§2古典概型第1課時(shí)古典概型及應(yīng)用水平11．任何一個(gè)事件都是一個(gè)樣本點(diǎn)．()2．古典概型中每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等．()3．古典概型中的任何兩個(gè)樣本點(diǎn)都是互斥的．()4．向一條線(xiàn)段內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn)，觀察點(diǎn)落在線(xiàn)段上的不同位置是古典概型．()5．某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)，9環(huán)，…，1環(huán)和脫靶．是古典概型．()【解析】1.√.2．√.3．√.4．提示：×.一條直線(xiàn)上點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，不是古典概型．5．提示：×.命中10環(huán)和9環(huán)不是等可能的．·題組一古典概型的判斷1．下列試驗(yàn)中，屬于古典概型的是()A．從甲地到乙地共n條路線(xiàn)，求某人正好選中最短路線(xiàn)的概率B．從規(guī)格直徑為250±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根，測(cè)量其直徑dC．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣至首次出現(xiàn)正面為止D．某人射擊一次，求射中環(huán)數(shù)的概率【解析】選A.A選項(xiàng)，只有n個(gè)等可能的結(jié)果，因此是古典概型；B選項(xiàng)，基本事件的個(gè)數(shù)有無(wú)限多個(gè)，所以不是古典概型；C選項(xiàng)，拋擲次數(shù)可能取值有無(wú)限多，所以不是古典概型；D選項(xiàng)，射擊命中環(huán)數(shù)的概率一般不相等，所以不是古典概型．2．下列試驗(yàn)是古典概型的是()A．口袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取一球，樣本點(diǎn)為{取中白球}和{取中黑球}B．在區(qū)間[－1，5]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2－3x＋2＞0C．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶【解析】選C.根據(jù)古典概型的兩個(gè)特征進(jìn)行判斷．A中兩個(gè)樣本點(diǎn)不是等可能的，B中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，D中“中靶”與“不中靶”不是等可能的，C符合古典概型的兩個(gè)特征．3．下列概率模型中，古典概型的個(gè)數(shù)為()①?gòu)膮^(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1，2，…，9，10中任取一個(gè)整數(shù)，求取到1的概率；③向正方形ABCD內(nèi)任意投一點(diǎn)P，求點(diǎn)P剛好與點(diǎn)A重合的概率；④拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，求向上點(diǎn)數(shù)為3的概率．A．1 B．2C．3 D．4【解析】選A.古典概型的特點(diǎn)是樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．①和③中的樣本點(diǎn)是無(wú)限的，④中的骰子不均勻，不具有等可能性，故只有②是古典概型．4．下列是古典概型的個(gè)數(shù)為()①已知1≤x≤9且x∈Z，從x中任取一個(gè)數(shù)，則滿(mǎn)足2<x≤5的概率；②同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為11的概率；③近一周中有一天降雨的概率；④10個(gè)人站成一排，其中甲在乙右邊的概率．A．1B．2C．3D．4【解析】選C.因?yàn)楣诺涓判偷膬蓚€(gè)特點(diǎn)，一是結(jié)果有限個(gè)，二是每個(gè)結(jié)果等可能．所以①為幾何概型，②③④為古典概型．·題組二古典概型的計(jì)算1．把一根長(zhǎng)度為7的鐵絲截成3段，如果3段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，那么能構(gòu)成三角形的概率為()A．eq\f(3,4)B．eq\f(5,6)C．eq\f(3,5)D．eq\f(1,2)【解析】選D.所有的基本事件有：(1，1，5)，(1，2，4)，(1，3，3)，(2，2，3)，共4個(gè)，其中，事件“能構(gòu)成三角形”所包含的基本事件有：(1，3，3)，(2，2，3)，共2個(gè)，由古典概型的概率公式可知，事件“能構(gòu)成三角形”的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).2．下列說(shuō)法中，正確的說(shuō)法有()(1)擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)“兩個(gè)正面”、“兩個(gè)反面”、“一正一反”3種結(jié)果；(2)某袋中裝有大小均勻的三個(gè)紅球、兩個(gè)黑球、一個(gè)白球，任取一球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同；(3)從－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同；(4)分別從3個(gè)男同學(xué)、4個(gè)女同學(xué)中各選一個(gè)作代表，那么每個(gè)同學(xué)當(dāng)選的可能性相同；(5)5人抽簽，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到某號(hào)中獎(jiǎng)簽的可能性肯定不同．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【解析】選A.由題意，(1)中，擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)“兩個(gè)正面”、“兩個(gè)反面”、“一正一反”、“一反一正”，共4種結(jié)果，所以不正確；(2)中，因?yàn)槟炒醒b有大小均勻的三個(gè)紅球、兩個(gè)黑球、一個(gè)白球，任取一球，紅球出現(xiàn)的概率是eq\f(1,2)，黑球出現(xiàn)的概率為eq\f(1,3)，白球出現(xiàn)的概率為eq\f(1,6)，所以每種顏色的球被摸到的概率不相同，所以不正確；(3)中，從－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0的概率為eq\f(4,7)；不小于0的概率為eq\f(3,7)，所以不相同，故不正確；(4)分別從3個(gè)男同學(xué)、4個(gè)女同學(xué)中各選一個(gè)作代表，那么男同學(xué)被選中的概率為eq\f(3,7)，每位女同學(xué)被選中的概率為eq\f(4,7)，所以每個(gè)同學(xué)當(dāng)選的可能性不相同，所以是不正確的；(5)5人抽簽，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到某號(hào)中獎(jiǎng)簽的可能性是相同的，所以不正確．3．《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作．其中的一道題“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．問(wèn)：得幾何？”意思是：“有一塊棱長(zhǎng)為3尺的正方體方木，要把它做成棱長(zhǎng)為5寸的正方體枕頭，可做多少個(gè)？”現(xiàn)有這樣的一個(gè)正方體木料，其外周已涂上油漆，則從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率為()A．eq\f(125,216) B．eq\f(8,27)C．eq\f(4,9) D．eq\f(1,4)【解析】選C.有一塊棱長(zhǎng)為3尺的正方體方木，要把它做成棱長(zhǎng)為5寸的正方體枕頭，可作216個(gè)，由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有油漆的木塊是每個(gè)面的中間有16塊，共有6×16＝96塊，所以從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率：P＝eq\f(96,216)＝eq\f(4,9).易錯(cuò)點(diǎn)一混淆“等可能性”與“非等可能性”從5名男生和3名女生中任選1人去參加歌唱比賽，則選中女生的概率是________．【解析】選出1人的所有可能的結(jié)果有8種，即共有8個(gè)基本事件，其中選中女生的基本事件有3個(gè)，故選中女生的概率為eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)易錯(cuò)點(diǎn)二對(duì)有序與無(wú)序判斷不準(zhǔn)甲乙兩人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有5道不同的題目，其中選擇題3道，填空題2道．甲乙兩人依次抽取1道題，則甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為_(kāi)_______．【解析】通過(guò)列舉法可得到甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結(jié)果有6個(gè)，又甲乙兩人依次抽到1道題的可能結(jié)果有20個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)水平1、2限時(shí)30分鐘分值60分戰(zhàn)報(bào)得分______一、選擇題(每小題5分，共30分)1．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品，現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，2件都是合格品的概率為()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【解析】選A.設(shè)5件產(chǎn)品中2件次品為B1，B2，剩下的3件合格品為A1，A2，A3，任取2件產(chǎn)品的基本事件為：B1B2，B1A1，B1A2，B1A3，B2A1，B2A2，B2A3，A1A2，A1A3，A2A3，共10種，其中2件都是合格品的基本事件為：A1A2，A1A3，A2A3，共3種．所以2件都是合格品的概率為：eq\f(3,10)＝0.3.2．《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事，其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為()A．eq\f(5,6)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,6)【解析】選C.設(shè)田忌的上等馬為A1，中等馬為A2，下等馬為A3，齊王的上等馬為B1，中等馬為B2，下等馬為B3，雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽產(chǎn)生的基本事件為：A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，共9種；其中田忌的馬獲勝的事件為：A1B2，A1B3，A2B3，共3種，所以田忌的馬獲勝的概率為：P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).3．同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是()A．eq\f(1,18)B．eq\f(1,9)C．eq\f(5,36)D．eq\f(1,2)【解析】選C.同時(shí)擲兩個(gè)骰子，共有6×6＝36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和是6的共有：(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，共5種結(jié)果，所以點(diǎn)數(shù)之和是6的概率為：eq\f(5,36).4．有兩張卡片，一張的正反面分別寫(xiě)著數(shù)字0與1，另一張的正反面分別寫(xiě)著數(shù)字2與3，將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,8)【解析】選C.將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)有12，13，20，21，30，31，共6個(gè)，兩位數(shù)為奇數(shù)的有13，21，31，共3個(gè)，故所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).5．已知點(diǎn)P(a，b)，且a，b∈{－1，0，1，2}，使關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的點(diǎn)P的概率為()A．eq\f(7,8)B．eq\f(13,16)C．eq\f(3,4)D．eq\f(5,8)【解析】選B.因?yàn)閍，b∈{－1，0，1，2}，所以得到點(diǎn)P共有4×4＝16個(gè)．因?yàn)榉匠蘟x2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，所以4－4ab≥0，a≠0，即ab≤1，當(dāng)(a，b)取(1，2)，(2，1)，(2，2)時(shí)ab>1；又a＝0時(shí)原方程為2x＋b＝0有解，所以方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的點(diǎn)P的概率為eq\f(16－3,16)＝eq\f(13,16).6．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲2017次，那么第2016次出現(xiàn)正面朝上的概率是()A．eq\f(1,2016)B．eq\f(1,2017)C．eq\f(2016,2017)D．eq\f(1,2)【解析】選D.由題意，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，只考慮第2016次，基本事件只有兩種結(jié)果：正面朝上、反面朝上，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，故所求概率為eq\f(1,2).二、填空題(每小題5分，共20分)7．柜子里有3雙不同的鞋子，隨機(jī)地取出2只，則取出的2只鞋子剛好成對(duì)的概率為_(kāi)_______．【解析】設(shè)三雙鞋子分別為A1，A2，B1，B2，C1，C2，則取出2只鞋子的情況有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，共15種．其中，成對(duì)的情況有：(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，共3種，由古典概型的公式可得，所求概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．在抗擊新冠肺炎疫情期間，甲、乙、丙、丁四名黨員志愿者參加社區(qū)防控值班．若從四位志愿者中隨機(jī)選三人參加夜間防控，則甲被選中的概率為_(kāi)_______．【解析】從甲、乙、丙、丁四位志愿者中隨機(jī)選三人參加夜間防控，有(甲、乙、丙)，(甲、乙、丁)，(甲、丙、丁)，(乙、丙、丁)，共四種情況，其中甲被選中的情況有(甲、乙、丙)，(甲、乙、丁)，(甲、丙、丁)，共三種情況，所以甲被選中的概率為eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．某小組有6人，血型情況分別是：A型血3人，B型血2人，AB型血1人，如果從這個(gè)小組中隨機(jī)地抽取2人，那么，他們具有不同的血型的概率為_(kāi)_______．【解析】設(shè)A型血3人分別設(shè)為a，b，c，B型血2人分別為1，2，AB型血1人為AB，隨機(jī)抽取2人有(a，b)(a，c)(a，1)(a，2)(a，AB)(b，c)(b，1)(b，2)(b，AB)(c，1)(c，2)(c，AB)(1，2)(1，AB)(2，AB)共15種情況，滿(mǎn)足要求的有11種，從而可得所求概率為eq\f(11,15).答案：eq\f(11,15)10．若連續(xù)擲兩次骰子，第一次擲得的點(diǎn)數(shù)為m，第二次擲得的點(diǎn)數(shù)為n，則點(diǎn)P(m，n)落在圓x2＋y2＝16內(nèi)的概率是________．(骰子為正方體，且六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，…，6)【解析】由題意得，基本事件總數(shù)為36，點(diǎn)P落在圓內(nèi)包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8個(gè)，由古典概型概率公式可得所求概率為eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)三、解答題11．(10分)某保險(xiǎn)公司給年齡在20～70歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]分成了五組，其頻率分布直方圖如圖所示，參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如表所示年齡(單位：歲)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]保費(fèi)(單位：元)306090120150(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)a的值，并求出該樣本年齡的中位數(shù)；(2)現(xiàn)分別在年齡段[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]中各選出1人共5人進(jìn)行回訪(fǎng)．若從這5人中隨機(jī)選出2人，求這2人所交保費(fèi)之和大于200元的概率．【解析】(1)因?yàn)?0.007＋0.018＋a＋0.025＋0.020)×10＝1，解得：a＝0.030.設(shè)該樣本年齡的中位數(shù)為x0，前兩個(gè)矩形的面積之和為(0.007＋0.018)×10＝0.25<0.5，前三個(gè)矩形的面積之和為(0.007＋0.018＋0.030)×10＝0.55>0.5，所以40<x0<50.所以(x0－40)×0.03＋0.18＋0.07＝0.5，解得x0＝48eq\f(1,3).(2)設(shè)回訪(fǎng)的這5人分別記為a30，a60，a90，a120，a150，從5人中任選2人的基本事件有：(a30，a60)，(a30，a90)，(a30，a120)，(a30，a150)，(a60，a90)，(a60，a120)，(a60，a150)，(a90，a120)，(a90，a150)，(a120，a150)，共10種．事件“兩人保費(fèi)之和大于200元”包含的基本事件有：(a60，a150)，(a90，a120)，(a90，a150)，(a120，a150)，共4種．所以?xún)扇吮ＹM(fèi)之和大于200元的概率為P＝eq\f(4,10)＝eq