3.1多項式的因式分解1.使學生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念；通過對分解因式與整式的乘法的觀察與比較，學習代數式的變形和轉化與化歸的能力，培養學生的分析問題能力與綜合應用能力.2.認識因式分解與整式乘法的相互關系——互逆關系(即相反變形)，并能運用這種關系尋求因式分解的方法；通過解決實際問題，學會將實際應用問題轉化為用所學到的數學知識解決問題，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐應用意識.3.培養學生接受矛盾的對立統一觀點，獨立思考，勇于探索的精神和實事求是的科學態度.【教學重點】因式分解的概念.【教學難點】難點是理解因式分解與整式乘法的相互關系，并運用它們之間的相互關系尋求因式分解的方法.1.多項式的乘法有幾種形式？單項式乘以多項式：a(m+n)=am+an多項式乘以多項式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn2.乘法公式有哪些？討論（1）21等于3乘那個數？（2）x2-1等于x+1乘哪個多項式？21=3×7.因為(x+1)(x-1)=x2-1，所以x2-1=(x+1)(x-1).對于整數21于3，有整數7使得21=3×7，我們把3叫做21的一個因數，同理7也是21的一個因數.類似地，對于多項式x2-1與x+1，由整式的乘法有多項式x-1使得x2-1=(x+1)(x-1)成立，我們把多項式x+1叫做x2-1的一個因式.同理，x-1也是x2-1的一個因式.定義：把一個多項式化為幾個整式的乘積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解(也叫做把這個多項式分解因式).一般地，對于兩個多項式f

與g，如果有多項式h

使得f=gh，那么我們把g

叫做f的一個因式，此時，h

也是

f

的一個因式．單項式可看作只有一項的多項式↗因式分解的特點：

分解的結果一定是積的形式.

每個因式必須是整式.

因式要分解到不能分解為止.x2－1(x+1)(x－1)因式分解整式乘法x2－1=(x+1)(x－1)因式分解等式的特征：左邊是多項式，右邊是幾個整式的乘積.想一想：整式乘法與因式分解有什么關系？是互逆的變形，即【例1】下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？(1)a2+2ab+b2=(a+b)2;(2)m2+m-4=(m+3)(m-2)+2.是.因為從左邊到右邊是把多項式a2+2ab+b2表示成了多項式a+b與a+b的積的形式.不是.因為(m+3)(m-2)+2不是幾個多項式乘積的形式.方法總結：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現形式．因式分解的右邊是兩個或幾個整式的積的形式，整式乘法的右邊是多項式的形式．1、下列從左到右的變形中是因式分解的有(

)①x2－

y2－1＝(x＋

y)(x－

y)－1；②x3＋

x＝

x(x2＋1)；③(x－

y)2＝

x2－2xy＋

y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1

個B．2

個C．3

個D．4

個B【例2】檢驗下列因式分解是否正確.（1）x2+xy=x(x+y)；（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；（3）2m2-n2=(2m-n)(2m+n).解：（1）因為x(x+y)=x2+xy，所以（1）正確；（2）因為(a-2)(a-3)=a2-5a+6，所以（2）正確；（3）因為(2m-n)(2m+n)=4m2-n2≠2m2-n2，所以（3）不正確.x2+x=x2(1+)2、在下列等式中，從左到右的變形是因式分解的有

；不是因式分解的，請說明為什么.

①

②

③④

⑤

⑥

③⑥am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x

·8xyx2－

1=(x+1)(x－

1)(2x+1)2=4x2+4x+12x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是積的運算因式分解的對象是多項式是整式乘法每個因式必須是整式3、若多項式

x2+ax+b分解因式的結果為

a(x﹣2)(x+3)，求

a，b的值.解：因為

x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)，即

x2+ax+b=ax2+ax﹣6a，所以

a=1，b=﹣6a=﹣6，方法歸納：對于此類問題，掌握因式分解與整式乘法為互逆運算是解題關鍵，應先把分解因式后的結果乘開，再與多項式的各項系數對應比較，使其分別相等即可.1.下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是()A.a(m-n)＝am-anB.y2+2y+1＝y(y+2)+1

C.(x+3)(x+6)＝x2+9x+18D.b3-b＝b(b+1)(b-1)D2.(7x-y)(7x+y)是下列哪一個多項式因式分解的結果()A.49x2+y2

B.-49x2+y2

C.49x2-y2D.-49x2-y2C3.根據整式乘法的經驗把下列多項式因式分解：

4.求4，6，14的最大公因數.4=1×2×2，6=1×2×3，14=1×2×7，最大公因數是2.解：

6.甲、乙兩個同學分解因式

x2+ax+b時，甲看錯了

b，分解結果為(x+2)(x+4)；乙看錯了

a，分解結果為(x+1)(x+9)，求

a+b的值.解：分解因式甲看錯了

b，但

a是正確的，

其分解結果為

x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，

所以

a=6.

同理，乙看錯了

a，但

b是正確的，

分解結果為

x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，

所以

b=9.

因此

a+b=15.7、若多項式

x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求

mn的值.解：因為

x4+mx3+nx﹣16的最高次數是4，所以可設

x4+mx3+nx﹣16=(x﹣1)(x﹣2)(x2+ax+b).則

x4+mx3+nx﹣16=x4+(a﹣3)x3+(b﹣3a+2)x2+(2a﹣3b)x+2b.比較系數得a﹣3=m，b﹣3a+2=0，2a﹣3b=n，2b=﹣16.解得

b=﹣8，a=﹣2，m=﹣5，n=20.所以

mn=﹣5×20=﹣100．一般地，把一個多項式表示成若干個多項式的乘積的形式，稱為把這個多項式因式分解.x2-1=(x+1)·(x-1)

一般地，對于兩個多項式f