挑戰2023年中考數學壓軸題之學霸秘笈大揭秘(全國通用)

專題31三角形與新定義綜合問題

典例剖析“

【例1】(2022?淮安區模擬)我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(cm),

如圖1,在AABC中，A8=AC,底角NB的鄰對記作cm8,這時cm8=?i??=里.容

腰AB

易知道一個角的大小與這個角的鄰對值是一一對應的，根據上述角的鄰對的定義，解下

列問題：

(I)Ca"30°=_-/3_,若cα"B=l,則NB=60°.

(2)如圖2,在aABC中，A8=AC,canB=—,SABC=48,求AABC的周長.

5ZX

A

【分析】(1)根據定義，要求cαn30o的值，想利用等腰三角形的三線合一性質，想到過

點4作AC8C,垂足為。，根據/8=30°,可得：BD=^-AB,再利用等腰三角形

2

的三線合一性質，求出BC即可解答，

根據定義，Cm8=1,可得底邊與腰相等，所以這個等腰三角形是等邊三角形，從而得/

8=60°；

(2)根據定義，想利用等腰三角形的三線合一性質，想到過點A作AC3C,垂足為。，

canB=^~,所以設BC=Sx,AB=Sx,然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用SA

5

ABC=48,列出關于犬的方程即可解答.

【解答】解：(1)如圖：過點4作4O_LBC,垂足為O,

:?BC=2BD,

VZB=30o,

.,.BD=ABcos30o==AB,

2

,BC=2BD=MAB,

Λran30o=BC=V3AB

ABAB

若ca∕ιB=I,

.?canB=^-=lf

AB

；?BC=AB,

?uAB=AC,

：.AB=BC=AC,

???ZvlBC是等邊三角形，

ΛZB=60o,

故答案為：√3,60；

(2)過點A作AOJ_8C,垂足為

.BC_8

??,，

AB5

二設8C=8x,AB=5x,

;AB=AC,ADLBC,

?*?BD=?BC=4x,

2

?'?AZ)=JAB2-BD2=3X,

?；SAABC=48,

.?-BC?AD=4S,

2

.□?8x?3x=48,

2

?*?x2-4,

.?.x=±2(負值舍去),

??x=2,

ΛAB=AC=10,BC=16,

ZXABC的周長為36,

答：BC的周長為36.

【例2】(2022?柯城區校級三模)定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這個

三角形為''標準三角形”.如：??AfiC,SLAB于點。，AB=CD,則4ABC為標準

三角形.

【概念感知】

判斷：對的打“√”，錯的打“X

(1)等腰直角三角形是標準三角形.J

(2)頂角為30°的等腰三角形是標準三角形.X

【概念理解】

若一個等腰三角形為標準三角形，則此三角形的三邊長之比為1：1：√?√ξ:√ξ:

2.

【概念應用】

(1)如圖，若4ABC為標準三角形，C￡)_LAB于點O,AB=CC=I,求C4+C8的最小值.

(2)若一個標準三角形的其中一邊是另一邊的遙倍，求最小角的正弦值.

【分析】【概念感知】(1)根據等腰直角三角形的兩條直角邊互相垂直且相等，即可判斷；

(2)作出圖形，分別對?底邊上的高和腰匕的高進行討論，即可求解；

【概念理解】當AABC是等腰直角三角形時，AC：AB：BC=I:1：√2;當aABC是等

腰三角形，AB=AC,AELBC,AE=BC,設BE=x,貝IJAE=2x,求出AB=遙X，則A8：

AC：BC—y/s???：2；

【概念應用】(1)過C點作AB的平行線，作4點關于該平行線的對稱點4,連接A'B,

當A?B、C三點共線時，AC+BC=A'B,此時AC+8C的值最小，求出48即可；

(2)分兩種情況討論：①當AC=FAB時，AC=爬CD,過點B作BE,AC交于E,設

CD=AB^a,則AC=√5∏.由等積法求出BE=^-a,用勾股定理分別求出AD=Ia,

5

BD=a,BC=42a,則可求SinN②當BC=收48時，BC=爬Dc過點

8作8￡J_AC交于E,設CO=A8=",貝IJBC=遙〃，由勾股定理分別求出8。=2“，AD

=3a,AC=?∏?a,再由等積法求出BE=逅>“，即可求sinN8CE=亞.

1010

【解答】解：【概念感知】

(I)如圖1：等腰直角三角形A8C中，ABLAC,

"."AB=AC,

.?.等腰直角三角形是標準三角形，

故答案為：J;

(2)如圖2,在等腰三角形ABC中，ZBAC=30o,AB=AC,CDA.AB,

VZΛ=30o,

ΛCD=-i-AC,

2

'：CA=AB,

：.CD=-AB,

2

,△ABC不是標準三角形；

如圖3,在等腰三角形A8C中，∕8AC=30",AB=AC,AElBC,

此時AE>βC,

,△ABC不是標準三角形；

故答案為：X；

【概念理解】

如圖I,當448C是等腰直角三角形時，AC：AB,BC=I:1：√2;

如圖4,當aABC是等腰三角形，AB=AC,AELBC,AE=BC,

：.BE=EC^—BC^—AE,

22

設BE=x,則AE=2r,

在RtZ?A8E中，ΛB=√5x,

：.AB：AC：BC=√5:√5:2；

故答案為：1：1：√E或代：√5:2；

【概念應用】

(1)如圖5,過C點作A8的平行線，作A點關于該平行線的對稱點A,連接48,

當A、B、C三點共線時，AC+BC^A,B,此時4C+8C的值最小，

'JAB=CD=?,

：.AA'=2,

在RtZ?ABA'中，4'B=√5.

."C+BC的最小值為遙；

(2)在AABC中，AB=CD,ABLCD,

.'.AC>CD,BC>CD,

.'.AC>AB,BOAB,

...△ABC的最小角為/AC8,

①如圖6,當AC=√^AB時，AC=√5CD,

過點8作LAC交于E,

設CO=AB="，則AC=√^”,

"."SΛABC=-×AB×CD=-×AC×BE,

22

.-√5

..BDEJ7-------a,

5

在RtAiACD中，AD=2a,

λBD=AD-AB—a,

在RtZXBCO中，BC=√2fl.

在RtZYBCE中，SinNBCE=Y^?:

10

②如圖7,當BC=√^AB時，BC=爬DC,

過點8作BELAC交于E,

設CD=AB=a,則BC=娓a,

在RtCf)中，BD=2a,

.?.A0=3α,

在RtAACD中，AC=yJ-L0a,

?"SΛABC~×AB×CD^-×AC×BE,

22

E=

10

在RtAJSCE中，sin/BCE=-；

10

綜上所述：最小角的正弦值為啤或變■.

1010

E

圖4

A

圖3

圖2

[例3](2020?五華區校級三模)愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關系查閱資料時，發

現了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形如圖(1)、圖(2)、

圖(3)中，AM.BN是ABC的中線，AMLBN于點P,像ABC這樣的三角形均為“中垂三

角形設BC=4,AC—b,AB—c.

【特例探究】

(1)如圖1,當∕%B=45°,c=4?歷時，a=4√5,?≈4√5；如圖2,當N∕?8

=30°,c?=2時，a2+b2=20；

【歸納證明】

(2)請你觀察(1)中的計算結果，猜想“2、序、J三者之間的關系，用等式表示出來，并利

用圖3證明你的結論.

【拓展證明】

(3)如圖4,在IjIABC。中，E、尸分別是A。、BC的三等分點，且AO=3AE,BC=3BF,

連接AF、BE、CE,且BE_LCE于E,AF與BE相交點G,Ao=3遙，AB=3,求AF

的長.

C.

CC

【分析】(1)根據等腰直角三角形的性質分別求出PA.PB,根據三角形中位線定理得到

MN//AB,根據相似三角形的性質分別求出PM、PN,根據勾股定理計算即可；

(2)連接MN,設PN=x,PM=y,利用勾股定理分別用x、y表示出a、b、c,得到答案；

(3)取AB的中點H,連接F”并延長交DA的延長線于點P,證明AABF為'中垂三角形”，

根據(2)中結論計算即可.

【解答】解：(1)在RI中，Z∕?B=45o,c=√2,

貝IJPA=PB=^-=-c~^,

2

???M、N分別為CB、CA的中點，

：.MNwAB=2五,MN//AB,

：.∕?APB^∕?MPN,

?PN=PM=,≡=1

"?^PAAB^2,

：.PM=PN=2,

BM=JPB2+pM=2Vδ>

Λa=2BM=4√5,

同理：b=2AN=4yfs,

如圖2,連接MM

在RtZ?4PB中，/∕?B=30°,c=2,

：.PB=—c=\,

2

?,?PA=Vc2-PB2=√3，

：.PN=—,PM=近，

22

與'

BM=NPB2+PM=A∕V=√PA2+PN2=2∩1,

."=V7,?=V13,

，cΓ+b1=20,

故答案為：4√5:4√5;20；

(2)β2+?2=5c2,

理由如下：如圖3,連接MM

設PN=x,PM=y,

則尸8=2PN=2x,PA=IPM=Iy,

222222

BM=√PB2+PH2=√4χ+y,^=√PA+PN=√x+4y,

22

Λα=2√4x+y-?=2√χ2+4y2,

；?d2+?2=20(X2+J2),

*/C2=∕?2+Pθ2=4(x2+γ2),

Λa2÷fe2=5c2;

(3)取A3的中點”，連接/7;并延長交OA的延長線于點尸，

;四邊形ABCD為平行四邊形，

.?AD/∕BCfAD=BCf

XAHPSXBHF,

?AP_AH一

-BF^BH^1,

：.AP=BF.

9

?AD=3AEfBC=3BF,AD=3娓,

：?AE=BF=病,

：.PE=FC,

???四邊形PFCE為平行四邊形，

*：BE.LCE9

：.BG工FH,

?：AE〃BF,AE=BFf

：.AG=GF,

尸為“中垂三角形”，

ΛAθ2+AF2=5BF2,即32+4產=5*(。?2,

C

N2

AB

圖2

【例4】(2020?岳麓區校級二模)定義：在AABC中，若有兩條中線互相垂直，則稱^A8C

為中垂三角形,并且把AB2+BC2+CA2叫做XABC的方周長,記作L,即L=AB2+BC2+CA2.

⑴如圖1,已知AABC是中垂三角形，BZ),AE分別是AC,BC邊上的中線，若AC=BC,

求證：aAOB是等腰直角三角形；

(2)如圖2,在中垂三角形ABC中，AE,8。分別是邊BC,4C上的中線，且BD于

點O,試探究AABC的方周長L與4解之間的數量關系，并加以證明；

⑶如圖3,已知拋物線y=§ax2」ax-2a與X軸正半軸相交于點A，與〉軸相交于點

164

B,經過點8的直線與該拋物線相交于點C,與X軸負半軸相交于點D,且BO=CD,連

接AC交y軸于點E.

①求證：AABC是中垂三角形;

②若AABC為直角三角形，求AABC的方周長L的值.

圖2

【分析】⑴先利用“SAS"證明ABAD絲Z?48E,然后根據^A8C是中垂三角形即可證明；

⑵先判斷出AC=2AQ,BC=2BE,再利用勾股定理，即可得出結論；

(3)①利用二次函數先求出點B、點、A和點C的坐標，然后根據點A和點C的坐標確定E

是AC的中點，最后根據中垂三角形的定義即可證明；

②先由點A(4,0),8(0,-2a),C(-4,2。)的坐標得到MB=工0,kAc=--a,kβc=-

24

”,然后分情況討論即可求解；或結合射影定理分情況討論進行求解即可.

【解答】(1)證明：AC=BC,BD,AE分別是AC,8C邊上的中線，

.,.AD=BE,ZBAD=ZABE,

：.?BAD^Δ,ABE(SAS),

.?.NABD=NBAE,

JOA=OB.

：AABC是中垂三角形，且AC=BC,

ΛZΛC>B=90o,

.?.AAOB是等腰直角三角形.

(2)Δ=6AB2.

證明：如圖，連接

'：AE,84分別是邊8C,4C上的中線，

：.AC^2AD,BC=2BE,DE=-AB,

2

ΛAC2=4AD2,8C2=48E2,DE^^-AB1.

4

在RtZ?4OD中，AD2=OA2+θb2,

在RtZ?8OE中，BE1=OB1+OE1,

：.AC2+BC2=4(AD2+BE2)

=4(OA2+OD2+OB2+OE2)

^4(AB2+DE2)

=4(AB2-^~AB2)

5AB2,

.?L=AB2+AC2+BC2^AB2+5AB2=64B2.

(3)①證明：在y=-^~aχ2~^aχ-2a中,當X=O時，y=-2α,

164

點、8(0,-2a).

y=0時，-^-aχ2--γaχ-2a=0>

164

整理得3x2-4x-32=0,

解得xι=-g?(舍)，X2=4,

3

點A(4,0).

,CBD=CD,

yc=-ye—2a,

將y=2α代人?aχ2=aχ-2a)

164

解得Xl=號■(舍)，M=-4,

.?.C(-4,2a).

由點4(4,0),C(-4,2α)可知，E是AC的中點.

又YBD=CD,

：.AD,BE都是AABC的中線.

又：NAOB=90°,

.,.AD±BE,

...△48C是中垂三角形.

②解法一：由點4(4,0),8(0,-2a),C(-4,2。)可得以B=2?α,kAc=-?a-Oc=-

24

VZC<ZAOB,

：.ZC≠90o.

當NABC=90°時，kAB*kBC=-L

解得“=√5(負值舍去)，

點8(0,-2√2)-

ΛI=6AB2=6×24=I44.

當N8AC=90°時?，kAB?kcA=-1，

解得a=2√5(負值舍去)，

.?.點B(0,-4√2).

.,.Δ=6Λβ2=6×48=288.

綜上所述，的方周長L的值為144或288.

解法二：由點A(4,0),8(0,-2d),C(-4,2a),

；點。是8C的中點，點E是AC的中點，

.?.點。(-2,O),E(O,a).

"：ZC<ZAOB,

ΛZC≠90o.

當NABC=90°時，在4A8A)中，由射影定理得。解=。4.。。，

.".4a1=8,解得α=J5(負值舍去)，

二點B(0,-2√2).

ΛZ,=6Λβ2=6×24=l44.

當N8AC=90°時,，在AABE中，由射影定理得。A2=。".。，

?6=2cr,解得O=2Λ∕5(負值舍去)，

點8(0,-4√2).

ΛL=6AB2=6×48=288.

綜上所述，XABC的方周長L的值為144或288.

【例5】(2020?安徽模擬)通過學習銳角三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大

小與兩條邊長的比值是一一對應的，因此，兩條邊長的比值與角的大小之間可以相互轉

化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系.我們定義：等腰三角形中底邊

與腰的比叫做底角的鄰對(ca〃)，如圖⑴在BC中，AB=AC,底角B的鄰對記作CanB,

這時s"B=i?整，容易知道一個角的大小與這個角的鄰對值也是一一對應的.根

腰AB

據上述角的鄰對的定義，解下列問題：

⑴ca〃30°=_V3_;

(2)如圖(2),已知在AABC中，AB=AC,canB^—,SAASC=24,求AABC的周長.

5

【分析】(1)過點A作BC于點。，根據/8=30°,可得出8。=號A8,結合等腰

三角形的性質可得出BC=MAB,繼而得出canB；

(2)過點A作AELBC于點E,根據CanB=里,設BC=Sx,AB=5x,再由S.MBC=24,

5

可得出X的值，繼而求出周長.

【解答】解:≡(2)

(1)過點4作40,BC于點Q,

VZB=30o,

BD=^-AB,

2

YZVlBC是等腰三角形，

,BC=2BD=MAB,

故CGT30°=—=√3;

AB

(2)過點A作AElBC于點E,

,

..ΛE=√AB2.BE2=3X,

,?SΔΛ6C=24'

.?.LcχAE=12)=24,

2

解得：X=近,

故AB=AC=5&,βC=8√2,

從而可得aABC的周長為18√2?

滿分訓練.

一.解答題（共20題）

1.（2022秋?如皋市期中）定義:一個內角等于另一個內角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”.

（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③（只填寫序號）.

①頂角是30°的等腰三角形：

②等腰直角三角形；

③有一個角是30°的直角三角形.

(2)如圖1,在AABC中,AB=AC,NBAC290°,將AABC沿邊AB所在的直線翻折180°

得至IJAABO,延長D4到點E,連接BE.

①若BC=BE,求證：AABE是“倍角三角形”；

②點P在線段AE上，連接3P.若∕C=30°,BP分AABE所得的兩三角形中，一個是

等腰三角形，一個是“倍角三角形”，請直接寫出/E的度數.

【分析】(1)利用“倍角三角形”的定義依次判斷可求解；

(2)①由折疊的性質和等腰三角形的性質可求∕8AE=2∕AD8,由等腰三角形的性質可得

NBDE=NE,可得結論；

②分兩種情況討論，由三角形內角和定理和“倍角三角形”的定義可求解.

【解答】(1)解：若頂角是30°的等腰三角形，

兩個底角分別為75°,75°,

：?頂角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，

若等腰直角三角形，

三個角分別為45°,45°,90°,

V90°=2X45°,

；?等腰直角三角形是“倍角三角形”，

若有一個是30°的直角三角形，

.?.另兩個角分別為60°,90°,

V60°=2X30°,

,有一個30°的直角三角形是“倍角三角形”，

故答案為：②③；

(2)①證明：；48=AC,

ZABC=NACB,

；將aABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到AABD,

：.NABC=NABD,ZACB=ZADB,BC=BD,

ZBAE=2ZADB,

;BE=BC,

J.BD=BE,

；.NE=NADB,

：.NBAE=2NE,

.,.?ABE?“倍角三角形”；

②解：由①可得NBAE=2N8D4=2NC=60°,

如圖，

若AABP是等腰三角形，則42PE是“倍角三角形”，

.'.△AB尸是等邊三角形，

ΛZΛPB=60o,

NBPE=120°,

,：ABPE是“倍角三角形”，

.?.NBEP=2/EBP或NPBE=2NBEP,

ΛZBEP=20o或40°；

若43PE是等腰三角形，則AABP是“倍角三角形”，

ΛZABP=-ZBAP=30o或NAPB=工Na4E=30°或/482=2/428或/4/>8=2/

22

ABP,

：.ZAPB=90a或30°或40°或80°,

.?.N3PE=90°或150°或140°或100。，

???△8PE是等腰三角形，

；.∕BEP=45°或15°或20°或40°,

綜上所述：NBPE的度數為45°或15°或20°或40°.

2.（2022秋?義烏市校級月考）【概念認識】如圖①所示，在NABC中，若NABD=NDBE

=NEBC,貝U80,BE叫做/A8C的“三分線”，其中，80是“鄰AB三分線“，BE是

“鄰BC三分線

【問題解決】（1）如圖②所示.在AABC中.∕A=80°,NABC=45°.若/ABC的三

分線8。交AC于點λλ求NBDC的度數.

（2）如圖③所示，在aABC中.BP,CP分別是NABC的鄰BC三分線和/ACB的鄰BC

三分線，且/BPC=140°.求/A的度數.

【延伸推廣】（3）在中，/ACD是AABC的外角，NA8C的三分線所在的直線與

NAC。的三分線所在的直線交于點P,若NA=%°（機＞54）,ZABC=54°.求出NBPC

的度數.（用含〃?的式子表示）

【分析】（1）分BD是鄰AB的三分線和BD是鄰BC的三分線兩種情況解答即可；

（2）由NBPC=I40°,得NPBC+NPCB=40°,故工NABC+?/AeB=40°,可得NABC+

33

ZACB=120°,從而∕A=60°；

(3)分四種情況分別解答即可.

【解答】解：(1)當8。是“鄰AB三分線”時，ZABD=-ZABC=15°,

3

則NBOC=NABO+NA=15°+80°=95°,

當BD'是“鄰BC三分線”時，NABD'=2∕A8C=30°,

3

則∕BD'C=NABD'+NA=30°+80°=110°,

綜上所述，NBDC的度數為95°或110°；

(2)VZfiPC=MOo,

：.NPBC+NPCB=40°,

,：BP,CP分別是NABC的鄰BC三分線和/ACB的鄰BC三分線，

：.ZPBC^-ZABC,NPCB=工NACB,

33

.".-ZABC+-ZACB=40a,

33

ΛZΛβC+ZACS=120°,

ΛZA=60o；

(3)如圖：

VZA=m°,NABC=54°,

ΛZACD=(w+54)°,

①當BP是鄰AB的三等分線，AP是鄰AC的二等分線時，

ZPBC=ZZABC=36o,ZPCD=-ZACD=(^-m+36Y,

333

9

ZBPC=ZPCD-ZPBC=-mo；

3

②當8P是鄰AB的三等分線，4P是鄰CO的三等分線時，

911

ZPBC=-ZABC=36o，ZPCD=-ZACD=(^m+lS)°,

333

ZBPC=ZPCD-ZPBC=(‰-18)°；

③當8P是鄰8C的三等分線，AP是鄰AC的三等分線時，

19O

ZPBC=-ZABC=↑So,NPeD=三NACD=(旦m+36)°,

333

9

ΛZBPC=ZPCD-ZraC=(-≤-∕π+18)°；

3

④當8P是鄰BC的三等分線，AP是鄰CD的三等分線時，

/PBC=工NABC=18°，ZPCD=-ZACD=(-m+?SY,

333

.,.NBPC=NPCD-NPBC=L/；

3

3.（2022春?石嘴山校級期末）［問題情境］

我們知道：在平面直角坐標系中有不重合的兩點A(Xl,yι)和點8(x2，)2)，若Xl=X2，則

A8〃y軸，且線段AB的長度為惘-)'2∣;若?="，則A8〃X軸，且線段AB的長度為團

［拓展］

現在，若規定：平面直角坐標系中任意不重合的兩點"5,yi)、N(X2,>2)之間的折線距

離為d(M,N)=E-X2∣+lyι-”∣?例如：圖中，點M-I，1)與點ML-2).

之間的折線距離d(M,N)=I-I-1∣+∣1-(-2)|=2+3=5,

［應用］

解決下列問題：

(1)已知點E(3,2),點F(l.-2),求d(E,用的值；

(2)已知點E(3,1),H(-l,"),若d(E,4)=6,求〃的值；

(3)已知點P(3,4),點。在)，軸上，。為坐標系原點，且AOPQ的面積是4.5,求d(P,

Q)的值.

y」卜

Γ■Γ-Γ■Γ一-Γ■Γ■Γ■I-一

IIIIIIII

Γ■Γ■Γ■I-----―Γ■Γ■π■I-一

IIIIIIII

Γ-Γ-Γ■Γ一π■Γ■Γ-I--

IIIIIIII

「■Γ-Γ■Γ一-F■Γ■Γ■I-----

IIIIIIII

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III二IIII

26-住1

【分析】(1)根據折線距離為d(M,M=E-MI+M-”1計算即可;

(2)根據折線距離為或M,/V)=kι-χ2?+?yι-y2?,構建方程求解即可；

(3)設。(0,"?),利用三角形的面積公式求出加的值，再根據折線距離為4(M,M=g-

χ2l+M-y2l計算即可求解.

【解答】解：(I)Y點E(3,2),點尸(1,-2),

：.d(E,F)=∣3-l∣+∣2-(-2)∣=6i

(2)VE(3,1),H(-?,n),d(E,”)=6,

：.d(E,H)=∣3-(-1)∣+∣1-n∣=6,

解得：n=-1或3；

(3)如圖,設0(0,m).

由題意，-^-?∣w∣?2=4.5,

解得MJ=±3,

Λβ(0,3)或(0,-3),

當Q(0,3)時，d(P,(2)=∣3-0∣+∣4-3|=4,

當0(0,-3)時，d[P,β)=∣3-0∣+∣4-(-3)∣=10,

：.d[P,Q)=4或10.

4.(2022春?鎮江期末)定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，我們稱這

兩個角互為“開心角”，這個三角形叫做“開心三角形”.例如：在AABC中，∕A=70°,

ZB=35o,則NA與NB互為“開心角”，Z?ABC為“開心三角形”.

【理解】

⑴若aABC為開心三角形，ZA=144°,則這個三角形中最小的內角為12°；

(2)若AABC為開心三角形，NA=70°,則這個三角形中最小的內角為35或羋°；

(3)己知NA是開心AABC中最小的內角，并且是其中的一個開心角，試確定/A的取值

范圍，并說明理由；

【應用】

如圖，AQ平分AABC的內角NB4C,交Be于點E,CO平分AABC的外角/BCR延

長BA和OC交于點P,已知NP=30°,若NBAE是開心aABE中的一個開心角，設N

BAE=Za,求∕α的度數.

P

【分析】(1)設最小角為α,由題意可得a+2a==36°,求出a即為所求；

(2)當NA是“開心角”,則最小角為35°；當NA不是“開心角”,設最小角為a,a+2a

=IlOo,a=(J?o；

3

(3)三角形另一個開心角是2NA,第三個內角是180°-3NA,再由NAW180°-3/4

可得乙4W45°；

【應用】由題意可得N∕?C=180°-2Za,設NPcA=x,則x=2Na-30°,NAEB=

240°-3Za,NABE=2Na-60°,分兩種情況討論：①當/B4E與/ABE互為開心角

時，∕B4E=工NABE或∕BAE=2∕A3E,求得∕a=40°；②當NBAE與/4E8互為

2

開心角，∕BAE=L∕AE8或NBAE=2∕4E8(舍)，求得∕a=48°.

2

【解答】解：(1)設最小角為a,

:△ABC為開心三角形，/A=144°,

Λa+2a=180o-144°=36°,

.?.a=12°,

故答案為：12；

(2)當NA是“開心角”，則最小角為35°；

當N4不是“開心角”，設最小角為a,

.?.a+2a=180°-70t,=110°,

故答案為：35或3；

3

(3)NA是開心aABC中最小的內角，并且是其中的一個開心角,

另一個開心角是2/A,

.?.第三個內角是180°-3ZA,

VZΛ是最小內角，

ΛZA≤180o-3ZA,

ΛZA≤45o；

【應用】

VAD平分AABC的內角/84C,

CAE=/BAE=∕α,

ΛZB4C=180o-2Zα,

設NPCA=X,

VCD平分4ABC的外角ZDCF,

"BCD=NCDF=X,

：.ZACB=180o-Zr,

VZP=30°,

Λ180o-2Na+x=150°,

Λx=2Za-30°,

ΛZAEB=Za+1800-2x=240°-3Za,

ΛZΛBE=180o-Za-(240o-3Za)=2Za-60°.

①當/54E與NABE互為開心角時，

ZBAE=—NABE或NBAE=2NABE,

2

ΛZa=?Za-60°)或∕a=2(2Na-60。),

2

解得Na=40°；

②當NBAE與/AE8互為開心角，

ZBAE=-ZAEB或NBAE=2NAEB,

2

,/NAEB=ZEAC+ZACE,NEAC=NBAE,

，NBAE=2NAEB舍去，

.?.Na=?∣?(240°-3Za),

解得Na=48°,

綜上所述：40°或48°.

5.(2022春?崇川區期末)定義：如果三角形的兩個內角a與B滿足a+2β=100°,那么我

們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”.

(1)如圖1,Z?ABC中，NACB=80°,BD平分NABC.

求證：AABO為“奇妙三角形”

(2)若AABC為“奇妙三角形"，且∕C=80°.求證：ZVlBC是直角三角形；

(3)如圖2,AABC中，BO平分NABC,若aABO為“奇妙三角形"，且NA=40°,直

接寫出/C的度數.

AA

圖1圖2

【分析】(1)根據“奇妙三角形”的定義，在4A8∕)中，ZΛ+2ZΛBD=100o,即證明△

ABO為“奇妙三角形”.

(2)由三角形的內角和知，A+∕8=100°,由aABC為“奇妙三角形”得出∕C+2N8=

IOOo或NC+2NA=100°兩種情況，計算得/8=90°或NA=90°,從而證明AABC是

直角三角形.

(3)由三角形的內角和知，ΛADB+ZABD=\40,由為"奇妙三角形得出/A+2N

ABD=IOOo或2∕A+∕A8O=IO0°兩種情況，求得∕C=80°或100°.

【解答】⑴證明：平分NABC,

：.AABC=2AABD.

在C中，VZACB=80°,

ΛZA+ZABC=180o-ZACB=180°-80°=100°,

即∕A+2NA84=100°,

.?.△ABO為“奇妙三角形”.

(2)證明：在BC中，VZC=80o,ΛZA+ZB=IOOo,

'.,△ABC為“奇妙三角形”,ΛZC+2ZB=100o或∕C+2NA=100°,

ΛZB=10°或/4=10°,

當/B=10°時，NA=90°,ZvlBC是直角三角形.

當NA=I0°時，/8=90°,Z?A8C是直角三角形.

由此證得，AABC是直角三角形.

(3)解：YB。平分NABC,

：.ZABC=2ZABD,

:△AB。為“奇妙三角形”，

ΛZA+2ZΛβD=100o2ZA+ZABD-IOOo,

①當NA+2NABO=100°時,，NA80=(100°-40o)÷2=30o,

：.AABC=IAABD=Wa,

ΛZC=80o；

②當2∕A+∕A80=100°時，ZΛBD=100°-2/4=20°,

.?.∕A8C=2NA8O=40°,

ΛZC=100°；

綜上得出：NC的度數為80°或100°.

6.(2022春?亭湖區校級月考)定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段

的積等于這個點到這邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖

1,Z?A8C中，點。是BC邊上一點，連接AO,若AZ)2=Bf)?CZλ則稱點。是AABC

中BC邊上的“好點

(1)如圖2,AABC的頂點是4X3網格圖的格點，請僅用直尺畫出(或在圖中直接描出)A8

邊上的所有“好點”點。；

(2QA8C中，BC=I,tanB=3,tanC=l,點。是BC邊上的“好點”，求線段8。的

4

長；

(3)如圖3,AABC是。。的內接三角形，點”在AB上，連結C”并延長交Oo于點D.若

點H是ABCD中CD邊上的“好點

①求證：OHLAB；

②若OH〃BD,。。的半徑為廠，且r=3OH,求里的值.

DH

可得答案；

(2)作4E_LBC,解斜AABC,設8C=”,根據Co列方程求得;

(3)①由4AC4SZ?O8”得，CH?HD=AH?BH,結合B戌=CH?HD,得證：

②先確定AO是直徑，然后求出A，、BH、BD、BH.CH,從而求出比值.

【解答】解：(1)如圖1.

B

圖1

斜邊AB的中點。與斜邊AB上的高CC的垂足D均為A8邊長的“好點”.

(2)如圖2,

圖2

作AEA.BC于E,

在RtZXA8E中，tan/?=—=Λ,

BE4

設AE=34,BE=4a,

：.CE=AE=3a,

：?3a+44=7,

?二〃=1,

：.AE=CE=3,BE=4,

.?.∕W=5,

設BD=x,

.?DE=?4-x?f

在Rt△4￡>￡中，由勾股定理得,

AD2=Df2+AE2=(4-X)2+32,

；點。是BC邊上的“好點”，

ΛAD2=BD?CD=Λ?(7-x),

Λx?(7-x)=(4-X)2+32,

?.?X?—5,X2-_--5--,

2

即BD=5或5.

2

（3）如圖3,

圖3

①證明：：點”是ABCO中Cf）邊上的“好點”，

.?βH2=CH?HD,

'：ZCAB^ZCBD,ZACD^ZABD,

：.LACHSXDBH,

.CHBH

AHDH

.".CH?HD=AH?BH,

：.BH?=AH*BH,

.,.AH=BH,

：.OHLAB-.

②連接A。，

設OH=a,則04=3。，

由①知，OHLAB,

又10H"BD,

：.BDLAB,

ΛZABD=90o,

,A/）是。。的直徑，

.,.0A=0D=3a,

在RtZ∑4OH中，由勾股定理得，

AH=2^2a，

；AH=BH=OA=OD,

.'.BD=2a,

在RtZYBOH中，由勾股定理得，

QH=YBH2+BD2=2V3a，

由B"2=C7∕?D”得：（為歷a）2=CH?（2百a），

4

.CH=√?&J

?,麗=2√§aT

7.(2021秋?如皋市期末)【了解概念】

定義：如果一個三角形一邊上的中線等于這個三角形其中一邊的一半，則稱這個三角形

為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線.

【理解運用】

(1)如圖1,在BC中，AB=AC,NBAC=120°,試判斷AABC是否為半線三角形，

并說明理由；

【拓展提升】

(2)如圖2,在aABC中，AB=AC,。為BC的中點，M為448C外一點，連接MB,MC,

若AABC和AMBC均為半線三角形，且AO和MO分別為這兩個三角形BC邊的半線，

求/AMC的度數；

(3)在(2)的條件下，若MO=?∣?,AM=I,直接寫出BM的長.

【分析】(1)根據半線三角形的定義進行判斷即可；

(2)過點A作4V_LAM交MC于點N,可證明4M42絲ZlJVAC,則AM=AV,所以三角形

MAN是等腰直角三角形，由此可解答；

(3)在(2)的基礎上可知，MB=NC,AM=AN=1,在Rt?Λ∕BC中，由勾股定理可得，

MB2+MC2^BC2,由此可得MB的長.

【解答】解：(I)AABC是半線三角形，理由如下：

取Be得中點ZX連接AZ),

?.?A8=4C,點。為BC的中點,

.,.AD±BC,

"：AB=AC,ZBAC=UOo,

ΛZB=ZC≈30°,

在RtZ?A8O中，ZB=30o,

.?AD=-^AB,

2

.?.△ABC是半線三角形.

(2)過點A作AN_LAM交MC于點N,如圖,

MD=