，P為特征多項式的系數向量；r為特征多項式的根。利用MATLAB中的函數abs(r)可以求出特征根r的模值。224

另外，MATLAB中的函數zplane()可繪制離散系統的零極點圖，其調用格式為zplane(dnum,dden)其中，dnum和dden分別為離散系統傳遞函數的分子和分母多項式的系數按降冪排列構成的系數行向量；圖中的極點用“×”表示，零點用“o”表示。225

例8-19

判定例8-18所示系統在T=1時的穩定性，并畫出系統的零極點圖。解

MATLAB命令如下>>num=1;den=conv([1,0],[1,1]);T=1;>>[numd1,dend1]=