專題14.1冪運算與整式的乘（除）法目標導航目標導航1、掌握正整數冪的乘法運算性質（同底數冪的乘法、除法、冪的乘方、積的乘方）；2、能用代數式和文字語言正確地表述這些性質，并能運用它們熟練地進行運算；3、.會進行單項式的乘法，單項式與多項式的乘法，多項式的乘法計算；4、掌握整式的加、減、乘、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律簡化運算。5、會進行單項式除以單項式的計算，會進行多項式除以單項式的計算。知識精講知識精講知識點01冪運算知識點1）同底數冪的乘法：同底冪相乘，底數不變，指數相加，即：am·an=am+n，（m，n為正整數）拓展：①am·an·ap=am+n+p，（m，n，p為正整數；②(a+b)n(a+b)m=a+b)m+n（m，n為正整數）.同底數冪的乘法技巧①計算同底數冪時，要求底數必須完全一樣。當底數不相同時，可以通過化異底為同底，然后計算；②逆用法則：am+n=am×an2）冪的乘方運算法則冪的乘方，底數不變，指數相乘，即：(am)n=amn，其中m，n為正整數拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p為正整數;(am)n=amn=(an)m，其中m，n為正整數.((a+b)m)n=(a+b)mn，其中m，n為正整數.3）積的乘方運算法則積的乘方，等于把積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即：(ab)m=ambm，其中m為正整數。拓展：(abc)m=ambmcm，其中m為正整數。【知識拓展1】同底數冪的乘法及其逆運算例1．（2022·成都市·八年級課時練習）下列運算中，錯誤的個數是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【即學即練】1．（2022·浙江·寧波市七年級期中）已知，，則的值為___．2．（2022·綿陽市·八年級專題練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【知識拓展2】冪的乘方及其逆運算例2．（2022·湖南·七年級期中）下列選項中正確的有（）個．①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【即學即練】3．（2022·湖南·株洲七年級期中）已知，，則等于（

）A．1 B．72 C． D．4．（2022·山東·聊城市七年級階段練習）計算(1)已知：＝5，＝3，計算的值．(2)已知：3x+5y＝8，求的值．【知識拓展3】積的乘方及其逆運算例3．（2022·四川·眉山八年級階段練習）【即學即練】5.（2022·山東淄博·期末）的計算結果是（

）A． B． C． D．6.（2022·山西臨汾·八年級階段練習）計算的結果是（）A． B． C．1 D．知識點02整式乘法知識點1）單項式乘單項式:單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。注：①單項式乘單項式，結果仍為單項式；②單項式相乘時，注意不要漏掉無相同之母的項。2）單項式乘多項式:根據乘法分配律，用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc注：單項式乘以多項式的積仍是一個多項式，積的項數與原多項式的項數相同；如果式中含有乘方運算，仍應先算乘方，在算乘法。3）多項式乘多項式:先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。注：運算過程中，需要關注符號的變化（負負得正，正負為負）；乘法運算的結果中，如果有同類項，需要合并同類項，化為最簡形式。【知識拓展1】整式乘法基本運算例1．（2022·安徽·八年級階段練習）先化簡，再求值；其中．【即學即練1】1．（2022·福建八年級階段練習）計算：(1)；(2)2．（2022·廣東·八年級專題練習）計算(1)(2)【知識拓展2】不含某項問題例2．（2022·福建·晉江八年級階段練習）如果的結果中不含x的五次項，那么m的值為（

）A．1 B．0 C．-1 D．【即學即練2】3．（2022·福建八年級期中）如果的展開式中不含項，則a的值是（

）A．5 B． C．0 D．4．（2022·四川·渠縣七年級階段練習）若展開后不含x的一次項，則m的值是（

）A． B．1 C．3 D．0【知識拓展3】整式乘法的運用例3．（2022·上海·七年級專題練習）一塊長方形硬紙片，長為米、寬為米，在它的四個角上分別剪去一個邊長為米的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子．(1)這個盒子的長為，寬為，高為；(2)求這個無蓋盒子的外表面積．【即學即練3】5．（2022·江蘇·鹽城市初級中學七年級期中）長為a，寬為的長方形，它的面積為____．（結果為最簡）知識點03整式除法知識點1）同底數冪的除法運算同底數冪相除，底數不變，指數相減（與冪的乘法為逆運算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n為正整數）。2）與的應用零指數冪：=1()；負整數指數冪：=（，p為正整數）。注意：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數，即“底倒指反”，即==；eq\o\ac(○,3)在混合運算中,始終要注意運算的順序。3）單項式除單項式通常分為三個步驟：（1）將它們的系數相除作為上的系數；（2）對于被除式和除式中都含有的字母，按同底冪的除法分別相除，作為商的因式；（3）被除式中獨有的字母，則連同它的指數一起作為商的因式。4）多項式除單項式多項式的每一項分別除以單項式，然后再把所得的商相加。注：計算時，多項式各項要包含它前面的符號，結果所得商的項數與原多項式的項數相同；當被除式的某一項與除式相同時，商為1，注意不能漏除某一項。【知識拓展1】同底數冪的除法及其逆運算例1．（2022·成都市·八年級課時練習）下列4個算式中，計算錯誤的有（

）（1）（2）（3）（4）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【即學即練1】1．（2022·四川·渠縣七年級階段練習）已知：，，求的值．2．（2022·江蘇·七年級期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【知識拓展2】整式的除法例2．（2022·陜西·七年級期中）若關于x的多項式除以，所得商恰好為，則_____．【即學即練2】3．（2022·陜西咸陽·七年級階段練習）已知一個多項式的2倍與的和等于，則這個多項式是（

）A．B．C．D．4．（2022·山東淄博·期末）若a＝2，則______．能力拓展能力拓展考法01（）的應用注：，可能有三種情況：eq\o\ac(○,1)=1()；eq\o\ac(○,2)=1；eq\o\ac(○,3)=1（n為偶數）【典例1】（2022·綿陽市·八年級期中）當x=____________時，代數式的值為1.變式1.（2022.成都市錦江區初一期中）已知,則x=變式2．（2022·浙江杭州市·七年級其他模擬）已知，則______．考法02運用冪運算比較大小【典例2】（2022·河北石家莊·七年級期中）閱讀：已知正整數，，，若對于同底數，不同指數的兩個冪和，當時，則有；若對于同指數，不同底數的兩個冪和，當時，則有>，根據上述材料，回答下列問題．[注（2），（3）寫出比較的具體過程](1)比較大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”）(2)比較與的大小；(3)比較與的大小．變式1．（2021·浙江·嵊州市七年級期中）已知，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．變式2．（2022·湖南·郴州七年級階段練習）在比較和的大小時，我們可以這樣來處理：∵==，==，16＜27，∴＜，即＜．請比較以下兩組數的大小：(1)與；(2)與．分層提分分層提分題組A基礎過關練1.（2022·江蘇·蘇州七年級期末）的結果是（

）A．a B．a5 C．a6 D．a92．（2021·甘肅·蘭州七年級階段練習）下列各式計算正確的是（

）A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b33．（2022·遼寧·朝陽七年級期中）光在真空中的速度約為，太陽光照射到地球上大約需要．地球距離太陽大約有多遠？（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇·七年級期中）要使成立，則，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，5．（2022·陜西·西安交大附中浐灞右岸學校七年級階段練習）小明在做作業的時候，不小心把墨水滴到了作業本上，■，陰影部分即為被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一項是（）A． B． C． D．6．（2022·浙江紹興·一模）計算的正確結果是（

）A． B． C． D．7．（2022·廣東惠州·八年級期末）計算：______．8．（2022·福建·福州市雙安中學八年級階段練習）若，求_____．9．（2022·內蒙古七年級階段練習）若的展開式中不含和項，則的值為______．10．（2022·四川·仁壽縣書院初級中學校八年級階段練習）若，則________．11．（2022·吉林·測試·編輯教研五八年級階段練習）已知，那么的值是_______．12．（2022·江蘇·開明中學七年級期中）計算：＝________．13．（2022·湖南·長沙市中雅培粹學校八年級階段練習）先化簡，再求值：，其中．14．（2022·江蘇·南通市海門區實驗初級中學八年級階段練習）（1）已知，求x的值.

（2）已知＝2，＝3求的值.題組B能力提升練1．（2021·山東淄博·期中）下列計算正確的是（

）A．B．C． D．2．（2021·河南·八年級階段練習）今天數學課上，老師講了單項式乘多項式，放學回到家，小明拿出課堂筆記復習，發現一道題：□，□的地方被鋼筆水弄污了，你認為□內應填寫（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇相城區）若，，，則（）A． B． C． D．4．（2022·浙江杭州市·七年級其他模擬）計算機存儲設備中常用等作為儲存容量的單位，例如，老師常用的U盤的容量是，一張比較清晰的照片的大小是等．已知，，，．目前存儲量最大的移動硬盤存儲量可以達到，那么它的容量是（）個B．A． B． C． D．5．（2022·河南南陽·八年級階段練習）在等式中，括號內的代數式應是（

）A． B． C． D．6．（2022·浙江杭州·七年級期中）若，則的值是（）A． B．16 C．20 D．247．（2022·安徽·定遠七年級階段練習）已知，，，則的大小關系是（

）A． B． C． D．8.（2022.成外初一月考）若，則x的值為9．（2022·湖南邵陽·七年級期末）數學課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加，小麗在練習時，發現了這樣一道題：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一項是_____．10．（2022·浙江七年級期中）我們知道，同底數冪的乘法法則為：am?an＝am+n（其中a≠0，m，n為正整數），類似地我們規定關于任意正整數m，n的一種新運算：f（m+n）＝f（m）?f（n），請根據這種新運算填空：（1）若f（1）＝，則f（2）＝_____；（2）若f（1）＝k（k≠0），那么f（n）?f（2022）＝_____（用含n和k的代數式表示，其中n為正整數）11．（2022·河南金水·）如果那么我們規定．例如；因為所以．（1）根據上述規定填空：__，__，__；（2）若．判斷之間的數量關系，并說明理由．12．（2022·廣東·七年級期中）已知，則m=________．13．（2022·天津市八年級階段練習）已知，，則的值等于______.14．（2022·江西·永豐縣恩江中學七年級期中）歡歡與樂樂兩人共同計算（2x＋a）（3x＋b），歡歡抄成2x（3x＋b），得到的結果為6x2＋4x；樂樂抄成（2x－a）（3x＋b），得到的結果為6x2－5x－6．(1)求出式子中的a、b的值？(2)請計算出原題的正確答案．15．（2022·重慶）求下列各式中x的值．（1）；（2）．題組C培優拔尖練1．（2022·浙江·溫州七年級階段練習）從前，一位地主把一塊長為a米，寬為b米(a＞b＞100)的長方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的長增加10米，寬減少10米，繼續租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積將（

）A．變小了 B．變大了 C．沒有變化 D．可能變大也可能變小2．（2022·河南·南陽市第十三中學校八年級階段練習）長方形的面積為，若它的一邊長為，則它的周長為(

)A． B． C． D．3．（2022·浙江八年級期末）我們知道下面的結論：若（，且），則．利用這個結論解決下列問題：設．現給出三者之間的三個關系式：①，②，③．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①4．（2022·浙江嘉興·一模）已知，則代數式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·陜西寶雞·七年級期末）如圖，王老師把家里的WIFI密碼設置成了數學問題．吳同學來王老師家做客，看到WIFI圖片，思索了一會兒，輸入密碼，順利地連接到了王老師家里的網絡，那么她輸入的密碼是_____．6．（2022·浙江湖州·七年級期末）小王和小明分別計算同一道整式乘法題：，小王由于抄錯了一個多項式中的符號，得到的結果為，小紅由于抄錯了第二個多項式中的的系數，得到的結果為，則這道題的正確結果是_________．7．（2022·湖南·李達中學九年級階段練習）若x，y均為實數，，則：（1）＝______x