專題07空間幾何體的結構特征、表面積和體積知識點1多面體的結構特征1、棱柱：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫棱柱。（1）有兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形；（2）其余各面叫做棱柱的側面，他們都是平行四邊形；（3）相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；（4）側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。2、棱錐：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。（1）這個多邊形面叫做棱錐的底面；（2）有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；（3）相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱；（4）各個側面的公共頂點叫做棱錐的頂點。【注意】有一個面是多邊形，其余各面都使三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖。棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個公共頂點。3、棱臺：用一個平行與棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面與截面之間的部分叫做棱臺。（1）原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；（2）其他各面叫做棱臺的側面；（3）相鄰側面的公共邊叫做棱臺的側棱；（4）側面與底面的公共頂點叫做棱臺的定點。【注意】（1）棱臺上下底面是互相平行且相似的多邊形；（2）側面都是梯形；（3）各側棱的延長線交于一點。知識點2旋轉體的結構特征1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成的旋轉體角圓柱。（1）旋轉軸叫做圓柱的軸；（2）垂直于軸的變旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；（3）平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；（4）無論轉到什么位置，平行與軸的邊都叫做圓柱側面的母線。【注意】（1）底面是互相平行且全等的圓面；（2）母線有無數條，都平行于軸；（3）軸截面為矩形。2、圓錐：以直角三角形的一條所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐。（1）垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓錐的底面；（2）直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面；（3）無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐側面的母線。【注意】（1）底面是圓面，橫截面是比底面更小的圓面，軸截面是等腰三角形；（2）圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是圓錐的母線；（3）母線有無數條，且長度相等，側面由無數條母線組成。（4）直角三角形繞其任意一邊所在的直線旋轉一周所形成的幾何體不一定是圓錐。3、圓臺第一種定義：用平行與圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺。第二種定義：以直角題型處置與底面的腰所在的的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體。【注意】（1）圓臺上、下底面是半徑不相等且互相平行的圓面；（2）母線有無數條且長度相等，各母線的延長線交于一點；（3）軸截面為等腰梯形。4、球：半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球。（1）球心：半圓的圓心叫做球的球心；（2）半徑：連接圓心與球面上任意一點的線段叫做球的半徑；（3）直徑：連接球面上兩點并且經過球心的線段叫做球的直徑。知識點3立體圖形的直觀圖1、斜二測畫法：我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法．（1）“斜”：在已知圖形的xOy平面內與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x'軸承45°或135°（2）“二測”：兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x'軸或z'軸的線段長度不變；平行于y'軸的長度變成原來的一半，2、平面圖形直觀圖的畫法及要求（1）建系：在已知圖中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于O點，畫直觀圖時，把他們弧長對應的x'軸和y'軸，兩軸相交于O'，且使∠x'O'y（2）平行不變：已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，直觀圖中分別畫出平行與x'軸或y'（3）長度規則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變為原來的一半.3、空間幾何體直觀圖的畫法（1）與平面圖形的直觀圖相比，多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，直觀圖中與之對應的是z′軸；（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面；（3）已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．（4）成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．4、直觀圖與原圖多邊形面積之間的關系若一個多邊形的面積為S原，它的直觀圖的面積為S直，則有S知識點4多面體的表面積和體積1、棱柱、棱錐、棱臺的表面積（1）棱柱的表面積：S棱柱（2）棱錐的表面積：S棱錐（3）棱臺的表面積：S2、棱柱、棱錐、棱臺的體積（1）棱住的體積：棱柱的體積等于它的底面積S底和高h的乘積，即V（2）棱錐的體積：棱錐的體積等于它的底面積S底和高h的乘積的13（3）棱臺的體積：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h知識點5旋轉體的表面積和體積1、側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π(r1＋r2)l2、圓柱、圓錐、圓臺的體積公式：（1）圓柱的體積公式：V（2）圓錐的體積公式：V（3）圓臺的體積公式：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h3、球的體積公式：V=43πR考點1多面體的結構特征【例1】（2023·全國·高一專題練習）“棱柱有相鄰兩個側面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要D．既非充分又非必要條件【變式11】（2023春·天津濱海新·高一大港一中校考階段練習）以下說法正確的是（）①棱柱的側面是平行四邊形；②長方體是平行六面體；③長方體是直棱柱；④底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；⑤直四棱柱是長方體；⑥四棱柱、五棱錐都是六面體．A．①②④⑥B．②③④⑤C．①②③⑥D．①②⑤⑥【變式12】（2023·全國·高一專題練習）在2022年第二十四屆冬奧會上，中國代表隊創造了歷史最好成績，首都北京也成為第一座“雙奧之城”．如圖所示，坐落于北京的國家游泳中心（又稱“水立方”），是中國健兒為國爭光的地方，“水立方”可以抽象出的幾何體是（）．A．圓柱B．四棱錐C．四棱臺D．長方體【變式13】（2023·全國·高一專題練習）下列命題是真命題的是（）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D．有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共項點的三角形的幾何體叫棱錐【變式14】（2023·全國·高一專題練習）有下列四種敘述：①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；④棱臺的側棱延長后必交于一點.其中正確的有（）A．0個B．1個C．2個D．3個【變式15】（2022春·山西呂梁·高一統考期末）下列說法正確的是（）A．三角形的直觀圖是三角形B．直四棱柱是長方體C．平行六面體不是棱柱D．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺考點2旋轉體的結構特征【例2】（2023·全國·高一專題練習）如圖，直角三角形繞直角邊旋轉，所得的旋轉體為（）A．圓錐B．圓柱C．圓臺D．球【變式21】（2023·全國·高一專題練習）下列幾何體表示圓錐的是（）A．B．C．D．【變式22】（2023春·天津和平·高一第五十五中學校考階段練習）下列命題中不正確的是（）A．圓柱?圓錐?圓臺的底面都是圓面B．正四棱錐的側面都是正三角形C．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺D．以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，另一腰和兩底邊旋轉一周所圍成的幾何體是圓臺【變式23】（2022·高一課時練習）（多選）下列命題中正確的有（）A．圓錐、圓臺的底面都是圓面B．用一個平面去截圓柱，截面一定是圓C．用一個平面去截圓錐得到一個圓錐和一個圓臺D．分別以矩形（非正方形）的長和寬所在直線為旋轉軸，旋轉一周后得到的兩個空間圖形是兩個不同的圓柱【變式24】（2023·全國·高一專題練習）（多選）下列說法中不正確的是（）A．將正方形旋轉不可能形成圓柱B．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體C．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺D．通過圓臺側面上一點，有無數條母線考點3直觀圖與原圖的判斷【例3】（2023·全國·高一專題練習）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列說法正確的是（）A．相等的線段在直觀圖中仍相等B．水平放置的三角形的直觀圖仍是三角形C．相等的角在直觀圖中仍相等D．水平放置的菱形的直觀圖仍是菱形【變式31】（2023·高一課時練習）如圖，是水平放置的△ABC的斜二測畫法的直觀圖，其中，則△ABC是（）A．鈍角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形【變式32】（2021秋·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結論正確的是（）A．三角形的直觀圖是三角形B．長方形的直觀圖是長方形C．正方形的直觀圖是正方形D．菱形的直觀圖是菱形【變式33】（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知等腰三角形ABC，則如圖所示的四個圖中，可能是△ABC的直觀圖的是______(填寫序號)考點4斜二測畫法中的計算【例4】（2023春·全國·高一專題練習）如圖所示，在四邊形OABC中，OA=2，，BC=3，且，則四邊形OABC水平放置時，用斜二測畫法得到的直觀圖面積為（）A．B．5C．D．【變式41】（2022春·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學校考階段練習）如圖是四邊形ABCD的水平放置的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積是（）A．14B．10C．28D．14【變式42】（2023春·浙江寧波·高一余姚中學校考階段練習）如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點，且軸，軸，，則（）A．的長度大于的長度B．的面積為4C．的面積為2D．【變式43】（2023春·福建三明·高一三明一中校考階段練習）用斜二測畫法畫△ABC的直觀圖為如圖所示的△，其中，，則△ABC的面積為（）A．1B．2C．D．【變式44】（2023春·全國·高一專題練習）（多選）已知是等腰直角三角形，，用斜二測畫法畫出它的直觀圖，則的長可能是（）A．B．C．D．考點5多面體的表面積計算【例5】（2023·高一單元測試）邊長為3的正方體切成27個全等的小正方體，則表面積之和比原來增加了（）A．36B．72C．108D．240【變式51】（2022春·重慶九龍坡·高一四川外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）已知直三棱柱底面的直觀圖是一個等腰直角三角形OAB，斜邊長，若該直三棱柱的側棱長為2，則該直三棱柱的側面積為___________.【變式52】（2022春·河北滄州·高一校考階段練習）如圖，在三棱錐中，平面，已知，，則當最大時，求三棱錐的表面積.【變式53】（2023·全國·高一專題練習）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環境，某學校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與六棱柱的高的比值為1∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側面積之比為（）A．B．C．D．【變式54】（2022·全國·高三校聯考階段練習）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，它將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭．如圖，現有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高，，方亭的四個側面均為全等的等腰梯形，已知方亭的體積為，則該方亭的表面積為（）A．B．C．D．【變式55】（2022春·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學校聯考階段練習）已知長方體，，其外接球的表面積為，過??B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為10.（1）求棱的長：（2）求幾何體的表面積.考點6多面體的體積計算【例6】（2023春·天津濱海新·高一大港一中校考階段練習）長方體的體積是，若為的中點，則三棱錐的體積為（）A．B．C．D．【變式61】（2022·全國·高一專題練習）已知正三棱柱的底面邊長為2，側棱長為，則三棱錐的體積為（）A．B．C．1D．【變式62】（2022春·河南鶴壁·高一河南省浚縣第一中學校考階段練習）如圖1，水平放置的直三棱柱容器中，，，現往內灌進一些水，水深為2．將容器底面的一邊AB固定于地面上，再將容器傾斜，當傾斜到某一位置時，水面形狀恰好為三角形，如圖2，則容器的高h為（）A．3B．4C．D．6【變式63】（2023春·河北邯鄲·高一校考階段練習）中國某些地方舉行婚禮時要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內再插一桿秤、一把尺子，寓意為糧食滿園、稱心如意、十全十美．下圖為一種婚慶升斗的規格，把該升斗看作一個正四棱臺，忽略其壁厚，則該升斗的容積約為（）（參考數據：，參考公式：）A．B．C．D．【變式64】（2022春·廣東佛山·高一佛山市南海區第一中學校考階段練習）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和4，高為3，則此棱臺的體積為______．考點7旋轉體的表面積計算【例7】（2022春·北京·高一北京一七一中校考階段練習）已知圓柱的底面半徑和高都是2，那么圓柱的側面積是（）A．B．C．D．【變式71】（2022春·重慶長壽·高一重慶市長壽中學校校考階段練習）已知某圓柱的軸截面為正方形，則此圓柱的表面積與此圓柱外接球的表面積之比為（）A．B．C．D．【變式72】（2022春·河北邢臺·高一邢臺市南和區第一中學校考階段練習）已知某圓柱的內切球半徑為，則該圓柱的側面積為（）A．B．C．D．【變式73】（2023春·河北邯鄲·高一校考階段練習）等腰直角三角形的直角邊長為1，現將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積為（）A．B．或C．D．或【變式74】（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第一二二中學校校考階段練習）某圓臺上、下底面面積分別是、，母線長為2，則這個圓臺的側面積是（）A．B．C．D．【變式75】（2022春·河北石家莊·高一校考階段練習）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O面上，圓錐的側面展開圖的圓心角為，面積為，則球O的表面積等于（）A．B．C．D．考點8旋轉體的體積計算【例8】（2022春·河北保定·高一校聯考階段練習）若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐的體積為（）A．B．C．D．【變式81】（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高級中學校考階段練習）中國古代數學的瑰寶《九章第術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環形的柱體（扇環是指圓環被扇形截得的部分）．現有一個如下圖所示的“曲池”，其高為3，底面，底面扇環所對的圓心角為，長度為長度的3倍，且線段，則該“曲池”的體積為（）A．B．C．D．【變式82】（2022春·山東德州·高一校考階段練習）如圖，何尊是我國西周早期的青銅禮器，造型渾厚，工藝精美，其形狀可視為圓臺和圓柱的組合體，口徑為28.8cm，經測量計算可知圓臺和圓柱的高度之比約為，體積之比約為，則圓柱的底面直徑約為（）A．4cmB．14cmC．18cmD．22cm【變式83】（2020春·安徽宣城·高一安徽省宣城市第二中學校考階段練習）紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經典的有西施壺?掇球壺?石飄壺?潘壺等．其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺．如圖給出了一個石瓢壺的相關數據（單位：），那么該壺的容積約接近于（）A．B．C．D．【變式84】（2023春·湖南長沙·高一長郡中學校考階段練習）如圖，半球內有一內接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（）A．B．C．D．【變式85】（2022春·山西晉中·高一校考階段練習）已知點A，B，C在球心為O的球面上，且A，B，C，O四點共面，若，則球O的體積為（）A．B．C．D．考點9表面最短路徑問題【例9】（2023春·上海·高二校聯考階段練習）如圖，已知正三棱柱的底面邊長與側棱長相等．螞蟻甲從A點沿表面經過棱、爬到點，螞蟻乙從B點沿表面經過棱爬到點．設，，若兩只螞蟻各自爬過的路程最短，則______【變式91】（2022春·江西宜春·高一江西省萬載中學校考階段練習）如圖，在正三棱錐PABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=2，一只蟲子從A點出發，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（）A．B．C．D．【變式92】（2023·廣西南寧·統考一模）如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長，一只螞蟻從點出發繞著圓錐的側面爬行一圈回到點，則螞蟻爬行的最短距離為（）A．B．C．6D．【變式93】（2022秋·河北滄州·高二校考開學考試）如圖所示，圓柱高為2，底面半徑為1，則在圓柱側面上從A出發經過母線到達的最短距離為___________.【變式94】（2023·高一課時練習）在正方體中，棱長為2，E為的中點，點P在平面內運動，則的最小值為________考點10幾何體的截面問題【例10】（2022·全國·高一專題練習）（多選）用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是三角形，這個幾何體不可能是（）A．圓柱B．圓臺C．球體D．棱臺【變式101】（2023春·全國·高一專題練習）已知球的半徑為2，球心到平面的距離為，則球被平面截得的截面面積為（）A．B．C．D．【變式102】（2022春·江蘇徐州·高一統考階段練習）已知正方體的棱長為6，?分別是?的中點，平面截正方體所得的截面為多邊形，則此多邊形的邊數為_________，截面多邊形的周長為___________.【變式103】（2022·高一課時練習）已知正三角形的三個頂點都在半徑為2的球面上，球心到平面的距離為1，是線段的中點，過點作球的截面，求截面面積的最小值．1．（2022春·江蘇淮安·高一校考階段練習）下列說法正確的是（）A．空間中，到一個定點的距離等于定長的點的集合是球B．以直角三角形一邊為旋轉軸，旋轉所得的旋轉體是圓錐C．用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺D．棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形2．（2022春·江蘇徐州·高一校考階段練習）下列說法正確的是（）A．多面體至少有個面B．有個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺C．各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．棱柱的側棱相等，側面是平行四邊形3．（2022春·重慶酉陽·高一校考階段練習）若一個圓錐的底面半徑為1，母線長為，則圓錐的體積是（）A．B．C．D．4．（2023春·河北邯鄲·高一校考階段練習）已知圓錐的母線長為3，若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（）A．B．C．D．5．（2022春·廣東清遠·高一校考階段練習）如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（）A．是鈍角三角形B．的面積是的面積的2倍C．B點的坐標為D．的周長是6．（2022春·江西宜春·高一江西省萬載中學校考階段練習）上、下底面面積分別為36π和49π，母線長為5的圓臺，其兩底面之間的距離為（）A．4B．C．D．7．（2022春·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美.如圖是一個棱數為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1，則下列關于該多面體的說法中不正確的是（）A．多面體有12個頂點，14個面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為D．多面體有外接球（即經過多面體所有頂點的球）8．（2023春·河北邯鄲·高一校考階段練習）一平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，B′C′∥y′軸，則四邊形OABC的面積為（）A．B．3C．3D．9．（2022春·山西晉中·高一校考階段練習）已知是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球的球面上，若球的體積為，則到平面的距離為（）A．B．C．D．10．（2022春·江蘇常州·高一常州市第二中學校考階段練習）已知某圓錐的的底面半徑為2，側面積是底面積的3倍.將該圓錐切割成一個正四棱錐，且四棱錐的頂點和圓錐的頂點重合，四棱錐的底面是圓錐底面的內接正方形，則該四棱錐的體積為（）A．B．