微積分教學課件1-5無窮大和無窮小2024-01-25目錄引言無窮大的概念與性質(zhì)無窮小的概念與性質(zhì)無窮大與無窮小的比較無窮大與無窮小在微積分中的應(yīng)用典型例題分析與解答01引言理解無窮大和無窮小的概念及其性質(zhì)掌握無窮大與無窮小的比較方法了解無窮大與無窮小在微積分中的應(yīng)用教學目標無窮大和無窮小的定義及性質(zhì)無窮大與無窮小的比較無窮大與無窮小在微積分中的應(yīng)用舉例教學內(nèi)容無窮大和無窮小的概念、性質(zhì)及比較方法重點無窮大與無窮小在微積分中的應(yīng)用及理解難點教學重點與難點02無窮大的概念與性質(zhì)無窮大的定義010203無窮大是指在某個變化過程中，函數(shù)的絕對值無限增大的現(xiàn)象。無窮大分為正無窮大和負無窮大，分別表示函數(shù)值朝正方向和負方向無限增大。無窮大是一種特殊的極限狀態(tài)，可以用符號“∞”來表示。無窮大滿足加法運算的性質(zhì)，即無窮大與有限數(shù)相加，結(jié)果仍是無窮大。無窮大滿足乘法運算的性質(zhì)，即無窮大與不為零的有限數(shù)相乘，結(jié)果仍是無窮大。無窮大不滿足減法運算的性質(zhì)，即兩個無窮大相減，結(jié)果是不確定的。無窮大不滿足除法運算的性質(zhì)，即無窮大除以無窮大，結(jié)果是不確定的。無窮大的性質(zhì)有界函數(shù)是指函數(shù)值的絕對值在某個區(qū)間內(nèi)有上界和下界的函數(shù)。無窮大與有界函數(shù)的關(guān)系是：當自變量趨向某個值時，如果函數(shù)值趨向無窮大，則該函數(shù)在這個變化過程中不是有界函數(shù)。反之，如果函數(shù)在某個變化過程中是有界函數(shù)，則該函數(shù)值不會趨向無窮大。無窮大與有界函數(shù)的關(guān)系03無窮小的概念與性質(zhì)無窮小量如果函數(shù)$f(x)$在自變量的某個變化過程中，其絕對值無限地趨于零，則稱$f(x)$為這一變化過程中的無窮小量，簡稱無窮小。無窮小的符號表示通常用希臘字母$alpha$、$beta$、$gamma$等來表示無窮小，如$alpha(x)rightarrow0$表示$alpha(x)$是$xrightarrowx_0$時的無窮小。無窮小的定義要點三無窮小與零的關(guān)系無窮小量不是零，但在自變量的某個變化過程中，它的絕對值可以比任何正數(shù)都要小。要點一要點二無窮小的運算性質(zhì)兩個無窮小的和、差及乘積仍然是無窮??；有界函數(shù)與無窮小的乘積也是無窮小。無窮小的比較如果$limfrac{beta}{alpha}=0$，則稱$beta$是比$alpha$更高階的無窮小；如果$limfrac{beta}{alpha}=infty$，則稱$beta$是比$alpha$更低階的無窮小；如果$limfrac{beta}{alpha}=cneq0$，則稱$beta$與$alpha$是同階無窮小。要點三無窮小的性質(zhì)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小如果函數(shù)$u(x)$在自變量的某個變化過程中為有界函數(shù)，而$alpha(x)$是這一變化過程中的無窮小，則$u(x)alpha(x)$也是這一變化過程中的無窮小。無窮小與有界函數(shù)的和、差無窮小與有界函數(shù)的和或差仍然是有界函數(shù)。無窮小與有界函數(shù)的關(guān)系04無窮大與無窮小的比較無窮大階的比較無窮大階的定義：設(shè)$f(x)$和$g(x)$在同一自變量的趨向過程中（如$xtox_0$，$xtoinfty$）都趨于無窮大，那么如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=0$，則稱$f(x)$是$g(x)$的高階無窮大。如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=infty$，則稱$f(x)$是$g(x)$的低階無窮大。如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=cneq0$，則稱$f(x)$與$g(x)$是同階無窮大。例子：例如，當$xtoinfty$時，$x^2$是$x$的高階無窮大，$x$是$lnx$的高階無窮大。無窮小階的定義：設(shè)$alpha$和$beta$是在同一個自變量的趨向過程中的兩個無窮小，且$alphaneq0$，那么如果$limfrac{beta}{alpha}=0$，則稱$beta$是比$alpha$高階的無窮小，記作$beta=o(alpha)$。如果$limfrac{beta}{alpha}=infty$，則稱$beta$是比$alpha$低階的無窮小。如果$limfrac{beta}{alpha}=cneq0$，則稱$beta$與$alpha$是同階無窮小。例子：例如，當$xto0$時，$x^2$是$x$的高階無窮小，$sinx$是$x$的同階無窮小。無窮小階的比較010203等價無窮大的定義設(shè)$f(x)$和$g(x)$在同一自變量的趨向過程中都趨于無窮大，如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=1$，則稱$f(x)$與$g(x)$是等價的無窮大。等價無窮小的定義設(shè)$alpha$和$beta$是在同一個自變量的趨向過程中的兩個無窮小，如果$limfrac{alpha}{beta}=1$，則稱$alpha$與$beta$是等價的無窮小，記作$alphasimbeta$。例子例如，當$xto0$時，$sinxsimx$，$tanxsimx$，$(1+x)^alpha-1simalphax$等。等價無窮大與等價無窮小05無窮大與無窮小在微積分中的應(yīng)用描述函數(shù)在某點的極限行為01無窮大和無窮小可以用來描述函數(shù)在某一點附近的極限行為，例如當x趨近于無窮時，函數(shù)f(x)的極限可以是無窮大或無窮小。比較兩個函數(shù)的極限02通過比較兩個函數(shù)在某點的極限是無窮大還是無窮小，可以確定它們的相對增長速度。判斷函數(shù)的斂散性03利用無窮大和無窮小的性質(zhì)，可以判斷某些數(shù)列或函數(shù)是否收斂或發(fā)散。在極限中的應(yīng)用描述函數(shù)在某點的切線斜率導數(shù)表示函數(shù)在某一點處的切線斜率。當函數(shù)在某點的導數(shù)為無窮大或無窮小時，表示該點處的切線斜率不存在或為0。判斷函數(shù)的單調(diào)性通過分析函數(shù)導數(shù)的正負以及是否為無窮大或無窮小，可以判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性。尋找函數(shù)的極值點函數(shù)的極值點發(fā)生在導數(shù)為0或不存在的點。當導數(shù)為無窮大或無窮小時，這些點可能是函數(shù)的極值點。在導數(shù)中的應(yīng)用反常積分涉及對無窮區(qū)間或被積函數(shù)在某點取無窮大或無窮小的積分。利用無窮大和無窮小的性質(zhì)，可以對這些反常積分進行計算。計算反常積分通過將被積函數(shù)與某個已知斂散性的級數(shù)進行比較，可以利用無窮大和無窮小的性質(zhì)來判斷級數(shù)的斂散性。判斷級數(shù)的斂散性在物理學中，許多問題涉及對無窮大或無窮小區(qū)間的積分，例如計算物體的質(zhì)量、電荷等。利用無窮大和無窮小的概念，可以簡化這些問題的求解過程。解決物理問題在積分中的應(yīng)用06典型例題分析與解答

極限類問題極限的定義與性質(zhì)通過具體例子解釋極限的概念，包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，強調(diào)極限的唯一性、有界性、保號性等性質(zhì)。無窮大與無窮小的比較詳細闡述正無窮大、負無窮大、無窮小等概念，并通過例題展示如何進行無窮大與無窮小的比較。極限的運算法則介紹極限的四則運算法則，包括極限的加法、減法、乘法、除法運算，以及復合函數(shù)的極限運算法則。03高階導數(shù)闡述高階導數(shù)的概念及計算法則，通過例題展示如何求高階導數(shù)。01導數(shù)的定義與幾何意義通過實例解釋導數(shù)的概念，包括導數(shù)的定義、幾何意義以及導數(shù)與微分的關(guān)系。02導數(shù)的計算法則詳細介紹導數(shù)的計算法則，包括基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的