PAGEPAGE1廣東省廣州市三校2023-2024學年高一上學期期末聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題５分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為實數集，集合或，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由Ven圖可知，陰影部分表示為，因為，或，所以，所以，故選：C.2.設是第二象限角，為其終邊上一點，且，則（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意有，且，故，.故選：C.3.計算×－＋lne2－2lg2－lg25＝（）A.20 B.21 C.9 D.11〖答案〗B〖解析〗原式.故選：B.4.將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，再將所得的函數圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的得到：，將的圖象向右平移個單位長度得到：，所以.故選：B.5.已知函數，則的單調遞增區間是（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗由，得，解得，所以的定義域為，由復合函數的單調性可知，的單調遞增區間即為：函數在區間上的單調遞減區間，令，解得，所以的單調遞增區間為．故選：D．6.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，又，所以，，因此：.故選：C.7.已知奇函數的圖象關于直線對稱，當時，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為為奇函數，且當時，，所以，解得：，即當時，，又因為的圖象關于直線對稱，所以，且，則，即函數是以為周期的周期函數，故.故選：B.8.已知函數，在下列結論中：①是的一個周期；②的圖象關于直線對稱；③在區間上無最大值.正確結論的個數為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗因為，所以不是的一個周期，故①錯誤；，所以的圖象不關于直線對稱，故②錯；，，令，則，，，在上單調遞增，所以無最大值，即函數在上無最大值，故③正確.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是()A.命題“，”的否定是“，”B.已知，則“”是“”的必要不充分條件C.函數的單調增區間是D.，〖答案〗AB〖解析〗對于，命題“，”的否定是“，”，故A正確；對于，由得，∴“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對于C，由得函數的定義域為，由在時單調遞增及在時單調遞增可知，的增區間為，故C錯誤；對于，作出函數和的圖象，∵，故在上，恒成立，∴，不成立，不正確.故選：AB．10.已知，，則下列結論正確的是（）A.為第二象限角 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由同角三角函數平分關系可得，，因為，所以，解得，，因為，所以是第二象限角，故選項，正確，有同角三角函數商數關系可得，，故選項錯誤，因為，故選項正確.故選：.11.已知函數，其圖象的兩個相鄰的對稱中心間的距離為，且，則下列說法正確的是（）A.函數的最小正周期為B.函數的定義域C.函數的圖象的對稱中心為D.函數的單調遞增區間為〖答案〗CD〖解析〗由正切函數的性質可知，相鄰對稱中心的距離是半個周期，所以，得，，由，所以，則，函數的最小正周期為，故A錯誤；，，得，，所以函數的定義域為，故B錯誤；令，得，，所以函數的對稱中心為，故C正確；令，，解得：，所以函數的單調遞增區間是，故D正確.故選：CD.12.關于函數下列說法正確的有（）A.B.不等式的解集是C.若方程有3個實數根，則D.若存在實數滿足，則的最小值為8〖答案〗ABD〖解析〗函數，作出圖像如圖所示：，故選項A正確；當時，若，則，即，解得或，當時，若，則，即，解得，結合的圖像可得，不等式的解集是，故選項正確；由函數可知，與的圖像有三個不同的交點時，，故選項錯誤；設存在實數滿足，則函數與的圖像有三個不同的交點，其中和關于的對稱軸對稱，故，當時，，故c的取值范圍是，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8，故選項正確.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數的對稱軸方程是_______________.〖答案〗〖解析〗因為的對稱軸為，對于函數，由，可得，因此，函數的對稱軸方程是.故〖答案〗為：.14.已知函數在上為奇函數，且當時，，當時______________.〖答案〗〖解析〗當時，，因為是奇函數，所以，所以．故〖答案〗為：.15.函數的定義域為__________．〖答案〗〖解析〗函數有意義，則需，由，，則，所以函數定義域為.故〖答案〗為：.16.已知函數，若____________；若，則實數的取值范圍是__________________.〖答案〗〖解析〗∵，∴；因為，所以或，即或，所以或或或，解以上四個不等式組得解集分別：，，，，所以，實數的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知.（1）化簡，并求；（2）若，求的值.解：（1），則（2）由（1）知，，則18.已知，函數的最小正周期為.（1）求函數的單調遞增區間；（2）若，，求的值.解：（1），因為的最小正周期為，所以，即，所以，由，，可得，，所以函數的單調遞增區間為，.（2）由（1）知，所以，所以，又，所以，所以，所以.19.已知函數（，且）過定點A，且點A在函數，的圖象上．（1）求函數的〖解析〗式；（2）若定義在上的函數恰有一個零點，求實數k的取值范圍．解：（1）函數（，且）過定點，函數的圖象過點，即，解得，函數的〖解析〗式為.（2）函數定義在上，在上恒成立，可得，令，得，設，函數在上恰有一個零點，等價于在上恰有一個零點，函數圖像拋物線開口向上，對稱軸，若，無解，不成立；若，解得，滿足題意；若，無解，不成立；若，解得，滿足題意，所以實數k的取值范圍為.20.塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達年之久，給環境帶來了很大的危害，國家發改委?生態環境部等9部門聯合印發《關于扎實推進塑料污染治理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，將禁用不可降解的塑料袋?塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋經自然降解后殘留量與時間年之間的關系為為初始量，為光解系數（與光照強度?濕度及氧氣濃度有關），為塑料分子聚態結構系數，已知分子聚態結構系數是光解系數的90倍.（參考數據：）（1）塑料自然降解，殘留量為初始量的，大約需要多久？（2）為了縮短降解時間，該塑料改進工藝，改變了塑料分子聚態結構，其他條件不變，已知2年就可降解初始量的，則殘留量不足初始量的，至少需要多久？（精確到年）解：（1）由題可知，所以，所以，所以殘留量為初始量的，大約需要207年.（2）根據題意當時，，，解得，所以，若殘留量不足初始量的，則，，兩邊取常用對數，，所以至少需要21年.21.如圖，在海岸線EF一側有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段FGBC，該曲線段是函數，的圖像，圖象的最高點為.邊界的中間部分為長1千米的直線段CD，且.游樂場的后一部分邊界是以O為圓心的一段圓弧.（1）求曲線段FGBC的函數表達式和半徑OD的長度；（2）如圖，在扇形ODE區域內建一個平行四邊形休閑區OMPQ，平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧上，且，求平行四邊形休閑區OMPQ面積的最大值及此時的值.解：（1）由已知條件，得，又∵，，∴，又∵當時，有，且，∴，∴曲線段FGBC的〖解析〗式為，，，，∴.（2）如圖：，，，∴，作軸于點，在中，，在中，，，，；當時，即時，，所以平行四邊形面積有最大值為（平方千米）.22.設，函數，.（1）若函數的值域是，求的取值范圍；（2）當時，記函數，討論在區間內零點的個數.解：（1），因為函數的值域是，所以是函數的值域的子集，所以，解得，所以的取值范圍為.（2）在區間內零點的個數，即方程在區間內實數根的個數，當時，令，則，則，因為，所以，即，又，所以，即，所以；當時，，對稱軸為，而，當，即時，函數在上無零點，，當，即時，此時，則可取，故方程在上有個實數根，所以當時，函數在有個零點；當，即時，此時，則可取，故方程在上有個實數根，所以當時，函數在有個零點；當