專題16全等三角形（10個高頻考點）（強化訓練）【考點1全等三角形的概念及其性質】1．（2022·江蘇鹽城·校考三模）如圖，將△ABC繞著點C順時針旋轉后得到△A′B′C′．若∠A=40°，A．90° B．80° C．50° D．30°2．（2022·遼寧鞍山·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．所有的等邊三角形是全等形B．面積相等的三角形是全等三角形C．到三角形三邊距離相等的點是三邊中線的交點D．到三角形三個頂點距離相等的是三邊中垂線的交點3．（2022·河南·模擬預測）如圖所示，兩個三角形全等，則∠α等于()A．72° B．60° C．58° D．50°4．（2022·上海靜安·統考二模）下列說法中，不正確的是（

）A．周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合 B．面積相等的兩個圓一定能夠重合C．面積相等的兩個正方形一定能夠重合 D．周長相等的兩個菱形一定能夠重合5.（2022·山東淄博·統考中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結論中一定成立的是（

）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【考點2一次證明全等三角形】6．（2022·四川樂山·統考中考真題）如圖，B是線段AC的中點，AD∥BE,BD∥7．（2022·浙江衢州·統考中考真題）已知：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4．求證：8．（2022·江蘇無錫·統考中考真題）如圖，在?ABCD中，點O為對角線BD的中點，EF過點O且分別交AB、DC于點E、F，連接DE、BF．求證：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．9.（2022·山東青島·山東省青島實驗初級中學校考模擬預測）（1）如圖1，∠B=∠D=90°，E是BD的中點，AE平分∠BAC，求證：（2）如圖2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分線并于點E，過點E作BD⊥AM，分別交AM、CN于B、（3）如圖3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分線交于點E，過點E作不垂直于AM的線段BD，分別交AM、CN于B、D點，且B、10.（2022·江蘇徐州·校考二模）如圖1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐標系xOy中，點A坐標為0,4，∠MAN=90°，AM=AN．三角板AMN繞點A逆時針旋轉，AM、AN與x軸分別交于點D、E．∠AOE、∠AOD的角平分線OG、OH分別交AN、AM于點B、C．點P為BC的中點．(1)求證：AB=AC；(2)如圖2，若點D的坐標為?3,0，求線段BC的長度；(3)在旋轉過程中，若點D的坐標從?8,0變化到?2,0，則點P的運動路徑長為___________（直接寫出結果）【考點3多次證明全等三角形】11．（2022·遼寧大連·統考二模）如圖，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于點O．求證：OC＝OD．12．（2022·二模）已知：如圖，BD為ΔABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F為垂足．求證：(1)ΔABD?(2)AE=CE；(3)BA+BC=2BF．13．（2022·山東濟南·模擬預測）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊AC上，AH⊥BD于點H，以AH為邊在AH右側作等邊△AEH，EH交BC于點F，求證：點F是BC的中點．14.（2022·河南·模擬預測）如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點F，連接CD，EB．（1）圖中還有幾對全等三角形，請你一一列舉；（2）求證：CF＝EF．15.（2022·福建福州·校考模擬預測）如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點，AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC．（1）求C點的坐標.（2）如圖2，OA=2,P為y軸負半軸上的一個動點，若以P為直角頂點，PA為腰作等腰直角△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP－DE的值.（3）如圖3，點F坐標為（－4，－4），點G（0，m）在y軸負半軸，點H（n，0）在x軸的正半軸，且FH⊥FG，求m+n的值.【考點4網格中的全等三角形】16.（2022·浙江寧波·統考一模）如圖，△ABC是正方形網格圖中的格點三角形（頂點在格點上），請分別在圖1，圖2的正方形網格內按下列要求畫一個格點三角形．（1）在圖1中，以AB為邊畫直角三角形△ABD（D與C不重合），使它與△ABC全等．（2）在圖2中，以AB為邊畫直角三角形△ABE，使它的一個銳角等于∠B，且與△ABC不全等．17.（2022·河北·模擬預測）如圖是一個4×4的正方形網格，圖中所標示的7個角的角度之和等于()A．585° B．540° C．270° D．31518.（2022·河北·模擬預測）如圖，在5×5方格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，△ABC是格點三角形（即頂點恰好是正方形的頂點），那么與△ABC有一條公共邊且全等的所有格點三角形的個數是（

）．A．2 B．3 C．4 D．519.（2022·北京海淀·統考一模）如圖，在4×4的正方形網格中，A，B，C，D，E是網格線交點．請畫出一個△DEF，使得△DEF與△ABC全等______．20.（2022·北京·北京市第一六一中學校考模擬預測）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D均落在格點上，則∠BAC+∠ACD＝_____°．【考點5尺規作圖與全等三角形】21．（2022·吉林白山·統考二模）仔細觀察用直尺和圓規作一個角∠A′O′BA．SAS B．SSS C．ASA D．AAS22.（2022·甘肅武威·校考二模）已知：AC是?ABCD的對角線．（1）用直尺和圓規作出線段AC的垂直平分線，與AD相交于點E，連接CE．（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若AB=3,BC=5，求△DCE的周長．23.（2022·廣東廣州·校考二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是BC上一點，DF⊥AE于點F．(1)過點B作AE的垂線交AE于點P（尺規作圖，保留痕跡，不寫作法）；(2)根據（1）中作圖，若BP=3，PF=1，求AB的長．24.（2022·江西吉安·校考一模）尺規作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規，在數學中，我們也能通過尺規作圖創造出許多帶有美感的圖形．尺規作圖起源于古希臘的數學課題，只允許使用圓規和直尺，來解決平面幾何作圖問題．【作圖原理】在兩年的數學學習里中，我們認識了尺規作圖，并學會用尺規作圖完成一些作圖問題，請仔細思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規作圖實現，可以實現的畫√，不能實現的畫×．（1）過一點作一條直線．()（2）過兩點作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓．()【回顧思考】還記得我們用尺規作圖完成的第一個問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學習了使用尺規作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點作垂線……而這些尺規作圖的背后都與我們學習的數學原理密切相關，下面是用尺規作一個角等于已知角的方法及說理，請補全過程．已知：∠AOB．求作：∠A′作法：（1）如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交（3）以點C′（4）過點D′畫射線O′B說理：由作法得已知：OC=求證：∠證明：∵∴ΔOCD?ΔO所以∠A【小試牛刀】請按照上面的范例，完成尺規作圖并說理：過直線外一點作已知直線的平行線．已知：直線l與直線外一點A．求作：過點A的直線l′，使得l//【創新應用】現實生活中許多圖案設計都蘊含著數學原理，下面是一個常見商標的設計示意圖．假設你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規，為你的書店設計一個圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設計意圖．25.（2022·河北唐山·統考一模）【提出問題】課間，一位同學拿著方格本遇人便問：“如圖所示，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A、B、C都是格點，如何證明點A、B、C在同一直線上呢？”【分析問題】一時間，大家議論開了.同學甲說：“可以利用代數方法，建立平面直角坐標系，利用函數的知識解決”，同學乙說：“也可以利用幾何方法…”同學丙說：“我還有其他的幾何證法”……【解決問題】請你用兩種方法解決問題

方法一（用代數方法）：

方法二（用幾何方法）：【考點6利用倍長中線模型證明全等三角形】26.（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是_________．27.（2022·安徽·模擬預測）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長AD到點E，使DE＝AD，連結BE．請根據小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是（A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．6<AD<8

B．12<AD<16

C．1<AD<7

D．2<AD<14(3)【感悟】解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論轉化到同一個三角形中．【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．28.（2022·山西·統考一模）閱讀材料，解答下列問題．如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至點E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進一步可得到AC=BE，AC//BE等結論．在已知三角形的中線時，我們經常用“倍長中線”的輔助線來構造全等三角形，并進一步解決一些相關的計算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點F為AD上一點，且BF=AC，連結并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF．29.（2022·浙江寧波·統考模擬預測）如圖，平行四邊形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD的中點，且∠MAN＝∠ABC，則AMAB30.（2022·廣東深圳·統考三模）如圖，矩形ABCD中，AE＝13AD，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于F點，若CF＝FD＝3，則BC【考點7利用垂線模型證明全等三角形】31．（2022·貴州黔東南·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中A0,4、C6,0，BC⊥x軸，存在第一象限的一點Pa,2a?5使得△PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，則點PA．3,1或3,3 B．5,5 C．3,1或5,5 D．3,332．（2022·浙江湖州·統考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy，四邊形OABC為正方形，若點B（1，4），則點A的坐標為（）A．（3，1） B．52,32 33．（2022·浙江溫州·校考一模）如圖，在△ABC中以AC，BC為邊向外作正方形ACFG與正方形BCDE，連結DF，并過C點作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，則MD的長為（）A．72 B．2 C．32 34．（2022·遼寧沈陽·統考二模）如圖，點P、D落在正方形ABCD邊AB的兩側，連接PA、PD、PB．AP＝3，PB＝5，∠APB＝45°，則PD的長為______．35．（2022·寧夏吳忠·統考一模）如圖，在正方形ABCD中，頂點A，B，C，D在坐標軸上，且B2,0，以AB為邊構造菱形ABEF（點E在x軸正半軸上），將菱形ABEF與正方形ABCD組成的圖形繞點O逆時針旋轉，每次旋轉90°，則第27次旋轉結束時，點F【考點8利用旋轉模型證明全等三角形】36．（2022·山東濟南·統考二模）已知AD是等邊△ABC的高，AC=2，點O為直線AD上的動點(不與點A重合)，連接BO，將線段BO繞點O順時針旋轉60°，得到線段OE，連接CE、BE．(1)問題發現：如圖1，當點O在線段AD上時，線段AO與CE的數量關系為，∠ACE的度數是．(2)問題探究：如圖2，當點O在線段AD的延長線上時，(1)中結論是否還成立？請說明理由．(3)問題解決：當∠AEC=30°時，求出線段BO的長37．（2022·河南新鄉·模擬預測）問題發現：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=60°，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE(1)①∠ACE的度數是；②線段AC，CD，CE之間的數量關系是．拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數及線段AD，BD，CD解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請直接寫出線段AD的長度．38．（2022·重慶·模擬預測）如圖1，在等腰Rt△ABC中，AB=BC，D是BC的中點，E為邊AC上任意一點，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接EF，交AB于點G(1)若AB=6，AE=2，求ED(2)如圖2，點G恰好是EF的中點，連接BF，求證：CD=2(3)如圖3，將△BDF沿DF翻折，使得點B落在點P處，連接AP、EP，若AB=6，當AP+DP最小時，直接寫出△AEP的面積．39．（2022·廣東梅州·一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D為AB邊上一動點，連接CD，并將CD繞點C逆時針旋轉90°得到CE，連接BE、DE，點F為DE中點，連接BF．（1）求證：△ACD?△BCE；（2）如圖2所示，在點D的運動過程中，當ADBD=n時（n＞1），分別延長AC、BF相交于①當n=32時，求CG與②當ADBD＝n時（n＞1），ABCG＝（3）當點D運動時，在線段CD上存在一點M，使得AM+BM+CM的值最小，若CM＝2，則BE＝．40．（2022·黑龍江佳木斯·統考模擬預測）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，將△ABC繞著點C旋轉，連接BD，AE，M是BD的中點．(1)如圖①，當CA與CD重合，CB與CE重合時，線段AE，CM的數量關系是；(2)當△ABC的位置如圖②和圖③時，線段AE，CM又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并選擇圖②或圖③其中一種情況進行證明．【考點9連接兩點作輔助線證明全等三角形】41．（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°．若∠BDC=25°，AD=4，DE=13，則CD的長為（

）A．2 B．3 C．132 42．（2022春·江蘇南通·模擬預測）如圖，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，下列結論：(1)△DEF是等腰直角三角形；(2)四邊形CDFE不可能為正方形，（3）DE長度的最小值為4；（4）連接CF，CF恰好把四邊形CDFE的面積分成1：2兩部分，則CE=13或14A．1個 B．2個 C．3個 D．4個43．（2022·湖南邵陽·統考模擬預測）如圖，BD是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點B，點C在⊙O上，CD∥AO，求證：AC是⊙O的切線．44．（2022秋·河北·模擬預測）如圖，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，則∠B=（

）A．50° B．40° C．40°或7045．（2022春·四川廣安·四川省岳池縣第一中學校模擬預測）如圖：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，若AE＝3，AC＝6，則AD的長為（）A．37 B．6 C．9 D．47【考點10全等三角形的實際應用】46．（2022·甘肅隴南·模擬預測）某大學計劃為新生配備如圖①所示的折疊凳，圖②是折疊凳撐開后的側面示意圖(木條等材料寬度忽略不計)，其中凳腿AB和CD的長相等，O是它們的中點，為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設計為30cm，則由以上信息可推得CB的長度為_____.47．（2022秋·陜西渭南·模擬預測）如圖為秋千搖擺的示意圖，秋千繩長OA=OB=OC，當秋千位于OB位置時，過點B作BD⊥OA于點D，測得OD=3m，當秋千位于OC位置時，OB與OC恰好垂直，求此時秋千到OA的水平距離CE的長CE⊥OA48．（2022秋·陜西西安·模擬預測）如圖：小剛站在河邊的A點處，在河的對面（小剛的正北方向）的B處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了30步到達一棵樹C處，接著再向前走了30步到達D處，然后他左轉90°向正南方向直行，當小剛看到電線塔B、樹C與自己現處的位置E在一條直線時，他從D到E走了80步．(1)根據題意，畫出示意圖；(2)如果小剛一步大約0.5米，估計小剛在點A處時他與B處電線塔的距離，并說明理由．49．（2022秋·山東淄博·模擬預測）為了測量一個池塘旁兩棵樹A，B之間的距離（如圖），小剛利用數學課中學到的知識進行了如下的測量：先站在B樹處，正面對準A樹；然后向右轉90°，并向正前方走了6米，標上記號C后，繼續向前又走了6米到點D，再向右轉90°又向前走，當又走了15米時，發現所處的位置E與A，C在一條直線上．(1)畫出小剛所走路線的示意圖，并用字母標出小剛行走過程中的關鍵位置；(2)樹A與樹B之間的距離是多少？并請說明理由．50．（2022秋·江西贛州·模擬預測）數學興趣小組打算測量教室內花瓶的內壁厚度，經過搜索資料，發現了一個可以使用的工具－－卡鉗，卡鉗示意圖如下，AD=BC，O是線段AD和BC的中點．利用卡鉗測量內徑的步驟為：①將卡鉗A、B兩端伸入在被測物內；②打開卡鉗，使得A、B兩端卡在內壁；③測量出點C與點D間的距離，即為內徑的長度．(1)請寫出第③步的理由；(2)小組成員利用上述方法測得CD=12cm，同時測得外徑為16cm，請求出花瓶內壁厚度專題16全等三角形（10個高頻考點）（強化訓練）【考點1全等三角形的概念及其性質】1．（2022·江蘇鹽城·校考三模）如圖，將△ABC繞著點C順時針旋轉后得到△A′B′C′．若∠A=40°，A．90° B．80° C．50° D．30°【答案】D【分析】旋轉前后的圖形全等，根據三角形的內角等于180°即可算出∠BCA的度數．【詳解】由題意可得△∴∠B=∠∴∠C=180°?∠A?∠B=180°?40°?110°=30°故選：D【點睛】本題考查了旋轉的性質和三角形的內角和，理解和熟記相應的知識，仔細理解題意是解決本題的關鍵．2．（2022·遼寧鞍山·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．所有的等邊三角形是全等形B．面積相等的三角形是全等三角形C．到三角形三邊距離相等的點是三邊中線的交點D．到三角形三個頂點距離相等的是三邊中垂線的交點【答案】D【分析】根據全等三角形的判定知兩個等邊三角形不一定全等即可判定A錯誤；面積相等的三角形不一定是全等三角形可判定B錯誤；根據到三角形三邊距離相等的點是內角平分線的交點，可判定C錯誤；根據到三角形三個頂點距離相等的點是三邊中垂線的交點即可判定D正確．【詳解】解：A、兩個等邊三角形不一定全等，故此選項不符合題意；B、面相等的三角形不一定是全等三角形，故此選項不符合題意；C、到三角形三邊距離相等的點是內角平分線的交點，故此選項不符合題意；D、到三個頂點距離相等的是三邊中垂線的交點，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定的判定定理，等邊三角形的性質，三角形三邊垂直平分線的交點的性質，三角形內角平分線的交點性質是解題的關鍵．3．（2022·河南·模擬預測）如圖所示，兩個三角形全等，則∠α等于()A．72° B．60° C．58° D．50°【答案】D【分析】根據圖形得出DE=AB=a，DF=AC=c，根據全等三角形的性質得出∠D=∠A=50°，即可得出選項．【詳解】解：∵DE=AB=a，DF=AC=c，又∵△ABC和△DEF全等，∴∠D=∠A=50°，∴∠α=50°，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，能熟記全等三角形的性質是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．4．（2022·上海靜安·統考二模）下列說法中，不正確的是（

）A．周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合 B．面積相等的兩個圓一定能夠重合C．面積相等的兩個正方形一定能夠重合 D．周長相等的兩個菱形一定能夠重合【答案】D【分析】利用全等圖形的定義，以及等邊三角形的性質，圓的性質，正方形的性質，菱形的性質分析選項即可．【詳解】解：由題意可知：A.周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合，周長相等說明等邊三角形的邊長相等，且等邊三角形的每一個角都為60°，故說法正確，不符合題意；B.面積相等的兩個圓一定能夠重合，面積相等說明圓的直徑相等，故說法正確，不符合題意；C.面積相等的兩個正方形一定能夠重合，面積相等說明正方形的邊長相等，且正方形的每個角都為90°，故說法正確，不符合題意；D.周長相等的兩個菱形一定能夠重合，周長相等雖然可以說明菱形的邊長相等，但是不能保證菱形的每個角對應相等，故說法不正確，符合題意；故選：D【點睛】本題考查全等圖形的定義，等邊三角形的性質，圓的性質，正方形的性質，菱形的性質，解題的關鍵是掌握性質，并進行分析．5.（2022·山東淄博·統考中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結論中一定成立的是（

）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【答案】B【分析】根據全等三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D選項錯誤，B選項正確，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．【考點2一次證明全等三角形】6．（2022·四川樂山·統考中考真題）如圖，B是線段AC的中點，AD∥BE,BD∥【答案】證明過程見詳解【分析】運行平行線的性質可證∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，結論即可得證．【詳解】證明∵B是AC中點，∴AB=BC，∵AD∥∴∠A=∠EBC，∵BD∥∴∠DBA=∠C，在△ABD和△BCE中，∠A=∠EBCAB=BC∴△ABD≌△BCE(ASA)．【點睛】本題考查了全等三角形的判定、平行線的性質，掌握兩直線平行同位角相等的知識是解答本題的關鍵．7．（2022·浙江衢州·統考中考真題）已知：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4．求證：【答案】見解析【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根據ASA證明△ACB≌△ACD，再根據全等三角形的性質即得結論．【詳解】解：∵∠3=∠4，∠ACB+∠3=180°，∠ACD+∠4=180°，∴∠ACB=∠ACD，∵∠1=∠2AC=AC∴△ACB≌△ACD，∴AB=AD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，證明△ACB≌△ACD是解本題的關鍵．8．（2022·江蘇無錫·統考中考真題）如圖，在?ABCD中，點O為對角線BD的中點，EF過點O且分別交AB、DC于點E、F，連接DE、BF．求證：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據平行四邊形ABCD的性質，利用ASA即可證明△DOF≌△BOE；（2）證明四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD的中點，∴AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF．在△BOE和△DOF中，∠OBE=∠ODFOB=OD∴△BOE≌△DOF（ASA）；（2）證明：∵△BOE≌△DOF，∴EO=FO，∵OB=OD，∴四邊形BEDF是平行四邊形．∴DE=BF．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定和性質，證明三角形全等是解決問的關鍵．9.（2022·山東青島·山東省青島實驗初級中學校考模擬預測）（1）如圖1，∠B=∠D=90°，E是BD的中點，AE平分∠BAC，求證：（2）如圖2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分線并于點E，過點E作BD⊥AM，分別交AM、CN于B、（3）如圖3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分線交于點E，過點E作不垂直于AM的線段BD，分別交AM、CN于B、D點，且B、【答案】（1）見解析；（2）AC=AB+CD；（3）成立，理由見解析【分析】（1）過E作EF⊥AC于F，根據角平分線的性質可得EF=BE，從而求出EF=DE，然后根據角平分線的判定證明即可；（2）過E作EF⊥AC于F，根據平行線的性質得到BD⊥CD，由角平分線的性質得到BE=EF，證得Rt△AEF≌Rt△ABE，根據全等三角形的性質得到AF=AB（3）成立，在AC上截取AF=AB，根據角平分線定義得到∠BAE=∠FAE，推出△ABE≌△AFE，根據角平分線的性質得到∠ABE+∠【詳解】解：（1）如圖1，過E作EF⊥AC于F，∵∠B=90°，AE平分∠∴EF=BE，∵E是BD的中點，∴BE=DE，∴EF=DE，∵∠D=90°∴CE平分∠ACD（2）如圖2，過E作EF⊥AC于F，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴BD⊥CD，∵AE平分∠BAC∴BE=EF，在Rt△AEF與RtBE=EFAE=AE∴Rt△AEF≌∴AF=AB，同理CF=CD，∵AC=AF+CF，∴AC=AB+CD；（3）成立，如圖3，在AC上截取AF=AB，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=在△ABE與△AFE中，AB=AF∠BAE=∠FAE∴△ABE≌△AFE，∴∠AFE=∵AM∥CN，∴∠ABE+∵∠AFE+∴∠CFE=∵CE平分∠ACD∴∠FCE=在△CEF與△CDE中，∠CFE=∠CDE∠FCE=∠DCE∴△CEF≌△CDE，∴CF=CD，∵AC=AF+CF，∴AC=AB+CD．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，角平分線的性質，角平分線的定義，平行線的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．10.（2022·江蘇徐州·校考二模）如圖1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐標系xOy中，點A坐標為0,4，∠MAN=90°，AM=AN．三角板AMN繞點A逆時針旋轉，AM、AN與x軸分別交于點D、E．∠AOE、∠AOD的角平分線OG、OH分別交AN、AM于點B、C．點P為BC的中點．(1)求證：AB=AC；(2)如圖2，若點D的坐標為?3,0，求線段BC的長度；(3)在旋轉過程中，若點D的坐標從?8,0變化到?2,0，則點P的運動路徑長為___________（直接寫出結果）【答案】(1)見解析(2)20(3)4【分析】（1）直接根據角平分線作出輔助線構造全等三角形即可證明．（2）首先根據坐標求出直線AD的表達式y=43x+4，然后由垂直得出直線AN的表達式y=?（3）設直線AM的表達式為y=mx+4，根據垂直得出AN的表達式為y=?1mx+4，聯立直線方程得出點C的坐標為(?4m+1,4m+1)，點B的坐標為(（1）過點A作AF垂直OH于點F，AT垂直OG于點T，∵OG，OH分別平分∠AOE，∠AOD，∴∠COA=∠BOA=45°，∴AF=AT，∵∠CAB=∠COB=90°，∴∠ACO+∠ABO=180°，∵ACO+∠ACF=180°，∴∠ACF=∠ABO，在RtΔACF和∠ACF=∠ABT∠AFC=∠ATB∴Δ∴AC=AB．（2）由題意得可知：lOH:y=?x，設lAD∵D(?3,0)，A(0,4)，∴b=4∴lAD∵AN⊥AM，∴lAN聯立y=43x+4∴點C的坐標為(?12同理可得點B的坐標為(16∴BC=(（3）設直線AM的表達式為y=mx+4，則AN的表達式為y=?1聯立y=?xy=mx+4，解得x=?∴點C的坐標為(?4同理可得點B的坐標為(4m設點P的坐標為(x∵P為BC中點，∴xP∴點P的坐標為(2m?2即點P始終在直線y=2上運動，由此可知P點的運動路徑長度為起始橫坐標之差，當D的坐標為(?8,0)時，代入y=mx+4，得m=1此時點P的坐標為(?2當D的坐標為(?2,0)時，代入y=mx+4，得m=2，此時點P的坐標為(2∴點P的運動路徑長為23【點睛】本題屬于一次函數與幾何綜合，內容涉及廣泛，包括證明全等，求點的坐標以及路徑長度，解題的難點在于求路徑的長度，而關鍵在于求出點的路徑軌跡，根據軌跡去求長度，本題難度較大，屬于壓軸題．【考點3多次證明全等三角形】11．（2022·遼寧大連·統考二模）如圖，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于點O．求證：OC＝OD．【答案】見解析【分析】根據HL證明Rt△ABD和Rt△BAC全等，進而利用AAS證明△AOC和△BOD全等解答即可．【詳解】證明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°．在Rt△ABD和Rt△BAC中，AD=BC,AB=BA,∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴BD＝AC，在△AOC和△BOD中，∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD．【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據HL證明Rt△ABD和Rt△BAC全等．12．（2022·二模）已知：如圖，BD為ΔABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F為垂足．求證：(1)ΔABD?(2)AE=CE；(3)BA+BC=2BF．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由角平分線得出∠ABD=∠EBC，利用全等三角形的判定證明即可；（2）由（1）中結論得出∠BCE=∠BDA，ΔBCD和ΔBEA為等腰三角形，結合條件可得出（3）過點E作EG⊥BC交BC的延長線于點G，利用角平分線的性質可得EF=EG，根據直角三角形的判定得出RtΔBFE?RtΔBGE，RtΔAFE?RtΔCGE，FA=CG，結合圖形，利用線段間的數量關系即可證明．【詳解】（1）∵BD為ΔABC∴∠ABD=∠EBC，在ΔABD與ΔAB=EB∠ABD=∠EBD∴ΔABD?ΔEBC(SAS)；（2）∵ΔABD?ΔEBC，∴∠BCE=∠BDA，∵∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∴∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA，∵BD=BC，BE=BA，∴ΔBCD和∵∠ABD=∠EBC，∴∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴AE=EC；（3）如圖，過點E作EG⊥BC交BC的延長線于點G，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BG，∴EF=EG，在RtΔBFE與RtΔBGE中，EF=EGBE=BE∴RtΔBFE?RtΔBGE(HL)，∴BF=BG，在RtΔAFE與EF=EGEA=EC∴RtΔAFE?RtΔCGE(HL)，∴FA=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG?CG=BF+BG=2BF．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質，等角對等邊及角平分線的性質等，理解題意，熟練掌握運用全等三角形的判定和性質是解題關鍵．13．（2022·山東濟南·模擬預測）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊AC上，AH⊥BD于點H，以AH為邊在AH右側作等邊△AEH，EH交BC于點F，求證：點F是BC的中點．【答案】見解析【分析】利用SAS證明△BAH≌△CAE，得∠AHB=∠AEC，從而得出∠FEC=30°，作GB∥CE，交EF的延長線于G，說明∠G=∠BHG=30°，得BG=BH，由△BAH≌△CAE可得，BH=CE，則BG=CE，再利用AAS證明△BGF≌△CEF，得【詳解】證明：∵△ABC、△AEH是等邊三角形，∴AB=AC，AH=AE，∠BAC=∠HAE，∴∠BAH=∠CAE，在△BAH和△CAE中，AB=AC∠BAH=∠CAE∴△BAH≌△CAESAS∴∠AHB=∠AEC，∵AH⊥BD，∴∠AHB=90°，∴∠AEC=90°，∵∠AEH=60°，∴∠FEC=30°；作GB∥CE，交EF的延長線于∴∠G=∠FEC=30°，∵∠AHE=60°，∠AHB=90°，∴∠BHG=30°，∴∠G=∠BHG，∴BG=BH，∵△BAH≌△CAE∴BH=CE，∴BG=CE，在△BGF和△CEF中，∠BFG=∠EFC∠G=∠CEF∴△BGF≌△CEFAAS∴BF=CF，∴點F為BC的中點．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平行線的性質，解題的關鍵是作輔助線構造全等三角形．14.（2022·河南·模擬預測）如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點F，連接CD，EB．（1）圖中還有幾對全等三角形，請你一一列舉；（2）求證：CF＝EF．【答案】(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF；(2)證明見解析.【分析】（1）根據Rt△ABC≌Rt△ADE，得出AC=AE，BC=DE，AB=AD，∠ACB=∠AED，∠BAC=∠DAE，從而推出∠CAD=∠EAB，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF；（2）先證得△CDF≌△EBF，進而得到CF=EF．【詳解】（1）圖中其它的全等三角形為：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF；（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC=AE，AD=AB，∠CAB=∠EAD，∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB．即∠CAD=∠EAB．∴△CAD≌△EAB，∴CD=EB，∠ADC=∠ABE．又∵∠ADE=∠ABC，∴∠CDF=∠EBF．又∵∠DFC=∠BFE，∴△CDF≌△EBF．∴CF=EF．15.（2022·福建福州·校考模擬預測）如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點，AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC．（1）求C點的坐標.（2）如圖2，OA=2,P為y軸負半軸上的一個動點，若以P為直角頂點，PA為腰作等腰直角△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP－DE的值.（3）如圖3，點F坐標為（－4，－4），點G（0，m）在y軸負半軸，點H（n，0）在x軸的正半軸，且FH⊥FG，求m+n的值.【答案】答案見解析.【分析】（1）作CD⊥AD，易證∠ACD=∠OAB，即可求證△ACD≌△BAO，可得AD=OB，CD=OA即可解題；（2）作DF⊥OP，易證∠APO=∠PDF，即可證明△AOP≌△PFD，可得AO=PF，DE=OF，即可解題；（3）作FD⊥HD，FE⊥OG，易證∠EFG=∠DFH，即可證明△EFG≌△DFH，可得EG=DH，即-m-4=n+4，即可解題．【詳解】解：如圖，（1）過點C作CD⊥AD，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠OAB=90°，∴∠ACD=∠OAB，在△ACD和△BAO中，∠ADC=∠AOB∠ACD=∠OAB∴△ACD≌△BAO，（AAS）∴AD=OB，CD=OA，∴點C坐標為（-6，-2）；(2)作DF⊥OP，∵∠APO+∠DPF=90°，∠PDF+∠DPF=90°，∴∠APO=∠PDF，在△AOP和△PFD中，∠AOP=∠PFD∠APO=∠PDF∴△AOP≌△PFD，（AAS）∴AO=PF，DE=OF，∴OP-DE=OP-OF=FP=AO=2；(3)作FD⊥HD，FE⊥OG，則FE=FD=4，∵∠EFG+∠OFE=90°，∠OFE+∠DFH=90°，∴∠EFG=∠DFH，在△EFG和△DFH中，∠EFG=∠DFHEF=DF∴△EFG≌△DFH，（ASA）∴EG=DH，即-m-4=n+4，∴m+n=-8．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△ACD≌△BAO，△AOP≌△PFD，△EFG≌△DFH是解題的關鍵．【考點4網格中的全等三角形】16.（2022·浙江寧波·統考一模）如圖，△ABC是正方形網格圖中的格點三角形（頂點在格點上），請分別在圖1，圖2的正方形網格內按下列要求畫一個格點三角形．（1）在圖1中，以AB為邊畫直角三角形△ABD（D與C不重合），使它與△ABC全等．（2）在圖2中，以AB為邊畫直角三角形△ABE，使它的一個銳角等于∠B，且與△ABC不全等．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】（1）如圖1，根據三邊對應相等的兩三角形全等作圖即可；（2）根據三組對應邊成比例的兩個三角形相似作圖．【詳解】解：（1）如圖1，∴△ACD為所求；（2）如圖2，∴△ABD為所求．【點睛】本題考查了作圖﹣應用與設計作圖：應用與設計作圖主要把簡單作圖放入實際問題中．首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質和基本作圖的方法作圖．此題靈活應用相似三角形的判定與性質．17.（2022·河北·模擬預測）如圖是一個4×4的正方形網格，圖中所標示的7個角的角度之和等于()A．585° B．540° C．270° D．315【答案】A【分析】觀察圖形，可知△ABC?△AZV，根據全等三角形的性質可知∠1=∠AZV，進而有∠1+∠7=180°，同理可得∠2+∠6=180°,∠3+∠5=180°，∠4=45°然后即可得出答案.【詳解】在△ABC和△AZV中，AB=AZ△ABC?△AZV(SAS)∴∠1=∠AZV∴∠1+∠7=180°同理可得∠2+∠6=180°,∠3+∠5=180°，∵∠4=45°∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=180°×3+45°故選A【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.18.（2022·河北·模擬預測）如圖，在5×5方格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，△ABC是格點三角形（即頂點恰好是正方形的頂點），那么與△ABC有一條公共邊且全等的所有格點三角形的個數是（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】以BC為公共邊時有3個三角形，以AC為公共邊時有1個三角形與△ABC全等．【詳解】解析：畫出符合題意要求的三角形如圖所示以BC為公共邊的三角形有8個，分別是△BCD，△BCE，△BCF以AB為公共邊的三角形有0個以AC為公共邊的三角形有1個，為△ACG共3+0+1=4個故選：C【點睛】本題考查了全等三角形的判定的應用，找出符合條件的所有三角形是解此題的關鍵．解題時考慮要全面，不要漏解．19.（2022·北京海淀·統考一模）如圖，在4×4的正方形網格中，A，B，C，D，E是網格線交點．請畫出一個△DEF，使得△DEF與△ABC全等______．【答案】見解析（只要畫出一種即可）【分析】根據兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等進行作圖即可．【詳解】解：∵DE=AB，∴分兩種情況：∠DEF=∠ABC=135°或∠EDF=∠ABC=135°，找出點F的位置，連接DF、EF，BC=EF或FD=CB，∴△ABC≌△DEF（SAS）或△ABC≌△EDF（SAS），即為要求作的△DEF，如圖所示：故答案為：見解析（只要畫出其中一種即可）【點睛】本題主要考查了在方格紙中作一個三角形與已知三角形全等，解題的關鍵是確定點F的位置．20.（2022·北京·北京市第一六一中學校考模擬預測）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D均落在格點上，則∠BAC+∠ACD＝_____°．【答案】90【分析】先證明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根據同角的余角相等和三角形的內角和可得結論．【詳解】在△DCE和△ABD中，∵CE=∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE＝∠DAB，∴∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，故答案為90．【點睛】本題網格型問題，考查了三角形全等的性質和判定及直角三角形各角的關系，本題構建全等三角形是關鍵．【考點5尺規作圖與全等三角形】21．（2022·吉林白山·統考二模）仔細觀察用直尺和圓規作一個角∠A′O′BA．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】根據作圖過程可知O′C′【詳解】解：根據作圖過程可知O′C′在△OCD和△OO′∴△OCD≌△O∴∠A故選：B．【點睛】本題考查基本作圖—作一個角等于已知角，其理論依據是三角形全等的判定“SSS”，解題的關鍵是熟練掌握相關的判定定理．22.（2022·甘肅武威·校考二模）已知：AC是?ABCD的對角線．（1）用直尺和圓規作出線段AC的垂直平分線，與AD相交于點E，連接CE．（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若AB=3,BC=5，求△DCE的周長．【答案】(1)見解析；（2）8【分析】（1）以A、C為圓心，以大于12（2）由（1）可得OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，再由平行線的性質可得∠AEO=∠CFO，根據AAS即可證明全等．【詳解】解：（1）如圖，CE為所作；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC=5,CD=AB=3，∵點E在線段AC的垂直平分線上，∴EA=EC，∴△DCE的周長=CE+DE+CD=EA+DE+CD=AD+CD=5+3=8．【點睛】本題考查作圖，熟練掌握基本作圖是解題關鍵23.（2022·廣東廣州·校考二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是BC上一點，DF⊥AE于點F．(1)過點B作AE的垂線交AE于點P（尺規作圖，保留痕跡，不寫作法）；(2)根據（1）中作圖，若BP=3，PF=1，求AB的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據過直線外一點作垂線的方法即可求解．（2）根據正方形的性質可證明△ADF?△BAP,從而得到AF=BP=3,進而可得AP=4,利用勾股定理即可計算出AB的長．（1）如圖所示，點P即為所求．（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°∵DF⊥AE,BP⊥AE,∴∠DFA=∠APB=90°∴∠BAP+∠DAP=∠BAP+∠ABP=90°∴∠ADF=∠BAP在△ADF和△BAP中，∵∴△ADF?△BAP（AAS），∴AF=BP=3，∵PF=1，∴AP=4，∴AB=∴AB的長為5．【點睛】本題主要考查了尺規作圖，勾股定理．正方形的性質和全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據題意作圖，證明全等三角形．24.（2022·江西吉安·校考一模）尺規作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規，在數學中，我們也能通過尺規作圖創造出許多帶有美感的圖形．尺規作圖起源于古希臘的數學課題，只允許使用圓規和直尺，來解決平面幾何作圖問題．【作圖原理】在兩年的數學學習里中，我們認識了尺規作圖，并學會用尺規作圖完成一些作圖問題，請仔細思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規作圖實現，可以實現的畫√，不能實現的畫×．（1）過一點作一條直線．()（2）過兩點作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓．()【回顧思考】還記得我們用尺規作圖完成的第一個問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學習了使用尺規作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點作垂線……而這些尺規作圖的背后都與我們學習的數學原理密切相關，下面是用尺規作一個角等于已知角的方法及說理，請補全過程．已知：∠AOB．求作：∠A′作法：（1）如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交（3）以點C′（4）過點D′畫射線O′B說理：由作法得已知：OC=求證：∠證明：∵∴ΔOCD?ΔO所以∠A【小試牛刀】請按照上面的范例，完成尺規作圖并說理：過直線外一點作已知直線的平行線．已知：直線l與直線外一點A．求作：過點A的直線l′，使得l//【創新應用】現實生活中許多圖案設計都蘊含著數學原理，下面是一個常見商標的設計示意圖．假設你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規，為你的書店設計一個圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設計意圖．【答案】【作圖原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顧思考】作法：以點C′為圓心，以CD為半徑畫弧，與第二步中所畫的弧相交于D【分析】[作圖原理]根據五種基本作圖判斷即可；[回顧思考]利用全等三角形的判定解決問題即可；[小試牛刀]利用同位角相等兩直線平行解決問題即可；[創新應用]答案不唯一，畫出圖形，說明設計意圖即可．【詳解】解：[作圖原理]：（1）過一點作一條直線．可以求作；（2）過兩點作一條直線．可以求作；（3）畫一條長為3cm的線段．不可以求作；（4）以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓．可以求作；故答案為：√，√，×，√；[回顧思考]：作法：（1）如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線O'A'，以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點C'；（3）以點C'為圓心，以C′為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點D′；（4）過點D'畫射線O'B'，則∠A'O'B'＝∠AOB．說理：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，求證：∠A'O'B'＝∠AOB．證明：在△OCD和△O'C'D'中{OC＝O′C′∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的對應角相等），故答案為：以C′為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點D′，SSS，全等三角形的對應角相等；[小試牛刀]：如圖，直線l′即為所求（方法不唯一），；

[創新應用]：如圖所示（答案不唯一），設計意圖：書架中隱藏著無限寶藏，．【點睛】本題考查作圖?應用與設計作圖，全等三角形的判定和性質，平行線的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．25.（2022·河北唐山·統考一模）【提出問題】課間，一位同學拿著方格本遇人便問：“如圖所示，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A、B、C都是格點，如何證明點A、B、C在同一直線上呢？”【分析問題】一時間，大家議論開了.同學甲說：“可以利用代數方法，建立平面直角坐標系，利用函數的知識解決”，同學乙說：“也可以利用幾何方法…”同學丙說：“我還有其他的幾何證法”……【解決問題】請你用兩種方法解決問題

方法一（用代數方法）：

方法二（用幾何方法）：【答案】（1）見詳解；（2）見詳解.【分析】（1）以點B為原點建立平面直角坐標系，則點C為（1，2），利用待定系數法求出直線BC的解析式，然后判斷點A是否在直線BC上即可；（2）在格點中構造兩個三角形，證明△ABD≌△BCE，得到∠ABD=∠BCE，利用平角的定義，得到∠ABC=180°，即可得到點A、B、C在同一條直線上.【詳解】解：（1）如圖，以點B為原點建立平面直角坐標系，則點C坐標為（1，2），設直線BC的解析式為：y=kx，解得：k=2，∴直線BC的解析式為：y=2x；當x=?1時，y=2×(?1)=?2，∴點A（?1，?2）在直線BC上，∴A、B、C三點在同一條直線上；（2）如圖，在網格中構造兩個三角形，△ABD和△BCE；∵網格的邊長為1，∴AD=BE=1，BD=CE=2，∠D=∠E=90°，∴△ABD≌△BCE，∴∠ABD=∠BCE，∵∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBE+∠CBE=90°+90°=180°，∴A、B、C三點在同一條直線上.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，一次函數的性質，以及平角的定義，解題的關鍵是掌握證明全等三角形的方法和利用待定系數法求一次函數的解析式.【考點6利用倍長中線模型證明全等三角形】26.（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是_________．【答案】1<AD<7【分析】延長AD到E，使AD=DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，得到AC=BE=6，在△ABE中，根據三角形三邊關系定理得出AB?BE<AE<AB+BE，代入求出即可．【詳解】解：延長AD到E，使AD=DE，連接BE，如下圖：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD在△ADC和△EDB中AD=DE∴△ADC∴AC=BE=6在△ABE中，AB?BE∴8?6<2AD<8+6∴1<AD<故答案為1<AD<【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的三邊關系定理的應用，熟練掌握相關基本性質是解題的關鍵．27.（2022·安徽·模擬預測）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長AD到點E，使DE＝AD，連結BE．請根據小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是（A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．6<AD<8

B．12<AD<16

C．1<AD<7

D．2<AD<14(3)【感悟】解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論轉化到同一個三角形中．【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【答案】(1)B(2)C(3)見解析【分析】（1）根據AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延長AD到M，使AD=DM，連接BM，根據SAS證△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根據AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根據等腰三角形的性質求出即可．【詳解】（1）∵在△ADC和△EDB中AD＝∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，∵在△ABE中，AB=8，由三角形三邊關系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選：C．（3）延長AD到點M，使AD＝DM，連接BM．∵AD是△ABC中線∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中DC=DB∴△ADC∴BM＝AC（全等三角形的對應邊相等）∠CAD＝∠M（全等三角形的對應角相等）∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等邊對等角）∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角對等邊）又∵BM＝AC，∴AC＝BF．【點睛】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關系定理，等腰三角形性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力．28.（2022·山西·統考一模）閱讀材料，解答下列問題．如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至點E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進一步可得到AC=BE，AC//BE等結論．在已知三角形的中線時，我們經常用“倍長中線”的輔助線來構造全等三角形，并進一步解決一些相關的計算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點F為AD上一點，且BF=AC，連結并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF．【答案】詳見解析【分析】延長AD到M，使DM=AD，連接BM，根據SAS推出△BDM≌△CDA，根據全等三角形的性質得出BM=AC，∠CAD=∠M，根據BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．【詳解】如圖，延長AD至點M，使得MD=AD，并連結BM，∵AD是三角形的中線，∴BD=CD，在△MDB和△ADC中，BD=CD,∴△MDB≌△ADC，∴AC=MB，∠BMD=∠CAD，∵BF=AC，∴BF=BM，∴∠BMD=∠BFD，∵∠BFD=∠EFA，∠BMD=∠CAD，∴∠EFA=∠EAF，即AE=EF．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的運用性質進行推理的能力，關鍵是能根據“倍長中線”法作出輔助線來構造全等三角形．29.（2022·浙江寧波·統考模擬預測）如圖，平行四邊形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD的中點，且∠MAN＝∠ABC，則AMAB【答案】3【分析】延長AM與DC的延長線交于點E，先證明△ABM≌△ECM，得AM與AE的關系，AB與EN和ED的關系，再證明△EAN∽△EDA，由相似三角形比例線段便可得結論．【詳解】解：延長AM與DC的延長線交于點E，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB//CD，∠B＝∠D，∵∠B＝∠MAN，∴∠ECM＝∠B＝∠MAN＝∠D，∵M是BC的中點，N是CD的中點，∴BM＝CM，CN＝DN＝12在△ABM和△ECM中，∠B=∠ECMBH=CM∴△ABM≌△ECM（ASA），∴AB＝CE，AM＝EM，∴AE＝2AM，EN＝32AB，ED＝2AB∵∠EAN＝∠D，∠E＝∠E，∴△EAN∽△EDA，∴EAED=ENEA，即EA2＝∴(2AM∴AM∴AMAB故答案為：32【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的性質與判定，關鍵是構造全等三角形與相似三角形，已知中點，往往倍長中線作為輔助線．30.（2022·廣東深圳·統考三模）如圖，矩形ABCD中，AE＝13AD，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于F點，若CF＝FD＝3，則BC【答案】66【分析】延長BF交AD的延長線于點H，證明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性質得出BC＝DH，由折疊的性質得出∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，設AE＝EG＝x，則AD＝BC＝DH＝3x，得出EH＝5x，由銳角三角函數的定義及勾股定理可得出答案．【詳解】解：延長BF交AD的延長線于點H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠BCF＝90°，∴∠H＝∠CBF，在△BCF和△HDF中，∠CBF=∠H∠BCF=∠FDH∴△BCF≌△HDF（AAS），∴BC＝DH，∵將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∴∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，∴∠EGH＝90°，∵AE＝13AD∴設AE＝EG＝x，則AD＝BC＝DH＝3x，∴ED＝2x，∴EH＝ED+DH＝5x，在Rt△EGH中，sin∠H＝EGEH∴sin∠CBF＝CFBF∴3BF∴BF＝15，∴BC＝BF故答案為：66【點睛】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，全等三角形的判定及性質，要注意折疊的圖形中的相等的角和相等的線段，解題關鍵是利用倍長中線法正確作出輔助線證△BCF≌△HDF．【考點7利用垂線模型證明全等三角形】31．（2022·貴州黔東南·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中A0,4、C6,0，BC⊥x軸，存在第一象限的一點Pa,2a?5使得△PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，則點PA．3,1或3,3 B．5,5 C．3,1或5,5 D．3,3【答案】C【分析】分點P在AB的上方和點P在AB的下方，根據全等三角形的判定與性質進行討論求解即可．【詳解】解：當點P在AB的上方時，過P作x軸的平行線交y軸于E，交CB延長線于F，如圖1，則∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，∴PE=a，PF=6﹣a，AE=2a﹣9，∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，∴△AEP≌△PFB(AAS)，∴AE=PF，∴6﹣a=2a﹣9，解得：a=5，∴P(5，5)；當點P在AB的下方時，同樣過P作x軸的平行線交y軸于E，交CB于F，如圖2，則∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，∴PE=a，PF=6﹣a，AE=9﹣2a，∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，∴△AEP≌△PFB(AAS)，∴AE=PF，∴9﹣2a=6﹣a，解得：a=3，∴P（3，1），綜上，點P的坐標為（3，1）或（5，5），故選：C．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、等角的余角相等、坐標與圖形性質、解一元一次方程等知識，過已知點向坐標軸作平行線或垂線，然后求出相關線段的長是解決此類問題的基本方法．32．（2022·浙江湖州·統考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy，四邊形OABC為正方形，若點B（1，4），則點A的坐標為（）A．（3，1） B．52,32 【答案】B【分析】過點B作BD⊥y軸于點D，過點A作AE⊥x軸點E，DB與EA的延長線交于點F，通過證明△BFA≌△AEO可得AF＝OE，BF＝AE；利用B（1，4），可得BD＝1，EF＝4；通過說明四邊形ODFE為矩形，可得DF＝OE．計算出線段OE，AE的長即可求得結論．【詳解】解：過點B作BD⊥y軸于點D，過點A作AE⊥x軸點E，DB與EA的延長線交于點F，如圖，∵BD⊥y軸，AE⊥x軸，OD⊥OE，∴四邊形ODFE為矩形，∴EF＝OD，DF＝OE，∵點B（1，4），∴OD＝4，BD＝1，∵四邊形OABC為正方形，∴OA＝AB，∠BAO＝90°，∴∠OAE+∠BAF＝90°，∵AE⊥x軸，∴∠OAE+∠AOE＝90°，∴∠BAF＝∠AOE，在△BAF和△AOE中，∠F=∠AEO=90∴△BAF≌△AOE（AAS），∴BF＝AE，AF＝OE，∴DF＝AF＝OE，∴OE+AE＝EF＝4，OE﹣AE＝BD＝1，∴OE＝52，AE＝3∴A（52，3故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，矩形的判定及性質，全等三角形的判定及性質以及坐標與圖形，能利用“一線三垂直”構造三角形全等是解題的關鍵．33．（2022·浙江溫州·校考一模）如圖，在△ABC中以AC，BC為邊向外作正方形ACFG與正方形BCDE，連結DF，并過C點作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，則MD的長為（）A．72 B．2 C．32 【答案】A【分析】過D作DN⊥CF于點N，作DP⊥HM于點P，過點F作FQ⊥HM，交HM的延長線于點Q，依據勾股定理即可求得DF的長，再根據全等三角形的對應邊相等得到FQ=DP，進而證明△FQM≌△DPM，得到M是FD的中點，由此可得DM=12DF【詳解】如圖所示，過D作DN⊥CF于點N，作DP⊥HM于點P，過點F作FQ⊥HM，交HM的延長線于點Q，∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，∴CN=12CD＝1，FN＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DNRt△DFN中，DF=F∵四邊形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，又∵CH⊥AB，∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠DCP＝∠CBH，又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，∴△DCP≌△CBH（AAS），∴DP＝CH，同理可得△ACH≌△CFQ，∴FQ＝CH，∴FQ＝DP，又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，∴△FQM≌△DPM（AAS），∴FM＝DM，即M是FD的中點，∴DM=12DF故選：A【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質以及勾股定理的綜合運用，通過作輔助線構造全等三角形，靈活運用全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．34．（2022·遼寧沈陽·統考二模）如圖，點P、D落在正方形ABCD邊AB的兩側，連接PA、PD、PB．AP＝3，PB＝5，∠APB＝45°，則PD的長為______．【答案】43【分析】先構造全等三角形求出DN和PN，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：分別過點B和點D作BM⊥AP，DN⊥AP，垂足分別為M和∴∠BMA=∠AND=90°，∴∠MBA+∠MAB=90°，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠NAD+∠MAB=90°，∴∠MBA=∠NAD，∴△MBA≌△NAD(AAS)，∴AM=DN，AN=BM，∵∠APB=45°，∴∠PBM=∠APB=45°，∴PM=BM，∵PB=5，∴PM∴PM=BM=5∴AM=PM?AP=5∴DN=522∴PN=AP+AN=3+5∴Rt△DPN中，PD=P∴PD的長為43．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的性質、等腰三角形的判定、勾股定理等內容，解題關鍵是能正確做出輔助線構造全等三角形．35．（2022·寧夏吳忠·統考一模）如圖，在正方形ABCD中，頂點A，B，C，D在坐標軸上，且B2,0，以AB為邊構造菱形ABEF（點E在x軸正半軸上），將菱形ABEF與正方形ABCD組成的圖形繞點O逆時針旋轉，每次旋轉90°，則第27次旋轉結束時，點F【答案】（2，-22）【分析】先求出點F坐標，由題意可得每8次旋轉一個循環，即可求解．【詳解】解：∵點B（2，0），∴OB=2，∴OA=2，∴AB=2OA=22，∵四邊形ABEF是菱形，∴AF=AB=22，∴點F（22，2），由題意可得每4次旋轉一個循環，∴27÷4=6…3，∴點F27的坐標與點F3的坐標一樣，在第四象限，如下圖，過F3作F3H⊥y軸，∵F3H⊥y軸，AF⊥y軸，∴∠OAF=∠F3HO=90°，∴∠AOF+∠HOF3=90°，∵OF⊥OF3，∴∠AOF+∠AFO=90°，∴∠AFO=∠HOF3，∴△OAF≌△F3HO，∴HF3=OA=2，OH=AF=22，∴F3（2，-22），∴點F27的坐標（2，-22），故答案為：（2，-22）【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的性質與判定及旋轉的性質，找到旋轉的規律是本題的關鍵．【考點8利用旋轉模型證明全等三角形】36．（2022·山東濟南·統考二模）已知AD是等邊△ABC的高，AC=2，點O為直線AD上的動點(不與點A重合)，連接BO，將線段BO繞點O順時針旋轉60°，得到線段OE，連接CE、BE．(1)問題發現：如圖1，當點O在線段AD上時，線段AO與CE的數量關系為，∠ACE的度數是．(2)問題探究：如圖2，當點O在線段AD的延長線上時，(1)中結論是否還成立？請說明理由．(3)問題解決：當∠AEC=30°時，求出線段BO的長【答案】(1)AO=CE，∠ACE=90°；(2)成立，見解析；(3)BO=2或27【分析】(1)證明△ABO≌△CBE(SAS)，則AO=CE，∠BAO=∠BCE，進而求解；(2)和(1)的方法相同；(3)①當點O1在線段AD的延長線上時，證明點A、B、E1在一條直線上，進而求解；②當點O2在線段DA的延長線上時，通過畫圖確定BO2為位置，進而求解．【詳解】（1）解：AO=CE，∠ACE=90°，理由如下：∵線段BO繞點O順時針旋轉60°，得到線段OE，∴BO=OE，∠BOE=60°，∴△BOE為等邊三角形，∴∠OBE=60°，BE=BO，∴∠OBE=60°=∠OBD+∠DBE，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°=∠ABO+∠OBD，AB=AC，∴∠ABO=∠CBE，在△ABO和△CBE中，AB=AC∠ABO=∠CBE∴△ABO≌△CBE(SAS)，∴AO=CE，∠BAO=∠BCE，∵AD是等邊三角形ABC的高，∴∠ACB=60°，AD也是∠BAC的平分線，∴∠BAO=30°=∠BCE，∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=30°+60°=90°，故答案為：AO=CE，∠ACE=90°；（2）解：成立，理由如下：如圖：連接BE．∵線段BO繞點O順時針旋轉了60°得EO，∴BO=EO，∠BOE=60°，∴△BOE是等邊三角形，∴BO=BE，∠OBE=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴BA=BC，∠ABC=60°，∴∠ABC+∠OBC=∠OBE+∠OBC，即∠ABO=∠CBE，在△ABO和△CBE中，AB=AC∴△ABO≌△CBE(SAS)，∴AO=CE，∠BAO=∠BCE，∵AD是等邊△ABC的高，∴∠BCE=∠BAO=30°，∠BCA=60°，