1．2等差數(shù)列1．2.1等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式最新課程標(biāo)準(zhǔn)(1)通過生活中的實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念．(2)能在具體問題情景中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系．(3)會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能應(yīng)用公式解決簡單的等差數(shù)列問題．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一等差數(shù)列的概念1．文字語言：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)?，那么這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)________叫作等差數(shù)列的________，公差通常用字母________表示．2．符號語言：an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N＋)．要點(diǎn)二等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1+要點(diǎn)三等差中項(xiàng)在兩個(gè)數(shù)a，b之間插入數(shù)M，使a，M，b成等差數(shù)列，則M稱為a與b的等差中項(xiàng)?，即M＝________．要點(diǎn)四等差數(shù)列的常用性質(zhì)?1．通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．2．在等差數(shù)列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則________．①特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)時(shí)，am＋an＝2ak.②對有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….批注?一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差即使等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)這些常數(shù)不同時(shí)，該數(shù)列不是等差數(shù)列，因此定義中強(qiáng)調(diào)“同一個(gè)常數(shù)”，即該常數(shù)與n無關(guān)．批注?由通項(xiàng)公式可知，要確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式只需確定其首項(xiàng)和公差即可．批注?在等差數(shù)列{an}中，任取相鄰的三項(xiàng)an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N＋)，則an是an－1與an＋1的等差中項(xiàng)．反之，若an－1＋an＋1＝2an對任意的n≥2，n∈N＋均成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．批注?熟練運(yùn)用性質(zhì)解題，往往能起到事半功倍的效果．基礎(chǔ)自測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝1(n>1)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．()(3)若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．()(4)一個(gè)無窮等差數(shù)列{an}中取出所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，公差仍然與原數(shù)列相等．()2．(多選)下列數(shù)列是等差數(shù)列的有()A.1，1，1，1，1B．4，7，10，13，16C．13，23，1，43，53D．－33．已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差d為()A．2B．3C．－2D．－34．已知實(shí)數(shù)m是1和5的等差中項(xiàng)，則m＝()A．5B．±5C．3D．±35．等差數(shù)列10，7，4，…的第10項(xiàng)是________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式角度1基本量的運(yùn)算例1已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a5＝10，a12＝31.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若an＝13，求n的值．方法歸納(1)從方程的觀點(diǎn)看等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四個(gè)量，已知其中的三個(gè)量，可以求得另一個(gè)量，即“知三求一”．(2)已知數(shù)列的其中兩項(xiàng)求公差d，或已知一項(xiàng)、公差和其中一項(xiàng)的序號，求序號的對應(yīng)項(xiàng)時(shí)，通常應(yīng)用變形公式an＝am＋(n－m)d.鞏固訓(xùn)練1(1)[2022·湖南益陽高二期末]已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，且a3＝3，則a6＝()A．3B．9C．18D．24(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a3＝54，a7＝－74，則a15＝角度2判斷數(shù)列中的項(xiàng)例2100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由．方法歸納判斷數(shù)列中的項(xiàng)的步驟鞏固訓(xùn)練2等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.(1)求a20；(2)85是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？若不是，說明原因；若是，是第幾項(xiàng)？題型2等差中項(xiàng)及其應(yīng)用例3(1)在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列；(2)若m和2n的等差中項(xiàng)為4，2m和n的等差中項(xiàng)為5，求m和n的等差中項(xiàng)．方法歸納三個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的條件是b＝a+c2(或2b＝a＋c)，可用來進(jìn)行等差數(shù)列的判定或解決有關(guān)等差中項(xiàng)的計(jì)算問題．如若證{an}為等差數(shù)列，可證2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)鞏固訓(xùn)練3設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與－b2的等差中項(xiàng)，則有()A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)＝3bC．a(chǎn)＝3b或a＝－bD．a(chǎn)＝b＝0題型3等差數(shù)列的判定與證明例4已知數(shù)列{an}滿足a1＝4且an＝4－4an-1(n>1)，記b(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．方法歸納證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的2種常用方法鞏固訓(xùn)練4已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)設(shè)bn＝an2n-1，證明：數(shù)列(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．題型4等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例5(1)在等差數(shù)列{an}中，a5－a3＝2，a3＋a5＋2a10＝24，則a9等于()A．14B．12C．10D．8(2)[2022·湖南懷化高二期末]在等差數(shù)列{an}中，a2，a4是方程x2－3x－4＝0的兩根，則a3的值為()A．2B．3C．±2D．3方法歸納利用等差數(shù)列的性質(zhì)“若k＋l＝m＋n，且k，l，m，n∈N＋，則ak＋al＝am＋an”來求等差數(shù)列的某一項(xiàng)，可以簡化解題過程，減少計(jì)算量．鞏固訓(xùn)練5(1)[2022·湖南長郡中學(xué)高二期中]數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a2＋a4＝4，則a3＝()A．1B．2C．3D．4(2)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，則k＝________．易錯(cuò)辨析混淆等差數(shù)列的公共項(xiàng)問題中n的取值致錯(cuò)例6兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項(xiàng)，那么它們共有多少相同的項(xiàng)？解析：設(shè)已知兩個(gè)數(shù)列的所有相同的項(xiàng)將構(gòu)成的新數(shù)列為{cn}，c1＝11，又等差數(shù)列5，8，11，…的通項(xiàng)公式為an＝3n＋2，等差數(shù)列3，7，11，…的通項(xiàng)公式為bn＝4n－1.∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且公差d＝12.∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302.得n≤2514，可見已知兩數(shù)列共有25【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得混淆了兩個(gè)等差數(shù)列中n的取值，誤認(rèn)為3n＋2＝4n－1，解得n＝3，致錯(cuò)．解題時(shí)一定要理解好兩個(gè)通項(xiàng)公式的n值的含義，否則會造成不必要的丟分．1．2等差數(shù)列1．2.1等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一1．常數(shù)公差d要點(diǎn)三a+b要點(diǎn)四2．a(chǎn)k＋al＝am＋an[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：由等差數(shù)列的定義可知ABC是等差數(shù)列，D不是等差數(shù)列．答案：ABC3．解析：由等差數(shù)列的定義，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.答案：C4．解析：由題知：2m＝1＋5＝6，m＝3.答案：C5．解析：設(shè)這個(gè)等差數(shù)列為{an}，則a1＝10，d＝7－10＝－3，所以a10＝a1＋9d＝10－27＝－17.答案：－17題型探究·課堂解透例1解析：(1)設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由題意可知a1+4d=10∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.(2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6.鞏固訓(xùn)練1解析：(1)因?yàn)閧an}是公差為2的等差數(shù)列，a3＝3，所以a6＝a3＋3×2＝9.(2)方法一(方程組法)由a得a1+2d=∴a15＝a1＋(15－1)d＝114＋14×-34方法二(利用am＝an＋(m－n)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－74＝54＋4d，解得d＝－∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×-34答案：(1)B(2)－31例2解析：∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，由7n－5＝100，得n＝15，∴100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng)．鞏固訓(xùn)練2解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍5＝10，a12＝31，由an＝a1＋(n－1)d得，a1+4d=10即an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，則a20＝3×20－5＝55.(2)令3n－5＝85，得n＝30，所以85是該數(shù)列{an}的第30項(xiàng)．例3解析：(1)∵－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，∴b是－1與7的等差中項(xiàng)．∴b＝-1+72又a是－1與b的等差中項(xiàng)，∴a＝-1+32又c是b與7的等差中項(xiàng)，∴c＝3+72＝∴該數(shù)列為－1，1，3，5，7.(2)由m和2n的等差中項(xiàng)為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中項(xiàng)為m+n2＝鞏固訓(xùn)練3解析：依題意2x＝a＋b，2x2＝a2－b2，消去x可得2·a+b22＝a2－b整理得a2－2ab－3b2＝0，所以a＝3b或a＝－b.答案：C例4解析：(1)證明：∵bn＋1－bn＝1＝1＝a＝an-又b1＝1a1-∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為12，公差為1(2)由(1)知，bn＝12＋(n－1)×12＝1∵bn＝1a∴an＝1bn＋2＝2鞏固訓(xùn)練4解析：(1)證明：因?yàn)閍n＋1＝2an＋2n，所以an+12n＝2an所以an+12n-an2n又bn＝an2n-1，所以bn＋1所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)b1＝a1＝1，公差為1.(2)由(1)知bn＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝2n－1bn＝n·2n－1，經(jīng)檢驗(yàn)，n＝1時(shí)a1＝1也滿足上式．例5解析：(1)因?yàn)?d＝a5－a3＝2，所以公差d＝1，又因?yàn)閍3＋a5＋2a10＝2a4＋2a10＝4a7＝24，所以a7＝6，所以a9＝a7＋2d＝8.(2)a2、a4是方程x2－3