第二部分題型研究題型一數學思想方法類型一分類討論思想針對演練

1.已知直角三角形兩邊的長a、b滿足|a－2|＋eq\r(b2－3)＝0，則第三邊長為_________．2.若關于x的方程kx2＋2(k＋1)x＋k－1＝0有實數根，則k的取值范圍是________．3.已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊△CDE，則∠AED的度數是_________．4.A，B兩地相距450千米，甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發，相向而行．已知甲車速度為120千米/時，乙車速度為80千米/時，經過t小時兩車相距50千米，則t的值是________．5.如果四個整數中的三個分別是2，4，6，且它們的中位數也是整數，那么它們的中位數是________．6.(2017襄陽)在半徑為1的⊙O中，弦AB，AC的長分別為1和eq\r(2)，則∠BAC的度數為________．7.如圖，已知點A(－1，0)和點B(1，2)，在坐標軸上確定點P，使得△ABP為直角三角形，那么滿足條件的點P共有________個．第7題圖8.書店舉行購書優惠活動:①一次性購書不超過100元，不享受打折優惠;②一次性購書超過100元但不超過200元一律打九折;③一次性購書超過200元一律打七折．小麗在這次活動中，兩次購書總共付款229.4元，第二次購書原價是第一次購書原價的3倍，那么小麗這兩次購書原價的總和是________元．9.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC邊上的高，并且AD2＝BD·DC，則∠BCA的度數為________．10.(2017杭州)已知△ABC的三個頂點為A(－1，－1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，將△ABC向右平移m(m>0)個單位后，△ABC某一邊的中點恰好落在反比例函數y＝eq\f(3,x)的圖象上，則m的值為________．11.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF(點E、F分別在邊AC、BC上)當AC＝3，BC＝4時，AD的長為________．第11題圖12.(2017鄂州)如圖，AC⊥x軸于點A，點B在y軸的正半軸上，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝2eq\r(3)，點D為AC與反比例函數y＝eq\f(k,x)的圖象的交點，若直線BD將△ABC的面積分成1∶2的兩部分，則k的值為________．第12題圖13.如圖，直線y＝3x＋3交x軸于點A，交y軸于點B，過A，B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3，0)．(1)求拋物線的表達式;(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點Q的坐標;若不存在，請說明理由．第13題圖答案1.1或eq\r(7)【解析】由非負數的性質知，a－2＝0且b2＝3，∴a＝2，b＝eq\r(3)，①當a為斜邊時，則由勾股定理得，第三邊為1;②當a為直角邊時，則由勾股定理得，第三邊為eq\r(7).2.k≥－eq\f(1,3)【解析】當k＝0時，方程為2x－1＝0，x＝eq\f(1,2)，方程有實根;當k≠0時，方程為一元二次方程，方程要有實數根，則[2(k＋1)]2－4k(k－1)≥0，即k≥－eq\f(1,3)，綜上所述，k的取值范圍是k≥－eq\f(1,3).3.15°或75°【解析】①當點E在正方形ABCD外部時，AD＝DE，則∠AED＝eq\f(180°－（90°＋60°）,2)＝15°;②當點E在正方形ABCD內部時，AD＝DE，則∠AED＝eq\f(180°－（90°－60°）,2)＝75°.4.2或2.5【解析】①相遇前:120t＋80t＋50＝450，解得t＝2;②相遇后:120t＋80t－50＝450，解得t＝2.5.5.3或4或5【解析】①當數據為2，2，4，6時，中位數為3;②當數據為2，4，4，6時，中位數為4;③當數據為2，4，6，6時，中位數為5.6.15°或105°【解析】⊙O的半徑為1，弦AB＝1，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等邊三角形，∠OAB＝60°，∵弦AC＝eq\r(2)，∴∠OAC＝45°.如解圖①，此時∠BAC＝∠BAO－∠CAO＝60°－45°＝15°;如解圖②，∠BAC＝∠BAO＋∠CAO＝60°＋45°＝105°.第6題解圖7.6【解析】當以AB為斜邊時，∠APB＝90°，與坐標軸有3個交點;當∠PAB＝90°時，與y軸有一個交點;當∠PBA＝90°時，與x軸，y軸各有1個交點．∴滿足條件的點P共有6個．8.248或296【解析】設第一次購書原價為a元，則第二次購書原價為3a元，易知第一次購書原價必然不超過100元，否則兩次付款必然大于229.4，故分類討論如下:①若a≤100且3a≤100，顯然a＋3a≤200＜229.4，舍去;②若a≤100且100＜3a≤200，則a＋0.9×3a＝229.4，解得a＝62，所以兩次購書原價和為4a＝4×62＝248元;③若a≤100且3a＞200，則a＋0.7×3a＝229.4，解得a＝749.65°或115°【解析】①如解圖①，當△ABC為銳角三角形時，△ABD∽△CAD，∠BCA＝∠BAD＝90°－25°＝65°;②如解圖②，當△ABC為鈍角三角形時，∠BCA＝∠CDA＋∠CAD＝90°＋∠B＝90°＋25°＝115°.圖①圖②第9題解圖10.0.5或4【解析】依題可得:有兩種可能，即AC、AB中點落在反比例函數y＝eq\f(3,x)的圖象上．①若為AC中點(－2，－2)向右平移m個單位后落在y＝eq\f(3,x)的圖象上，則有點(m－2，－2)在y＝eq\f(3,x)的圖象上，代入得－2＝eq\f(3,m－2)，∴－2m＋4＝3，∴m＝0.5;②若為AB中點(－1，1)向右平移m個單位后落在y＝eq\f(3,x)圖象上，則有點(m－1，1)在y＝eq\f(3,x)的圖象上，代入得1＝eq\f(3,m－1)，∴m－1＝3，∴m＝4.所以m為0.5或4.11.1.8或2.5【解析】有兩種情況:①若CE∶CF＝3∶4，如解圖①所示．∵CE∶CF＝AC∶BC，∴EF∥AB.由折疊性質可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴cosA＝0.6，AD＝AC·cosA＝3×0.6＝1.8;②若CF∶CE＝3∶4，如解圖②所示．∴△CEF∽△CBA，∴∠CEF＝∠B.由折疊性質可知，∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD.同理可得:∠B＝∠FCD，CD＝BD，∴此時AD＝BD＝eq\f(1,2)×5＝2.5.綜上所述，AD的長為1.8或2.5.第11題解圖①第11題解圖②12.－8或－4【解析】如解圖，過點C作CM⊥AB于點M，在Rt△CBM中，BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝60°，∴BM＝eq\r(3)，CM＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CM＝eq\f(1,2)AC·AO＝6，∵BD將S△ABC分成1∶2的兩部分，則AD＝eq\f(1,3)AC或AD＝eq\f(2,3)AC，∵點D在反比例函數y＝eq\f(k,x)上，∴k＝－eq\f(1,3)AC·OA＝－4或k＝－eq\f(2,3)AC·OA＝－8.第12題解圖13.解:(1)設拋物線的表達式為y＝ax2＋bx＋c，∵直線y＝3x＋3交x軸于點A，交y軸于點B，∴點A的坐標為(－1，0)，點B的坐標為(0，3)，又∵拋物線經過A，B，C三點，點C的坐標為(3，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0,9a＋3b＋c＝0,c＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝2,c＝3))，∴拋物線的表達式為y＝－x2＋2x＋3;(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1.設點Q的坐標為(1，m)，則AQ＝eq\r(4＋m2)，BQ＝eq\r(1＋（3－m）2)，AB＝eq\r(10).當AB＝AQ時，eq\r(10)＝eq\r(4＋m2)，解得m＝±eq\r(6)，∴點Q的坐標為(1，eq\r(6))或(1，－eq\r(6));當AB＝BQ時，eq\r(10)＝eq\r(1＋（3－m）2)，解得m1＝0，m2＝6，∴點Q的坐標為(1，0)或(1，6)，但當點Q的坐標為(1，6)時，點A，B，Q在同一條直線上，∴舍去;當AQ＝BQ時，eq\r(4＋m2)＝eq\r(1＋（3－m）2)，解得m＝1，∴點Q的坐標為(1，1)．∴拋物線的對稱軸上存在點Q(1，eq\r(6))，(1，－eq\r(6))，(1，0)，(1，1)，使△ABQ是等腰三角形．第二部分題型研究題型一數學思想方法類型二數形結合思想針對演練1.二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，下列結論:①4ac＜b2;②a＋c＞b;③2a＋b＞0.其中第1題圖A.①②B.①③C.②③D.①②③2.若m、n(其中n＜m)是關于x的一元二次方程1－(x－a)(x－b)＝0的兩個根，且b＜a，則m，n，b，a的大小關系是()A.m＜a＜b＜nB.a＜m＜n＜bC.b＜n＜m＜aD.n＜b＜a＜m3.(2017涼山州)小明和哥哥從家里出去買書，從家出來走了20分鐘到一個離家1000米的書店，小明買了書后隨即按原速返回;哥哥看了20分鐘書后，用15分鐘返回家．下面的圖形中哪一個表示哥哥離家時間與距離之間的關系()4.如圖，函數y＝mx－4meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m<0))的圖象分別交x軸、y軸于點M，N，線段MN上兩點在x軸的垂足分別為A1，B1，若OA1＋OB1>4，則△OAA1的面積S1與△OBB1的面積S2的大小關系是()第4題圖A.S1>S2B.S1＝S2C.S1<S2D.不確定5.如圖，已知函數y＝x＋b和y＝ax＋3的圖象交點為P，則不等式x＋b>ax＋3的解集為_________．第5題圖6.我國著名數學家華羅庚曾說過:“數形結合百般好，隔裂分家萬事非．”如圖，在一個邊長為1的正方形紙板上，依次貼上面積為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…，eq\f(1,2n)的矩形彩色紙片(n為大于1的整數)．請你用“數形結合”的思想，依數形變化的規律，計算eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,2n)＝________.第6題圖7.如圖，點A為函數y＝eq\f(9,x)(x＞0)圖象上一點，連接OA，交函數y＝eq\f(1,x)(x＞0)的圖象于點B，點C是x軸上一點，且AO＝AC，則△ABC的面積為______．第7題圖8.如圖，矩形ABCD的長AD＝5cm，寬AB＝3cm，長和寬都增加xcm，那么面積增加ycm2.(1)寫出y與x的函數關系式;(2)當增加的面積y＝20cm2時，求相應的x第8題圖9.(2017麗水)如圖①，在△ABC中，∠A＝30°，點P從點A出發以2cm/s的速度沿折線A－C－B運動，點Q從點A出發以a(cm/s)的速度沿AB運動，P，Q兩點同時出發，當某一點運動到點B時，兩點同時停止運動．設運動時間為x(s)，△APQ的面積為y(cm2)，y關于x函數圖象由C1，C2兩段組成，(1)求a的值;(2)求圖②中圖象C2段的函數表達式;(3)當點P運動到線段BC上某一段時，△APQ的面積大于當點P在線段AC上任意一點時△APQ的面積，求x的取值范圍．第9題圖答案1.B【解析】∵b2－4ac>0，∴4ac<b2;當x＝－1時，y<0，即a－b＋c<0，∴a＋c<b;∵x＝－eq\f(b,2a)>1，a＜0，∴－b<2a，2a＋b>0.故正確的有①③.2.D【解析】∵1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－b))＝0，∴1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－b))，設y1＝1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－b))，畫出圖象得，n<b<a<m.第2題解圖3.D【解析】根據題意，從20分鐘到40分鐘哥哥在書店里看書，離家距離沒有變化，是一條平行于x軸的線段．4.A【解析】設A(a，am－4m)，B(b，bm－4m)，結合圖象知，S1＝eq\f(1,2)a(am－4m)，S2＝eq\f(1,2)b(bm－4m)，S1－S2＝eq\f(1,2)am(a－4)－eq\f(1,2)bm(b－4)＝eq\f(1,2)m×(a2－4a－b2＋4b)＝eq\f(1,2)m[(a＋b)×(a－b)－4(a－b)]＝eq\f(1,2)m(a－b)(a＋b－4)，∵OA1＋OB1＝a＋b＞4，∴S1－S2＝eq\f(1,2)m(a－b)(a＋b－4)＞0，∴S1＞S2.5.x>16.1－eq\f(1,2n)【解析】由正方形的邊長為1，得正方形的面積為1，正方形減去未貼彩色紙片部分的面積即是已貼彩色紙片部分的面積，eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,2n)＝1－eq\f(1,2n).7.6【解析】如解圖，分別過A，B兩點作x軸的垂線，垂足分別為N、M，則eq\f(S△BOM,S△AON)＝eq\f(1,9)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OB,OA)))2，∴eq\f(OB,OA)＝eq\f(1,3)，∵S△AOC＝2×S△AON＝9，∴S△ABC＝eq\f(2,3)×9＝6.第7題解圖8．解:(1)由題意可得:(5＋x)(3＋x)－3×5＝y，化簡得y＝x2＋8x.故y與x的函數關系式為y＝x2＋8x;(2)把y＝20代入解析式y＝x2＋8x中得x2＋8x－20＝0，解得x1＝2，x2＝－10(舍去)．∴當邊長增加2cm時，面積增加20cm9.解:(1)如解圖①，過點P作PD⊥AB于點D.9題解圖①∵∠A＝30°，PA＝2x，∴PD＝PA·sin30°＝2x·eq\f(1,2)＝x，∴y＝eq\f(1,2)AQ·PD＝eq\f(1,2)ax·x＝eq\f(1,2)ax2.由圖象得，當x＝1時，y＝eq\f(1,2)，則eq\f(1,2)a·12＝eq\f(1,2)，∴a＝1;(2)如解圖②，當點P在BC上時，PB＝5×2－2x＝10－2x.第9題解圖②∴PD＝PB·sinB＝(10－2x)·sinB，∴y＝eq\f(1,2)AQ·PD＝eq\f(1,2)x·(10－2x)·sinB.由圖象得，當x＝4時，y＝eq\f(4,3)，∴eq\f(1,2)×4×(10－8)·sinB＝eq\f(4,3)，∴sinB＝eq\f(1,3)，∴y＝eq\f(1,2)x·(10－2x)·eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(5,3)x;(3)令eq\f(1,2)x2＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(5,3)x，解得x1＝0(舍去)，x2＝2.由圖象得，當x＝2時，函數y＝eq\f(1,2)x2的最大值為y＝eq\f(1,2)×22＝2.將y＝2代入函數y＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(5,3)x，得2＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(5,3)x，解得x1＝2，x2＝3.∴由圖象得，x的取值范圍是2＜x＜3.第二部分題型研究題型一數學思想方法類型三方程與函數思想針對演練1.甲、乙兩個搬運工搬運某種貨物，已知乙比甲每小時多搬運600kg，甲搬運5000kg所用的時間與乙搬運8000kg所用的時間相等，求甲、乙兩人每小時分別搬運多少kg貨物．設甲每小時搬運xkg貨物，則可列方程為()A.eq\f(5000,x－600)＝eq\f(8000,x)B.eq\f(5000,x)＝eq\f(8000,x＋600)C.eq\f(5000,x＋600)＝eq\f(8000,x)D.eq\f(5000,x)＝eq\f(8000,x－600)2.如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH.若BE∶EC＝2∶1，則線段CH的長是()A.3B.4C.5D.6第2題圖3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，AE⊥AB交BC于點E.若S△ABC＝m2＋9n2，S△ADE＝mn，則m與n之間的數量關系是()第3題圖A.m＝3nB.m＝6nC.n＝3mD.n＝4.已知:M，N兩點關于y軸對稱，且點M在雙曲線y＝eq\f(1,2x)上，點N在直線y＝x＋3上，設點M的坐標為(a，b)，則二次函數y＝－abx2＋(a＋b)x()A．有最大值，最大值為－eq\f(9,2)B．有最大值，最大值為eq\f(9,2)C．有最小值，最小值為eq\f(9,2)D．有最小值，最小值為－eq\f(9,2)5.如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動點P從A點出發，按A→B→C的方向在AB和BC上移動，記PA＝x，點D到直線PA的距離為y，則y關于x的函數圖象大致是()6.若3x2mym與x4－nyn－1是同類項，則m＋n＝________．7.教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發現鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的關系為y＝－eq\f(1,12)(x－4)2＋3，由此可知鉛球推出的距離是________m.8.設直線y＝kx＋k－1和直線y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋1))x＋k(k是正整數)與x軸圍成的三角形面積為Sk，則S1＋S2＋S3＋…＋S2018的值是________.9.某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿;當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用．(1)若每個房間定價增加40元，則這個賓館這一天的利潤為多少元？(2)房價定為多少時，賓館的利潤最大？答案1.B【解析】甲每小時搬運xkg貨物，則乙每小時搬運(x＋600)kg貨物，根據題意得eq\f(5000,x)＝eq\f(8000,x＋600)，故選B.2.B【解析】由題意設CH＝x，則DH＝EH＝(9－x)，∵BE∶EC＝2∶1，∴CE＝eq\f(1,3)BC＝3，∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即(9－x)2＝32＋x2，解得x＝4，即CH＝4.3.A【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥BC，AE⊥AB，∴∠BEA＝∠BAD＝60°，∠EAC＝∠C＝30°，設DE＝a，則AE＝CE＝2a，∴BC＝6a，∴S△ABC＝6S△ADE，即m2＋9n2＝6mn，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－3n))2＝0，∴m＝3n.4.B【解析】∵M，N兩點關于y軸對稱，點M的坐標為(a，b)，∴N點的坐標為(－a，b)．又∵點M在反比例函數y＝eq\f(1,2x)的圖象上，點N在一次函數y＝x＋3的圖象上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(1,2a),b＝－a＋3))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝\f(1,2),a＋b＝3))，∴二次函數y＝－abx2＋(a＋b)x＝－eq\f(1,2)x2＋3x＝－eq\f(1,2)(x－3)2＋eq\f(9,2).∵二次項系數為－eq\f(1,2)＜0，∴函數有最大值，最大值為eq\f(9,2).5.B【解析】根據題意可知，需分兩種情況討論:①當P在AB上時，x的取值范圍是0＜x≤3，此時點D到PA的距離等于AD的長度4，∴y關于x的函數圖象是一條平行于x軸的直線;②當P在BC上時，x的取值范圍是3<x≤5，∵∠BAP＋∠DAE＝∠BAP＋∠APB，∴∠DAE＝∠APB，又∵∠B＝∠DEA＝90°，∴△ABP∽△DEA，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(AD,AP)，∴eq\f(y,3)＝eq\f(4,x)，∴y＝eq\f(12,x)，∴y關于x的函數圖象是雙曲線的一部分，由k＝12可得函數在第一象限，且y隨x的增大而減小．綜合①②可知B選項正確．第5題解圖6.3【解析】根據同類項的概念得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝4,m－n＝－1)))，解得m＝1，n＝2，∴m＋n＝3.7.10【解析】在函數表達式y＝－eq\f(1,12)(x－4)2＋3中令y＝0，得－eq\f(1,12)(x－4)2＋3＝0，解得x1＝10，x2＝－2(舍去)，∴鉛球推出的距離是10m.8.eq\f(2018,4038)【解析】∵方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋k－1,y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋1))x＋k)))的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－1)))，∴兩條直線的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1))，兩直線與x軸的交點分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,k)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－k,k＋1)，0))，∴Sk＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,k)－\f(－k,k＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－\f(1,k＋1)))，則S1＋S2＋S3＋…＋S2018＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2017)－eq\f(1,2018)＋eq\f(1,2018)－eq\f(1,2019))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2019)))＝eq\f(2018,4038).9.解:(1)若每個房間定價增加40元，則這個賓館這一天的利潤為(180＋40－20)×(50－eq\f(40,10))＝9200(元);(2)設房價增加x元時，利潤為w，則w＝(180－20＋x)(50－eq\f(x,10))＝－eq\f(1,10)x2＋34x＋8000＝－eq\f(1,10)(x－170)2＋10890，當x＝170時，房價為170＋180＝350(元)，w最大為10890.即當房價定為350元時，賓館的利潤最大．第二部分題型研究題型一數學思想方法類型四轉化思想針對演練1.我們解一元二次方程3x2－6x＝0時，可以運用因式分解法，將此方程化為3x(x－2)＝0，從而得到兩個一元一次方程:3x＝0或x－2＝0，進而得到原方程的解為x1＝0，x2＝2.這種解法體現的數學思想是()A.轉化思想B.函數思想C.數形結合思想D.公理化思想2.已知a2－b2＝－eq\f(1,6)，a－b＝eq\f(1,2)，則eq\f(a＋b,a－b)的值為()A.－eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.－eq\f(2,3)D.－eq\f(3,2)3.(2017溫州)我們知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3.現給出另一個方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0.它的解是()A.x1＝1，x2＝3B.x1＝1，x2＝－3C.x1＝－1，x2＝3D.x1＝－1，x2＝－34.如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N.若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為()A.eq\f(2,3)a2B.eq\f(1,4)a2C.eq\f(5,9)a2D.eq\f(4,9)a2第4題圖5.如圖，在大長方形ABCD中，放入六個相同的小長方形，則圖中陰影部分面積(單位:cm2)為()第5題圖A.16B.44C.96D.1406.設m2＋m－1＝0，則代數式m3＋2mA.2016B.2017C.2018D.20207.如圖，△ABC經過平移得到△A′B′C′，若四邊形ACDA′的面積為6cm2，則陰影部分的面積為________cm2第7題圖8.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為55寸、10寸和6寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是_________寸．第8題圖9.三個同學對問題“若方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝c1,a2x＋b2y＝c2)))的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝4)))，求方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3a1x＋2b1y＝5c1,3a2x＋2b2y＝5c2)))的解．”提出各自的想法．甲說:“這個題目好像條件不夠，不能求解”;乙說:“它們的系數有一定的規律，可以試試”;丙說:“能不能把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以5，通過換元替代的方法來解決”．參考他們的討論，你認為這個題目的解應該是________．10.如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°.若BM＝1，CN＝3，求MN的長．第10題圖答案1.A2.C【解析】∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))＝－eq\f(1,6)，a－b＝eq\f(1,2)，∴a＋b＝－eq\f(1,3)，∴eq\f(a＋b,a－b)＝－eq\f(2,3).3．D【解析】令y＝2x＋3，則原方程變形為y2＋2y－3＝0，解得y1＝1，y2＝－3，所以2x＋3＝1或2x＋3＝－3，解得x1＝－1，x2＝－3.4.D【解析】如解圖，過E作BC和CD的垂線，垂足分別為G，H，則△EGM≌△EHN，∴重疊部分四邊形EMCN的面積等于正方形EGCH的面積，∵EC＝2AE，∴CE＝eq\f(2,3)AC，EG＝eq\f(2,3)AB＝eq\f(2,3)a，∴正方形EGCH的面積為eq\f(4,9)a2.第4題解圖5.B【解析】設小長方形的長和寬分別為x，y，則由圖形得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＋3x＝14,y＋x－2x＝6)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝8)))，則陰影部分面積為14×10－6×2×8＝140－96＝44.6.C【解析】∵m2＋m－1＝0，∴m2＋m＝1，則m3＋2m2＋2017＝m(m2＋m)＋m2＋2017＝m2＋m7.6【解析】∵由平移性質得，△ABC的面積等于△A′B′C′的面積，∴陰影部分的面積等于四邊形ACDA′的面積等于6cm2.第7題解圖8.73【解析】立體圖形轉化為平面圖形，展開后變為長方形，根據題意得，∠C＝90°，BC＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋6))＝48，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(552＋482)＝73.第8題解圖9.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝10)))【解析】將方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3a1x＋2b1y＝5c1,3a2x＋2b2y＝5c2)))變為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)a1x＋\f(2,5)b1y＝c1,\f(3,5)a2x＋\f(2,5)b2y＝c2))，設eq\f(3,5)x＝m，eq\f(2,5)y＝n，則原方程組轉化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1m＋b1n＝c1,a2m＋b2n＝c2))，再根據方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝c1,a2x＋b2y＝c2))的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝4))，所以得出eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝4))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x＝3,\f(2,5)y＝4))，解得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝10)).10.解:把△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到的△ACG，連接NG，如解圖，第10題解圖∴∠BAM＝∠GAC，AM＝AG，∴△ABM≌△ACG.∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠GAN＝∠MAN＝45°，∴△MAN≌△GAN.∴MN＝NG，∴∠BCA＋∠ACG＝90°.在Rt△GCN中，NG＝eq\r(CN2＋CG2)＝eq\r(10)，∴MN＝NG＝eq\r(10).第二部分題型研究題型一數學思想方法類型五整體思想針對演練1.已知:a－b＝eq\f(3,5)，b－c＝eq\f(3,5)，a2＋b2＋c2＝1，則ab＋bc＋ca的值等于________．2.如圖，已知△ABC的周長為20，一半徑為1的圓緊貼三角形外側旋轉一周所經過的路程為________．第2題圖3.已知五個半徑為1的圓的位置如圖所示，各圓心的連線構成一個五邊形，則陰影部分的面積為________．第3題圖4.角α、β、γ中有兩個銳角和一個鈍角，其數值已給出，在計算eq\f(1,15)(α＋β＋γ)的值時，全班得出23.5°、24.5°、25.5°這樣三種不同結果，其中確定有正確的答案，那么α＋β＋γ＝________．5.已知方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y＝5,5x＋4y＝7))，求代數式x＋y的值等于________．6.已知eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝2，則eq\f(2x－3xy＋2y,x＋xy＋y)的值為________．7.計算(1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)－eq\f(1,4)－eq\f(1,5))(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6))－(1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)－eq\f(1,4)－eq\f(1,5)－eq\f(1,6))(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5))的結果是________．8.如圖，已知Rt△ABC的周長為2＋eq\r(6)，其中AB＝2，則這個三角形的面積是________．第8題圖9.如圖，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交邊AC于點E，則△BCE的周長為________．第9題圖10.分解因式:(x2－3x＋2)(x2－3x－4)－72.11.有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元;若購甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．現在計劃購甲、乙、丙各1件，共需多少元？12.如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是BC上一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的長．第12題圖答案1.－eq\f(2,25)【解析】可將ab＋bc＋ca當作整體去求解，不用分別求出a、b、c的值．∵a－b＝eq\f(3,5)，b－c＝eq\f(3,5)，∴a－c＝eq\f(6,5)，則有(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝eq\f(54,25)，即a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝eq\f(27,25)，又∵a2＋b2＋c2＝1，∴ab＋bc＋ac＝－eq\f(2,25).2.20＋2π【解析】⊙O在△ABC的三個頂點處所轉過的圓心角度數和為360°×3－90°×2×3－180°＝360°.所以總長度為L＝20＋2π.3.eq\f(3π,2)【解析】將五個扇形的圓心角度和作為整體，∵五個扇形的圓心角的和＝(5－2)×180°＝540°，r＝1，∴S陰影部分＝eq\f(540×π×12,360)＝eq\f(3π,2).4.352.5°【解析】將a＋β＋r看作整體．設0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，∴90°＜α＋β＋γ＜360°，∴6°＜eq\f(1,15)(α＋β＋γ)＜24°.∵23.5°、24.5°、25.5°中有正確答案，∴eq\f(1,15)(α＋β＋γ)＝23.5°，∴α＋β＋γ＝352.5°.5.eq\f(4,3)【解析】將(x＋y)作為整體，方程組中的兩個方程相加得:9x＋9y＝12，∴9(x＋y)＝12，即x＋y＝eq\f(4,3).6.eq\f(1,3)【解析】∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝2，∴x＋y＝2xy，∴eq\f(2x－3xy＋2y,x＋xy＋y)＝eq\f(2（x＋y）－3xy,（x＋y）＋xy)＝eq\f(xy,3xy)＝eq\f(1,3).7.eq\f(1,6)【解析】設eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＝a，則原式＝(1－a)·(a＋eq\f(1,6))－(1－a－eq\f(1,6))a＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,6)a－a2－eq\f(5,6)a＋a2＝eq\f(1,6).8.eq\f(1,2)【解析】在Rt△ABC中，根據勾股定理，得a2＋b2＝22，即(a＋b)2－2ab＝4，又∵a＋b＝eq\r(6)，∴(eq\r(6))2－2ab＝4，∴ab＝1，∴S＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2).9.13【解析】∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，則△BCE的周長＝BC＋EC＋EB＝BC＋EC＋EA＝BC＋AC＝13.10.解:設x2－3x＝a，則原式＝(a＋2)(a－4)－72＝a2－2a＝(a－10)(a＋8)＝(x2－3x－10)(x2－3x＋8)＝(x－5)(x＋2)(x2－3x＋8)．11．解:設甲、乙、丙三種貨物的單價各為x、y、z元，由題意可得:3x＋7y＋z＝3.15①，4x＋10y＋z＝4.20②，三個未知數，2個方程，故考慮將x＋y＋z當作整體來解答．②－①得x＋3y＝1.05③，③×3得3x＋9y＝3.15④，②－④得x＋y＋z＝1.05，答:購甲、乙、丙各1件，共需1.05元．12.解:由已知條件并不能求得PE、PF的長，我們把PE＋PF的值看成一個整體．由題設條件可知:△BPE∽△BDC，∴eq\f(PE,DC)＝eq\f(BP,BD)，∵△CPF∽△CAB，∴eq\f(PF,AB)＝eq\f(CP,CA)，又∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝DC＝6，AC＝BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(62＋82)＝10，∴eq\f(PE＋PF,AB)＝eq\f(BP＋CP,AC)＝eq\f(8,10)，∴PE＋PF＝4.8.第二部分題型研究題型二二次函數性質綜合題類型一二次項系數確定型針對演練1.已知拋物線y＝x2＋px＋q的頂點M為直線y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)與y＝－x＋m－1的交點．(1)用含m的代數式來表示頂點M的坐標;(2)若m＝6，當x取值為t－1≤x≤t＋3時，二次函數y最小值＝2，求t的取值范圍;(3)將拋物線y＝x2＋px＋q向右平移1個單位，再向下平移2個單位后，與拋物線y＝(x－3)2＋2重合，求p、q的值．2.已知拋物線y＝x2－2bx＋c.(1)若拋物線的頂點坐標為(2，－3)，求b，c的值;(2)若b＋c＝0，是否存在實數x，使得相應的y的值為1，請說明理由;(3)若c＝b＋2且拋物線在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b的值．3.已知拋物線y＝x2－(m＋1)x＋eq\f(1,2)(m2＋1)．(1)若拋物線與x軸有交點，求m的值;(2)在(1)的條件下，先作y＝x2－(m＋1)x＋eq\f(1,2)(m2＋1)的圖象關于x軸的對稱圖形，然后將所作圖形向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，寫出變化后圖象的解析式;(3)在(2)的條件下，當直線y＝2x＋n(n≥m)與變化后的圖象有公共點時，求n2－4n的最大值和最小值．4.如圖，已知點A(0，2)，B(2，2)，C(－1，－2)，拋物線y＝x2－2mx＋m2－2與直線x＝－2交于點P.(1)當拋物線經過點C時，求它的表達式;(2)拋物線上有兩點M(x1，y1)、N(x2，y2)，若－2≤x1＜x2，y1＜y2，求m的取值范圍;(3)設點P的縱坐標為yP，求yP的最小值，此時拋物線上有兩點M(x1，y1)、N(x2，y2)，若x1＜x2≤－2，比較y1與y2的大小;(4)當拋物線與線段AB有公共點時，直接寫出m的取值范圍．第4題圖答案1.解:(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋\f(1,2),y＝－x＋m－1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2m－3,3),y＝\f(m,3)));即頂點M坐標為(eq\f(2m－3,3)，eq\f(m,3));(2)∵m＝6，∴二次函數圖象的頂點為(3，2)，∴拋物線為y＝(x－3)2＋2，∴函數y有最小值為2，∵當x取值為t－1≤x≤t＋3時，二次函數y最小值＝2，∴t－1≤3，t＋3≥3，解得0≤t≤4;(3)平移后的拋物線為y＝(x－3)2＋2，其頂點坐標為(3，2)，平移前的拋物線為y＝x2＋px＋q，其頂點坐標為(－eq\f(p,2)，eq\f(4q－p2,4))由題意可知:將(－eq\f(p,2)，eq\f(4q－p2,4))向右平移1個單位，再向下平移2個單位后與(3，2)重合，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)＋1＝3,\f(4q－p2,4)－2＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝－4,q＝8))，故p、q的值分別為－4，8.2.解:(1)∵拋物線y＝x2－2bx＋c∴a＝1，∵拋物線的頂點坐標為(2，－3)，∴y＝(x－2)2－3，∵y＝(x－2)2－3＝x2－4x＋1，∴b＝2，c＝1;(2)由y＝1得x2－2bx＋c＝1，∴x2－2bx＋c－1＝0，∵b＋c＝0，∴c＝－b，∵Δ＝4b2－4(c－1)＝4b2＋4b＋4＝(2b＋1)2＋3＞0，∴存在兩個實數，使得相應的y＝1;(3)由c＝b＋2，則拋物線可化為y＝x2－2bx＋b＋2，其對稱軸為x＝b，①當x＝b≤－2時，則有拋物線在x＝－2時取最小值為－3，此時－3＝(－2)2－2×(－2)b＋b＋2，解得b＝－eq\f(9,5)，不合題意;②當x＝b≥2時，則有拋物線在x＝2時取最小值為－3，此時－3＝22－2×2b＋b＋2，解得b＝3，符合題意．③當－2＜b＜2時，則eq\f(4（b＋2）－4b2,4)＝－3，化簡得:b2－b－5＝0，解得:b1＝eq\f(1＋\r(21),2)(不合題意，舍去)，b2＝eq\f(1－\r(21),2).綜上:b＝3或eq\f(1－\r(21),2).3.解:(1)拋物線與x軸有交點，則一元二次方程x2－(m＋1)x＋eq\f(1,2)(m2＋1)＝0，Δ＝(m＋1)2－2(m2＋1)＝－m2＋2m－1＝－(m－1)2，∵方程有實數根，∴－(m－1)2≥0，∴m＝1;(2)由(1)可知y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，圖象如解圖所示:第3題解圖平移后的解析式為y＝－(x＋2)2＋2＝－x2－4x－2.(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋n,y＝－x2－4x－2))消去y得到x2＋6x＋n＋2＝0，由題意Δ≥0，∴36－4n－8≥0，∴n≤7，∵n≥m，m＝1，∴1≤n≤7，令y′＝n2－4n＝(n－2)2－4，∴n＝2時，y′的值最小，最小值為－4，n＝7時，y′的值最大，最大值為21，∴n2－4n的最大值為21，最小值為－4.4.解:(1)∵拋物線經過點C(－1，－2)，∴－2＝1＋2m＋m2－2，∴m＝－1，∴拋物線的表達式是y＝x2＋2x－1;(2)拋物線的對稱軸為直線x＝m，當x≥m時，y隨x的增大而增大;點M，N均在直線x＝－2的右側，∴直線x＝－2必須在直線x＝m右側或與之重合．∴m≤－2.(3)當x＝－2時，yP＝4＋4m＋m2－2＝(m＋2)2∴yP的最小值為－2，此時m＝－2，∴當x＜－2時，y隨x的增大而減小，∵x1＜x2≤－2，∴y1＞y2;(4)∵y＝(x－m)2－2，∴拋物線的頂點在直線y＝－2上．當x＝0時，y＝m2－2.當x＝2時，y＝m2－4m∵拋物線與線段AB有交點，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2≤2,m2－4m＋2≥2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2≥2,m2－4m＋2≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2≥0,m2－4m＋2≥2,0＜m＜2))，解得:－2≤m≤0或2≤m≤4.第二部分題型研究題型二二次函數性質綜合題類型二二次項系數不確定型針對演練1.(2013杭州)已知拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交于點A、B(點A、B在原點O兩側)，與y軸相交于點C，且點A、C在一次函數y2＝eq\f(4,3)x＋n的圖象上，線段AB長為16，線段OC長為8，當y1隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍．2.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx－2(m≠0)與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B.(1)求點A，B的坐標;(2)若拋物線在－2≤x≤3的區間上的最小值為－3，求m的值;(3)設直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，且該拋物線在－2＜x＜－1這一段位于直線l的上方，在2＜x＜3這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式．第2題圖3.已知二次函數y＝kx2＋(3k＋2)x＋2k＋2.(1)若二次函數圖象經過直線y＝x－1與x軸的交點，求此時拋物線的解析式;(2)點A(x1，y1)，B(x2，y2)是函數圖象上的兩個點，若滿足x1＋x2＝－3，試比較y1和y2的大小關系．4.(2012杭州)在平面直角坐標系中，反比例函數與二次函數y＝k(x2＋x－1)的圖象交于點A(1，k)和點B(－1，－k)．(1)當k＝－2時，求反比例函數的解析式;(2)要使反比例函數與二次函數都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍;(3)設二次函數的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．考向2)函數類型不確定型(杭州:2015.20，2014.23，2012.18)針對演練1.(2012杭州)當k分別取－1，1，2時，函數y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值嗎？請寫出你的判斷，并說明理由，若有，請求出最大值．2.(2015杭州)設函數y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常數)．(1)當k取1和2時的函數y1和y2的圖象如圖所示，請你在同一直角坐標系中畫出當k取0時函數的圖象;(2)根據圖象，寫出你發現的一條結論;(3)將函數y2的圖象向左平移4個單位，再向下平移2個單位，得到函數y3的圖象，求函數y3的最小值．第2題圖3.(2011杭州)設函數y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k為實數)．(1)寫出其中的兩個特殊函數，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標系中，畫出這兩個特殊函數的圖象;(2)根據所畫圖象，猜想出:對任意實數k，函數的圖象都具有的特征，并給予證明;(3)對任意負實數k，當x＜m時，y隨著x的增大而增大，試求出m的一個值．4.已知函數y＝(k－1)x2＋x－k＋2(k為常數)．(1)求證:不論k為何值，該函數的圖象與x軸總有交點;(2)當k為何值時，函數圖象過原點，并指出此時函數圖象與x軸的另一個交點;(3)試問該函數是否存在最小值－3？若存在，求出此時的k值;若不存在，請說明理由．5.已知關于x的函數y＝kx2＋(2k－1)x－2(k為常數)．(1)試說明:無論k取什么值，此函數圖象一定經過(－2，0);(2)在x>0時，若要使y隨x的增大而減小，求k的取值范圍; (3)若該函數圖象為拋物線，將其向上平移2個單位后，平移前后圖象、對稱軸和y軸圍成的圖形面積為4，求此時k的值．6.關于x的函數y＝2kx2＋(1－k)x－1－k(k是實數)，探索發現了以下四條結論:①函數圖象與坐標軸總有三個不同的交點;②當k＝－3時，函數圖象的頂點坐標是(eq\f(1,3)，eq\f(8,3));③當k>0時，函數圖象截x軸所得的線段長度大于eq\f(3,2);④當k≠0時，函數圖象總經過兩個定點．請你判斷四條結論的真假，并說明理由．答案1.解:∵點C在一次函數y2＝eq\f(4,3)x＋n的圖象上，線段OC長為8，∴n＝±8，①當n＝8時，一次函數為y2＝eq\f(4,3)x＋8，當y＝0時，x＝－6，求得點A的坐標為A(－6，0)，∵拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交于點A，B(點A，B在原點O兩側)，與y軸相交于點C，且線段AB長為16，∴這時拋物線開口向下，B(10，0);如解圖①所示，拋物線的對稱軸是x＝2，由圖象可知:當y1隨著x的增大而減小時，自變量x的取值范圍是x≥2;第1題解圖①②當n＝－8時，一次函數為y2＝eq\f(4,3)x－8，當y＝0時，x＝6，求得點A的坐標為(6，0)，∵拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交于點A，B(點A，B在原點O兩側)，與y軸相交于點C，且線段AB長為16，∴這時拋物線開口向上，B(－10，0)，如解圖②所示，拋物線的對稱軸是x＝－2，由圖象可知:當y1隨著x的增大而減小時，自變量x的取值范圍是x≤－2;第1題解圖②綜合以上兩種情況可得:當y1隨著x的增大而減小時，自變量x的取值范圍是x≥2或x≤－2.2.解:(1)當x＝0時，y＝－2，∴A(0，－2)，∵拋物線的對稱軸為直線x＝－eq\f(－2m,2m)＝1，∴B(1，0);(2)易知拋物線y＝mx2－2mx－2的對稱軸為x＝1，當m＞0時，拋物線開口向上，∵－2≤x≤3，∴y最小值在x＝1處取得，y最小值＝－m－2，∴－m－2＝－3，∴m＝1，當m＜0時，拋物線開口向下，y最小值在x＝－2處取得，即8m－2＝－3，∴m＝－eq\f(1,8).故m的值為1或－eq\f(1,8).(3)易得A點關于對稱軸直線x＝1的對稱點A′(2，－2)，則直線l經過A′、B，設直線l的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝－2,k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝2))，∴直線l的解析式為y＝－2x＋2;∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴拋物線在2＜x＜3這一段與在－1＜x＜0這一段關于對稱軸對稱，則拋物線在－2＜x＜－1這一段位于直線l的上方，在－1＜x＜0這一段位于直線l的下方，∴拋物線與直線l的交點的橫坐標為－1，當x＝－1時，y＝－2×(－1)＋2＝4，∴拋物線過點(－1，4)，當x＝－1時，m＋2m－2＝4解得m＝2，∴拋物線的解析式為y＝2x2－4x－2.3.解:(1)∵直線y＝x－1與x軸的交點為(1，0)，y＝kx2＋(3k＋2)x＋2k＋2經過點(1，0)，∴0＝k＋3k＋2＋2k＋2，∴6k＋4＝0，即k＝－eq\f(2,3).∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(2,3).(2)∵點A(x1，y1)，B(x2，y2)是二次函數圖象上兩個點，∴y1＝kxeq\o\al(2,1)＋(3k＋2)x1＋2k＋2，y2＝kxeq\o\al(2,2)＋(3k＋2)x2＋2k＋2，兩式相減，得y1－y2＝[kxeq\o\al(2,1)＋(3k＋2)x1＋2k＋2]－[kxeq\o\al(2,2)＋(3k＋2)x2＋2k＋2]＝k(x1＋x2)(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)＝－3k(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)＝2(x1－x2)，當x1＞x2時，y1＞y2;當x1＝x2時，y1＝y2;當x1＜x2時，y1＜y2;4.解:(1)∵點A(1，k)在反比例函數圖象上，∴設反比例函數為y＝eq\f(k,x)，∵k＝－2，∴y＝－eq\f(2,x);(2)要使得反比例函數是y隨著x的增大而增大，∴k<0.而對于二次函數y＝kx2＋kx－k，其對稱軸為x＝－eq\f(1,2)，要使二次函數滿足上述條件，在k<0的情況下，則x必須在對稱軸的左邊，即x<－eq\f(1,2)時，才能使得y隨著x的增大而增大;綜上所述，則k<0，且x<－eq\f(1,2)時，反比例函數與二次函數都是y隨著x的增大而增大;(3)由(2)可得Q(－eq\f(1,2)，－eq\f(5,4)k);第4題解圖∵A點與B點關于原點對稱，∴原點O平分AB.又∵直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半，∴OQ＝OA＝OB.作AD⊥OC，QC⊥OC，OQ＝eq\r(CQ2＋OC2)＝eq\r(\f(25,16)k2＋\f(1,4)).而OA＝eq\r(AD2＋OD2)＝eq\r(1＋k2)，∴eq\r(\f(1,4)＋\f(25,16)k2)＝eq\r(1＋k2)，則k＝eq\f(2\r(3),3)或k＝－eq\f(2\r(3),3).考向2函數類型不確定型針對演練1.解:k只有取－1時，才有最大值，當k＝1，函數為y＝－4x＋4，是一次函數，一次函數無最值，當k＝2，函數為y＝x2－4x＋3，為二次函數，而此函數開口向上，則無最大值;當k＝－1，函數為y＝－2x2－4x＋6，為二次函數，此函數開口向下，有最大值，變形為y＝－2(x＋1)2＋8，則當x＝－1時，ymax＝8.2.解:(1)當k＝0時，y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，則此函數為二次函數，它的圖象與x軸交于點(1，0)、(－3，0)，與y軸的交點為(0，3)，頂點為(－1，4)，利用描點法所畫函數的圖象如解圖:第2題解圖(2)①圖象都經過點(1，0)和點(－1，4);②圖象總交x軸于點(1，0);③k取0和2時的函數圖象關于點(0，2)中心對稱;(答案不唯一，寫出一條即可)(3)k＝2時，函數y2＝(x－1)2，此函數圖象的頂點坐標為(1，0)，向左平移4個單位，再向下平移2個單位，得到函數y3圖象的頂點坐標為(－3，－2)，則y3＝(x＋3)2－2，∴當x＝－3時，函數的最小值等于－2.3.解:(1)如兩個函數為y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，畫出函數圖象如解圖，第3題解圖(2)不論k取何值，函數y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的圖象必過定點(0，1)，(－2，－1)，且與x軸至少有1個交點.證明如下:由y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得k(x2＋2x)＋(x－y＋1)＝0.當x2＋2x＝0且x－y＋1＝0，即x＝0，y＝1或x＝－2，y＝－1時，上式對任意實數k都成立，所以函數的圖象必過定點(0，1)，(－2，－1)．又因為當k＝0時，函數y＝x＋1的圖象與x軸有一個交點;當k≠0時，∵Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，所以函數圖象與x軸有兩個交點．所以函數y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的圖象與x軸至少有1個交點.(3)只要寫出m≤－1的數都可以.∵k<0，∴函數y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的圖象在對稱軸x＝－eq\f(2k＋1,2k)的左側時，y隨x的增大而增大.4.(1)證明:若k＝1時，函數為一次函數，與x軸有交點，若k≠1時，函數為二次函數y＝(k－1)x2＋x－k＋2Δ＝1－4(k－1)(2－k)＝(2k－3)2≥0，∴不論k為何值，該函數的圖象與x軸總有交點;(2)解:∵函數y＝(k－1)x2＋x－k＋2過原點，∴－k＋2＝0，∴k＝2，∴y＝x2＋x，令y＝x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1，∴函數圖象與x軸的另一個交點為(－1，0);(3)解:①k－1＝0即k＝1時，函數y＝x＋1為一次函數，無最小值．②當k－1＞0即k＞1時函數有最小值，且最小值在函數頂點處取得．即eq\f(4（k－1）（2－k）－1,4（k－1）)＝－3，解得k＝3±eq\f(\r(15),2)，均符合題意．故此時k的值為3±eq\f(\r(15),2).5.解:(1)將x＝－2代入，得y＝k(－2)2＋(2k－1)·(－2)－2＝0，故不論k取何值，此函數圖象一定經過點(－2，0).(2)①若k＝0，此函數為一次函數y＝－x－2，當x＞0時，y隨x的增大而減小，∴k＝0符合題意．②若k≠0，此函數為二次函數，而圖象一定經過(－2，0)、(0，－2)，∴要使當x＞0時，y隨x的增大而減小，開口向下，需滿足k＜0即可．綜上，k的取值范圍是k≤0.(3)由題意可知2×|eq\f(2k－1,－2k)|＝4.解得k＝－eq\f(1,2)或k＝eq\f(1,6).故此時k的值為－eq\f(1,2)或eq\f(1,6).第5題解圖6.解:①假命題;理由:當k＝0時，y＝x－1為一次函數，與坐標軸只有兩個交點;②真命題;理由:當k＝－3時，y＝－6x2＋4x＋2＝－6(x－eq\f(1,3))2＋eq\f(8,3)，∴頂點坐標是(eq\f(1,3)，eq\f(8,3));③真命題;理由:當k>0時，令y＝0得:Δ＝(1－k)2－4×2k(－1－k)＝(3k＋1)2，∴x＝eq\f(k－1±（3k＋1）,4k)，∴x1＝1，x2＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2k)，∵|x1－x2|＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2k)>eq\f(3,2)，∴函數圖象截x軸所得的線段長度大于eq\f(3,2);④真命題;理由:當k≠0時，y＝2kx2＋(1－k)x－1－k＝(2x2－x－1)k＋x－1，當2x2－x－1＝0時，y的值與k無關，此時x1＝1，x2＝－eq\f(1,2);當x1＝1時，y1＝0;當x2＝－eq\f(1,2)時，y2＝－eq\f(3,2)，∴函數圖象總經過兩個定點(1，0)，(－eq\f(1,2)，－eq\f(3,2))．第二部分題型研究題型三函數實際應用題類型一圖像類針對演練1.(2017青島)A、B兩地相距60km，甲、乙兩人從兩地出發相向而行，甲先出發．圖中l1，l2表示兩人離A地的距離s(km)與時間t(h)的關系．請結合圖象解答下列問題:(1)表示乙離A地的距離與時間關系的圖象是________(填l1或l2);甲的速度是________km/h;乙的速度是________km/h;(2)甲出發多少小時兩人恰好相距5km第1題圖2.A、B兩城間的公路長為450千米，甲、乙兩車同時從A城出發沿這一公路駛向B城，甲車到達B城1小時后沿原路返回．如圖是它們離A城的路程y(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數圖象．(1)求甲車返回過程中y與x之間的函數解析式，并寫出函數自變量的取值范圍;(2)乙車行駛6小時與返回的甲車相遇，求乙車的行駛速度．第2題圖3.(2017宿遷)小強與小剛都住在安康小區，在同一所學校讀書，某天早上，小強7:30從安康小區站乘坐校車去學校，途中需停靠兩個站點才能到達學校站點，且每個站點停留2分鐘，校車行駛途中始終保持勻速．當天早上小剛7:39從安康小區站乘坐出租車沿相同路線出發，出租車勻速行駛，比小強乘坐的校車早1分鐘到學校站點，他們乘坐的車輛從安康小區站出發所行駛路程y(千米)與行駛時間x(分鐘)之間的函數圖象如圖所示．(1)求點A的縱坐標m的值;(2)小剛乘坐出租車出發后經過多少分鐘追到小強所乘坐的校車？并求此時他們距學校站點的路程．第3題圖4.(2015麗水)甲、乙兩人勻速從同一地點到1500米處的圖書館看書．甲出發5分鐘后，乙以50米/分的速度沿同一路線行走．設甲、乙兩人相距s(米)，甲行走的時間為t(分)，s關于t的函數圖象的一部分如圖所示．(1)求甲行走的速度;(2)在坐標系中，補畫s關于t的函數圖象的其余部分;(3)問甲、乙兩人何時相距360米？第4題圖5.一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發，設慢車行駛的時間為x(h)，兩車之間的距離為y(km)，圖中的折線表示y與x之間的函數關系．(1)甲、乙兩地之間的距離為________千米;圖中點B的實際意義是__________________;(2)求線段BC所表示的y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;(3)若第二列快車也從甲地出發駛往乙地，速度與第一列快車相同．在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇．求第二列快車晚出發多少小時？(4)請在圖②中畫出快車和慢車距離甲地的路程yA，yB與行駛時間x之間的函數關系．第5題圖考向2費用問題(紹興:2017、2013.18)針對演練1.某市為鼓勵市民節約用水，自來水公司按分段收費標準收費，如圖反映的是每月水費y(元)與用水量x(噸)之間的函數關系．(1)當用水量超過10噸時，求y關于x的函數解析式;(2)按上述分段收費標準，小聰家三、四月份分別交水費38元和27元，問四月份比三月份節約用水多少噸？第1題圖2.某書店為了迎接2017年4月23日的“世界讀書日”，計劃購進A、B兩類圖書進行銷售，若購進A、B兩類圖書共1000本，其中購進A類圖書的單價為16元/本，購進B類圖書所需費用y(元)與購買數量x(本)之間存在如圖所示的函數關系.(1)求y與x之間的函數關系式;(2)若該書店購進A類圖書400本，則購進A、B兩類圖書共需要多少元？第2題圖3.如圖是某出租車單程收費y(元)與行駛路程x(千米)之間的函數關系圖象，根據圖象回答下列問題:(1)當行駛8千米時，收費應為________元;(2)從圖象上你能獲得哪些信息(請寫出2條);(3)求出收費y(元)與行駛路程x(千米)(x≥3)之間的函數關系式．第3題圖4.(2017淮安)某公司組織員工到附近的景點旅游，根據旅行社提供的收費方案，繪制了如圖所示的圖象，圖中折線ABCD表示人均收費y(元)與參加旅游的人數x(人)之間的函數關系．(1)當參加旅游的人數不超過10人時，人均收費為______元;(2)如果該公司支付給旅行社3600元，那么參加這次旅游的人數是多少？第4題圖5.(2017上海)甲、乙兩家綠化養護公司各自推出了校園綠化養護服務的收費方案．甲公司方案:每月的養護費用y(元)與綠化面積x(平方米)是一次函數關系，如圖所示．乙公司方案:綠化面積不超過1000平方米時，每月收取費用5500元;綠化面積超過1000平方米時，每月在收取5500元的基礎上，超過部分每平方米收取4元．(1)求如圖所示的y與x的函數解析式;(2)如果某學校目前的綠化面積是1200平方米，試通過計算說明:選擇哪家公司的服務，每月的綠化養護費用較少．第5題圖6.(2017天門)江漢平原享有“中國小龍蝦之鄉”的美稱，甲、乙兩家農貿商店，平時以同樣的價格出售品質相同的小龍蝦，“龍蝦節”期間，甲、乙兩家商店都讓利酬賓，付款金額y甲，y乙(單位:元)與原價x(單位:元)之間的函數關系如圖所示．(1)直接寫出y甲，y乙關于x的函數關系式;(2)“龍蝦節”期間，如何選擇甲、乙兩家商店購買小龍蝦更省錢？第6題圖考向3流量問題(紹興:2016.19)針對演練1.(2017吉林)如圖①，一個正方體鐵塊放置在圓柱形水槽內，現以一定的速度往水槽中注水，28s時注滿水槽．水槽內水面的高度y(cm)與注水時間x(s)之間的函數圖象如圖②所示．第1題圖(1)正方體的棱長為________cm;(2)求線段AB對應的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍;(3)如果將正方體鐵塊取出，又經過t(s)恰好將此水槽注滿，直接寫出t的值．2.一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始4min內只進水不出水，在隨后的8min內既進水又出水，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數．容器內的水量y(單位:L)與時間x(單位:min)之間的關系如圖所示．(1)當4≤x≤12時，求y關于x的函數解析式;(2)直接寫出每分鐘進水、出水量各多少升．第2題圖3.某游泳池一天要經過“注水－保持－排水”三個過程，如圖，圖中折線表示的是游泳池在一天某一時間段內池中水量y(m3)與時間x(min)之間的關系．(1)求排水階段y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍;(2)求水量不超過最大水量的一半值的時間一共有多少分鐘．第3題圖答案針對演練1.解:(1)l2;30;20;【解法提示】∵甲先出發0.5小時后，乙才出發，∴乙圖象與x軸的交點坐標為(0.5，0)，故l2是乙離A地距離與時間t的函數圖象;甲經過2小時走完全程，則甲的速度為60÷2＝30(km/h)．從0.5小時開始，經過3.5－0.5＝3小時，乙走完全程，∴乙的速度為60÷3＝20(km/h)．(2)設甲出發后，經過t小時，兩人相距5km，①當兩人相遇前相距5km時，則30t＋20(t－0.5)＝60－5，解得t＝1.3，②當兩人相遇后相距5km時，則30t＋20(t－0.5)＝60＋5，解得t＝1.5，答:甲出發1.3h，1.5h時，兩人恰好相距5km2.解:(1)設甲車返回過程中y與x之間的函數解析式為y＝kx＋b，∵圖象過(5，450)，(10，0)兩點，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5k＋b＝450,10k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－90,b＝900))，∴y＝－90x＋900(5≤x≤10);(2)當x＝6時，y＝－90×6＋900＝360，v乙＝eq\f(360,6)＝60(千米/小時)．答:乙車的行駛速度為60千米/小時．3.解:(1)如解圖，由題意可設AH的表達式為y＝eq\f(3,4)x＋b1，第3題解圖由H(6，3)在AH上，則有3＝eq\f(3,4)×6＋b1，即b1＝－eq\f(3,2)，∴AH的表達式為y＝eq\f(3,4)x－eq\f(3,2)，由A(8，m)在AH上，則有m＝eq\f(3,4)×8－eq\f(3,2)，即m＝eq\f(9,2)，故點A的縱坐標m的值為eq\f(9,2);(2)如解圖，由題意可設BC的表達式為y＝eq\f(3,4)x＋b2，由B(10，eq\f(9,2))在BC上，則有eq\f(9