1.1直線的斜率與傾斜角學習目標1.在平面直角坐標系中,結合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.3.經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.

1|直線的斜率對于直線l上任意兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直線l的斜率公式是①

k=

(x1≠x2)

.2|直線的傾斜角在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線,把x軸所在的直線繞著交點按

②逆時針

旋轉到和直線重合時所轉過的③最小正角

稱為這條直線的傾

斜角.α的取值范圍為④0°≤α<180°

.3|直線的斜率與傾斜角的對應關系把一條直線(直線的斜率存在)的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率,斜率常

用小寫字母k表示,即⑤

k=tanα

.圖示

傾斜角(范圍)α=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°斜率(范圍)k=0k>0不存在k<0判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.1.任何一條直線有且只有一個傾斜角和它對應.

(√)°,則這條直線與x軸垂直.

(√)3.直線的傾斜角越大,它的斜率越大;反過來,直線的斜率越大,它的傾斜角也越大.

(

?)提示:設直線的傾斜角為α,斜率為k.當α=60°時,k=

;當α=150°時,k=-

,所以直線的傾斜角越大,斜率不一定越大;反之,直線的斜率越大,它的傾斜角也不一定越大.4.當直線的斜率小于0時,其傾斜角α的范圍是90°<α<180°.

(√)

1|傾斜角和斜率的關系及其應用x軸時,

直線的斜率與傾斜角為一一對應關系.當直線l的傾斜角θ∈

時,θ越大,斜率k越大;當直線l的傾斜角θ∈

時,θ越大,斜率k越大.θ的取值范圍求斜率k的取值范圍時,由k=tanθ,結合正切函數

的單調性即可求出tanθ的取值范圍.3.已知斜率的取值范圍求傾斜角的取值范圍時,應將斜率k的取值范圍劃分為k≥

0和k<0兩部分,根據正切函數的單調性分別求出傾斜角的取值范圍,合并即可得

到傾斜角的取值范圍.

已知兩點A(-3,4),B(3,2),過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.(1)求直線l的斜率k的取值范圍;(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.思路點撥作出圖形并觀察,可以發現當直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間時,直

線l與線段AB有公共點.解析如圖,由題意可知kPA=

=-1,kPB=

=1.(1)要使l與線段AB有公共點,則直線l的斜率k的取值范圍是k≤-1或k≥1.(2)易知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間(包括PB與PA的傾斜角),易知直線PB的傾斜角是45°,直線PA的傾斜角是135°,∴直線l的傾斜角α的取值范圍是45°≤α≤135°.

本題易錯誤地認為-1≤k≤1,結合圖形考慮,l的傾斜角應介于直線PB與直線PA的

傾斜角之間,即45°≤α≤135°,利用k=tanα(0°≤α<180°)的圖象(如圖所示)得到k的

取值范圍是k≤-1或k≥1.2|直線斜率的應用A,B,C都在某條斜率存在的直線上,則任意兩點的坐標都可以確定這條直

線的斜率,即kAB=kAC(或kAB=kBC,或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC,或kAC=kBC),則直線

AB與AC(或AB與BC,或AC與BC)的傾斜角相同,又過同一點A(或B,或C),因此

點A,B,C在同一條直線上.

的范圍(最值)問題,可以利用

的幾何意義(過定點(a,b)與動點(x,y)的直線的斜率),借助于圖形,將求范圍(最值)問題轉化為求斜率的范圍(最值)問

題,從而簡化運算過程.

已知點(x,y)是y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的圖象上一點,試求

的最大值和最小值.思路點撥

可以看成是過點(-2,-3)和(x,y)的直線的斜率,結合圖形求出斜率的最大值和最小值即可.解析如圖所示,y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的圖象為曲線AB,

可以看成經過定點P(-2,-3)與曲線AB上任意一點(x,y)的直線