第十二章三角形復習課件三角形及其性質全等三角形SASASAAASSSS直角三角形全等判定HL三角形知識梳理概念性質三角形中的主要線段尺規(guī)作圖及軸對稱特殊三角形等腰三角形直角三角形勾股定理勾股定理的逆定理與三角形有關的概念1.如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD邊上一點．(1)以AC為邊的三角形共有________個，它們是____________________________；(2)∠1是△________和△________的內角；(3)在△ACE中，∠CAE的對邊是________．3△ACE，△ACD，△ACBBCECDECE三角形及其性質兩個關系2.現(xiàn)有2cm，4cm，5cm，8cm長的四根木棒，任取三根組成一個三角形，那么可以組成三角形的個數(shù)為(

)A．1B．2C．3D．4關系1三角形的三邊關系B3.如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠AEF＝∠AFE，EF與BC的延長線交于點G，試說明：∠G＝(∠ACB－∠B)．關系2三角形內角、外角的關系因為∠AEF＝∠AFE，∠AFE＝∠GFC，所以∠AEF＝∠GFC.因為∠AEF＝∠B＋∠G，所以∠GFC＝∠B＋∠G.又因為∠ACB＝∠GFC＋∠G，所以∠ACB＝∠B＋2∠G.所以∠G＝(∠ACB－∠B)．解：三種線段4.現(xiàn)如圖所示，D是△ABC的角平分線BD和CD的交點，若∠A＝50°，則∠D＝(

)A．120°

B．130°

C．115°

D．110°線段1三角形的角平分線C5.如圖，在△ABC中，E是邊BC上一點，EC＝2BE，點D是AC的中點．連接AE，BD交于點F.已知S△ABC＝12，則S△ADF－S△BEF＝(

)A．1B．2C．3D．4線段2三角形的中線B連接CF.設S△BEF＝x，因為EC＝2BE，點D是AC的中點，所以S△ADF＝S△CDF，S△ABD＝S△BCD＝

S△ABC＝6，S△CEF＝2S△BEF＝2x，所以S△ABF＝S△BCF＝3x.S△ADF＝S△CDF＝6－3x.由圖形，得S△AEC＝2S△ABE，即2x＋(6－3x)＋(6－3x)＝2(x＋3x)，解得x＝1，所以6－3x＝6－3×1＝3，所以S△ADF－S△BEF＝2.故選B.6.如圖，D為△ABC中AC邊上一點，AD＝1，DC＝2，AB＝4，E是AB上一點，且△DEC的面積等于△ABC面積的一半，求EB的長．線段3三角形的高如圖，過點E作EF⊥AC于點F，則.過點C作CG⊥AB于點G，則.∴，即.解：又∵，∴，∴AE＝3，∴BE＝AB－AE＝1，即BE的長為1.同（等）高的兩個三角形的面積比等于底邊長的比.5.書寫全等式時要求把對應字母放在對應的位置上.2.

叫做全等三角形.1.能夠完全重合的兩個平面圖形叫做

.全等形4.全等三角形的

和

相等.對應邊對應角對應頂點

能夠完全重合的兩個三角形3.“全等”用符號“”來表示，讀作“

”對應邊對應角全等于≌

其中，互相重合的頂點叫做＿＿；互相重合的邊叫做＿＿＿＿；互相重合的角叫做＿＿＿.全等三角形

例1如圖：圖中的兩個三角形全等，A和B，C和D是對應頂點.（1）用符號表示這兩個三角形全等；（2）寫出它們的對應角，對應邊；（3）用等號表示各對應角，各對應邊之間的關系.ABDCO解：（2）A和B，C和D，AOC和BOD，AO和BO，CO和DO，AC和BD（1）AOC

BOD（3）A=B，C=D，AOC=BOD，AO=BO，CO=DO，AC=BD.

例2如圖，AD平分∠BAC，AB=AC，△ABD與△ACD全等嗎？BD與CD相等嗎？∠B與∠C呢？請說明理由.ABCD12(C)（全等三角形的對應角相等）

∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2，因此將圖形沿AD對折時，

AC與AB重合.∵AB=AC，∴點C與點B重合，也就是△ABD與△ACD重合∴△ABD≌△ACD∴BD=CD（全等三角形的對應邊相等）∠B=∠C解：1、能夠

的兩個平面圖形叫做全等形.兩個三角形重合時，互相

_的頂點叫做對應頂點.記兩個全等三角形時，通常把表示

_頂點的字母寫在____的位置上.ABCDE2、如圖△ABC≌△ADE，若∠D=∠B，∠C=∠AED，則∠DAE=

；∠DAB=

.完全重合重合重合相對應∠BAC∠EAC3、若△ABC≌△DEF，AC和DF，AB與DE是對應邊，∠A=40°，∠B=30°BC=5cm，那么∠DFE=_____.EF=_________.4、判定下列敘述是否正確A、等邊三角形都全等.（）B、全等三角形的面積、周長相等.（）C、形狀相同的兩個三角形全等.（）D、有一邊相等的兩個等腰直角三角形全等.（）110°5cm√ABCFED×××5.如圖，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是對應邊，∠ACD和∠BCE相等嗎？為什么？DBEAC因為△DEC≌

△ABC，所以∠DCE=∠ACB又因為∠ACD=∠DCE－∠1∠BCE=∠ACB－∠1所以∠ACD=∠BCE1對應相等的元素兩邊一角兩角一邊三角三邊兩邊及其夾角兩邊及一邊的對角兩角及其夾邊兩角及一角的對邊三角形是否全等一定(SAS)不一定一定(ASA)一定(AAS)不一定一定(SSS)三角形全等判定ABCD例1如圖，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？試說明理由.答：△ABC≌△DCB理由如下：∵在△ABC和△DCB中AB=DCAC=DB=BCCB∴△ABC≌△DCB(SSS)(公共邊)(已知)(已知)例2如圖OP是∠MON的角平分線，C是OP上的一點，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分別為A，B，△AOC≌△BOC嗎？為什么？OBNPMC┎┛A解：△AOC≌△BOC.∵CA⊥OM，CB⊥ON.∴∠CAO=∠CBO=90°.∵OP是∠MON的平分線，∴∠AOC=∠BOC.又∵OC=OC.根據(jù)“AAS”，可得.∴△AOC≌△BOC.例3如圖，AC和BD相交于點O，OA=OC，OB=OD

求證：DC∥AB證明：在△ABO和△CDO中

OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD∴△ABO≌△CDO（SAS）∴∠A=∠C∴DC∥ABAODBC1.如圖，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根據(jù)“SAS”需要添加條件

；根據(jù)“ASA”需要添加條件

；根據(jù)“AAS”需要添加條件

；ABCDAB=AC∠BDA=∠CDA∠B=∠C2.已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，現(xiàn)要證明△ABC≌△DEF，若要以“SAS

”為依據(jù)，還缺條件______；若要以“ASA

”為依據(jù)，還缺條件

；若要以“AAS

”為依據(jù)，還缺條件_______.AB=DE∠ACB=∠F∠A=∠DABCDEF3.如圖，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD與△CEB全等嗎？為什么？解：∵AE=CF(已知)，ADBCFE∴AE－FE=CF－EF(等量減等量，差相等).即AF=CE.在△AFD和△CEB中，

∴△AFD≌△CEB∠AFD=∠CEB(已知)，DF=BE(已知).AF=CE(已證)，(SAS).等腰三角形三線合一等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合.在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠___=∠___，____=____；（2）∵AB=AC，AD是中線，∴∠＿=∠＿，____⊥____；（3）∵AB=AC，AD是角平分線，∴____⊥____，____=____。

ACBD1212BＤCＤ12ADBCADBCBＤCＤ等腰三角形與直角三角形（4）如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是

.ACB∵∴AB=AC∠B=∠C（在同一個三角形中等角對等邊）（已知）等腰三角形（5）三邊都相等的三角形叫做等邊三角形也叫正三角形.等邊三角形是特殊的等腰三角形，是腰和底邊相等的等腰三角形．

（6）等邊三角形的性質：a.三邊相等b.三個角相等，都是600c.三線合一d.軸對稱圖形，三條對稱軸（7）有一個角是直角的三角形叫直角三角形（8）直角三角形的兩個銳角

.互余（9）直角三角形斜邊上的中線等于

.斜邊的一半acbABCacbABC勾股定理的逆定理:如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，

那么這個三角形是直角三角形.勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.已知是RtΔ，得出邊的關系∵ΔABC是RtΔ∴a2+b2=c2∵a2+b2=c2∴ΔABC是RtΔ∠C是Rt∠已知邊的關系，判斷出是RtΔ練1：在⊿ABC中，AB=AC，∠1=∠2則：⊿ABD≌⊿ACD21DCBA解：∵∠1=∠2

∴DB=DC（為什么？）

又∵AB=AC，

AD=AD∴⊿ABD≌⊿ACD（sss）練2：如果一個直角三角形的兩條邊長分別是3厘米和4厘米，那么這個三角形的周長是多少厘米？ADCB練3：四邊形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=90°，求這個四邊形的面積.3413125┌12厘米或（7+√7）厘米通過本節(jié)學習，應理解一些作圖語句.點x作直線；或作直線xx，射線xx.連結兩點x，x；或連結xx；在xx上截取xx=xx；以點x為圓心，xx為半徑作圓（弧）；(交xx于x點)分別以點x為圓心，以xx為半徑作弧，兩弧相交于x點.尺規(guī)作圖例1已知三邊作三角形.已知：如圖，線段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.作法：作線段AB=c；以A為圓心b為半徑作弧，以B為圓心a為半徑作弧與前弧相交于C；連接AC，BC.則△ABC就是所求作的三角形.例3已知兩角及夾邊作三角形.已知：如圖，∠1，∠2，線段m.求作：△ABC，使∠A=∠1，∠B=∠2，AB=m.作法：作線段AB=m；在AB的同旁作∠A=∠1，作∠B=∠2，∠A與∠B的另一邊相交于C.則△ABC就是所求作的三角形.軸對稱

關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形.定理1

△ABC與△A’B’C’關于直線對稱.則△ABC≌△A’B’C’于是有∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’，AB=A’B’，AC=A’C’，BC=B’C’.全等的圖形不