課時15正弦定理新授課1.借助向量運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握正弦定理.2.掌握正弦定理的適用條件，能用正弦定理解決簡單的實際問題.情境導入：如圖，設A，B兩點在河的兩岸，測量者為了得到A，B兩點之間的距離．測量者在B的同側，在所在的河岸選定一個點C，測出BC的距離是20m，∠B=45°∠C=60°，根據這些數據能用前面學習的余弦知識解決這個問題嗎？任務1：利用向量法推導正弦定理.目標一：借助向量運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握正弦定理.我們知道“大邊對大角，小邊對小角”，這是關于三角形邊和角的定性關系，那么三角形的邊和角是否存在定量關系？已知：如圖，在Rt△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊.問題1：根據三角函數關系說說

之間的關系？問題2：對于任意三角形，上述關系是否還成立？說明理由.

銳角三角形：在銳角?ABC中，過點A作與

垂直的單位向量則與的夾角為與的夾角為BAC因為所以,得即也即所以過點C作與

垂直的單位向量

可得,因此鈍角三角形：在鈍角?ABC中，過點A作與

垂直的單位向量則與的夾角為與的夾角為BAC同理可得思考：如圖，c是圓O的直徑，R是圓O的半徑，根據正弦定理，你發現

與半徑R有什么關系？借此歸納

與R存在什么關系？由圖可知,,因為在?ABC中，

，所以在

中，

,所以在

中有

.又因在圓O上，不論

怎么移動，上述結論都成立.所以對任意?ABC，有

.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

.推論：;.變形：

；.歸納總結練一練如圖，設A，B兩點在河的兩岸，測量者為了得到A，B兩點之間的距離．測量者在B的同側，在所在的河岸選定一個點C，測出BC的距離是20m，∠B=45°，∠C=60°，如何利用正弦定理求AB之間的距離解：

，根據正弦的兩角和公式可得，

，由正弦定理

可知

，所以

，所以

m.任務：利用正弦定理解三角形，歸納正弦定理適用條件.目標二：掌握正弦定理的適用條件，能用正弦定理解決簡單的實際問題.在△ABC中，已知

，求解這個三角形的邊長a.解：由正弦定理，得(1)當C=45°時，A=105°，且

，或(2)當C=105°時，A=45°，1.為什么利用正弦函數計算角C會有兩個值？2.結合前面做的“練一練”，小組討論歸納正弦定理的適用條件有哪些？在區間(0,π)內，余弦函數單調遞減，所以利用余弦函數求角，只有一解；正弦函數在區間

內單調遞增，在區間

內單調遞減，所以利用正弦函數求角，可能有兩解.思考歸納總結1.正弦定理的適用條件：（1）已知兩角及任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他邊、角）.2.正弦定理多解問題：當知兩邊及一邊的對角，求另一邊的對角的正弦值時，（1）若正弦值=1，則一解且為直角；（2）若正弦值≠1，則該對角為銳角或鈍角（可能1解、2解及無解）練一練1.判斷滿足下列的三角形的個數:(1)b=11,a=20,B=30°(2)c=54,b=39,C=120°(3)b=26,c=15,C=30°(4)a=2,b=6,A=30°2個解1個解2個解無解練一練2.?ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=4，b=5，

．求

的值；