2016年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題:本大題共有12小題,每小題3分，共36分.

1.若2（a+3）的值與4互為相反數(shù)，則a的值為（）

A.-1B.-4.-5D.—

22

2.下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）

A.2+5/3=25/38.我+&=2C.（-如2）3=_6a6D.（a+l）2=a2+l

3.不等式2-二二Li的解集是（）

23

A.x<4B.x>4C.x<-1D.x>-1

4.一組數(shù)據(jù)2,3,544,6的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）

A.4.5和4B.4和4c.4和4.8D.5和4

5.120。的圓心角對的弧長是6n,則此弧所在圓的半徑是（）

A.3B.4C.9D.18

6.同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有兩枚硬幣正面向上的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

8832

7.若關(guān)于x的方程x2+（m+l）x+^0的一個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則m的值是（）

A.--B.—C.--1

2222

8.化簡（▲+■[+-」亍）?2比其結(jié)果是（）

aba2b2

2,22,2ii

A.abBabcD.—1—

a-bb-aa-bb-a

9.如圖，點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等.若NBOC=120。,則tanA的值為（）

10.已知下列命題:①若a>b,則a2>b2；②若a>l,則（a-1）°=1；③兩個(gè)全等的三角形的面積相等；④四

條邊相等的四邊形是菱形.其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

11.如圖?，直線y=-1x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA

上一動(dòng)點(diǎn),PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.(-3,0)B.(-6,0)C.(-y.O)D.(-敢)

12.如圖，在四邊形ABCD中,AD〃BC,NABC=9(T,E是AB上一點(diǎn)，且DE_LCE.若AD=1,BC=2,CD=3,則CE

與DE的數(shù)量關(guān)系正確的是()

A.CE=V^EB.CE=V^?EC.CE=3DED.CE=2DE

二、填空題:本大題共有8小題,每小題3分，共24分

13.據(jù)統(tǒng)計(jì),2015年,我國發(fā)明專利申請受理量達(dá)1102000件，連續(xù)5年居世界首位，將1102000用科學(xué)記數(shù)法

表示為____________

14.若2x-3y-1=0,則5-4x+6y的值為.

15.計(jì)算：6點(diǎn)-（后1尸=.

16.已知一組數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5,則這組數(shù)據(jù)的方差為

17.如圖，在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AELBD,垂足為點(diǎn)E,若/EAC=2NCAD,

則/BAE=度.

18.如圖，已知AB是。0的直徑，點(diǎn)C在。O上，過點(diǎn)C的切線與AB的延長線交于點(diǎn)P,連接AC,若

NA=3(T,PC=3,則BP的長為.

19.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸上,/AOB=3(T,AB=BO,反比例函數(shù)y=&x<

20.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE,連接DE并延長至點(diǎn)F,使EF=AE,

連接AF,CF,連接BE并延長交CF于點(diǎn)G.下列結(jié)論：

(1)△ABE^AACF；②BC=DF；@SAA?C=SAACF+SADCF；④若BD=2DC則GF=2EG.其中正確的結(jié)論

是____________.(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))

三、解答題:本大題共有6小題，共60分.

21.一個(gè)不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，-這些球除顏色外都相同，其中紅球有1個(gè)，若從中隨機(jī)

摸出一個(gè)球，這個(gè)球是白球的概率為春.

(1)求袋子中白球的個(gè),數(shù)；(請通過列式或列方程解答)

(2)隨機(jī)摸出一個(gè)球后，放回并攪勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，求兩次都摸到相同顏色的小球的概率.(請結(jié)合樹狀圖

或列表解答)

22.如圖，已知四邊形ABCD中,NABC=9(T,NADC=9(r,AB=6,CD=4,BC的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)E.

⑴若/A=60。,求BC的長;

4

⑵若sinA=T?，求AD的長.

5

(注意:本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào))

23.一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3:2.設(shè)豎彩條的寬

度為xcm,圖案中三條彩條所占面積為yen?.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的求橫、豎彩條的寬度.

5

24.如圖，在RtAABC中,NABC=9(T,AB=CB似AB為直徑的。O交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E

不與點(diǎn)A、B重合),DE的延長線交。O于點(diǎn)G,DF_LDQ且交BC于點(diǎn)F.

⑴求證:AE=BF；

(2)連接GB,EF,求證:GB〃EF；

⑶若AE=1,EB=2,求DG的長.

B

25.如圖，已知一個(gè)直角三角形紙片ACB淇中NACB=90*AC=4,BC=3,E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn)，連接EF.

(1)圖①，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,?且使S四邊形ECBF=SS^EDF，求

AE的長；

(2)如圖②，若將紙一片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且使MF〃CA.

①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論；

②求EF的長；

(3)如圖③，若FE的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)N,CN=1,CE=/求名的值.

圖①圖②圖③

26.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-2(ax0)與x軸交于A(1,O)、B(3,0)兩點(diǎn)，與1y軸交于點(diǎn)

C,其頂點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1),該拋物線與BE交于另一點(diǎn)F,連接BC.

(1)求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為y=a(x-h)2+k的形式；

(2)若點(diǎn)H(l,y)在BC上，連接FH,求△FHB的面積：

⑶一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng)，連接OM,BM,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

秒(t>0),在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí),NOMB=90。？

(4)在x軸上方的拋物線上，是否存在,點(diǎn)P,使得NPBF被BA平分？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,

2016年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題:本大題共有12小題,每小題3分，共36分.

1.若2(a+3)的值與4互為相反數(shù)，則a的值為()

A.-1B.-5D.—

22

【答案】C.

【解析】

試題分析：已知2(a+3)的值與4互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0可得2(a+3)+4=0,解得a=-

5,故答案選C.

考點(diǎn):相反數(shù).

2.下列計(jì)算結(jié)果正確的是()

A.4-yf2C.(-2a2)3=-6a6D.(a+1)2=a-2+1

【答案】B.

【解析】

試題分析：選項(xiàng)A、2和有不是同類二次根式，所以不能合并，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B、根據(jù)二次根式的除法可得

遍+&=2,B正確；選項(xiàng)C、根據(jù)積的乘方可得(-2a：)3=-8a^-6as,C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D、根據(jù)完全平

方公式可得(a+1),=a'+2a+l大a；+l,D錯(cuò)誤.故答案選B

考點(diǎn):整式的運(yùn)算.

3.不等式菅-三工1的解集是()

A.x<4B.x>4C.x<-1D.x>-1

【答案】A.

【解析】

試題分析：：去分母，徜：3x-2(x-1)W6,去括號(hào),得:3x--2x+2W6,移項(xiàng)、合并,得:x<4,故答案選A.

考點(diǎn):解一元一次不等式.

4.一組數(shù)據(jù)2,354,4,6的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()

A.4.5和4B.4和4c.4和4.8D.5和4

【答案】B.

【解析】

試題分析:這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為⑵3,4,4,5,6,所以中位數(shù)為：（4+4）+2=4；平均數(shù)

為:（2+3+4+4+5+6）4-6=4.故答案選B.

考點(diǎn)：中位數(shù)；平均數(shù).

5.120。的圓心角對的弧長是6兀則此弧所在圓的半徑是（）

A.3B.4C.9D.18

【答案】C.

【解析】

試題分析：已知120。的圓心角對的弧長是6n,根據(jù)弧長的公式1==為可得6兀=絲絲三，解得r=9.故答

180180

案選C.

考點(diǎn):弧長的計(jì)算.

6.同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有兩枚硬幣正面向上的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

8832

【答案】D.

r解析】

試題分析：：由題意可得，所有的可能性為：

??.至少有兩枚硬幣正面向上的概率是：故答案選D.

o2

考點(diǎn):列表法與樹狀圖法.

7.若關(guān)于x的方程A（m+l）x+l=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則m的值是（）

A.--B.—C.--sK—D.1

2222

【答案】C.

【解析】

試題分析：由根與系數(shù)的關(guān)系可得X|+X2=-(m+l),xjX2=L又知個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則該實(shí)根為1或

2

-1,若是1時(shí)，即1+X2=-(m+1),而X2」，解得m=-3若是7時(shí)，則m=L故答案選C

222

考點(diǎn):一元二次方程的解：根與系數(shù)的關(guān)系.

8.化簡(上在)+亍-3)?ab,其結(jié)果是()

aba2b巳

2,22,2ii

A.abBabc__L_D—1—

a-bb-aa-bb-a

【答案】B.

【解析】

2222

試題分析：:原式=半.,——r?ab=W上,故答案選B.

ab-(a+b)(a-b)b-a

考點(diǎn):分式的混合運(yùn)算.

9.如圖，點(diǎn)0在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等.若NBOC=120。,則tanA的值為()

A.5/3B--c--D.-

v322

【答案】A.

【解析】

試題分析：已知點(diǎn)。到^ABC三邊的距離相等，可得B0平分/ABC,CO平分/ACB,所以/A=180°-

(ZABC+ZACB)=180°-2(ZOBC+ZOCB)=180°-2X=180°-2X=60°,即可得tanA=tan60°=4，

故答案選A.

考點(diǎn):角平分線的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值.

10.已知下列命題:①若a>b,則a2>b2；②若a>l,則(a-1)°=1；③兩個(gè)全等的三角形的面積相等；④四

條邊相等的四邊形是菱形.其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】D.

【解析】

試題分析：①當(dāng)a=0,b=-l時(shí)，a；<b；,所以命題“若a>b,則a：>b；”為假命題，其逆命題為若

則a>b"，此逆命題也是假命題，如a=-2,b=-l;②若a>l,則(a-l)c=l,此命題為真命題，它的

逆命題為：若(a-D°=1,則a>l,此逆命題為假命題，因?yàn)?a-D°=1,則a力1;③兩個(gè)全等的三角

形的④面積相等，此命題為直命題，它的逆命題為面積相等的三角形全等，此逆命題為假命題；四條邊相

等的四邊形是菱形，這個(gè)命題為真命題，它的逆命題為菱形的四條邊相等，此逆命題為真命題.故答案選D.

考點(diǎn)：命題與定理.

11.如圖，直線y="x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C、D分別為線段AB、0B的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA

上一動(dòng)點(diǎn),PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

3R

A.(-3,0)B.(-6,0)C.(-y,0)D.(-y,0)

【答案】C.

【解析】

試題分析:作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D',連接CD'交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)PC+PD值最小，如圖所示.

直線y1x+4與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(-6,0)和點(diǎn)B(0,4),因點(diǎn)C、D分別為線段AB、0B的中點(diǎn)，可得

O

點(diǎn)C(-3,2),點(diǎn)D(0,2).再由點(diǎn)D'和點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，可知點(diǎn)D'的坐標(biāo)為(0,-2).設(shè)直線CD'的解析

f2=-3k+bk=-稱

式為y=kx+b,直線CD'過點(diǎn)C(-3,2),D'(0,-2),所以《，解得:43,即可得直線CD'的解

Sb=-2

析式為y=--1-x-2.令y=-皋-2中y二0,則0二-梟-2,解得:x二-蔣,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-巨■,0).故答

案選C.

考點(diǎn):一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；軸對稱-最短路線問題.

12.如圖，在四邊形ABCD中,AD〃BC,NABC=9(T,E是AB上一點(diǎn)，且DE_LCE.若AD=1,BC=2,CD=3,則CE

與DE的數(shù)量關(guān)系正確的是()

A.CE=^2>EB.CE=y[^)EC.CE=3DED.CE=2DE

【答案】B.

【解析】

試題分析：過點(diǎn)D作DH1BC,利用勾股定理可得AB的長，利用相似三角形的判定定理可得△ADEs/kBEC,

設(shè)BE=x,由相似三角形的性質(zhì)可解得x,易得CE,DE的關(guān)系

過點(diǎn)D作DH1BC,由AD=1,BC=2,可求得CH=1,根據(jù)勾股定理可得DH=AB==WL

因AD//BC,ZABC=9O*,可得NA=90。，即可得NAED+NADE=9O。，再由DEj_CE,可得/AED+/BEC=90。，

所以/ADE=/BEC,即可判定△ADEsZlBEC,由相?三角形的性質(zhì)可得黑今染，設(shè)BE=x，則AE=2&-X,

DDDCVD

艮碎二吁X,解得乂個(gè)歷，瞿嘴金，即CEW^DE,故答案選B.

x2BECtV2

考點(diǎn):勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

二、填空題:本大題共有8小題,每小題3分，共24分

13.據(jù)統(tǒng)計(jì),2015年,我國發(fā)明專利申請受理量達(dá)1102000件，連續(xù)5年居世界首位，將1102000用科學(xué)記數(shù)法

表示為.

【答案】1.102X108.

【解析】

試題分析：科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示形式為N=eX10=的形式，其中a為整數(shù)目1W|aI<10,n為N的整數(shù)位數(shù)

減1.由此可得1102000=1.102X104.

考點(diǎn):科學(xué)記數(shù)法.

14.若2x-3y-1=0,則5-4x+6y的值為.

【答案】3.

【解析】

試題分析：由2x-3y-1=0可得2x-3y=l,所以5-4x+6y=5-2(2x-3y)=5-2X1=3.

考點(diǎn):代數(shù)式求值.

15.計(jì)算：6祗-(后19=.

【答案】-4.

【解析】

試題分析:原式=6義區(qū)-(3+26+1)=26-4-20=-4.

3

考點(diǎn):二次根式的混合運(yùn)算.

16.己知一組數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5,則這組數(shù)據(jù)的方差為.

【答案】2.

【解析】

試題分析:這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為(1+2+3+4+5)+5=3,,根據(jù)方差公式可得9二[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4

5

-3)2+(5-3)2]=2.

考點(diǎn):方差.

17.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AELBD,垂足為點(diǎn)E,若NEAC=2/CAD,

則/BAE=度.

【答案】22.5°.

【解析】

試題分析：已知四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)可得心BD,OA=OC,OB=OD,即可得OA=OB=OC,由等

股三角形的性質(zhì)可得NOAD=/ODA,ZOAB=ZOBA,即可得NAOE=NOAD+NODA=2/OAD,再由/EAC=2/CAD,

可得NEAO=NAOE,因AE1BD,可得/AE0=90?，所以/A0E=45°,所以/0AB=/0BA=67.5?，即/BAE=/OAB

-Z0AE=22.5°

考點(diǎn):矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

18.如圖，己知AB是。0的直徑，點(diǎn)C在。0上，過點(diǎn)C的切線與AB的延長線交于點(diǎn)P,連接AC,若

NA=3(T,PC=3,則BP的長為.

【答案】5

【解析】

試題分析:連接0C,已知OA=OC,ZA=30°,所以/0CA=/A=30°,由三角形外角的性質(zhì)可得

ZC0B=ZA+ZAC0=60°,又因PC是。0切線,可得NPC0=90°,ZP=30°,再由PC=3,根據(jù)銳角三角函數(shù)可得

0C=PC?tan30°二后，P0=20C=2后，即可得PB=PO-06=73.

考點(diǎn):切線的性質(zhì)；銳角三角函數(shù).

19.如圖，在平面直'角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸上,/AOB=30\AB=BO,反比例函數(shù)y=&x<

0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,若SAABO=JJ則k的值為

【解析】

試題分析：過點(diǎn)A作AD_LX軸于點(diǎn)D,由/AOB=3O°可得喘（，由此可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3a,Ja）,

i92

根據(jù)S.=70B?AD:有可得0B=—,在RtAiADB中，ZADB=90*,AD=^a,AB=0B=—,

2aa

…2

由勾股定理可得BD=,又因0D=0BmD=3a,即3a=￡?，解得：a=l或a=-1（舍去）.

a

忑）,即k二-3X拒--3蘇.

考點(diǎn):反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

20.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE,連接DE并延長至點(diǎn)F,使EF=AE,

連接AF,CF,連接BE并延長交CF于點(diǎn)G.下列結(jié)論：

(!)△ABE^AACF；②BC=DF；③SAABC=SAACF+SADCF；④若BD=2DC,則GF=2EG.其中正確的結(jié)論

是_____________.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①②③④.

【解析】

試題分析：①由aABC是等邊三角形，可得AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=60o,再因DE=DC,可判定△DEC是等

邊三角形，所以ED=EC=DC,ZDEC=ZAEF=60°,

因EF=AE,所以△AEF是等邊三角形，所以詼AE,ZEAF=60°,在^ABE和^ACF中，AB=AC,ZBAE=Z

CAF,AE=AF,可判定△ABE絲ZkACF,故①正確.②由/ABC=/EDC,可得AB//DF,再因/EAF=NACB=6O。，

可得ABIIAF,即可判定四邊形ABDF是平行四邊形，所以DF^AB=BC,故②正確.③由^ABE逐ZkACF可得BE=CF,

S3廣Smc,在ABCE和△FDC中，BC=DF,CE=CD,BE=CF,可判定^BCE絲△FDC,所以S-FSWC,即可得

S3C=S3,+S皿產(chǎn)Sau+S皿產(chǎn)SaFSab+Sacr,故③正確.④由^BCE釜△FPC,可得/DBE=/EFG,再由

ZBED=ZFEG可判定△BDEs2kFGE,所以鑄簧，艮嘿嘿，又因BD=2DC,DC=DE,可得|^=2,即FG=2EG.故

④正確.

考點(diǎn):三角形綜合題.

三、解答題:本大題共有6小題,共60分.

21.一個(gè)不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中紅球有1個(gè),若從中隨機(jī)摸

出一個(gè)球，這個(gè)球是白球的概率為，

（1）求袋子中白球的個(gè)數(shù)；（請通過列式或列方程解答）

（2）隨機(jī)摸出一個(gè)球后,?放回并攪勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，求兩次都摸到相同顏色的小球的概率.（請結(jié)合樹狀圖

或列表解答）

_5

【答案】（1）袋子中白球有2個(gè)；（2）?.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)袋子中白球有x個(gè)，根據(jù)概率公式列方程解方程即可求得答案；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖，求

得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到相同顏色的小球的情況，再利用概率公式即可求得答案.

試題解析：（1）設(shè)袋子中白球有x個(gè)，

根據(jù)題意得:一丁=5■

x+13

解得：x=2,

經(jīng)檢驗(yàn),x=2是原分式方程的解,

二袋子中白球有2個(gè);

(2)畫樹狀圖得:

開始

白白紅白白紅白白紅

???共有9種等可能的結(jié)果,兩次都摸到相同顏色的小球的有5種情況,

,兩次都摸到相同顏色的小球的概率為:

9

考點(diǎn):列表法與樹狀圖法；概率公式.

22.如圖，已知四邊形ABCD中,NABC=9(T,NADC=90\AB=6,CD=4,BC的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)E.

⑴若/A=60。,求BC的長；

⑵若sinA=9?，求AD的長.

5

(注意:本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào))

14

」答案】(1)6近-8；(2)3.

試題分析：(1)根據(jù)銳角三角函數(shù)求得BE和CE的長，根據(jù)BC=BE-CE即可求得BC的長；(2)根據(jù)題意求

得AE和DE的長，由AD=AE-DE即可求得AD的長.

試題解析：(D?.?NAuGO。，ZABE=90°,AB=6,tanA=我,

AD

.,.ZE=3O°,BE=tan60°"6=675,

又：NCDE=90°,CD=4,sinE=ZE=3O°,

CE

4

..CE—1—8f

~2

/.BC=BE-CE=6^3

(2))ZABE=90°,AB=6,sinA=-^^—,

5AE

...設(shè)BE=4x,貝ljAE=5x,得AB=3x,

:.3x=6,得x=2,

ABE=8,AE=1O,

?4AB6CD4

?.tanEc==-=----=,

BE8DEDE

解得,DE=23

J

AAD=AE-DE=1O-

33

即AD的長是卷.

考點(diǎn):解直角三角形.

23.一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3:2.設(shè)豎彩條的寬

度為xcm,圖案中三條彩條所占面積為ycm2.

⑴求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的工,求橫、豎彩條的寬度.

5

【答案】(l)y=-3x，54x；(2)橫彩條的寬度為3cm,豎彩條的寬度為2cm.

【解析】

試題分析：（D由橫、豎彩條的寬度比為3:2知橫彩條的宦度為米5,根據(jù)“三條彩條面積=橫彩條面積

+2條豎彩條面積一橫豎彩條重彘矩形的面積”，列出函數(shù)關(guān)系式化簡即可；（2）根據(jù)“三條彩條所占面積是

圖案面積的看”，可列出關(guān)于x的一元二次方程，整理后求解即可.

5

試題解析：（D根據(jù)題意可知，橫彩條的寬.度為京35,

.?.y=20X-^x+2X12'x-2X-^-x'x=-3x'+54x,

即y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-3x:+54x;

（2）根據(jù)題意，得：-3x2+54x=—X20X12,

5

整理，得：x?-18x+32=0,

解得：xi=2,X2=16（舍）,

..各3,

答:橫彩條的寬度為3cm,豎彩條的寬度為2cm.

考點(diǎn):根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；一元二次方程的應(yīng)用.

24.如圖，在RtAABC中,NABC=90\AB=CB,以AB為直徑的。O交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E

不與點(diǎn)A、B重合）,DE的延長線交。O于點(diǎn)GDF1.DG且交BC于點(diǎn)F.

⑴求證:AE=BF；

（2）連接GB,EF,求證:GB〃EF；

⑶若AE=1,EB=2,求DG的長.

【答案】⑴詳見解析；⑵詳見解析；⑶10.

【解析】

試題分析：（1〉連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形，求出NA與NC的度數(shù)，根據(jù)AB為圓的直徑，

利用圓周角定理得到NADB為直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到

AD=DC=BD=1AC,進(jìn)而確定出NA=/FW,再利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形AED

與三角形BFD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（2）連接EF,BG,由三角形AED與三角形BFD

全等，得到ED=FD,進(jìn)而得到三角形DEF為等腰直角三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一

對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證；（3）由全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=B41,在直角

三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的長，利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長，利用兩對角相等的三

角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的長，由GE+ED求出GD的長即可.

試題解析：（1）證明：連接BD,

在RtZXABC中，NABC=90°,AB=BC,

AZA=ZC=45°,

VAB為圓0的直徑，

AZADB=90°,BPBD±AC,

AAI）=1）C=BD=-AC,ZCBD=ZC=45°,

2

:.ZA=ZFBD,

VDF±DG,

/.ZFDG=90°,

AZFDB+ZBDG=90°,

VZEDA+ZBDG=90°,

???ZEDA=ZFDB,

在AAED和△BFD中，

'/A=NFBD

,AD=BD,

ZEDA=ZFDB

.?.△AED^ABED（ASA）,

AAE-BF；

(2)證明:連接EF,BG,

?.,△AED^ABFD,

/.DE=DF,

,/ZEDF^SO0,

??.△EDF是等腰直角三角形，

.,.ZDEF=45°,

,/ZG=ZA=45O,

/.ZG=ZDEF,

.,.GB1/EF;

(3)VAE=BF,AE=1,

在RtAEBF中，ZEBF=90°,

...根據(jù)勾股定理得：EF2=EB2+BF2,

：EB=2,BF=1,

訐=422+1-

「△DEF為等腰直角三角形，ZEDF=90°,

.DE

..COSZZDEF="TZT,

Dr

?.?曲優(yōu),

，DE=巡義哼

,/ZG=ZA,ZGEB=ZAED,

.".△GEB<^AAED,

I.普GE第EB，即GE-ED=AE?EB,

AEED

.?.2/邁?GE=2,即GE=^叵，

25

則GD=GE+ED=.

25.如圖，已知一個(gè)直角三角形紙片ACB淇中NACB=90\AC=4,BC=3,E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn)，連接EF.

(1)圖①，若將紙片ACB的一角沿EF折疊浙疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且使S四邊jgECB產(chǎn)3sAEDF，求

AE的長；

(2)如圖②，若將紙片ACB的一角沿EF折疊“，折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且使MF〃CA.

①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論；

②求EF的長；

(3)如圖③，若FE的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)N,CN=1,CE=4,求弟的值.

7BF

圖①圖②圖③

【答案】(吟⑵①四邊形AEMF為菱形，理由詳見解析；②弊①(3礙.

【解析】

試題分析：(D先利用折彝的性質(zhì)得到EF1AB,AAEF^ADEF,則S3,絲Sa：：,則易得Swe=4S-再證

SAAprAF

明RtZkAEFsRt/kABC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到《■受一=(衰)；，再利用勾股定理求出知即可得

'△ABC他

到AE的長；(2)①通過證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形J

②連結(jié)AM交印于點(diǎn)0,如圖②，設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4-x,先證明△CMEs/kCBA得到T="“*=

345

解出x后計(jì)算出3V，再利用勾股定理計(jì)算出AM,然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算EF;

(3)如圖③，作FH±BC于H,先證明△NCESANFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,設(shè)FH=4x,NH=7x,則CIl=7x-

1,BH=3-（7x-1）=4-7x,再證明△BFHs^BAC,利用相似比可計(jì)算出x咯,則可計(jì)算出FH和BH,接著利用勾

5

股定理計(jì)算出BF,從而得到AF的長,于是可計(jì)算出黑的值.

試題解析：（1）如圖①，

VAACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上「的點(diǎn)D處，

AEFXAB,AAEF^ADEF,

???SAABI:=SADEF,

,**S四邊形ECBI^SSz\EDF,

???SAABC=4SAAEF,

在RtAABC中，??,/ACB=90。,AC=4,BC=3,

***32+4叁3,

ZEAF=ZBAC,

ARtAAEF^RtAABC,

,也史幽廣即（強(qiáng)工

SAABCAB54'

(2)①四邊形AEMF為菱形.理由如下：

如圖②，：2UCB的一角沿EF折彘，折彘后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,

/.AE=EM,距MF,ZAFE=ZMFE,

".,MF//AC,

.\ZAEF=ZMFE,

.'.ZAEF=ZAFE,

.\AE=AF,

/.AE=EM=MF^AF,

二.四邊形AEMF為菱形；

②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)0,如圖②，

設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4-x,

...四邊形AEMF為菱形，

.,.EM//AB,

/.△CME^ACBA,

.口門CM4-xx翻月204

??而FF，可解得x7,c?7，

在RtAACM中，N?川儀〃+&^2哈,

,?S?t：r=^-EF-AM=AE-CM,

⑶如圖③，作FH_LBC于H,

VEC/7FH,

AANCE^ANFH,

d

ACN:NH=CE:FH,即l:NH=y：FH,

???FH:NH=4:7,

設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x,

VFH/7AC,

AABFH^ABAC,

o

???BH:BC=FH:AC,即(4-7x):3=4x:4,解得x=—,

5

AFHMx--,BH=4-7x=—,

55

在RtABFH中，BF=J(-1-)2+(-|-)22,

AAF=AB-BF=5-2=3,

.AF3

■"BFT

圖①圖②圖③

考點(diǎn)