高等流體力學主講人：孫寶江中國石油大學〔華東〕2/18/20241工程流體力學從實用角度，對工程中涉及的問題建立相應的理論根底，并進行計算。靜力學運動學動力學引言以理想流體為主2/18/20242高等流體力學以理論分析為主，討論實際流體運動規律。運動學動力學以實際流體為主2/18/20243主要內容：第一章場論與張量分析初步第二章流體運動學第三章流體力學根本方程組第四章粘性流動根底第五章Navier-Stokes方程的解第六章邊界層理論第七章流體的旋渦運動第八章湍流理論2/18/20244第一章場論與張量分析初步第一節

場論簡述第二節

張量初步2/18/20245第一節

場論簡述

根本概念場的幾何表示標量場的梯度向量的散度向量的旋度哈密頓算子▽和場論的根本運算公式2/18/20246一

根本概念場〔field〕：設在空間中的某一區域內定義標量函數或矢量函數，那么稱定義在此空間區域內的函數為場。標量場〔scalarfield〕：向量場〔vectorfield〕：均勻場〔homogeneousfield〕：非均勻場〔non-homogenousfield〕：定常流場〔steadyfield〕：非定常流場(unsteadyfield)：2/18/20247二、場的幾何表示1、scalarfield：用等值線〔面〕表示令：2、

vectorfield：大小：標量，可以用上述等線面的概念來幾何表示。方向：采用矢量線來幾何地表示。矢量線：線上每一點的切線方向與該點的矢量方向重合。變化快等值線〔面〕2/18/20248矢量線方程：設是矢量線的切向元素，那么據矢量線的定義有直角坐標：

那么〔1〕式變成：所以有：〔向量線方程〕向量管：在場內取任一非向量的封閉曲線C，通過C上每一點作矢〔向〕量線，那么這些矢量曲線的區域為向量管。0向量管〔1〕2/18/20249

三、標量場的梯度

1、定義：，

其中：為單位法向量。表征大小為，方向為的矢量為標量函數的梯度。

2、意義：它描述了M點鄰域內函數的變化狀況，是標量場不均勻的量度。

2/18/202410梯度意義的證明：如圖，設方向單位向量那么而函數沿方向的變化為：

＝另：與同向時，最大MM1M'流場中兩相鄰等勢線2/18/2024113、梯度的性質a〕滿足關系式： 證明：

=

2/18/202412b)假設任給一封閉曲線L，，且是矢徑的單值函數，那么：

證明：2/18/202413四、向量的散度(divergence)1、預備知識a.向量通過曲面的通量〔flux〕：

b.Gauss定理：假設，，在有一階連續偏導數，那么：2/18/2024142、散度的定義于是Gauss定理可以寫作：2/18/202415例1：任一不可壓流場，，在流場中一點M取微元體，那么密速〔密度速度〕變化量

點源：·Source點匯：·Sink例2：令有2/18/202416五、向量的旋度〔rotation〕

1、預備知識

a.向量的環量〔Circulation〕b.Stokes定理：

(L圍成S，S單連通〕LS

XZY2/18/202417

2、旋度的定義 =

于是Stokes定理可以寫成：2/18/202418

例題3：

2/18/2024193、

無旋場〔irrotationalfield〕a)

定義的矢量場稱為無旋場b)

性質:無旋場就是位勢場，即

證明：設

即〔無旋，存在勢〕2/18/202420六、哈密頓算子▽和場論的根本運算公式1、哈密頓算子的定義：它具有矢量和對它右邊的量微分的雙重性因此：

2/18/2024212、根本運算公式：

1)

2)

2/18/2024223〕證明：令，

2/18/2024234〕證明：

注：

5〕2/18/202424

6〕證明：根據柯青法那么

蘇聯數學家柯青的運算法那么：當除了一個矢量之外，其他的矢量都是常數時，應該這樣來變換表達式，以使得所有常矢量都位于算子之前，而變量那么位于它之后。2/18/2024257〕證明：

XZY順變為正逆變為負2/18/2024268〕9〕10〕2/18/2024273、哈密頓算子對積分的應用：

由Gauss定理有：

2/18/202428第二節

張量初步張量的定義張量的表示法幾種特殊的二階張量張量的運算2/18/202429一、張量的定義1、指標和符號1.1自由指標如矢量，其分量可表示為，；那么稱為自由指標。1.2約定求和法那么和啞指標約定在同一項中，如有兩個指標相同，就表示對該指標從1到3求和。這個約定稱為愛因斯坦求和約定。這重復的指標稱為啞指標。如：2/18/2024301、指標和符號1.3克羅內克爾符號定義：于是：,因此，具有替換下標的作用。例:例：為什么2/18/2024311.4置換符號〔〕

〔注：偶排列123，231，312〕例題1：2/18/202432因為2/18/202433例題2：例題3：2/18/2024341.5恒等式

證明：令2/18/202435２、張量的定義

張量是由一組分量所構成的集合，這組分量在坐標改變時應滿足一定的坐標變換關系，以保證該張量本身所描述的一個完整的幾何對象或物理量對象不隨坐標的變換而變化。x1X’3X’2X’1x3x2笛卡爾坐標2/18/202436２、張量的定義

,分別是新舊坐標系的單位基矢量

為新舊坐標之間不同坐標軸夾角的方向余弦x1X’3X’2X’1x3x2笛卡爾坐標2/18/2024372.1對于流場中P點，標量在新舊坐標，中，量值不變。2.2對于流場中的矢量，新舊關系：基矢：

(1)在新舊坐標系中表示為：(2)

于是：

其中是新舊坐標中不同坐標軸夾角的余弦。

〔3〕新舊2/18/202438〔3〕式給出了矢量的另一種定義：即對每一個直角坐標系來說，有三個量，它根據〔3〕式變換到另一個坐標系中的三個量中去，那么此三個量定義一新的量，稱為矢量。假設將矢量以坐標變換的根底定義〔3〕加以推廣，可得張量的定義。2/18/2024392.3流場中點的應力狀態它有9個分量來表示舊坐標中基應力矢量：〔4〕新坐標系中，基應力矢量〔5〕把〔4〕代入〔5〕有：〔6〕于是〔7〕而〔8〕i,k新坐標系j,l舊坐標系j,jl,lij2/18/202440上述矢量和應力狀態，它們在新舊坐標系中分量的關系具有相同的數學結構，稱這類量為張量，一般定義如下：由〔7〕，〔8〕,可得〔9〕凡符合〔9〕可變換規律的物理量稱為二階張量。另：假設在一直角坐標系內給定了3n個數，當坐標變換時，所得新的數那么稱此3n個數為一個n階張量。由此，標量是零階張量，矢量是一階張量，應力是二階張量。2/18/202441

二、張量的表示法一階：二階：或：

一階張量二階張量或2/18/202442三、幾種特殊的二階張量1．零張量：在任意直角坐標系中各分量皆為零的量，以0表示2．單位張量：3．共軛張量：；4．對稱張量：；5．反對稱張量：；

2/18/2024436、并矢證明：為二階張量〔1〕〔2〕要證是二階張量只需證明〔3〕