第2講可靠性數(shù)學基礎(chǔ)必然事件Ω：在每次試驗中一定會發(fā)生的事件。不可能事件Φ：在每次試驗中一定不會發(fā)生的事件。隨機事件：有不確定性，在相同條件下做一系列的試驗，可能出現(xiàn)的結(jié)果不止一個，在大量重復試驗下呈現(xiàn)某種規(guī)律的現(xiàn)象：ABC……1隨機事件基本事件：不能分解為其它事件的事件。復合事件：能分解為不少于兩個事件的事件（由多個基本事件復合而成）。事件間的關(guān)系事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，包含。事件A與事件B至少有一個發(fā)生，和。事件A與事件B同時發(fā)生，積。事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，差。事件A與事件B不能同時發(fā)生，不相容。基礎(chǔ)5２概率隨機Ａ事件出現(xiàn)的頻率為：隨機Ａ事件出現(xiàn)的概率為：對事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量的描述值。頻率：做Ｎ次實驗，隨機事件Ａ共發(fā)生ｎ次，則當試驗次數(shù)為無限次時，頻率便會穩(wěn)定于某一個常數(shù)P.古典模型：滿足試驗共有有限個可能的結(jié)果，且各個基本事件出現(xiàn)的可能性相同的概率模型。幾何模型：滿足試驗在某一可測空間S上進行，結(jié)果落入S中某子空間A的概率與子空間A的測度成正比的概率模型。3事件的表示樣本點：每一個事件所對應的一個元素，ω樣本空間：樣本點全體構(gòu)成的集合，Ω

Ω={ω1

,ω2

,ω3

,……,ωn}例1：拋硬幣試驗，有正、反兩種可能，即ω正

,ω反

兩個基本事件（樣本點），則該試驗的樣本空間為

Ω={ω正

,ω反

}例2：從0～9該10個數(shù)里面任取一個數(shù)，有10個可能的基本事件，則該樣本空間就有10個樣本點。4隨機變量若對于隨機試驗的每一個基本可能的結(jié)果ω，都對應著一個實數(shù)X(ω)，且隨著ω的不同，X(ω)取不同的實數(shù)，稱X變量為定義在樣本空間上的隨機變量。離散型隨機變量：X的取值為有限個或至多可列個，且以確定的概率來取值。連續(xù)型隨機變量：X的取值為若干區(qū)間或整個數(shù)軸內(nèi)的全體實數(shù)，取值與這些值的測度有關(guān)。基礎(chǔ)75、隨機變量的數(shù)字特征

數(shù)學期望反映隨機變量取值集中的位置，常用μ或E(x)表示。在可靠性設(shè)計中，E(x)可表示平均強度、平均應力、平均壽命…在常規(guī)設(shè)計中引入的物理量，多數(shù)就是E(x)。離散型隨機變量的數(shù)學期望：連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望：分布函數(shù)為

方差衡量隨機變量取值的分散程度，用D(x)、σ2表示。離差：隨機變量X與其均值E(X)之差方差：隨機變量X的離差的平方的數(shù)學期望。標準差：離散型隨機變量的方差：連續(xù)型隨機變量的方差；6可靠性分析中的常用分布常見離散型隨機變量的分布（0－1分布）

兩點分布例：拋硬幣得到正面和反面的可能性事件。二項分布

若事件A在每次試驗中發(fā)生的概率均為P，則A在n次重復獨立試驗中恰好發(fā)生k次的概率如下，即隨機變量X的概率函數(shù)為其中，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布例：一批產(chǎn)品共N個，其中M個次品，次品率為p=M/N，對這批產(chǎn)品進行放回抽樣，抽取n次，這n個產(chǎn)品中次品率是多少？泊松分布若隨機變量X的概率密度由下式確定，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布。例：設(shè)一批產(chǎn)品共2000個，其中有40個次品，隨機抽取100個樣品，求樣品中次品數(shù)X的概率分布，放回抽樣。

n=100，p=40/2000=0.02，服從二項分布，即由于n較大，p較小，可近似計算λ=100×0.02=2，即均勻分布隨機變量X的概率函數(shù)由確定，其中，λ>0，則稱X服從區(qū)間[a，b]上的均勻分布。指數(shù)分布隨機變量X的概率函數(shù)由確定，其中，λ>0，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。常見連續(xù)型隨機變量的分布若x→t（壽命），則t~指數(shù)分布，反映了偶然因素導致失效的規(guī)律。平均壽命E(t)=１/l（MTBF)，l為失效率。指數(shù)分布常用于描述電子產(chǎn)品的失效規(guī)律，由于l為常數(shù)，指數(shù)分布不適于描述按耗損規(guī)律失效的問題，機械零件的失效常屬于這一類型。基礎(chǔ)12正態(tài)分布（高斯分布）概率密度函數(shù)：累積分布函數(shù)：記為：或，是一種二參數(shù)分布為均值為方差f(x)xσ1＞σ3σ1＝σ2μ1=μ3μ2＞μ1分布形態(tài)為對稱分布當x=μ時，y最大，σ越小，ymax越大，曲線越陡，誤差越集中，測量精度越高σ越大，ymax越小，曲線越平，誤差越分散，測量精度越低當μ=0,σ

=１時，為標準正態(tài)分布。令z=(x-μ)/σ，則有基礎(chǔ)133σ準則：超過距均值3σ距離的可能性太小，認為幾乎不可能（或靠得住）。若：L=F30±0.06mm～N(μ,σ)則：μ＝30mmσ=0.06／3=0.02mm自然界和工程中許多物理量服從正態(tài)分布，可靠性分析中，強度極限、尺寸公差、硬度等已被證明是服從正態(tài)分布。例例有一個鋼制結(jié)構(gòu)件，據(jù)實驗有sB~N(m，s)，均值msB

=400MPa，變異系數(shù)c=0.08。求：①smax

=300MPa時，結(jié)構(gòu)件的失效概率＝？

②要求可靠度R=0.9977時，smax

=？。解：①PF=P(sB≤

smax

)=P(sB≤300)②PF＝1－R=1－0.9977＝0.0023基礎(chǔ)14對數(shù)正態(tài)分布若：，則稱x服從對數(shù)正態(tài)分布可記為概率密度函數(shù)為：大量的疲勞失效規(guī)律服從對數(shù)正態(tài)分布，如疲勞強度、壽命，系統(tǒng)的修復時間等的分布。令隨機變量中位值為xm，定義為則對數(shù)正態(tài)分布的均值、標準差和中位值分別為同理：令可由求出對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的概率。基礎(chǔ)15威布爾分布（Weibull）β─形狀參數(shù)；η─尺度參數(shù)；x0─位置參數(shù)；含有三參數(shù)或兩參數(shù)當β<1，產(chǎn)品的失效率曲線隨時間增加而減少，反映了早期失效的特征；當β=1，曲線表示了失效率為常數(shù)的情況，反映了耗損壽命期；當2.7≤β≤

3.7，與正態(tài)分布非常接近；當β=3.13，為正態(tài)分布等。威布爾分布是一簇分布，適應性很廣。因源于對結(jié)構(gòu)疲勞規(guī)律的分析，因而是在機械可靠性設(shè)計中生命力最強的分布。滾動軸承的壽命L服從二參數(shù)的威布爾分布，其失效概率為：可靠度為：其中：β=1.5(ISO/R286)基礎(chǔ)18目前國家標準中采用下列方法計及滾動軸承的可靠度其中，L10為基本額定壽命（可靠度為90%)Ln為可靠度R=1-n%的軸承壽命a1為軸承的可靠性系數(shù)，其值按下表取：1-n%909596979899a110.620.530.440.330.21關(guān)于a1的推導：

基礎(chǔ)19例：已知某軸承L10＝6000小時，求R=94%、95.5%時的壽命，以及Ln=3000小時時的可靠度。解：R=94%時，當R=95.5%時，Ln=3000小時時，

概率分布的應用分布類型應用范圍試驗舉例二項從一個次品率為p的大批量中抽取樣本容量n中的次品，一組y事件中出現(xiàn)x事件的概率一次裝運的鋼制零件中次品的檢查；一生產(chǎn)批量中有缺陷輪胎的檢查；有缺陷焊縫的確定；一生產(chǎn)機器完成其功能的概率正態(tài)各種物理、機械、電器、化學等特性鋁合金板的抗拉強度，按月溫度變化；鋼事件的穿透深度、鉚釘頭直徑；某給定地區(qū)的電力消耗；電阻抗；磨損，風速，硬度，發(fā)射彈藥的膛內(nèi)壓力指數(shù)系統(tǒng)、部件等的壽命。真空管失效壽命；在可靠性試驗過程中探測不良設(shè)備的預期成本；雷達設(shè)備中誰用的指示管的預期壽命；照明燈泡、洗碗機、熱水器、發(fā)電機、飛機用泵、汽車變速箱等的失效壽命對數(shù)正態(tài)壽命現(xiàn)象，事件集中發(fā)生在范圍尾端的不對稱情況，且觀察值的差異很大不同用戶的汽車里程累計；不同用戶的用電量；大量電器系統(tǒng)的故障時間，燈泡的照明強度等。威布爾（二參數(shù)）同于對數(shù)正態(tài)分布，也適用于產(chǎn)品的壽命早期、偶然和損耗失效階段電子管、滾動軸承、傳動箱齒輪和其他許多機械和電子元件的壽命；腐蝕壽命，磨損壽命威布爾（三參數(shù)）同于兩參數(shù)威布爾分布，也喲古語各種物理、機械、電器、化學等特性。同于兩參數(shù)威布爾分布。此外還有電阻，電容、疲勞強度等。7數(shù)理統(tǒng)計分布參數(shù)估計參數(shù)估計：從樣本出發(fā)，構(gòu)造一些適當?shù)慕y(tǒng)計量作為總體的某些參數(shù)（或數(shù)字特征）的估計量，當取得一個樣本值時，就以相應的統(tǒng)計量的值作為總體的參數(shù)估計值。例：統(tǒng)計量作為整體均值的估計量，則可用統(tǒng)計量的值作為整體均值的估計值。用什么樣的統(tǒng)計量作為一個被估計參數(shù)的估計量就是統(tǒng)計量的構(gòu)造問題。點估計：用估計量的值作為參數(shù)的估計值的做法。參數(shù)的點估計法設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)θ，從總體X中抽樣X1，X2，…，Xn，相應的的樣本觀測值是x1，x2，…，xn。求出適當?shù)慕y(tǒng)計量，用它的觀測值作為未知參數(shù)θ的估計值，則稱為參數(shù)θ的點估計量，而稱為參數(shù)θ的點估計值。矩估計法最大似然估計法估計量的評選標準無偏估計

是未知參數(shù)的一個估計量，則有有效估計

設(shè)，都是未知參數(shù)的無偏估計，若則稱估計量較有效。若對于未知參數(shù)的任何一個估計量，有不等式成立則稱估計量為參數(shù)的最小均方差誤差估計量。對于總體X的同一參數(shù)，用不同的估計法，可以構(gòu)造不同估計量，該估計量的好壞需標準來定。例：已知總體X的隨機樣本為X1,X2,…,Xn，而總體均值的兩個估計量分別是及，試比較它們的有效性。若隨機變量，則一致估計

對于任意小的正數(shù)ε>0，下列式子恒成立，則稱估計量是未知參數(shù)的一致估計量。區(qū)間估計設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)，為總體從X中抽取的容量為n的樣本，由樣本構(gòu)造兩統(tǒng)計量及，且，若對于給定的，有則稱隨機區(qū)間是參數(shù)的的置信區(qū)間或區(qū)間估計。稱為的置信下限和上限，稱為置信水平或置信度或置信概率。在每次抽樣下，對樣本的一個觀察值(x1,x2,…,xn)，就得到一個具體的區(qū)間(

)，要么包含參數(shù)θ，要么不包含參數(shù)θ，重復多次抽樣，就得到許多不同的區(qū)間，在這些區(qū)間中，包含θ真值的約占100（1-α）%，不含θ真值的約占100α%。假設(shè)檢驗基本概念

假設(shè)檢驗：根據(jù)樣本提供的信息，按照一定的規(guī)則和程序來進行檢驗，決定接受這種假設(shè)，還是拒絕這種假設(shè)，這一過程為假設(shè)檢驗