2023屆高考數學一輪復習收官卷（一）（上海市）

一、填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）

1.（2022.上海市光明中學模擬預測）已知集合A=｛1,3,5,7,9｝,B=｛x∈Z∣2≤x≤5｝,則AB=

2.（2022?上海?模擬預測）若冊是二項式（l+x）"展開式/的系數，則IimJ-++—]=

3.（2022?上海徐匯?二模）圓Cιχ2+）2-2x-4y+4=0的圓心到直線；：3x+4y+4=0的距離d=

4.（2022?上海虹口?二模）函數y=sinx+cosx的最小正周期為.

5.（2022.上海交大附中模擬預測）函數〃x）=2'+/（a∈R）為奇函數，貝IJa=.

6.（2022?上海徐匯?三模）設圓錐底面圓周上兩點A、B間的距離為2,圓錐頂點到直線A8的距離為6,

AB和圓錐的軸的距離為1,則該圓錐的側面積為.

7.（2022?上海?模擬預測）若函數y=/（x）的值域是己,3],則函數F（X）=/（2x+l）+I八的值域是

2/（2x+l）

8.（2022?上海靜安?模擬預測）已知等差數列｛%｝中，見=?,設函數/(x)=14cos￡-2)sinx+cos2x+2

O

記”="%）,則數列｛yn｝的前9項和為.

9.（2022?上海市七寶中學模擬預測）給定曲線族2（2Sine-COSe+3）/一（8SinO+cos6+l）y=0,。為參數,

則這些曲線在直線y=2x上所截得的弦長的最大值是

10.（2022?上海?高三專題練習）已知橢圓I+y2=i（α>0）的焦點的、F,,拋物線產=2川的焦點為F,

a

^FtF=3FF2,若z≥∕-p2恒成立，則Z的取值范圍為；

11.（2022?上海?高三專題練習）已知數列｛4｝、物,｝的通項公式分別是%=3","=4〃+3,把數列｛6｝、

也｝的公共項從小到大排列成新數列｛?,｝,那么數列｛cn｝的第?項是也｝中的第項

12.（2022?上海?華師大二附中模擬預測）已知非零平面向量4",右滿足k-24,且（"少僅-￡?）=-1,

TTTT

若α與人的夾角為凡且6ep-,則C的模取值范圍是.

二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.（2022?上海松江?二模）下列函數中，與函數y=χ3的奇偶性和單調性都一致的函數是（）

A.y=x2B.y=x+sinx

C.y=2∣*D.y=Ianx

14.（2022?上海?高三專題練習）（1-奴）2（l+x）6的展開式中，丁項的系數為T6,則實數。的值為（）

A.2B.3C.-2D.2或3

15.（2022?上海市光明中學模擬預測）已知不等式"Ca2+fer+c<o（"Hθ）有實數解.結論（1）：設“χ2

hc

是。的兩個解，則對于任意的芭，X2,不等式不+々<-士和上恒成立；結論（2）：設X（I是2的一

aa

個解，若總存在與，使得α√-如,+c<0,則c<0,下列說法正確的是（）

A.結論①、②都成立B.結論①、②都不成立

C.結論①成立，結論②不成立D.結論①不成立，結論②成立

16.（2022?上海?高三專題練習）關于X的實系數方程V—4x+5=0和犬+2儂+機=0有四個不同的根，

若這四個根在復平面上對應的點共圓，則〃?的取值范圍是（）

A.{5}B.{-l}C.（0,1）D.（0,1）{-1}

三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）

17.（2022?上海長寧?二模）在ΛBC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.

⑴若sin?A=sin2B÷sin2C+sinBsinC,求A

（2）若C=60。，ABC的面積S=√L求ABC外接圓半徑R的最小值.

18.（2022?上海?高三專題練習）已知點石、工為雙曲線C-春?=l（b>0）的左、右焦點，過K作垂直于

X軸的直線，在X軸的上方交雙曲線C于點M,且NMKg=30。.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為不序求Pq?PE的值.

19.（2022.上海交大附中高三期中）“跳臺滑雪”是冬奧會中的一個比賽項目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞

性和挑戰性極強.如圖：一個運動員從起滑門點A出發，沿著助滑道曲線/（x）=-√?二7（->≤x≤0）滑到

臺端點B起跳，然后在空中沿拋物線g（x）=ax2-20ax-b（x>0）飛行一段時間后在點C著陸，線段BC的長

度稱作運動員的飛行距離，計入最終成績.已知g(x)="2-20以-匕在區間［0,30］上的最大值為-30,最

小值為-70.

(1)求實數“，的值及助滑道曲線A8的長度.

(2)若運動員某次比賽中著陸點C與起滑門點A的高度差為120米,求他的飛行距離(精確到米，括。2.236).

20.(2022?上海?二模)如圖，在四棱錐P-ABC。中，Λ4，平面48CO,AD±CD,ADUBC,PA=AD=

PF1

CD=2,BC=3.E為尸。的中點，點尸在PC上，且正=§.

⑴求證：COJ_平面P4D；

⑵求二面角F-AE-P的余弦值；

9c

21.(2022?上海市進才中學高三期中)已知數列｛a,J的前”項和為5“，滿足：?=??+l(n∈N*).

⑴求證：數列｛%｝為等差數列；

⑵若4=3,數歹J｛2｝滿足仿=4也=4Tlgd+lg%2=2IgaM(〃eN*),記工,為低｝的前〃項和，求證:

Tn,&2<%；

（6"-7）W〃為奇數?

⑶在（2）的前提下，記C,,=anan+2',數列{?,}的前2〃項和為若不等式（-1）=+矣石＜

Jog2〃+”〃為偶數

對一切恒成立，求2的取值范圍.

2023屆高考數學一輪復習收官卷（一）（上海市）

一、填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）

1.（2022?上海市光明中學模擬預測）己知集合A={1,3,5,7,9},B={x∈Z∣2≤x≤5},則AB=

【答案】｛3,5｝

(11)

2.(2022?上海?模擬預測)若明是二項式(1+Λ?)"展開式/的系數，則Iim—++—=______

Ta2aJ

【答案】2

3.(2022?上海徐匯?二模)圓C:/+/-2*-4>+4=0的圓心至I『直線/：3x+4y+4=0的距離d=

【答案】3

4.(2022?上海虹口?二模)函數y=sinx+cosx的最小正周期為.

【答案】2-

5.(2022?上海交大附中模擬預測)函數J.(x)=2'+/CaeR)為奇函數，貝IJa=.

【答案】T

6.(2022.上海徐匯?三模)設圓錐底面圓周上兩點A、8間的距離為2,圓錐頂點到直線A3的距離為6,

AB和圓錐的軸的距離為1,則該圓錐的側面積為.

【答案】2√2Λ-

7.(2022?上海?模擬預測)若函數y=∕(x)的值域是心刃，則函數尸(x)=∕(2x+l)+773;的值域是

2./(2x+l)

8.(2022?上海靜安?模擬預測)已知等差數列｛4｝中，6號，設函數〃x)=(4cos￡-2卜nx+cos2x+2,

記Λ=/(?),則數列｛%｝的前9項和為.

【答案】18

9.(2022?上海市七寶中學模擬預測)給定曲線族2(2sin6?-CoS6?+3)?√-(8sin6+cos，+l)y=0,。為參數,

則這些曲線在直線y=2x上所截得的弦長的最大值是

【答案】8√5

10.(2022?上海?高三專題練習)已知橢圓］+y2=i(α>0)的焦點的、F2,拋物線丁=2必的焦點為F,

a

^FiF=3FF2,若z2∕-p2恒成立，則Z的取值范圍為；

【答案】口,+8)

11.(2022?上海?高三專題練習)已知數列｛”“｝、也｝的通項公式分別是q=3",bll=4n+3,把數列｛4｝、

｛?｝的公共項從小到大排列成新數列｛%｝,那么數列｛g｝的第〃項是｛么｝中的第項

［答案］-——-

4

12.(2022.上海.華師大二附中模擬預測)已知非零平面向量4,八0滿足,-4=4,且(4-°)?,-4=-1,

TTTT

若。與匕的夾角為凡且,則c?的模取值范圍是.

【答案】[2-Λ3√3]

二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.（2022.上海松江?二模）下列函數中，與函數y=M的奇偶性和單調性都一致的函數是（）

A.y=x2B.y=x÷sinx

C.y=21A1D.y=tanx

【答案】B

14.（2022?上海?高三專題練習）（1-奴）2（l+x）6的展開式中，/項的系數為-16,則實數。的值為（）

A.2B.3C.-2D.2或3

【答案】D

15.（2022?上海市光明中學模擬預測）已知不等式/?：0x2+fev+c<0（αw0）有實數解.結論（1）：設“?

hQ

是。的兩個解，則對于任意的如斗，不等式占+為<-士和％?x,<上恒成立；結論（2）：設X。是P的一

aa

個解，若總存在x。，使得0√-?r0+c<0,則c<0,下列說法正確的是（）

A.結論①、②都成立B.結論①、②都不成立

C.結論①成立，結論②不成立D.結論①不成立，結論②成立

【答案】B

16.（2022?上海?高三專題練習）關于X的實系數方程X?-4x+5=0和X?+2〃ZX+,〃=0有四個不同的根，

若這四個根在復平面上對應的點共圓，則，”的取值范圍是（）

A.{5}B.{-l}C.（0,1）D.（0,1）{-1}

【答案】D

三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）

17.（2022?上海長寧?二模）在ΛBC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.

（l）?sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,求A

（2）若C=60。，ABC的面積S=√L求43C外接圓半徑R的最小值.

【答案】（I）A=,

⑵空

3

（詳解】（1）因為Sin2A=Sin2B÷sin2C+sinBsinC,山正弦定理，cr=b2+c2+hc,所以CoSA=I十：一cL=-L,

2bc2

?-JT

因為A∈（0z）,所以A=年

（2）由己知SinC=G,C=60,所以必=4,

2

所以/二片+從一2abcosC=O1+b2-ab

因為"+//>2ab

所以c2≥αh=4(當。=b時取等號)

所以2R=上=空c≥辿

sinC33

所以R的最小值為亞(當α=b=c=2時取得)

3

18.(2022?上海?高三專題練習)已知點耳、鳥為雙曲線C32-g?=l(b>0)的左、右焦點，過馬作垂直于

X軸的直線，在無軸的上方交雙曲線C于點M,且NM耳吊=30。.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過雙曲線C上任意一點尸作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為小力求尸^/鳥的值.

【答案】⑴x2-^-=V,(2)I

【詳解】⑴在直角三角形MFM中,因為=30。,所以有

tanZMF1F2=^-,CosZMFiF2=若=>M鳥=弓JJC,M耳由雙曲線的定義可知：

?11?IVl1(??

MF2-MFt=2α=2n10c-?∣α?=2nc=4.c=Jj^7p^=>/=2,所以雙曲線C的方程是Y-g?=l?

(2)設一(知兒)是雙曲線C上任意一點,故有2x：-巾=2

兩條漸近線方程為：4：、&-丫=0;/2：岳+丁=0,設4：缶一丫=0的傾斜角為。，故tana=夜,設兩條漸

近線在第一、四象限夾角為"所以

cosθ=cosIa=-~~tana=一■!■,于是有COS(尸PP)=-cos。=L

I+tan2a3^3

因為P到雙曲線兩條漸近線的距離為：IP制卅”二川IPAl=叵叫

11√311√3

∣√2?-y0∣∣√2?+y0∣∣2x^-^∣\?

產中也二4"+LCOS〈％,Pg〉J3.§二§

19.(2022?上海交大附中高三期中)“跳臺滑雪”是冬奧會中的一個比賽項目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞

性和挑戰性極強.如圖：一個運動員從起滑門點A出發，沿著助滑道曲線/(X)=-〃7二7(-b≤x≤0)滑到

臺端點B起跳，然后在空中沿拋物線g(x)=αr2-20"-b(x>0)飛行一段時間后在點C著陸，線段BC的長

度稱作運動員的飛行距離，計入最終成績.已知g(x)=加-20依-萬在區間［0,30］上的最大值為-30,最

小值為-70.

(1)求實數。，匕的值及助滑道曲線A8的長度.

(2)若運動員某次比賽中著陸點C與起滑門點A的高度差為120米,求他的飛行距離(精確到米，石。2.236).

。（著陸點）

【答案】（l）α=q,b=40,助滑道曲線AB的長度為20萬米

⑵89米

【詳解】（1）解：因為〃χ）=-√^T7（"≤χ≤0）,令y="x）,貝次+9,(-6≤x≤0,-。≤y≤θ),

所以/(x)=-，2-J(-b≤X≤0)表示以(0,0)為圓心,半徑r=6的"圓弧，

因為g(x)=αγ2-20辦-/x>0)由圖象可知函數開口向下，

所以α<0,又對稱軸為X=_等=10,又|30一叫>|10-0|,

所以當X=Io時g(x)3=g(Io)=ToOa—b=-30,g(30)=30Oa-b=-70,

I

d—---]

解得《10,所以A8=-x2萬x40=20%,

4

〃=40

即α=-?,?=40,助滑道曲線AB的長度為201米

(2)解:依題意可得A(YO,0),B(0T),?=-120,

由(I)可得g(x)=-AX2+2X-40(X>0),

2

令g(x)=T20,βp-^x+2x-40=-120,解得再=40,x2=-20(舍去)；

所以C(40,T20),所以憐CI=加+(-40+120)2=船3。89,

即該運動員K行距離約為89米;

20.(2022?上海?二模)如圖，在四棱錐P-ABCn中，PA_L平面ABC￡),AD±CD,AD//BC,PA=AD

PF1

CD=2,BC=3.E為尸。的中點，點尸在PC上，且正=§.

⑴求證：8,平面「40；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

(3)設點G在PB上，且琮=7.判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由.

PB4

【答案】(1)證明見解析

⑵立

3

(3)直線AG不在平面AEF內，詳見解析.

【詳解】(1)因為R4，平面ABC。，COU平面ABCD,所以PALCD,

又因為4/)CO,R4c4)=A,

所以C￡>_L平面PAD.

(2)過4作AO的垂線交8C于點W.

因為PAJ_平面ABCD,AD,AMU平面ABCD,

所以P4J?AM,PA±AD,

以A為坐標原點如圖建立空間直角坐標系A-xyz.

則A(0,0,0),BQ,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

因為E為的中點，所以E(0,1,1),

PF1

所以AE=((U1),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2),—=p

y+z=O

n?AE=0

則即《224c,

n?AF=0—x+-y+-z=0

333

令z=l,貝IJy=T,x=-l,?π=(-l,-l,l),

Ul

又平面PAA的法向量為p=(1,0,0),

所以cos(",P)=

.?.二面角尸-平面角余弦值為史.

3

(3)直線4G不在平面AEF內，理由如下：

Pro

因為點G在尸B匕且立=彳，故PB=(2,T,-2),

所以「G=qPB=(∣,-1-∣1,AG=Ap+PG=(∣,-1g

I,\/*14Jk4*14

山(2)知，平面AE尸的法向量”=(T,T,1),

所以AGf=-!≠0,所以直線AG不在平面AEF內.

4

OC

21.(2022?上海市進才中學高三期中)己知數列也｝的前"項和為5“，滿足：2=q+l("∈N).

n

⑴求證：數列｛叫為等差數列；

⑵若4=3,數列出｝滿足a=4,?i=θ3-l,lgd+lgd+2=21ga+∣("eN*),記7；為他｝的前〃項和，求證:

T"-Tn+2<E+1；

(6〃.7)b為奇數

⑶在(2)的前提下，記J,=｛aa,數列｛%｝的前2"項和為心，若不等式(T)"∕l+d<K,.

nn+24〃+1

Jog2%，”為偶數

對一切"∈N*恒成立，求/1的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶(T,5)

【詳解】(1)因為拳=4,+1(〃￡1<),所以25,=〃4,+〃(〃€武)，2ξ,+1=(∕7+l)?+l+n+l(n∈N),

兩式相減可得2?,用=("+l)%+∣+N"),即w?-l=(n-l)?+l(∕JEN^)

由“4,-1=(〃-1)∕+∣(neN*)可得(n+1)4用一I=na,t+2(π∈N),

兩式相減可得(〃+l)?+,-nan=nan+2-(n-l)?+l(∏∈N*)

化簡可得2"。用="(α,,+2+3("wN"),所以2α,,+∣=4,