2023年高考數學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

x-y+3>0

1.已知實數X，）'滿足約束條件,x+2yZ0，則z=3x+），的最小值為（）

x<2

A.-5B.2C.7D.11

2.若復數z=2m—l+mi（〃?eR）在復平面內的對應點在直線夕=一》上，則三等于（）

1I.11.

A.1+zB.1-zC.---------1D.一一+-1

3333

3.一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側面積是（）

C.8D.6

4.如圖，已知直線/:y=z（x+l）（左>0）與拋物線C:y2=4x相交于4,8兩點，且4、B兩點在拋物線準線上的投

影分別是M,N,^\AM\=2\BN\,則k的值是（）

A.-B.—C.D.2A/2

333

5.已知函數/(%)=Asin?x+°)(A>0,3>0，M<])的部分圖象如圖所示，且.f(a+x)+.f(a-x)=(),貝!]同

的最小值為()

V

71

B.-

126

兀5兀

c.D.—

12

6.已知定義在R上的可導函數/（x）滿足（1一x）-/（x）+x、r（x）＞0,若y=/（x+2）-e,是奇函數，則不等式

尤?丁（幻一20川＜0的解集是（）

A.S，2)B.-00,1)C.(2,+00)D.

7.執行如圖的程序框圖，若輸出的結果y=2,則輸入的工值為（）

A.3

C.3或-3D.3或一2

8.若集合A={x|國42,XG/?),B=^y\y=-x2,xe/?1,則AcB=()

A.{x|0<x<2}B,{x|x<2}C.{x|-2<x<0}D.0

9.將函數/（x）=JJsin2x-2cos2x圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），再向右平移三個單位長

8

度，則所得函數圖象的一個對稱中心為（）

10.設團，〃是空間兩條不同的直線，a,夕是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題:

①若n/113,a/1p,則〃z〃”；

②若a"L尸，mL/3,mua,則m//a；

③若〃z_L”,mVa,a!I/3,則〃//，；

④若aB=l,mlla,mLl,則加，力.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

11.已知點尸不在直線,、，〃上，貝！1“過點尸可以作無數個平面，使得直線/、，〃都與這些平面平行”是“直線/、機互相

平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

12.關于圓周率;r,數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發，我們也

可以通過設計下面的實驗來估計萬的值：先請全校，”名同學每人隨機寫下一個都小于1的正實數對（x,y）；再統計兩

數能與1構成鈍角三角形三邊的數對（元,〉）的個數a；最后再根據統計數。估計乃的值，那么可以估計萬的值約為

（）

4aa+2a+2m4a+2m

A.—B.-------D.------------

mmmm

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若復數z=l—3i（i是虛數單位），則z?-10）=

14.若sin[5+a）=g，貝!jcosa=,cos2a+cosa=.

15.在AABC中，角A,B,。的對邊長分別為。，b,c,滿足/—2〃（sin3+百cos3）+4=0,b=2幣,則AABC

的面積為_.

16.（2_?+工）的展開式中，常數項為；系數最大的項是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22rr

17.（12分）已知橢圓?+方=l（a>b>0）,點A（1,O）,B（O,1）,點P滿足OA+與OB=OP（其中。為坐標原

點），點8,P在橢圓。上.

（1）求橢圓C的標準方程：

（2）設橢圓的右焦點為F,若不經過點尸的直線/：丁=依+加仕＜0,加＞（））與橢圓C交于M,N兩點.且與圓

f+y2=i相切.〃人平的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由.

18.（12分）如圖，直角三角形他/）所在的平面與半圓弧BD所在平面相交于BD,AB=BD=2,E,F分別為AD,BD

的中點，C是上異于的點，EC=0.

（1）證明:平面CEFL平面8CO;

（2）若點C為半圓弧8。上的一個三等分點（靠近點。）求二面角A-CE-B的余弦值.

22（Uy\（Jy\

19.（12分）已知橢圓：C:\+方=1（。＞。＞0）,四點4（1,1）,6（0,1）,P3一1，事,P.中恰有三

點在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的左右頂點分別為A3.P是橢圓C上異于AB的動點,求Z4PB的正切的最大值.

20.（12分）已知矩陣用=尸:]36eR）不存在逆矩陣，且非零特低值對應的一個特征向量〃==曰，求a,8的值.

b41

21.（12分）已知函數/（%）=告上1,其中”＞0/＞0.

（1）①求函數/（X）的單調區間;

②若X"2滿足同＞亡?=1，2）,且玉+工2＞0，々＞0.求證：〃%）+2/（々）＞手

(2)函數g(x)=gax2-in%.若石,9e對任意，石工々，都有|/（玉）一/（9）|＞情（與）一8（占）|,求。一4

的最大值.

22.(10分)已知點尸在拋物線Gf=2〃y(p>0)上，且點P的橫坐標為2,以P為圓心，儼0|為半徑的圓(。為

原點),與拋物線C的準線交于M,N兩點，且|MN|=2.

(1)求拋物線C的方程；

⑵若拋物線的準線與j軸的交點為H.過拋物線焦點F的直線I與拋物線C交于A,8,且,求|"1-忸尸|

的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

【解析】

根據約束條件畫出可行域，再將目標函數化成斜截式，找到截距的最小值.

【詳解】

x-y+3>0

由約束條件x+2y>0,畫出可行域A8C如圖

z=3x+y變為y=-3x+z為斜率為-3的一簇平行線，z為在軸的截距,

z最小的時候為過C點的時候,

x-y+3=0,；2所以

x+2y=0得

此時z=3x+y=3x(-2)+1=-5

故選A項

【點睛】

本題考查線性規劃求一次相加的目標函數，屬于常規題型，是簡單題.

2.C

【解析】

由題意得2〃?-1+/〃=0,可求得〃?=：,再根據共物復數的定義可得選項.

【詳解】

由題意得2〃?一1+加=0,解得，“=所以z=—1+q，所以三=一!—L,

33333

故選：C.

【點睛】

本題考查復數的幾何表示和共扼復數的定義，屬于基礎題.

3.B

【解析】

根據正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據矩形的面積公式，可得結果.

【詳解】

由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2

所以該正三棱柱的三個側面均為邊長為2的正方形，

所以該正三棱柱的側面積為3x2x2=12

故選：B

【點睛】

本題考查正三棱柱側面積的計算以及三視圖的認識，關鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三

視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎題.

4.C

【解析】

直線、=左(》+1)化>0)恒過定點網一1，0),由此推導出|。邳=；同可，由此能求出點5的坐標，從而能求出k的值.

【詳解】

設拋物線C：V=4x的準線為

直線y=k(x+1)(%>0)恒過定點P(T，0)，

如圖過A、8分別作/于M,BN工1于■N,

由|AM|=2|BN|，貝!l|E4|=2|qI，

點8為A尸的中點、連接。3,貝

A\OB\=\BF\,點8的橫坐標為；，

.?.點B的坐標為8,把6代入直線3=/(％+1)(左＞0),

解得卜普

故選：C.

【點睛】

本題考查直線與圓錐曲線中參數的求法，考查拋物線的性質，是中檔題，解題時要注意等價轉化思想的合理運用，屬

于中檔題.

5.A

【解析】

a是函數Ax)的零點，根據五點法求出圖中零點及V軸左邊第一個零點可得.

【詳解】

由題意1T=U—工，T=乃，.?.函數f(x)在y軸右邊的第一個零點為々+々=二，在y軸左邊第一個零點是

41266412

7171_71

二時的最小值是g

故選：A.

【點睛】

本題考查三角函數的周期性，考查函數的對稱性.函數/(x)=Asin(<yx+0)的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標.

6.A

【解析】

構造函數g(x)=上半1,根據已知條件判斷出g(力的單調性.根據y=/(X+2)-/是奇函數，求得“2)的值，

由此化簡不等式x-2el+,<0求得不等式的解集.

【詳解】

構造函數g(x)=±4。，依題意可知g'(x)=0三).'E'(')>0，所以g(x)在R上遞增.由于

exex

y=/(x+2)—e3是奇函數，所以當x=0時，y=/(2)-e3=0,所以"2)=",所以g(2)=Z?=2e.

e

由x./(x)—V“<0得g(x)=g^<2e=g(2),所以x<2,故不等式的解集為(—8,2).

故選：A

【點睛】

本小題主要考查構造函數法解不等式，考查利用導數研究函數的單調性，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔

題.

7.D

【解析】

根據逆運算，倒推回求x的值，根據》的范圍取舍即可得選項.

【詳解】

?

因為y=2,所以當(尤+1尸=2,解得x=3X),所以3是輸入的X的值；

當2一卷=2時，解得％=—2<0,所以一2是輸入的x的值，

所以輸入的x的值為-2或3,

故選：D.

【點睛】

本題考查了程序框圖的簡單應用，通過結果反求輸入的值，屬于基礎題.

8.C

【解析】

試題分析：化簡集合A=m8=(T.0]."由=[-2.0]

故選C.

考點：集合的運算.

9.D

【解析】

先化簡函數解析式，再根據函數丫=45%(5+。)的圖象變換規律,可得所求函數的解析式為丁=2$垣^》-?)-1,

再由正弦函數的對稱性得解.

【詳解】

y=>/3sin2x-2cos2x

=V3sin2x—(1+cos2x)=2sin(2x-?1一1,

.?將函數圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,所得函數的解析式為

y=2sinf—X-—^-1,

■136

再向右平移個TT單位長度,所得函數的解析式為

O

27t

2sin—x----

34

lx-^=k7r^x=-k^+—,keZ,

3428

%=0可得函數圖象的一個對稱中心為故選D?

【點睛】

三角函數的圖象與性質是高考考查的熱點之一，經常考查定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調性、最值等,

其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現，在復習時要注意基礎知識的理解與

落實.三角函數的性質由函數的解析式確定，在解答三角函數性質的綜合試題時要抓住函數解析式這個關鍵，在函數

解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數解析式化為一個角的一個三角函數形式，然后利用正弦(余弦)

函數的性質求解.

10.C

【解析】

根據線面平行或垂直的有關定理逐一判斷即可.

【詳解】

解：①：m、"也可能相交或異面，故①錯

②：因為。，戶，mL[3,所以僅ua或加//2,

因為/ncza,所以m//a,故②對

③：〃//月或〃up,故③錯

因為夕，?0=1,在內a過點E作直線/的垂線。，

則直線。，尸，aA.1

又因為m//a,設經過團和a相交的平面與a交于直線。，則加//匕

又w_L/,所以/?_!_/

因為a_U,bA.1,bua,aua

所以/?//a//m,所以根_L尸，故④對.

故選：C

【點睛】

考查線面平行或垂直的判斷，基礎題.

11.C

【解析】

根據直線和平面平行的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

點P不在直線/、，"上，

，若直線/、加互相平行，則過點P可以作無數個平面，使得直線/、〃?都與這些平面平行，即必要性成立，

若過點P可以作無數個平面，使得直線/、，"都與這些平面平行，則直線/、加互相平行成立，反證法證明如下：

若直線/、加互相不平行，則/,〃，異面或相交，則過點P只能作一個平面同時和兩條直線平行，則與條件矛盾，即

充分性成立

則“過點P可以作無數個平面，使得直線/、機都與這些平面平行”是“直線/、機互相平行”的充要條件，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合空間直線和平面平行的性質是解決本題的關鍵.

12.D

【解析】

0<%<1

由試驗結果知相對o?1之間的均勻隨機數x，y，滿足,、，，面積為I,再計算構成鈍角三角形三邊的數對(x,y),

0<y<1

滿足條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計》的

值.

【詳解】

.、[0<%<1

解：根據題意知，加名同學取/〃對都小于1的正實數對(X,y),即0<<],

對應區域為邊長為1的正方形，其面積為1,

x2+y2<1

、x+y>1

若兩個正實數x，y能與1構成鈍角三角形三邊，則有<,

0<%<1

0<><1

c7i1百一an14?+2m

其面積S=-----；則有一=------，解得7i---------

42m42m

故選：D.

【點睛】

本題考查線性規劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規劃可行域是一個封閉的圖形，可以

直接解出可行域的面積；求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據題意構造兩個

變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.30i

【解析】

直接根據復數的代數形式四則運算法則計算即可.

【詳解】

z=l+3z?z(z-10)=(1—3z)(l+3z-10)=30z.

【點睛】

本題主要考查復數的代數形式四則運算法則的應用.

14

14.--一

39

【解析】

根據誘導公式和二倍角公式計算得到答案.

【詳解】

4

sin[5+a)=cosa=；,cosla+cosa=2cos2a-1+cosa=

9-

14

故答案為：—；.

39

【點睛】

本題考查了誘導公式和二倍角公式，屬于簡單題.

15.26.

【解析】

由二次方程有解的條件，結合輔助角公式和正弦函數的值域可求5,進而可求。，然后結合余弦定理可求c,代入

csi?計算可得所求.

【詳解】

解：把/一2a(sin2+百cos3)+4=0看成關于?的二次方程，

則△?(),即4(sinB+百COSB)2-16?0,

即為42sin(3+。))—1620,

化為sir)-+21,而siiv(B+41,

則5廿(8+()=1,

上—八c__.,0717147r

由于0<5<"，可得一<BT—<—

3339

可得6+色=工，即8=主，

326

代入方程可得，/_4a+4=0,

a=29

由余弦定理可得，cos-^4+C~~28=—

62x2c2

解得：c=4百(負的舍去),

S^BC=—sinB=—x2x4V3x—=25/3.

故答案為26.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應用，屬于中檔題.

16.6024(川

【解析】

求出二項展開式的通項，令指數為零，求出參數的值，代入可得出展開式中的常數項；求出項的系數，利用作商法可

求出系數最大的項.

【詳解】

的展開式的通項為C〉(2/尸[J[=c：.26-*.產-叫

令12-3%=0,得％=4,所以，展開式中的常數項為C：22=6()；

晨2

令cik=C卜乎k(keN,k&6),令，

《?2,

解得QnwN,：.n=2,因此，展開式中系數最大的項為C；?2,=240/.

故答案為：60；24(1?.

【點睛】

本題考查二項展開式中常數項的求解，同時也考查了系數最大項的求解，涉及展開式通項的應用，考查分析問題和解

決問題的能力，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.(1)y+y2=l(2)是，20

【解析】

(1)設P(x,y),根據條件可求出P的坐標，再利用8,P在橢圓上，代入橢圓方程求出a,8即可；

(2)設M(%,y),N(w，%)&>0,占>0)運用勾股定理和點滿足橢圓方程，求出|囤，|NQ|,再利用焦半徑公式

表示出|"目，|可目,進而求出周長為定值.

，即P1，十,

、?

0+3=1

b-,

因為B1均在C上，代入得〈1，解得/=2,〃=1,所以橢圓。的方程為￡+>2=1；

'+2=1

a2b2

5

⑵由⑴得打1,0）,e=拳,a=JL作出示意圖,

設切點為（孫必）（石>0，X2>°），

則|知。|2=|。〃|2_|。0|2=辦2+才_1=；m

71

同理|NQ|=xl+yj-l=-xl

即|MQ|=白西,|NQ|=半々，所以IMN|=母（玉+々），

又|MF|—a-ex1—^/2—Xj91NF|—ci-ex2—\/2—,

則.腦7尸的周長阿川+|川用+|陽?|=￥（%|+々）+&-白玉+&-停入2=2灰，

所以周長為定值2起.

【點睛】

標準方程的求解，橢圓中的定值問題，考查焦半徑公式的運用,考查邏輯推理能力和運算求解能力，難度較難.

18.(1)詳見解析；(2)曬.

35

【解析】

(1)由直徑所對的圓周角為90°，可知通過計算，利用勾股定理的逆定理可以判斷出、為直角三角形，

所以有由已知可以證明出,BD，這樣利用線面垂直的判定定理可以證明所，平面BC。，利用面面

垂直的判定定理可以證明出平面平面8c。；

(2)以尸為坐標原點，分別以垂直于平面8C。向上的方向、向量所在方向作為x軸、軸、二軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系尸一Ayz,求出相應點的坐標，求出平面ACE的一個法向量和平面3CE的法向量，

利用空間向量數量積運算公式，可以求出二面角A-CE-B的余弦值.

【詳解】

解：(1)證明：因為C半圓弧80上的一點，所以BC工BD.

在△A3。中，E,尸分別為A。,8。的中點，所以EE=1AB=1,且EF//AB.

2

于是在MFC中，￡F2+FC2=1+1=2=EC2>

所以AEFC為直角三角形，且EELEC.

因為EF//AB,所以EF.用).

因為EFLEC,EF\BD，BDcFC=F,

所以所_L平面BCD.

又印u平面CEF,所以平面CEF±平面BCD.

(2)由已知N8FC=120,以尸為坐標原點，分別以垂直于30、向量”。，/月所在方向作為》軸、》軸、z軸的

正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系尸-WZ,

則C(#,g,0),E(0,0,l),5(0,-1,0),A(0,-1,2),

CE=(-率一g,1),BE=(0』,1),AE=(0,1,-1).

設平面ACE的一個法向量為m=(占,y,ZI),

y-zi=o

AE?m=0t取Z1=1,得機二(X^』/).

即《g1

CEm-0卜”"+馬=o3

設平面BC￡的法向量〃=(工2，%，22),

z

y2+2=o

BEn=0

即［亭-9+4=。取z?=1，得n—(>/3,—1,1).

CE,n=0

nun

cos<in,n>=-------

所以

又二面角A-CE-B為銳角，所以二面角A-CE-B的余弦值為叵.

35

【點睛】

本題考查了利用線面垂直判定面面垂直、利用空間向量數量積求二面角的余弦值問題.

19.(1)y+y=1；(2)一2亞

【解析】

(1)分析可得修舄必在橢圓C上，(1,1)不在橢圓。上，代入即得解；

(2)設直線PA,PB的傾斜角分別為a,萬，斜率為&可得左/2=—1.則NAF3=4-a,tan/APBk?—k、

1+Z/2

利用均值不等式，即得解.

【詳解】

(1)因為丹《關于軸對稱，

所以與舄必在橢圓C上，

11_11

/+赤

.?.(1,1)不在橢圓C1上

/?/?=1>a2=2

(2)設橢圓上的點P(x。，%)(改產±&),

設直線PA,PB的傾斜角分別為a,p,斜率為&&2

又片+2抬=2

=>ZAF5=/?-?,

k、=tana,k2=tan/（不妨設b>a）.

故人>0,k?<0

tanZAPB=tan4-a

二左2-&

1+Z#2

1A1

=2---=-2［（-女2）+（一瓦-）］＜-2^2

2k2）

即22=-乎時等號成立

當且僅當飛“去

【點睛】

本題考查了直線和橢圓綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.

a=4

b=-\

【解析】

由M不存在逆矩陣，可得ab=Y,再利用特征多項式求出特征值3,0,Ma=3a，利用矩陣乘法運算即可.

【詳解】

—1Q

因為“不存在逆矩陣，det(M)==0,所以"=T.

b4

4+1-Clic

矩陣”的特征多項式為〃田=,,,=A2-3A-4-ab=A2-3A,

令/(4)=0,則4=3或4=0,

所以用a=3cr，即乙4]=

—1+。=3a=4

所以《"4=3’所以

b=—1

【點睛】

本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關的問題，考查學生的運算能力，是一道容易題.

J__1_、

21.(1)①單調遞增區間,單調遞減區間②詳見解析；(2)

yfaJa716

【解析】

⑴①求導可得/'(x)=W?,xwo,再分別求解r(x)>o與r(x)<o的解集，結合定義域分析函數的單調區間即

可.

②根據(1)中的結論，求出/(內)+2/(/)的表達式，再分玉<0與玉>0兩種情況，結合函數的單調性分析

〃8)+2〃々)的范圍即可.

⑵求導分析g(x)=|ax2-lnx的單調性,再結合f(x)單調性，設百</，去絕對值化簡可得

(1A

/&)一g(±)—"(W)-g(X2)]>0,再構造函數M(x)=/(x)-g(x)，xw0,7，根據函數的單調性與恒成立問

\7aJ

題可知1--7=20,再換元表達匕求解最大值即可.

yja

【詳解】

解：(l)r(x)=^^，XH°,

由—>0可得x>或xv_~^=,

由/，(x)<0nJ^--y=<x<-j=,

、11)

故函數的單調遞增區間-8-，單調遞減區間