2021-2022高考數學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120。，并在扇形弧上正面等距安裝7個發彩色光的小燈泡且在

背面用導線相連(弧的兩端各一個，導線接頭忽略不計)，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導線最小大致需要的長度

為()

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

sin"------]<x<3

2.已知函數=｛25-，若函數/(x)的極大值點從小到大依次記為卬電？%，并記相應的極

2/(x-2),3<x<100

大值為乙也,???"，則偽)的值為()

;=1

A.25°+2449B.25°+2549C.249+2449D.249+2549

3.已知m,n為異面直線，m_L平面a,n_L平面0,直線1滿足1_Lm,1_Ln,/Za,/民則

()

A.a〃0且/〃aB.aJ_0且

C.a與相交，且交線垂直于/D.a與口相交，且交線平行于/

4.若x,均為任意實數，且(0+2)2+僅一3)2=1,貝U(x—a『+(lnx—bp的最小值為()

A.3亞B.18C.372-1D.19-6>/2

5.已知等差數列｛〃“｝的前〃項和為S“，％=2,$6=21,則為=

A.3B.4C.5D.6

6.已知集合4={》|1082(%-1)<2},8=%,則408=()

A.{2,345}B.{2,3,4}C.{1,234}D.{0,123,4}

7.設等差數列也,｝的前〃項和為S,,,且$8=0,4=-3,則Sg=()

A.9B.12C.-15D.-18

cinv

8,已知函數/(x)=------的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合

l+2sinx

的變換方式有()

①繞著x軸上一點旋轉180。；

②沿x軸正方向平移；

③以x軸為軸作軸對稱；

④以x軸的某一條垂線為軸作軸對稱.

A.①③B.③④C.②③D.②④

9.已知函數/(x)=cos2x+J5sin2x+1,則下列判斷錯誤的是()

A./(x)的最小正周期為萬B./(x)的值域為[-1,3]

C.f(x)的圖象關于直線》=工對稱D.的圖象關于點對稱

6I4J

10.點。為AABC的三條中線的交點，且。4_LO6,AB=2,則恁.反的值為()

A.4B.8C.6D.12

11.單位正方體ABC。-A&G。，黑、白兩螞蟻從點A出發沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段白螞蟻

爬地的路線是441T4。-一，黑螞蟻爬行的路線是ABTBBL一，它們都遵循如下規則：所爬行的第i+2段與第i

段所在直線必須是異面直線(ieM).設白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩

螞蟻的距離是()

A.1B.0C.>/3D.0

fv2

12.設尸為雙曲線C：々—==1(“>(),/?0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓*2+爐="2交于尸、

a-h"

。兩點.若|P0=|OF|,則C的離心率為

A.垃B.A/3

C.2D.V5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.正四面體ABC。的一個頂點A是圓柱。4上底面的圓心，另外三個頂點BCQ圓柱下底面的圓周上，記正四面體

V.

A8CD的體積為匕，圓柱。4的體積為匕，則，的值是.

y2

14.已知雙曲線的一條漸近線為y=2x,且經過拋物線y2=4x的焦點，則雙曲線的標準方程為.

15.拋物線＞=立*2的焦點坐標為.

16.AABC的三個內角A,B,C所對應的邊分別為“，b,c,已知26cosA=2c+W,則NB=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數〃x）=lnx-g辦2+笈，函數”X）在點（1,/。））處的切線斜率為0.

（1）試用含有。的式子表示匕，并討論了（%）的單調性；

（2）對于函數/（X）圖象上的不同兩點4（%,%）,3（々,%），如果在函數/（x）圖象上存在點

加（%0，%乂/?%，9）），使得在點M處的切線〃MB，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當/=五當時，又稱

AB存在“中值跟隨切線試問：函數/（x）上是否存在兩點A5使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A,8的坐

標，若不存在，說明理由.

18.（12分）已知橢圓石：m+/=13＞。＞0）的離心率為乎，且過點（，,（），點p在第一象限，A為左頂點，

8為下頂點，R4交）'軸于點C,PB交x軸于點O.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若CD//AB,求點P的坐標.

19.（12分）新高考，取消文理科，實行“3+3”，成績由語文、數學、外語統一高考成績和自主選考的3門普通高中

學業水平考試等級性考試科目成績構成.為了解各年齡層對新高考的了解情況，隨機調查50人（把年齡在［15,45）稱為

中青年，年齡在［45,75）稱為中老年），并把調查結果制成下表:

年齡（歲）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

頻數515101055

了解4126521

(1)分別估計中青年和中老年對新高考了解的概率；

(2)請根據上表完成下面2x2列聯表，是否有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關?

了解新高考不了解新高考總計

中青年

中老年

總計

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(3)若從年齡在［55,65)的被調查者中隨機選取3人進行調查，記選中的3人中了解新高考的人數為X,求X的分

布列以及E(X).

20.(12分)如圖1,已知四邊形5CDE為直角梯形，ZB=90°,BEUCD,且3E=2CQ=23C=2,A為BE

的中點?將△￡/%沿A。折到△PD4位置(如圖2),連結PC,構成一個四棱錐P-ABCZ).

(II)若A4_L平面ABCD.

①求二面角B-尸C一。的大小;

②在棱PC上存在點滿足府=4斤(OW2W1),使得直線AM與平面P3C所成的角為45°,求X的值.

21.(12分)如圖，已知橢圓「+太=l(a>8>0)經過點-乎］，且離心率6=^,過右焦點廠且不與坐標

軸垂直的直線/與橢圓C相交于M,N兩點.

（1）求橢圓C的標準方程；

1c+k

（2）設橢圓C的右頂點為A，線段MN的中點為“，記直線AM,AN的斜率分別為亳求證：六占

為定值.

22.（10分）某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區，如圖，已知兩個購物廣場的

占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積

為5公頃和邑公頃；由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為S、公

頃和S4公頃.

（1）設N84c=e,用關于。的函數s（e）表示E+S2+S3+S4,并求s（e）在區間（0,乃）上的最大值的近似值（精確

到0.001公頃）;

（2）如果與+S2+S3+S4=52,并且\＜邑，試分別求出豆、S、S3、的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.

【詳解】

因為弧長比較短的情況下分成6等分，

所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，

故導線長度約為,X30=20萬?63(厘米).

3

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.

2.C

【解析】

對此分段函數的第一部分進行求導分析可知，當x=2時有極大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定義域的循環,

而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點a?的通項公式4=2〃，且相應極大值

b?=2'-',分組求和即得

【詳解】

?、兀

當時，f(x)=—cos\l-7TX-—-71|I,

顯然當x=2時有，/'(幻=0,

.?.經單調性分析知

x=2為Ax)的第一個極值點

又???3<x4100時，/(x)=2/(x-2)

x=4>x=6,x=8,…，均為其極值點

V函數不能在端點處取得極值

/.an=2n,1<n<49>〃eZ

二對應極值以=2"T,l<n<49,neZ

...f(a,+小(2+98)x49+1x5)=2皿+2449

仟，〃21-2

故選：C

【點睛】

本題考查基本函數極值的求解，從函數表達式中抽離出相應的等差數列和等比數列，最后分組求和，要求學生對數列

和函數的熟悉程度高，為中檔題

3.D

【解析】

試題分析：由加，平面a,直線/滿足/_Lm,且所以///。，又〃，平面/，/所以〃/￡,由

直線人〃為異面直線，且相，平面a,〃，平面則。與僅相交，否則，若a//￡則推出相〃〃，與人〃異面矛盾,

所以必尸相交，且交線平行于/,故選D.

考點：平面與平面的位置關系，平面的基本性質及其推論.

4.D

【解析】

該題可以看做是圓上的動點到曲線y=Inx上的動點的距離的平方的最小值問題，可以轉化為圓心到曲線y=lor上的

動點的距離減去半徑的平方的最值問題，結合圖形，可以斷定那個點應該滿足與圓心的連線與曲線在該點的切線垂直

的問題來解決，從而求得切點坐標，即滿足條件的點，代入求得結果.

【詳解】

由題意可得，其結果應為曲線y=1M上的點與以。（-2,3）為圓心，以1為半徑的圓上的點的距離的平方的最小值，可

以求曲線y=山上的點與圓心。（一2,3）的距離的最小值，在曲線y=扇上取一點,曲線有y=lar在點

M處的切線的斜率為％'=，,從而有七時/'=一1,即她二』.1=一1,整理得］n〃7+m2+2〃L3=0,解得加=1,

mm+2m

所以點（1,0）滿足條件，其到圓心c（—2,3）的距離為d=，（一2-1）2+（3—0）2=3近,故其結果為

（372-1）2=19-672,

故選D.

【點睛】

本題考查函數在一點處切線斜率的應用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關系，屬中檔題.

5.C

【解析】

q+d=2

4=1

方法一：設等差數列｛4｝的公差為小貝叫,6x5,，解得，,,所以%=1+(5—l)xl=5.故選C.

6a,+-----xd=21a=1

2

方法二：因為S6=*匈=3(02+4),所以3(2+%)=21,則%=5.故選C.

6.B

【解析】

解對數不等式可得集合A,由交集運算即可求解.

【詳解】

集合4={%|蜒2("1)<2},解得4=何1<%<5},

B=N,

由集合交集運算可得AcB={x[1<x<5}cN={2,3,4},

故選：B.

【點睛】

本題考查了集合交集的簡單運算，對數不等式解法，屬于基礎題.

7.A

【解析】

由S8=0,%=-3可得4，”以及為，而S9=S8+%,代入即可得到答案.

【詳解】

ci,1+2d=-3,(Z7—__/

設公差為d,則。8x7,八解得rc'

8q+-^—4=0,[d=2,

4=4+8d=9,所以S9=SR+4=9.

故選：A.

【點睛】

本題考查等差數列基本量的計算，考查學生運算求解能力，是一道基礎題.

8.D

【解析】

計算得到/(x+2S=/(x),/仁一[=/6+“，故函數是周期函數，軸對稱圖形，故②④正確，根據圖像

知①③錯誤，得到答案.

【詳解】

sin(x+2Z〃)sinx

/⑺=7^’”…)==/(x),keZ,

1+2sin(x+2Z萬)1+2sinx

當沿x軸正方向平移2Qr,左￡Z個單位時，重合，故②正確;

sin|J+xJ

71COSXCOSX

y-X

l+2cosx'l+2sinfy+xl+2cosx'

71xj=/ly+xl,函數關于x=7'1對稱，故④正確;

故/

2

根據圖像知：①③不正確;

故選：D.

【點睛】

本題考查了根據函數圖像判斷函數性質，意在考查學生對于三角函數知識和圖像的綜合應用.

9.D

【解析】

先將函數/(x)=cos2x+百sin2x+l化為/(x)=2sin2x+2+1,再由三角函數的性質，逐項判斷，即可得出結

果.

【詳解】

*.*/(x)=cos2x+>/3sin2x+1

、

可得/(x)=25?COS2X+5-?sin2x+1=2sin2x+—+1

6

7

T2〃2?

對于A,f(x)的最小正周期為7=「=-丁=〃,故人正確；

l<y|2

對于B,由一l〈sin2x+^?l,可得—"/(x)<3,故B正確;

jrjr

對于C,?.?正弦函數對稱軸可得：2x0+—=4萬+一,(%€z)

62

解得：x0=1^+p(^eZ),

IT

當Z=o,x0=-,故C正確；

6

jr

對于D,?.?正弦函數對稱中心的橫坐標為：2xo+^=Z^,（keZ）

6

1JT

解得：Xq=—k兀+一AkGZ）

212、7

若圖象關于點l-E，。］對稱，則1左乃+々=一工

I4J2124

2

解得：％=-§，故D錯誤；

故選：D.

【點睛】

本題考查三角恒等變換，三角函數的性質，熟記三角函數基本公式和基本性質，考查了分析能力和計算能力，屬于基

礎題.

10.B

【解析】

2AC-BC=3WAC=2AO+W

可畫出圖形，根據條件可得,從而可解出，,然后根據。4_LQ6,AB=2進

2BC-AC=3BO阮=2麗+而

行數量積的運算即可求出ACBC=（2AO+BO）（2Bd+40）=8.

【詳解】

如圖:

點。為AABC的三條中線的交點

.-.AO=1(AB+AC)=1(2AC-BC),BO=1(BA+BC)=^(2BC-AC)

2AC-BC=3AO=2AO+W

二由＜可得:

2BC-AC=3BO?=2BO+AO

又因。4_LO6,AB=2,

222

ACBC^(2AO+BO)■(2BO+AO)=2AO+2BO=2AB=8?

故選：B

【點睛】

本題考查三角形重心的定義及性質，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數乘的幾何意義，向量的數乘運

算及向量的數量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.

11.B

【解析】

根據規則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經過幾段后又回到起點，得到每爬1步回到起點，周期為1.計算黑螞蟻爬完2020段

后實質是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質是到達哪個點，即可計算出它們的距離.

【詳解】

由題意，白螞蟻爬行路線為AAITAIOITOCI—GCTCBTBA,

即過1段后又回到起點，

可以看作以1為周期，

由2020+6=336…4,

白螞蟻爬完2020段后到回到C點；

同理，黑螞蟻爬行路線為

黑螞蟻爬完2020段后回到Di點，

所以它們此時的距離為血.

故選B.

【點睛】

本題考查多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.

12.A

【解析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率.

【詳解】

設PQ與x軸交于點A,由對稱性可知PQ，x軸,

又??.|尸。|=|0可=，，為以OE為直徑的圓的半徑,

.?.4為圓心|。4|=￡.

2

）又P點在圓工2+y2="上,

本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，

運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半

功倍，信手拈來.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.也

4萬

【解析】

設正四面體的棱長為“，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解.

【詳解】

解：設正四面體的棱長為“，

則底面積為Lxax且a=底面外接圓的半徑為Y3。，

2243

高為

正四面體的體積v=-x^-a2x*4^-a=—a\

'34312

圓柱。4的體積匕=;rx怦J*生邛小

v&

6

匕也府34〃

9

故答案為：且.

4萬

【點睛】

本題主要考查多面體與旋轉體體積的求法，考查計算能力，屬于中檔題.

14.》2一匕=1

4

【解析】

2

設以直線丁=±2尤為漸近線的雙曲線的方程為一一二=2(2/0),再由雙曲線經過拋物線y2=4x焦點E(l,0),能

4

求出雙曲線方程.

【詳解】

解：設以直線丫=±21為漸近線的雙曲線的方程為/—￡="/1/0),

4

???雙曲線經過拋物線丁=以焦點b(1,0),

/-1=A9

2

...雙曲線方程為一一匕=1,

4

2

故答案為：X2——-1.

4

【點睛】

本題主要考查雙曲線方程的求法，考查拋物線、雙曲線簡單性質的合理運用，屬于中檔題.

15.（0,3）

【解析】

變換得到丁=12y,計算焦點得到答案.

【詳解】

拋物線>=卷》2的標準方程為/=]2>，p=6,所以焦點坐標為（0,3）.

故答案為：（0,3）

【點睛】

本題考查了拋物線的焦點坐標，屬于簡單題.

16.150°

【解析】

n

利用正弦定理邊化角可得2sinAcos8+bsinA=0，從而可得cos5=-上，進而求解.

2

【詳解】

由2〃cosA=2c+6a，

由正弦定理可得2sinficosA=2sinC+百sinA，

即2sin5cosA=2sin（A+5）+V§sinA,

整理可得2sinAcos8+gsinA=0，

又因為sinAHO,所以cosB=-走，

2

因為0<B<180,

所以5=150°，

故答案為：150°

【點睛】

本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）b^a-\,單調性見解析；（2）不存在，理由見解析

【解析】

(1)由題意得/'⑴=0,即可得8=a—1；求出函數/(X)的導數/'(x)=—-5+1),再根據。20、

-i<?<o>。=一1、”-1分類討論，分別求出r(x)>。、ra)<o的解集即可得解；

(2)假設滿足條件的A、3存在，不妨設A(%1,X),8(馬，必)且0<%<々，由題意得心8=號1j可得

/、

2五一1x

lnA=_k^_2,令，=2(0</<1),構造函數g(f)=ln/—3S(0<r<l),求導后證明g(r)<0即可

x2五+i%r+1

X2

得解.

【詳解】

(1)由題可得函數y=/(x)的定義域為(0,+8)且/")=——℃+乩

由/'(1)=0,整理得8=a—1.

、1,1.(ar+l)(-x+l)

f(x)=——ax+b=——ax+df-l=-----------

xxx

(i)當aNO時，易知xe(O,l),/'(x)>0,xe(l,+8)時r(x)<0.

故丁=〃x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減.

(ii)當。<0時，令/'(x)=0,解得％=1或》=---,貝！|

①當一：=1,即。=一1時，/'(X)20在(0,+?)上恒成立，則y=/(x)在(0,+8)上遞增.

②當一L>1,即一1<。<0時，當xe(O,l)u時，/,(x)>0；

當xe(L—時，/(x)<0.

所以y=〃x)在(o，i)上單調遞增，［，一￡|單調遞減，，+\|單調遞增.

③當一，<1,即"一1時，當xe(0,)"1,+8)時，/'(x)>0；當xe［-L1］時，

所以y=/(x)在(0，-口上單調遞增，單調遞減，(1,+8)單調遞增.

綜上，當4N0時，y=/(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)單調遞減.

當一l<a<0時，y=/(x)在(0,1)及卜上單調遞增；y=/(x)在，一；|上單調遞減.

當。=一1時,y=/(尤)在(0,+8)上遞增.

當“<_1時，)=/(力在］(),-'及0,+8)上單調遞增；y=/(x)在［一:,1］上遞減.

(2)滿足條件的A、8不存在，理由如下:

假設滿足條件的A、8存在，不妨設A(%,y),B(X2,必)且0〈無1<々，

>，2lnX,ln%2

貝！1心"=-="-1?(x,+x2)+a-l,

x,-x2x,-x22

,X|+九22X,+x9,

又/'■)=/I2-------ax—----+6Z-1,

X1+%22

、

2五-1

］盧=2%-2々=1/

由題可知上45=/'(/)，整理可得：m內=_2_7

］］X

X-x2X+x22%+/i+i

￡

令，=?1k(0<?<1)>構造函數g⑺=lnf-(0<Z<l).

4(1)一

貝!1短(。=；->0,

(f+1)2d+1)2

所以g(。在(0,1)上單調遞增，從而g(r)<g(l)=0,

所以方程口：二2；二無解,即左.=/'(%)無解.

綜上，滿足條件的4、8不存在.

【點睛】

本題考查了導數的應用，考查了計算能力和轉化化歸思想，屬于中檔題.

18.(1)+y2=1；(2)j

【解析】

￡=在

a2

222

(1)由題意得《a^b+c，求出進而可得到橢圓后的方程;

79

4a②+16b2

(2)由(1)知點A,8坐標，設直線AP的方程為y=-x+2),易知0＜上＜(,可得點C的坐標為(0,2&),聯立方

y-k(x+2)

程《22，得到關于丁的一元二次方程，結合根與系數關系，可用人表示p的坐標，進而由三點共線,

―x+/=]

I4,

即kBD=kpB，可用攵表示。的坐標，再結合k8=&"，可建立方程，從而求出攵的值，即可求得點P的坐標.

【詳解】

c6

a2

a2=4

(1)由題意得《<z2=b~+C1，解得

b2=1

79

V+16F-

丫2

所以橢圓E的方程為土+y2=i.

4-

（2）由⑴知點4—2,0）,8（0,—1）,

由題意可設直線AP的斜率為左，則所以直線AP的方程為y=&(x+2),則點C的坐標為(0,2%),

y^k（x+2）

2

聯立方程x,,消去》得：（1+442）/+16憶2%+16%2-4=（）.

一+曠=1

I4-

16/一48k2—2

設P（石,X）,則—2-X]-------,所以％=-------

1+4/11+4公7

由“I，/8&2-2c、4Zg”a8爐一24k、

所以，=?W+2）=所以詢）.

設。點的坐標為(不，0),因為點P,8,。三點共線，所以kBD=kpB，即

「力+】

11+4公2_4kbtnN_4k.

,所以不TF，所以O（TF，°）?

8k2—21+2k1+2k

1+4公

2k_1

因為CD//AB,所以k8=左.，即2-4k2?

~1+2k

所以4k2+4左一1=0,解得"=二1主也，

2

又0＜左＜＜,所以左=立二1符合題意,

22

計算可得一"W=4k_近

1+4公i+4/_'T

故點P的坐標為(友,立).

2

【點睛】

本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查平行線的性質，考查學生的計算求解能力，屬于難

題.

2

19.(1)P=~；(2)見解析，有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關聯；(3)分布列見解析,

￡(X)=|.

【解析】

(1)分別求出中青年、中老年對高考了解的頻數，即可求出概率；

(2)根據數據列出列聯表，求出K?的觀測值，對照表格，即可得出結論；

(3)年齡在［55,65)的被調查者共5人，其中了解新高考的有2人，X可能取值為0,1,2,分別求出概率，列出隨

機變量分布列，根據期望公式即可求解.

【詳解】

2211

(1)由題中數據可知，中青年對新高考了解的概率百，

Q7

中老年對新高考了解的概率F=^=|.

(2)2x2列聯表如圖所示

了解新高考不了解新高考總計

中青年22830

老年81220

總計302050

50x(22x12-8x8)2

K2?5.56>3.841

30x20x20x30

所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關聯.

（3）年齡在[55,65）的被調查者共5人，其中了解新高考的有2人,

則抽取的3人中了解新高考的人數X可能取值為0,L2,

3

則P（X=O）=普P-i）=皆喙

5

2

P(X=2)=3C=C'±3

C；10

所以X的分布列為

E(X)=0x—+lx-+2x—

105105

【點睛】

本題考查概率、獨立性檢驗及隨機變量分布列和期望，考查計算求解能力，屬于基礎題.

2

20.（I）詳見解析；（n）①120。，②2=0或九=].

【解析】

（I）可以通過已知證明出平面出B,這樣就可以證明出A￡）_LP8；

（II）①以點A為坐標原點，分別以AB,AD,A尸為X,y,z軸，建立空間直角坐標系，可以求出相應點的坐標，求

出平面P3C的法向量為萬、平面PCD的法向量比，利用空間向量的數量積，求出二面角B-PC-。的大小；

②求出平面P8C的法向量，利用線面角的公式求出X的值.

【詳解】

證明：(I)在圖1中，?.?AB//CD,AB=CD,

?.NB=90，.-.AD±BE,

當△￡/%沿AO折起時，AD±AB,AD±AE,即ADL45,AD±PA,

又ABcQ4=A,ABu面尸46,PAu面批B；.AD±平面PAB,

又必u平面BiB,J.ADJ_PB.

解：(II)①以點A為坐標原點，分別以A8,AD,AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，由于PA_L平面A3。

則A(0,0,0),5(1,0,0),C(1,L0),P(0,0,1),0(0,1,0)

正=(1,1,-1),前=(0,1,0),DC=(1,0,0),

設平面P8C的法向量為乃=(x,y,Z),

PC-n=x+y-z=0

則取z=l,得歷=(1,0,1),

BCn=y-0

設平面PC。的法向量玩=(a,b,c),

in-PC=a+b-c=0

則,取h=l,得比=(0,1,1)，

m-DC=<7=0

設二面角B-PC-D的大小為0,可知為鈍角，

?\m-n\11

則c°se=一麗=一反雙=一5,'"⑵。.

，二面角8—PC—。的大小為120。.

②設AM與面P8C所成角為a,

AM=AP+PM=(0,0,l)+/l(l,1,—1)=(A,%,1—X),

平面尸5c的法向量力=(1,0,1),

?.,直線AM與平面P8C所成的角為45,

_|2+1-2|巨

sina=cos(AM?

|W|-|H|V2-7/t2+/l2+(l-A)22

2

解得4=()或％.

3

【點睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了利用向量數量積，求二面角的大小以及通過線面角公式

求定比分點問題.

r2v2

21