第03講平面向量的數量積(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第03講平面向量的數量積(精講） 1第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 4第二部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：平面向量數量積的定義 4角度1：平面向量數量積的定義及辨析 4角度2：平面向量數量積的幾何意義 5高頻考點二：平面向量數量積的運算 6角度1：求數量積 6角度2：向量模運算 8角度3：向量的夾角 9角度4：兩向量成銳角（鈍角）求參數 10角度5：已知模求數量積 11角度6：已知模求參數 12高頻考點三：向量的垂直關系 13高頻考點四：向量的投影（投影向量） 14高頻考點五：平面向量的綜合應用 16高頻考點六：最值范圍問題 17高頻考點七：極化恒等式 20第四部分：數學文化題 21第五部分：高考新題型 23①開放性試題 23②探究性試題 23第六部分：數學思想方法 24①函數與方程的思想 24②數形結合的思想 25溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、平面向量數量積有關概念1.1向量的夾角已知兩個非零向量和，如圖所示，作，，則()叫做向量與的夾角，記作．(2)范圍：夾角的范圍是．當時，兩向量，共線且同向；當時，兩向量，相互垂直，記作；當時，兩向量，共線但反向．1.2數量積的定義：已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積(或內積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．規定：零向量與任一向量的數量積為零．記作：.1.3向量的投影①定義：在平面內任取一點，作.過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.②投影向量計算公式:當為銳角（如圖（1））時，與方向相同，，所以；當為直角（如圖（2））時，，所以；當為鈍角（如圖（3））時，與方向相反，所以，即.當時，，所以；當時，，所以綜上可知，對于任意的，都有.2、平面向量數量積的性質及其坐標表示已知向量，為向量和的夾角：2.1數量積2.2模：2.3夾角：2.4非零向量的充要條件：2.5三角不等式：（當且僅當時等號成立）3、平面向量數量積的運算①②③4、極化恒等式①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則②三角形形式：在中，為的中點，所以5、常用結論①②③第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統考高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．62．（2022·全國（乙卷文）·統考高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022·北京·統考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國（甲卷文）·統考高考真題）已知向量．若，則______________．5．（2022·天津·統考高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為___________，若，則的最大值為____________第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：平面向量數量積的定義角度1：平面向量數量積的定義及辨析典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）已知在方向上的投影為，則的值為A．3 B． C．2 D．例題2．（2023·全國·高三專題練習）在矩形中，||＝6，||＝3.若點是的中點，點是的三等分點，且，則·＝（

）A．6 B．4 C．3 D．2例題3．（2023春·貴州貴陽·高一校聯考階段練習）在中，為邊上上的中點，，．（1）___________．（2）為內一點，最小值為___________練透核心考點1．（2023·全國·高一專題練習）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．22．（2023·全國·高三專題練習）在中，，，，為的外心，則（

）A．5 B．2 C． D．角度2：平面向量數量積的幾何意義典型例題例題1．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知點O為所在平面內一點，在中，滿足，，則點為該三角形的（

）A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心例題2．（2023·全國·高一專題練習）《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖所示的是《易經》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田，已知正八邊形的邊長為，點是正八邊形的內部（包含邊界）任一點，則的取值范圍是（

）A． B． C．D．例題3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知正六邊形邊長為1，點是其內部一點，（包括邊界），則的取值范圍為______練透核心考點1．（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，P為正六邊形邊上的動點，則的值可能為（

）A．－2 B．－1 C．1 D．22．（2023春·江西宜春·高三校考開學考試）如圖，在正六邊形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，則_________．3．（2023·全國·高一專題練習）在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，點P為其內部或邊界上一點，則的取值范圍為______.高頻考點二：平面向量數量積的運算角度1：求數量積典型例題例題1．（2023·河南鄭州·統考二模）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（

）A．12 B．4 C．3 D．1例題2．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學校考階段練習）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．9 B． C．16 D．例題3．（2023·內蒙古赤峰·赤峰二中校聯考模擬預測）在邊長為2的正三角形中，，，則（

）A． B． C． D．例題4．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東莞中學校考階段練習）平行四邊形中，，，，點在邊上，則的取值范圍是___________.練透核心考點1．（2023春·山東棗莊·高一滕州市第一中學新校校考階段練習）已知是邊長為2的等邊三角形，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學校考階段練習）已知，，其中．滿足，則（

）A． B． C．9 D．223．（多選）（2023春·安徽亳州·高三校考階段練習）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的可能取值是（

）A．－2 B．2C．4 D．84．（2023春·吉林·高一校考階段練習）在中，，，，D是邊BC上一點，，設，．(1)試用，表示；(2)求的值．角度2：向量模運算典型例題例題1．（2023春·寧夏銀川·高一銀川二中校考階段練習）已知向量與的夾角為60°，，，則（

）A．12 B．16 C． D．4例題2．（2023春·山東棗莊·高一滕州市第一中學新校校考階段練習）若平面向量兩兩的夾角相等，且，則（

）A． B． C．5或2 D．10或4例題3．（2023·遼寧大連·校聯考模擬預測）已知向量，滿足，，，則等于（

）A． B． C． D．例題4．（2023春·山西運城·高一校考階段練習）已知向量，，且，則________．練透核心考點1．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學校考階段練習）已知向量，若與方向相反，則=（

）A．54 B．8 C． D．2．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習）設平面向量，，若，則等于（

）A． B． C． D．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一校考階段練習）已知向量，為單位向量，，的夾角為，則_______．4．（2023春·上海青浦·高一校考階段練習）已知單位向量的夾角為，若，則的取值范圍是__________.5．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，且，則_________.角度3：向量的夾角典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）已知向量滿足，則（

）A． B．C． D．例題2．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中學校考階段練習）已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·廣東東莞·高一校考階段練習）在以為邊?為對角線的菱形中，，，則（

）A． B． C． D．例題4．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，，若，則______例題5．（2023·全國·高三專題練習）已知平面四邊形中，，，，，，則_______.練透核心考點1．（2023·全國·模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習）在平面直角坐標系中，為坐標原點，點、點、點，，若，則與的夾角為(

)A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）已知單位向量，滿足，則______．4．（2023·廣東·統考一模）已知向量滿足，則與的夾角為___________.5．（2023春·山東濟南·高一校考階段練習）如圖，在梯形，，，，，.(1)若，求的值；(2)若，求與的夾角的正切值.角度4：兩向量成銳角（鈍角）求參數典型例題例題1．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學校考階段練習）已知，，向量與的夾角為，且與向量的夾角為鈍角．則（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學校聯考階段練習）已知平面向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為__________．例題3．（2023春·山東棗莊·高一滕州市第一中學新校校考階段練習）已知，且向量與不共線.(1)若與的夾角為，求；(2)若與的夾角為且向量與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.例題4．（2023春·浙江杭州·高一校聯考階段練習）已知：、是同一平面內的兩個向量，其中．(1)若且與垂直，求與的夾角；(2)若且與的夾角為銳角，求實數的取值范圍．練透核心考點1．（2023春·河南洛陽·高一洛寧縣第一高級中學校聯考階段練習）已知平面向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為____________.2．（2023·江蘇·高一專題練習）已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為___________．3．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習）若向量，已知與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．4．（2023春·江蘇揚州·高一揚州中學校考階段練習）設兩個向量滿足，(1)求方向的單位向量；(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍．角度5：已知模求數量積典型例題例題1．（2023春·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中校考階段練習）已知向量滿足則＝（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2例題2．（2023·全國·高一專題練習）已知，是單位向量，若，則，的夾角是（

）A． B． C． D．例題3．（2023·全國·高一專題練習）若非零向量與滿足：，且，，則的最大值為______．練透核心考點1．（2023春·江蘇常州·高二常州市第一中學校考階段練習）空間向量，，若，，，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．（2023春·山東棗莊·高一山東省滕州市第五中學校考階段練習）已知向量，滿足，，則，則______．3．（2023·陜西寶雞·統考二模）已知非零向量，，滿足且，則的取值范圍是______.角度6：已知模求參數典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）已知向量滿足，，若與的夾角為，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．例題2．（2023·山西呂梁·高一校聯考）已知單位向量，，與的夾角為.(1)求證；(2)若，，且，求的值.練透核心考點1．（2023春·安徽·高一校聯考階段練習）已知，是單位向量，且，的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·高二課時練習）已知空間三個向量??的模均為1，它們相互之間的夾角均為.(1)求證：向量垂直于向量；(2)已知，求k的取值范圍.高頻考點三：向量的垂直關系典型例題例題1．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考階段練習）已知，，且?的夾角為，如果，那么的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量滿足，，若，則__________例題3．（2023春·江蘇南京·高一南京市中華中學校考階段練習）已知向量，，若，則______．例題4．（2023春·湖南長沙·高一長郡中學校考階段練習）已知，，．(1)求與的夾角；(2)若，且，求實數的值．練透核心考點1．（多選）（2023春·陜西西安·高一統考階段練習）已知向量，，與垂直，則（

）A． B． C．D．2．（2023春·寧夏銀川·高一寧夏育才中學校考階段練習）已知向量，，若，則______．3．（2023春·寧夏銀川·高一賀蘭縣第一中學校考階段練習）已知兩個非零向量與不共線，(1)試確定實數k，使得與共線；(2)若，且，求實數的值．4．（2023春·湖北十堰·高一校考階段練習）已知，.(1)若與的夾角為，求；(2)若與不共線，當為何值時，向量與互相垂直？高頻考點四：向量的投影（投影向量）典型例題例題1．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學校考階段練習）已知外接圓圓心為，半徑為，，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·河南·統考模擬預測）已知，，且，則在方向上的投影為（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·上海浦東新·高三上海市進才中學校考階段練習）已知向量，則在方向上的數量投影為___________例題4．（2023·浙江溫州·統考二模）若向量滿足，且，則在方向上的投影的取值范圍是______.練透核心考點1．（2023春·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考階段練習）已知的外接圓圓心為O，，，則向量在向量上的投影向量為（

）．A． B．C． D．2．（2023春·云南昆明·高三校考階段練習）已知點，，，，則向量在方向上的投影向量的長度為（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建三明·高一校考階段練習）若向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江西·高三校聯考期末）已知非零向量，滿足，且則向量在向量上的投影為______.高頻考點五：平面向量的綜合應用典型例題例題1．（多選）（2023春·江蘇揚州·高一揚州中學校考階段練習）是的重心，，是所在平面內的一點，則下列結論正確的是（

）A．B．在方向上的投影等于2C．D．的最小值為例題2．（多選）（2023春·廣東深圳·高一校考階段練習）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形，其中，，動點在上（含端點），連結交扇形的弧于點，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．例題3．（2023春·福建泉州·高一校考階段練習）已知平面向量，，函數.(1)若，，求滿足方程的值；(2)已知函數為定義在上的減函數，且對任意的，都滿足，是否存在實數，使對任意恒成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由.練透核心考點1．（多選）（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知，是兩個非零向量，則下列說法正確的是（

）A．若，，，則B．為銳角的充要條件是C．若O為所在平面內一點，且，則O為的重心D．若，且，則為等邊三角形2．（2023春·山東泰安·高一山東省泰安第二中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，已知，，，，，．(1)若，，為軸上的一動點，點．當，，三點共線時，求點的坐標；(2)若，，且與的夾角，求的取值范圍．高頻考點六：最值范圍問題典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，，，，，，設點為直角梯形內一點（不包含邊界），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）在中，為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，圓是半徑為1的圓，，設，為圓上的任意2個點，則的取值范圍是___________.例題4．（2023春·湖北省直轄縣級單位·高一湖北省仙桃中學校考階段練習）如圖，已知直角的斜邊長為4，設是以為圓心的單位圓的任意一點，為邊的中線的中點，則__________，的取值范圍為__________.練透核心考點1．（2023春·廣東揭陽·高三校考階段練習）如圖所示，邊長為2的正△ABC，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在點A的另一側作半圓弧，點P在圓弧上運動，則?的取值范圍為（

）A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]2．（2023春·四川成都·高二校考階段練習）與三角形的一邊及另外兩邊的延長線都相切的圓，稱為這個三角形的旁切圓．已知正的中心為，，點為與邊相切的旁切圓上的動點，則的取值范圍為_______．3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，為外接圓上一個動點，若，則的最大值為__________.4．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中學校考階段練習）如圖，在菱形ABCD中，，.(1)若，，求；(2)若菱形的邊長為6，求的取值范圍.高頻考點七：極化恒等式典型例題例題1．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中學校考階段練習）圓的直徑弦，點在弦上，則的最小值是（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·江蘇南京·高一南京外國語學校校考階段練習）圓為銳角的外接圓，，則的取值范圍為__________．練透核心考點1．（2023春·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考階段練習）已知中，，且的最小值為，若P為邊AB上任意一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末）已知為圓的直徑，點為直線上的任意一點，則的最小值為______．第四部分：數學文化題1．（2023春·廣東佛山·高一校考階段練習）八卦是中國文化的基本哲學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形ABCDEFGH，其中，給出下列結論：①與的夾角為；②；③；④在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）．其中正確結論為（

）A．① B．② C．③ D．④2．（2023·河南安陽·統考二模）如圖，2022年世界杯的會徽像阿拉伯數字中的“8”．在平面直角坐標系中，圓和外切也形成一個8字形狀，若，為圓M上兩點，B為兩圓圓周上任一點（不同于點A，P），則的最大值為（

）．A． B． C． D．3．（多選）（2023春·河北保定·高一定州市第二中學校考階段練習）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列結論正確的是（

）A．B．在向量上的投影向量為C．若，則為的中點D．若在線段上，且，則的取值范圍為4．（2023春·上海寶山·高三統考階段練習）萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業上應用廣泛，如圖所示，分別以正三角形的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知兩點間的距離為2，點為上的一點，則的最小值為______．5．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習）如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續，設初始正方形ABCD的邊長為，則__________．第五部分：高考新題型①開放性試題1．（2023·山東青島·統考一模）已知，，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的的坐標為______．2．（2023·重慶沙坪壩·重慶南