單元檢測(十二)算法、復數、推理與證明一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．[2023·四川高三考試]在復平面內，復數z滿足z(1＋i)＝2，則復數z對應的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．用反證法證明某命題時，對結論：“自然數a，b，c中恰有一個是偶數”的正確假設為()A．自然數a，b，c中至少有兩個偶數B．自然數a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數C．自然數a，b，c都是奇數D．自然數a，b，c都是偶數3．[2023·西藏拉薩高三月考]用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數為A．8n－2B.6n－2C．8n＋2D.6n＋24.已知i為虛數單位，如圖，網格紙中小正方形的邊長是1，復平面內點Z對應的復數為z，則復數eq\f(z,1－2i)的共軛復數是()A．－iB．1－iC．iD．1＋i5．執行如圖所示的程序框圖，如果輸入的N＝100，則輸出的x＝()A．0.95B．0.98C．0.99D．1.006．[2023·河北省石家莊市高三一模]若復數z＝(1＋2i)(a－i)在復平面內對應的點位于第四象限，則實數a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－2))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))7．[2023·江蘇省高三測試]關于橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))，有下面四個命題：甲：長軸長為4；乙：短軸長為2；丙：離心率為eq\f(1,2)；丁：右準線的方程為x＝4；如果只有一個假命題，則該命題是()A.甲B.乙C.丙D.丁8．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，則()A.f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B.f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)9．設等比數列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項之積為Tn，并且滿足條件：a1>1，a2016a2017>1，eq\f(a2016－1,a2017－1)<0，下列結論中正確的是()A．q<0B．a2016a2018>1C．T2016是數列{Tn}中的最大項D．S2016>S201710．[2023·黑龍江哈九中模擬]觀察下列等式，13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根據上述規律，13＋23＋33＋43＋53＋63＋…＋n3＝()A．eq\f(n4＋n3＋2n2,4)B．eq\f(n4＋2n3＋n2,4)C．eq\f(n4－n3＋2n2,4)D．eq\f(n4－2n3＋n2,4)11．《九章算術》中的玉石問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(即176兩)，問玉、石重各幾何？”其意思為：“寶石1立方寸重7兩，石料1立方寸重6兩，現有寶玉和石料混合在一起的一個正方體，棱長是3寸，質量是11斤(即176兩)，問這個正方體中的寶玉和石料各多少兩？”如圖所示的程序框圖給出了對此題的一個求解算法，運行該程序框圖，則輸出的x，y分別為()A．90，86B．94，82C．98，78D．102，7412．周末，某高校一學生宿舍甲乙丙丁四位同學正在做四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，下面是關于他們各自所做事情的一些判斷：①甲不在看書，也不在寫信；②乙不在寫信，也不在聽音樂；③如果甲不在聽音樂，那么丁也不在看書；④丙不在看書，也不寫信．已知這些判斷都是正確的，依據以上判斷，請問乙同學正在做的事情是()A．玩游戲B．寫信C．聽音樂D．看書二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．若eq\f(a＋bi,i)(a，b∈R)與(2－i)2互為共軛復數，則a－b＝________.14．[2023·陜西省咸陽市高三三模]觀察下列不等式1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…照此規律，第n個不等式為________．15．如圖是求樣本x1，x2，…，x10的平均數eq\o(x,\s\up6(－))的程序框圖，則空白框中應填入的內容為________．16．[2023·河北石家莊高三聯考]中國元代數學家朱世杰1303年左右完成的數學著作《四元玉鑒》中好多方法，在當時世界上遙遙領先．如該書下卷“果垛壘藏”這一章中的第七問，可體會到中國元代數學已經發展到什么程度，今有圓錐垛，果子積九百三十二個，問高幾層？術曰：立天元一為層數．如積求之，得七千四百五十五為益實，二為從方，三為從廉，二為正隅．立方開之，合問．這個問題意思是說，把圓的果實(如桔子)堆壘成圓錐垛，(圓錐垛特點：下一層果實之間的縫隙所構成的行數要等于上一層果實的行數，使得上一層果實恰好放到下一層果實的縫隙上)現在堆壘了932個果實，問堆壘了多少層？解決如下：設未知量(天元一)為圓錐垛的層數，利用總數(積)列方程求之，可以得到常數項(益實)為－7455，一次項系數(從方)為2，二次項系數(從廉)為3，三次項系數(正隅)為2的三次方程，開立方就能得到層數．也就是說層數為方程：2x3＋3x2＋2x－7455＝0的解．根據你的分析，圓錐垛第五層有果實______個，932個果實堆壘了________層．三、解答題(共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)設復數z＝m2－2m－3＋(m2＋3m＋2)i，試求實數m取何值時．(1)z是實數；(2)z是純虛數；(3)z對應的點位于復平面的第二象限．18．(本小題滿分12分)已知復數z1＝sin2x＋ti，z2＝m＋(m－eq\r(3)cos2x)i，i為虛數單位，t，m，x∈R，且z1＝z2.(1)若t＝0且0<x<π，求x的值；(2)設t＝f(x)，已知當x＝α時，t＝eq\f(1,2)，求cos(4α＋eq\f(π,3))的值．19.(本小題滿分12分)已知等差數列{an}的公差d≠0，a1＝0，其前n項和為Sn，且a2＋2，S3，S4成等比數列．(1)求數列{an}的通項公式；(2)若bn＝eq\f(（2n＋1）2,Sn＋1)，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn－2n<eq\f(1,2).20．(本小題滿分12分)已知函數f1(x)＝sineq\f(x,2)，x∈R，記fn＋1(x)為fn(x)的導數，n∈N*.(1)求f2(x)，f3(x)；(2)猜想fn(x)，n∈N*的表達式，并證明你的猜想．21.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分別為AD，PB的中點．求證：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)