控制系統(tǒng)的工程設(shè)計8.1控制系統(tǒng)工程設(shè)計概述8.2典型系統(tǒng)的特性8.3工程設(shè)計的基本原則習(xí)題

所謂工程設(shè)計法,是指當(dāng)系統(tǒng)的靜態(tài)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定,選擇動態(tài)校正環(huán)節(jié)計算參數(shù),以滿足控制系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)的設(shè)計過程。這種方法又稱動態(tài)設(shè)計法,它主要在頻率法的基礎(chǔ)上,歸納出一些適合一般控制系統(tǒng)的簡單設(shè)計法則,最后把控制系統(tǒng)的設(shè)計問題歸納為若干代數(shù)方程的求解問題。

8.1控制系統(tǒng)工程設(shè)計概述

控制系統(tǒng)工程設(shè)計的本質(zhì)是選擇校正環(huán)節(jié)或調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)形式,計算其參數(shù),使系統(tǒng)滿足根據(jù)實際需要提出的動態(tài)性能指標(biāo)的要求。但在實際的設(shè)計過程中,校正環(huán)節(jié)或調(diào)節(jié)器在系統(tǒng)中的位置和結(jié)構(gòu)形式又有很多種選擇,如串聯(lián)校正和并聯(lián)校正之間就有很大差異;同是比例積分(PI)調(diào)節(jié)器,在結(jié)構(gòu)上又有多種不同的實現(xiàn)方法。

這使得工程設(shè)計無法提出一種嚴(yán)格而又統(tǒng)一的設(shè)計步驟。此外,從工程上給出的動態(tài)性能指標(biāo),往往是以最直觀的時域指標(biāo)Mp、ts等表述的,而在實際分析和設(shè)計時常用頻域指標(biāo)來描述系統(tǒng)的動態(tài)性能,于是就要求建立不同類型性能指標(biāo)之間的相互關(guān)系。在前一章中,我們已講述了一般的頻率法設(shè)計步驟,在一般的場合下能設(shè)計出動態(tài)性能比較好的系統(tǒng),但有時所得到的校正特性難以實現(xiàn)(如所得校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分子階次高于分母階次)或即使能實現(xiàn),結(jié)構(gòu)也很復(fù)雜。

因此,必須采用適當(dāng)?shù)姆椒?把頻率設(shè)計方法轉(zhuǎn)化為適合于實際工程系統(tǒng)的工程設(shè)計方法。在一般的控制系統(tǒng)的工程設(shè)計中,人們往往規(guī)定其校正方法以串聯(lián)校正為主,通過簡化處理,將整個系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為低階系統(tǒng),并把它們歸結(jié)為幾種典型結(jié)構(gòu),由此將工程設(shè)計問題歸結(jié)為幾種典型系統(tǒng)的設(shè)計問題。

8.2典型系統(tǒng)的特性

控制系統(tǒng)的一般技術(shù)要求可以通過典型頻率特性的各種特征反映出來。通常頻率特性的低頻區(qū)域可以反映系統(tǒng)的準(zhǔn)確性;中頻段的斜率可以反映控制系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性;高頻段的頻率則主要反映系統(tǒng)的高頻抗干擾能力。

8.2.1典型Ⅰ型系統(tǒng)

1.傳遞函數(shù)

典型Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

如圖8－1所示為典型Ⅰ型系統(tǒng)的方框圖和開環(huán)對數(shù)頻率特性的幅頻特性圖。該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖8－1典型Ⅰ型系統(tǒng)

典型Ⅰ型系統(tǒng)的特征如下:

(1)開環(huán)傳遞函數(shù)中含有一個積分環(huán)節(jié),其低頻段對數(shù)幅頻特性的斜率為-20dB/dec,所以系統(tǒng)是一階無差的。

(2)因為

2.參數(shù)之間的關(guān)系

研究當(dāng)參數(shù)K和T之間存在何種關(guān)系時,系統(tǒng)具有更好的性能,實質(zhì)上是研究ωc和1/T之間應(yīng)保持多大間距的問題,這主要取決于要求系統(tǒng)的相位裕度的大小,此時相位裕度為

由式(8－3)可知,當(dāng)ωc增大時,γ(ωc)減小。在實際系統(tǒng)的設(shè)計中,T往往由固定特性所決定,于是只有參數(shù)K可變。因此,設(shè)計問題就歸結(jié)為確定合理的開環(huán)增益K。

將式(8－2)改寫為以下形式:

由式(8－4)可以看出,這是一個標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)。對照第6章所述二階系統(tǒng)的時域和頻域性能指標(biāo),可以得到KT與各特征參量的關(guān)系,如表8－1所示。

例8－1如圖8－2所示的控制系統(tǒng),其固有部分為一個慣性環(huán)節(jié),加入一個積分調(diào)節(jié)器作串聯(lián)校正,構(gòu)成一個無靜差系統(tǒng)。試根據(jù)“最佳設(shè)計原則”確定τ的值,并求動態(tài)性

能指標(biāo)tr、ts、Mp和ωc。圖8－2系統(tǒng)方框圖

解因系統(tǒng)固有部分為一個慣性環(huán)節(jié),且T=0.01s,K=10。按“最佳設(shè)計原則”有

所以

8.2.2典型Ⅱ型系統(tǒng)

1.傳遞函數(shù)

典型Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

如圖8－3所示為典型Ⅱ型系統(tǒng)的方框圖和開環(huán)對數(shù)頻率特性的幅頻圖。該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖8－3典型Ⅱ型系統(tǒng)

典型Ⅱ型系統(tǒng)的特征如下:

(1)開環(huán)傳遞函數(shù)中含有兩個積分環(huán)節(jié),其低頻段對數(shù)幅頻特性的斜率為-40dB/dec,所以系統(tǒng)是二階無差的。

(2)由圖8－3(b)可知:

相位裕度為

式(8－8)可知,1/T1和1/T2相距越大(中頻帶越寬),系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越高。另外,K值的大小會改變ωc的位置。因此,典型Ⅱ型系統(tǒng)的工程設(shè)計就歸結(jié)為h值和ωc的選擇。

2.參數(shù)之間的關(guān)系

在K、T1和ωc之間的關(guān)系問題上有若干種不同的處理方法。各方法出發(fā)點不一,但結(jié)果大同小異,比較常用的有下面幾種:

(1)最大γ(ωc)法。這種方法是將ωc取在ω1=1/T1和ω2=1/T2的中點,在前面我們已經(jīng)證明,此時γ(ωc)最大。即

則

(2)最小Mp法。這種方法是以最小超調(diào)量為指標(biāo)推導(dǎo)的,所以叫最小Mp法。

在不同的h值下,按最小Mp法確定ωc位置的典型Ⅱ型系統(tǒng)具有表8-2中所列的動態(tài)性能指標(biāo)。

表8－3列出了最大γ(ωc)法與最小Mp法的比較。

從上述比較可以得出如下結(jié)論:

(1)同是典型Ⅱ型系統(tǒng),最大γ(ωc)法和最小Mp法的區(qū)別僅在于ωc位置的取法不同。

(2)在同樣的h值之下,最小Mp法所取ωc偏右,由于偏離了中心,系統(tǒng)超調(diào)量稍大,但過渡過程時間相對較小,因而在抗干擾性能方面有所改善。

(3)隨著h的增大,超調(diào)量會減小,但h過大,過渡過程時間反而增加,因而除非對快速性有所要求,否則h以取4~5為宜。

(4)無論哪一種方法,ωc不能超過1/T2,因而系統(tǒng)的快速性指標(biāo)也不能無限制地提高。

例8－2有一固有系統(tǒng)的方框圖如圖8－4所示,試將其校正為典型Ⅱ型系統(tǒng)。圖8－4系統(tǒng)方框圖

解為了將固有系統(tǒng)校正到典型Ⅱ型系統(tǒng),可以采用PI調(diào)節(jié)器,其傳遞函數(shù)為

(1)按最佳調(diào)節(jié)法設(shè)計。取h=4,則

(2)按最小Mp法設(shè)計。取h=5,因為

兩種設(shè)計之下的典型Ⅱ型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性如圖8－5所示。圖8－5兩種設(shè)計下的對數(shù)幅頻特性

8.2.3典型Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)跟隨性能的比較

無論哪一個指標(biāo)都比h=5時的典型Ⅱ型系統(tǒng)好。確切地說,如果僅僅要求給定輸入下的跟隨性能指標(biāo),在無差度方面沒有特殊要求,而且兩種典型系統(tǒng)的特性可任意取一種作為預(yù)期特性的話,通常可選擇典型Ⅰ型系統(tǒng)的特性作為預(yù)期特性。

8.3工程設(shè)計的基本原則

8.3.1非典型系統(tǒng)簡化為典型系統(tǒng)的近似條件在例8－2中,預(yù)期特性受固有特性中的時間常數(shù)0.02s的影響,或者說預(yù)期特性總是在固有特性的基礎(chǔ)上構(gòu)成的,這是利用典型系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計的一個特點。如圖8－6所示的雙慣性環(huán)節(jié),其中T1>T2,可采用PI調(diào)節(jié)器校正,這個調(diào)節(jié)器可以按照典型Ⅰ型系統(tǒng)選擇參數(shù),也可以按典型Ⅱ型系統(tǒng)選擇參數(shù),下面分別介紹。圖8－6雙慣性環(huán)節(jié)的校正

1.按典型Ⅰ型系統(tǒng)作為預(yù)期特性設(shè)計

取τ=T1,出現(xiàn)零極點一次對消,這時的開環(huán)傳遞函數(shù)為

這實際上已是一個典型的Ⅰ型系統(tǒng),若要實現(xiàn)其預(yù)期的典型特性,就必須保證KT=0.5這個“最佳”條件,

為此有

2.按典型Ⅱ型系統(tǒng)作為預(yù)期特性設(shè)計

3.幾種近似的簡化方法

1)低頻段近似

若某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

若要將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為典型Ⅱ型系統(tǒng),只需將慣性環(huán)節(jié)1/(T1s+1)近似為積分環(huán)節(jié)1/T1s即可。是否可以簡化,主要根據(jù)T1和T2的相對關(guān)系來判定。

根據(jù)計算,若滿足

則可以將慣性環(huán)節(jié)簡化為積分環(huán)節(jié),則式(8－16)可以近似寫成

2)高頻小慣性群的近似

3)一個大慣性和一小群小慣性同時存在的近似

當(dāng)系統(tǒng)固有的傳遞函數(shù)為

且有

根據(jù)式(8－17),若

則1/(T1s+1)可近似為1/T1s,即

除了上面敘述的三種控制系統(tǒng)的形式外,工程中還有一些其他形式的控制系統(tǒng),為了使用方便起見,把一些常用的控制對象、所需選用的調(diào)節(jié)器、參數(shù)配合和設(shè)計問題等分典

型Ⅰ型和典型Ⅱ型列成表,見表8-4和表8-5。表中基本上概括了大部分工程系統(tǒng)的實際情況,從表中還可以發(fā)現(xiàn),同一對象往往可以配成不同的典型系統(tǒng),其關(guān)鍵在于調(diào)節(jié)器的形式和參數(shù)的選擇。下面將通過舉例進(jìn)一步說明。

例8－3設(shè)某控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)對象的傳遞函數(shù)為

且有K0=2,T1=0.4s,T2=0.08s,T3=0.015s,T4=0.005s,求調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)Gc(s)。

(4)按典型Ⅱ型系統(tǒng)特性設(shè)計調(diào)節(jié)器。由于系統(tǒng)調(diào)節(jié)對象的傳遞函數(shù)G(s)中不含有積分環(huán)節(jié),因而以單級PI或PID調(diào)節(jié)器均無法得到典型Ⅱ型系統(tǒng),只有把其慣性環(huán)節(jié)

1/(T1s+1)近似為積分環(huán)節(jié)1/T1s,才能得到兩個積分環(huán)節(jié)的近似的典型Ⅱ型系統(tǒng),但同時必須保證

因此,若以PI調(diào)節(jié)器校正,其校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為

這表明此時不能作式(8－24)的近似。

若以PID調(diào)節(jié)器校正,則校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為

上述近似式成立,于是可按典型Ⅱ型系統(tǒng)特性設(shè)計調(diào)節(jié)器參數(shù)。由表8－5可知(取h=5):

則

例8－4設(shè)控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)對象的傳遞函數(shù)為

求其調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)Gc(s)。

從例8－4可以發(fā)現(xiàn),用同一個PI調(diào)節(jié)器對同一對象進(jìn)行校正,既可按典型Ⅰ型系統(tǒng)的特性,也可按典型Ⅱ型系統(tǒng)的特性來選擇參數(shù)。按典型Ⅱ型系統(tǒng)設(shè)計所得的PI調(diào)節(jié)器的放大倍數(shù)較大。這表明該系統(tǒng)校正后“沖勁”較大,因此可能使超調(diào)量增加。在實際系統(tǒng)的設(shè)計和調(diào)試中也證實了這個結(jié)論。

8.3.2利用典型系統(tǒng)預(yù)期特性進(jìn)行工程設(shè)計的一般步驟

1.工程設(shè)計方法的過程

(1)對系統(tǒng)固有調(diào)節(jié)(控制)對象的傳遞函數(shù)進(jìn)行分析,當(dāng)其滿足一定條件時,可將其作近似處理。

(2)將簡化后的傳遞函數(shù)與所選調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)相乘求出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

(3)消除部分零點和極點,求得近似典型Ⅰ型或典型Ⅱ型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

(4)按預(yù)期特性,對照表8－4和表8－5,列出參數(shù)配合關(guān)系式,求出所設(shè)計的調(diào)節(jié)器的參數(shù)。

2.工程設(shè)計方法的特點

(1)工程設(shè)計所設(shè)計的僅僅是作為串聯(lián)校正環(huán)節(jié)的有源調(diào)節(jié)器的參數(shù)。

(2)對一個具體的控制系統(tǒng)來說,其高、中、低頻段的劃分是相對的。

(3)在控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)簡化為基本形式并將調(diào)節(jié)器規(guī)范化后,便可將參數(shù)設(shè)計規(guī)范化(如表8－4、表8－5所示)。這為實現(xiàn)計算機(jī)輔助設(shè)計打下了良好的基礎(chǔ)。

(4)按工程設(shè)計方法所得到的系統(tǒng),其動態(tài)性能指標(biāo)不能逾越典型Ⅰ型系統(tǒng)和典型Ⅱ型系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)的范圍,也就是說,用P、PI和PID調(diào)節(jié)器串聯(lián)校正,不能任意配置系統(tǒng)的極點。

習(xí)題

1.某單位反饋控制系統(tǒng)的固有控制部分的傳遞函數(shù)為試按無靜差要求設(shè)計一個串聯(lián)調(diào)節(jié)器,并按“最佳設(shè)計原則”確定調(diào)節(jié)器的有關(guān)參數(shù),求其動態(tài)性能指標(biāo)ts、tr、Mp、ωc和γ(ωc)。

2.某單位反饋控制系統(tǒng)的固有控制部分的傳遞函數(shù)為

現(xiàn)要求校正為典型的Ⅱ型系統(tǒng)。試設(shè)計調(diào)節(jié)器,確定其參數(shù),并求出校正后的控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)ts、Mp和ωc(按h=4、h=5和h=8分別計算),做出其對數(shù)幅頻特性圖。

3.某單位反饋控制系統(tǒng)的固有控制部分的傳遞函數(shù)為

試分別將其校正為典型的Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng),并求其調(diào)節(jié)器的參數(shù)