學案

1.1命題命題及其關系

學習目標：理解命題的概念和命題的構成，能判斷命題的真假；了解四種命題的的含義，

能寫出給定命題的逆命題、否命題和逆否命題；會分析四種命題之間的相互關

系；

重點難點：命題的概念、命題的構成；分清命題的條件、結論和判斷命題的真假。四種命

題的概念及相互關系.

自主學習

1.復習回顧：初中已學過命題的知識，請同學們回顧：什么叫做命題？

2.判斷下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題？

（1）空集是任何集,合的子集；

（2）若整數。。是素數，則。是奇數：

（3）2小于或等于2；

（4）對數函數是增函數嗎？

（5）2x<15；

（6）平面內不相交的兩條直線一定平行；

（7）明天下雨.

合作探究

1.根據下列命題完成填空

（1）如果兩個三角形全等，那么它們的面積相等；（2）如果兩個三角形的面積相等，那么它

們全等；（3）如果兩個三角形不全等，那么它們的面積不相等；（4）如果兩個三角形的面積

不相等,那么它們不全等.

命題（2）、（3）、（4）與命題（1）有何關系？

1.上面的四個命題都是形式的命題，

可記為,其中〃是命題的條件，4是命題的結論.

2.在上面的例子中，

命題（2）的分別是命題（1）的，

我們稱這兩個命題為互逆命題.

命題（3）的分別是命題（1）的，這

兩個命題稱為互否命題.

命題（4）的分別是命題的，

這兩個命題稱為互為逆否命題.

3.逆命題、否命題和逆否命題的含義：

一般地，設“若。則q”為原命題，那么

就叫做原命題的逆命題；就叫做原命題的

否命題；就叫做原命題的逆否命題.

3.寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題.

（1）若a=0,則“力=（）；（2）若同=網，則。=/?.

4.把下列命題改寫成“若p則鄉”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題，同

時指出它們的真假.（1）對頂角相等；（2）四條邊相等的四邊形是正方形.

5.原命題、逆命題、否命題、逆否命題的真假有什么關系？

（1）原命題與逆否命題；（2）逆命題與否命

題.

練習反饋

1.給出下列命題：

①若ac=歷，則a=人；②若a>人，則!<,；③對于實數x，若工一2=0,則x—240；

ab

④若〃>0,則p2>p；⑤正方形不是菱形.

其中真命題是；假命題是.（填上所有符合題意的序號）

2.將下列命題改寫成“若p則q”的形式：

（1）垂直于同一直線的兩條直線平行；（2）斜率相等的兩條直線平行；（3）鈍角的余弦

值是負數.

3.寫出下列各命題的逆命題、否命題和逆否命題并判斷真假：

（1）若兩個事件是對立事件,則它們是互斥事件；

（2）當c>0時，若a>b，則ac>he.

1.2充分條件與必要條件

1.2.1充分條件&1.2.2必要條件

學習目標：正確理解充分條件的概念；會判斷命題的充分條件；通過對充分條件的概念的

理解和運用，培養自己分析、判斷和歸納的邏輯思維能力；

重點：充分條件的概念

難點：判斷命題的充分條件

自主學習

練習與思考

寫出下列兩個命題的條件和結論，并判斷是真命題還是假命題？

(1)若x>a，+b"',則x>2ab,

(2)若ab=0,則a=0.

置疑：對于命題“若P，則q"，有時是真命題，有時是假命題.如何判斷其真假的？

合作探究

命題''若P，則q”為真命題，是指由p經過推理能推出q,也就是說，如果p成立,

那么q一定成立.換句話說，只要有條件P就能充分地保證結論q的成立，這時我們稱條

件p是q成立的充分條件.

一般地，“若P，則q”為真命題，是指由P通過推理可以得出q.這時，我們就說，

由P可推出q,記作：p=>q.

充分條件的定義：.

必要條件的定義：.

上面的命題(1)為真命題，即x>a?+b2nx>2ab,所以“x>a2+b2”是“x

>2ab”的充分條件，“x>2ab”是“x>a2+產"的必要條件

例題分析：

例1:下列''若P，則q”形式的命題中，那些命題中的p是q的充分條件？

(1)若x=1,則x2-4x+3-0；(2)若f(x)=x,則f(x)為增函數；(3)若x

為無理數，則/為無理數.

分析：要判斷P是否是q的充分條件，就要看P能否推出q.

例2：下列“若p,則q”形式的命題中，那些命題中的q是p的必要條件?

⑴若x=y,則x2=y2；

（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等；

（3）若a>b,則ac>bc.

分析：要判斷q是否是P的必要條件，就要看P能否推出q.

練習反饋

1、從“充要條件（A）、充分不必要條件（8）、必要不充分條件（C）、既不

充分也不必要條件中選出適當的一種填空：

①“a=0”是“函數了=/+?。€/?）為偶函數”的

②"sina>sin尸”是“a>夕”的

wKw

③M>N>log2M>log2N

④“xeMN"是"XGMN”的

2、已知p、q是一的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么

⑴s是q的什么條件？

⑵/"是“的什么條件？

⑶〃是“的什么條件？

3、已知"a2Z?=c>4"和"a

則“cWd”是“eW/”的條件

“c>d”是“e>于”的條件

4、求圓（x-ay+（y-力y=/經過原點的充要條件。

課堂總結

充分、必要的定義.

在''若P，則q"中，若pnq,則p為q的充分條件，q為p的必要條件.

1.2.3充要條件

學習目標：1、正確理解充要條件的定義，了解充分而不必要條件，必要而不充分條件,

既不充分也不必要條件的定義.

2、正確判斷充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不

必要條件.

3、通過學習，使學生明白對條件的判定應該歸結為判斷命題的真假，.

重點：1、正確區分充要條件：

2、正確運用“條件”的定義解題

難點：正確區分充要條件.

自主學習

1.什么叫充分條件？什么叫必要條件？說出“=”的含義

2.指出下列各組命題中，“p=q”及“q=p”是否成立

(1)P：內錯角相等q：兩直線平行

(2)p：三角形三邊相等q：三角形三個角相等

3.充要條件定義：一般地，如果既有p=q,又有qnp,就記作：p=q。

這時，P既是q的充分條件，又是q的必要條件，我們說P是q的___條件，簡稱

充要條件

合作探究

例1:指出下列各命題中，p是q的什么條件：

1)p：x>lq：x>2

2)p：x>5q：x>-l

3)p：(x-2)(x-3)=0q：x-2=0

4)p：x=3q：X2=9

5)p：x=±1q：x2-1=0

例2：1)請舉例說明：p是q的充分而不必要條件；p是q的必要而不充分條件；

P是q的既不充分也不必要條件；P是q的充要條件

2)從“充分而不必要條件”“必要而不充分條件”“充要條件”“既不充分也

不必要條件”中選出適當一種填空：

①“aeN”是“a。”的

②"aHO”是“ab#O”的

(3)"X2=3X+4”是“x=j3x+4”的

④“四邊相等”是“四邊形是正方形”的

3)判斷下列命題的真假:①“a〉b”是72油2”的充分條件;②“a>b”是一2油2”

的必要條件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要條件;④“a>b”是,(ac2>bc2”的充分條

件

例3、若甲是乙的充分而不必要條件，丙是乙的充要條件，丁是丙的必要而不充分條件，問

丁是甲的什么條件？

例4、求證：關于X的方程ax2+bx+c=O(a六0)有兩個符號相反且不為零的實根充要條件是

ac<0

x—]

例5、已知P：1-----W2,q：x2-2x+l-m2^0(m>0)且一,p是「q的必要而

3

不充分條件，求實數m的取值范圍。

練習反饋

1、下列各組命題中，p是q的什么條件：

1)P：x是6的倍數。q：x是2的倍數

2)p：x是2的倍數。q：x是6的倍數

3)p：x是2的倍數，也是3的倍數。q：x是6的倍數

4)p：x是4的倍數q：x是6的倍數

2、已知p：X],X2是方程x2+5x—6=0的兩根，q：x1+*2=—5,則p是q的

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3、p是q的充要條件的是[]

A.p：3x+2>5,q：—2x—3>—5

B.p：a>2,b<2,q：a>b

C.p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形

D.p：a#0,q：關于x的方程ax=l有惟一解.

4、若A是B成立的充分條件，D是C成立的必要條件，C是B成立的充要條件，

則D是A成立的[]

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5、設命題甲為：0<x<5,命題乙為|x—2|<3,那么甲是乙的[J

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6、己知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么s,r,

p分別是q的什么條件？

7、關于x的不等式

lx—'；)與x?—3(a+l)x+2(3a+l)W0的解集依次為A

與B,問“AqB”是“lWaW3或a=—1”的充要條件嗎？

1.3全稱量詞與存在量詞

1.3.1全稱量詞與存在量詞

學習目標：1、通過生活和數學中的豐富實例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見

的全稱量詞和存在量詞.

2、了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義，并能用數學符號表示含有量

詞的命題及判斷其命題的真假性.

重點:理解全稱量詞與存在量詞的意義；

難點：全稱命題和特稱命題真假的判定.

自主學習

問題1、下列語句是命題嗎？假如是命題你能判斷它的真假嗎？

（l）2x+l是整數；（2）x>3；（3）如果兩個三角形全等，那么它們的對應邊相等；（4）

平行于同一條直線的兩條直線互相平行；（5）海師附中今年所有高中一年級的學生數學課

本都是采用人民教育出版社A版的教科書；（6）所有有中國國籍的人都是黃種人；（7）對

所有的xGR,x>3；（8）對任意一個xdZ,2x+1是整數。

問題2、命題（5）-（8）跟命題（3）、（4）有些不同，它們用到“所有的”“任意一個”

這樣的詞語，這些詞語一般在指定的范圍內都表示整體或全部，這樣的詞叫做量詞，

含有全稱量詞的命題，叫做命題。命題（5）-（8）都是全稱命題。

問題3、在判斷問題1中的命題（5）-（8）的真假的時候，可以得出這樣一些命題：

（5）-存在個別高一學生數學課本不是采用人民教育出版社A版的教科書；

（6）.存在一個（個別、部分）有中國國籍的人不是黃種人.

（7）,存在一個（個別、某些）實數x（如x=2）,使xW3.（至少有一個xCR,x

W3）

（8），不存在某個xGZ使2x+1不是整數.

這些命題用到了“存在一個”“至少有一個”這樣的詞語，這些詞語都是表示整體的

一部分的詞叫做_____量詞。并用符號“三”表示。含有存在量詞的命題叫做命題

（或存在命題）命題（5）'—（8）,都是特稱命題（存在命題）.

特稱命題：“存在M中一個小使0編成立”可以用符號簡記為：立eM,p（x）。

讀做“存在一個x屬于W使p（x）成立”.

全稱量詞相當于日常語言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一個”等；存在量詞相當

于日常語言中“存在一個”，“有一個”，“有些”，“至少有一個”，“至多有一個”等.

合作探究

(1)下列全稱命題中，真命題是:

A.所有的素數是奇數；B.VXG/?,(x-l)20；

TC1

C.VXG+—>2D.VXG(0,—),sinx+---->2

X2sinx

(2)下列特稱命題中，假命題是：

A.BxeR,x2-2x-3=0B.至少有一個x￡Z,尤能被2和3整除

C.存在兩個相交平面垂直于同一直線D.hw{xIX是無理數}，/'是有理數.

(3)已知：對x恒成立，則a的取值范圍是；

X

(4)已知：對X/xGK,一一QC+10恒成立，則a的取值范圍是；

(5)求函數/'(X)=-cos?尤-sinx+3的值域；

(6)已知I：對VxeR,方程cos2x+sinx-3+a=0有解，求a的取值范圍.

練習反饋

1、判斷下列全稱命題的真假：

①末位是。的整數，可以被5整除；②線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的

距離相等；

③負數的平方是正數；④梯形的對角線相等。

2、判斷下列特稱命題的真假：

①有些實數是無限不循環小數；②有些三角形不是等腰三角形；

③有些菱形是正方形。

3、判斷下列全稱命題的真假，其中真命題為()

A.所有奇數都是質數B.Vxe/?,x2+l>l

C.對每個無理數”,則/也是無理數D.每個函數都有反函數

4、將“x2+y2>2xy”改寫成全稱命題，下列說法正確的是()

A.Vx,yeR,x2+y2>2xyB.Bx,ye：R,都有d+y?22孫

C.Vx>0,y>0,都有/+/22孫D.3x<0,<0,都有x?+J42xy

5、判斷下列命題的真假，其中為真命題的是

A.Vxe/?,x2+l=0B.3xe/?,x2+l=0

C.VXG7?,sinx<tanxD.Hresinx<tanx

6、下列命題中的假命題是()

A.存在實數。和B,使cos(a+B)=cosacosB+sinasinB

B.不存在無窮多個a和B,使cos(Q+B)=cosacos0+sinasinP

C.對任意a和6,使cos(a+0)=cosacosB-sinasinB

D.不存在這樣的Q和B,使COS(Q+8)^COSacos6—sinasinP

7、對于下列語句(1)3xeZ,x2=3(2)3xG/?,x2=2(3)VxG/?,x2+2x4-3>0(4)

VXWR,Y+X—5>。其中正確的命題序號是o(全部填上)

8、命題=土史是全稱命題嗎?如果是全稱命題，請給予證明，如果不是全稱命

,+1|b+1

題，請補充必要的條件，使之成為全稱命題。

1.3.2含有一個量詞的命題的否定

學習目標：1、通過探究數學中一些實例，使學生歸納總結出含有一個量詞的命題與它們

的否定在形式上的變化規律.

2、通過例題和習題的教學，使學生能夠根據含有一個量詞的命題與它們的否

定在形式上的變化規律，正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

重點：通過探究，了解含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規律，會正確地

對含有一個量詞的命題進行否定.

難點：正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

自主學習

1、判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，你能寫出下列命題的否定嗎？

(1)所有的矩形都是平行四邊形；

(2)每一個素數都是奇數；

(3)VxGR,X'一2x+l20。

(4)有些實數的絕對值是正數；

(5)某些平行四邊形是菱形；

(6)3xGR,X2+1<0o

2、從命題的形式上看，前三個全稱命題的否定都變成了特稱命題。后三個特稱命題的否

定都變成了全稱命題。

一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：

全稱命題和否定是特稱命題。特稱命題的否定是全稱命題。

合作探究

例1、判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并寫出它們的否定：

(1)、P：所有能被3整除的整數都是奇數；

(2)、p：每一個四邊形的四個頂點共圓；

(3)、p：對VxGZ,X。個位數字不等于3；

(4)、p：3xGR,X2+2X+2^0；

(5)、p：有的三角形是等邊三角形；

(6)、p：有一個素數含三個正因數。

例2、指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。

(1)所有的矩形都是平行四邊形；

(2)每一個素數都是奇數；(3)VxeR,X2-2X+1>0

例3、寫出命題的否定(1)p：3xeR,9+2戶2W0；(2)p：有的三角形是等邊三角形；

(3)p：有些函數沒有反函數；(4)p：存在一個四邊形，它的對角線互相垂直且平分；

練習反饋

1,寫出下列全稱命題的否定：(1)P：所有人都晨練；(2)p：VxeR,x2+x+l>0；

(3)p：平行四邊形的對邊相等；(4)p：3xdR,x2-x+l=0；

2、寫出下列命題的否定。(1)所有自然數的平方是正數。(2)任何實數x都是方程

5x-12=0的根。(3)對任意實數x,存在實數y,使x+y>0.(4)有些質數是奇數。

3、寫出下列命題的否定。(1)若x?>4則x>2.。(2)若m20,則x'+x-mR有實數

根。

(3)可以被5整除的整數，末位是0。(4)被8整除的數能被4整除。(5)若一

個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。

4、寫出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性。(Dp：若x>y,則5x>5y；(2)

P：若x2+x<2,則x2-x<2；(3)p：正方形的四條邊相等;(4)p：已知a,b為實數，若x'ax+bWO

有非空實解集，則a—lb》。。

5、命題p：存在實數m,使方程x2+mx+l=0有實數根，則“非p”形式的命題是()

A.存在實數m,使得方程x2+mx+l=0無實根；

B.不存在實數m,使得方程x2+mx+l=0有實根；

C.對任意的實數m,使得方程x2+mx+l=0有實根；

D.至多有一個實數m,使得方程x2+mx+l=0有實根；

6、有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數是分數，整數是有理數，則整數是分數”

結論顯然是錯誤的，是因為()

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

7、命題"X/xeR,X2-X+3>0V的否定是

8、“末位數字是0或5的整數能被5整除”的

否定形式是_______________________________________

否命題是_________________________________________

9、寫出下列命題的否定，并判斷其真假：

(1)p：VmGR,方程x2+x-m=0必有實根；(2)q：3eR,使得x'x+lWO；

10、寫出下列命題的“非P”命題，并判斷其真假：

(1)若m>l,則方程x2-2x+m=0有實數根.(2)平方和為0的兩個實數都為0.

(3)若4LBC是銳角三角形，則AABC的任何一個內角是銳角.(4)若abc=O,則a,b,c

中至少有一為0.(5)若(xT)(x-2)=0,則xWl,xW2.

1.4邏輯聯結詞“且”“或”“非”

學習目標：1、掌握邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義；

2、正確應用邏輯聯結詞“或、且、非”解決問題；

重點、難點：通過數學實例，了解邏輯聯結詞”或、且、非”的含義，使學生能正確地表

述相關數學內容。

自主學習：

1、問題1：下列各組命題中，三個命題間有什么關系？

(1)①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。

(2)①27是7的倍數；②27是9的倍數；③27是7的倍數或是9的倍數。

2、下列各組命題中的兩個命題間有什么關系？

(1)①35能被5整除；②35不能被5整除；

(2)①方程x、x+l=O有實數根。②方程x'+x+rO無實數根。

2、歸納定義

(1)一般地，用聯結詞“且”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記

作讀作。

(2)_一般地，用聯結詞“或”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記

作讀作_______。

(3)一般地，對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作;讀作

3、命題“p且q”、“p或q”與“非P”的真假的

規定

PqP或q

真真

真假

當P，q都是真命題時，P且q是命題；當P，假真q兩個命題中有

一個命題是假命題時，P且q是一_命題；當P，q假假兩個命題中有

一個是真命題時，P或q是命題；當p,q兩個命題都是假

命題時，P或q是____命題。

合作探究

例1：將下列命題分別用“且”與“或”聯結成新命題“pAq”與“pVq”的形式，并

判斷它們的真假。

（1）P：平行四邊形的對角線互相平分,q：平行四邊形的對角線相等。

（2）p：菱形的對角線互相垂直，q：菱形的對角線互相平分;

（3）p：35是15的倍數，q：35是7的倍數.

例2：選擇適當的邏輯聯結詞“且”或“或”改寫下列命題，并判斷它們的真假。

（1）1既是奇數，又是素數；（2）2是素數且3是素數；（3）2W2.

例3、判斷下列命題的真假；（1）6是自然數且是偶數；（2）。是A的子集且是A的真子;

（3）集合A是ACB的子集或是AUB的子集；（4）周長相等的兩個三角形全等或面積相

等的兩個三角形全等.

例4：寫出下列命題的否定，判斷下列命題的真假

（1）p：y=sinx是周期函數；

（2）p：3<2；

（3）p：空集是集合A的子集。

練習反饋

1、指出下列復合命題的形式及構成它的簡單命題:

（1）24既是8的倍數，也是6的倍數；

（2）李強是籃球運動員或跳高運動員；

（3）平行線不相交

2,分別指出下列復合命題的形式(1)827；(2)2是偶數且2是質數；(3)乃不是整數;

3、寫出下列命題的非命題：(1)p:對任意實數X,均有X2-2X+120；(2)q：存在一個實

數X,使得X2-9=0(3)“AB〃CD”且“AB=CD"；(4)”△ABC是直角三角形或等腰三角形”.

4、判斷下列命題的真假：

(1)423(2)424(3)425(4)對一切實數x,/+x+120

5、分別指出由下列各組命題構成的p或q、p且q、非p形式的復合命題的真假

(1)p：2+2=5；q：3>2

(2)p：9是質數；q：8是12的約數；

(3)p：1￡{1,2}；q：⑴u{1,2}

(4)p：①u{0};q：<1)={0}

6.在一次模擬打飛機的游戲中，小李接連射擊了兩次，設命題乃是“第一次射擊中飛機”,

命題.是“第二次射擊中飛機”試用小、.以及邏輯聯結詞或、且、非表示下列命題：

命題S：兩次都擊中飛機；命題r：兩次都沒擊中飛機；命題/：恰有一次擊中了飛機;

命題s至少有一次擊中了飛機.

7、分別寫出由下列各種命題構成的“。或/“p且g”“非0”形式的復合命題,并判斷它

們的真假：

(1)P：末位數字是0的自然數能被5整除q,5e{x|f+3x-10=0}

(2)p：四邊都相等的四邊形是正方形四個角都相等的四邊形是正方形

(3)p：Oe0<7：{x\x-3x-5<0}SR

(4)p：不等式f+2x-8<0的解集是：{x|-4〈x<2}q-.不等式/+2萬-8〈0的解集是：{x|

底-4或x>2}

第二章圓錐曲線與方程

2.1橢圓

2.1.1橢圓及其標準方程

學習目標：1、理解橢圓的概念，掌握橢圓的定義、會用橢圓的定義解決實際問題；

2、理解橢圓標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法；

3、了解求橢圓的動點的伴隨點的軌跡方程的一般方法.

重點、難點：理解橢圓的概念，掌握橢圓的定義；理解橢圓標準方程的推導過程及化簡無

理方程的常用的方法

自主學習

1.引導學生一起探究P”頁上的問題，準備無彈性細繩子一條（約60cm,一端結個套，另一

端是活動的），圖釘兩個）.當套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是橢圓.啟

發性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆小（動點）滿足的幾何條件是什么？

2.由上述探究過程容易得到橢圓的定義：_____________________________________

.其中這兩個定點叫做橢圓的，兩定點間的距離叫做橢圓

的,即當動點設為“時，橢圓即為點集"⑷防出崢曰。｝,

合作探究

1.橢圓標準方程的推導過程（見教材）：

思考：（1）已知圖形，建立直角坐標系的一般性要求是什么？第一、充分利用圖形

的對稱性；第二、注意圖形的特殊性和一般性關系.

（2）無理方程的化簡過程是教學的難點，注意無理方程的兩次移項、平方整理.

（3）設參量b的意義：第一、便于寫出橢圓的標準方程；第二、a,b,c的關系有

明顯的幾何意義.

22

（4）類比：寫出焦點在歹軸上，中心在原點的橢圓的標準方程為+表"=1（。＞方＞0）.

2.如何用幾何圖形解釋b2=a2-c2?。力，。在橢圓中分別表示哪些線段的長？

5_3

3.已知橢圓兩個焦點的坐標分別是（-2期，（2，0）,并且經過點2~2

,求它的標準

方程.

4.如圖，設Z,8的坐標分別為（一5,°）,（5,0）.直線ZM,相交于點且它

_4

們的斜率之積為9,求點〃的軌跡方程.

圖2-1-1

練習反饋

L在圓/=4上任取一點P,過點P作X軸的垂線段尸Q,。為垂足.當點?在圓

上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？

2.己知B,C是兩個定點，iBC1=10,且AABC的周長等于22,求頂點A滿足的一個軌跡方程。

35

3,已知橢圓兩焦點坐標分別是（0,-2）,（0,2）,并且經過點（-一，-）,求橢圓的標準

22

方程。

2.1.2橢圓的簡單性質

學習目標：1.了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱

軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；

2.掌握橢圓的標準方程、會用橢圓的定義解決實際問題；利用信息技術初

步了解橢圓的第二定義.

重點、難點：理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；

掌握橢圓的標準方程、會用橢圓的定義解決實際問題.

自主學習

1.把平面內與兩個定點片，鳥的距離之和等于（大于忻心I）的點的軌跡叫做

橢圓.其中這兩個定點叫做，兩定點間的距離叫做.即當動

點設為M時，橢圓即為點集尸={"I網+網=2a}

2.寫出焦點在x軸上，中心在原點的橢圓的標準方程:。

3.寫出焦點在y軸上，中心在原點的橢圓的標準方程：。

合作探究

1.橢圓的簡單幾何性質

22

①范圍：由橢圓的標準方程可得，與=1—=進一步得：一aKxWa,同

b~a

理可得：—b《yWb,即橢圓位于直線》=±。和），=±6所圍成的矩形框圖里；

②對稱性：由以r代X,以-y代y和一次代X,且以一y代y這三個方面來研究

橢圓的標準方程發生變化沒有，從而得到橢圓是以x軸和y軸為對稱軸，原點為對稱中心;

③頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交

點叫做圓錐曲線的頂點.因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對

稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；

④離心率：橢圓的焦距與長軸長的比e=￡叫做橢圓的離心率（0<e<l）o

a

當e->0時，cTb,bt當e->1時，cTa,,bTO

橢圓越接近于圓橢圓圖形越扁

2.求橢圓16/+25/=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標.

3.已知橢圓儂之+5;/=5加(加>0)的離心率為0=飛一，求"的值.

練習反饋

“d

1.說出橢圓259的焦點和頂點坐標；

2.求適合下列條件的橢圓的標準方程，并畫出草圖：

13

(1)a=6,e=—；(2)C=3,e=一,焦點在y軸上;

35

(3)長軸長是短軸長得3倍，橢圓經過點P(3,0)；

(4)橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離分別是10和4.

3.如圖所示，“神舟”載人飛船發射升空，進入預定軌道開始巡

天飛行，其軌道是以地球的中心居為一個焦點的橢圓，近地點A距

地面200赤，遠地點8距地面350k〃，己知地球的半徑

R=6371km.建立適當的直角坐標系，求出橢圓的軌跡方程.

圖2-1-2

2.2.1拋物線及其標準方程

學習目標：1.掌握拋物線的定義、拋物線的標準方程及其推導過程.

2.進一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對比、概括、轉化等

方面的能力

重點、難點：1.掌握拋物線的定義、拋物線的標準方程及其推導過程

2.掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對比、概括、轉化等方面的能

力。

自主學習

復習橢圓知識：

(1)把平面內與兩個定點耳，工的距離之和等于(大于忻鳥I)的點的軌跡

叫做橢圓.其中這兩個定點叫做，兩定點間的距離叫做,即

當動點設為M時，橢圓即為點集尸=他11窗+題I=2。｝.

(2)寫出焦點在x軸上，中心在原點的橢圓的標準方程：

(3)寫出焦點在y軸上，中心在原點的橢圓的標準方程:.

合作探究

由教材提供的方法畫出拋物線的圖像，歸納出拋物線的定義和推導標準方程：

(1)定義：.定點F叫做

拋物線的，定直線1叫做拋物線的.

(2)拋物線標準方程的推導過程:

練習反饋

1.已知拋物線的標準方程是y'6x,求它的焦點坐標和準線方程;

2.己知拋物線的焦點是F(0,-2),求它的標準方程;

3.一種衛星接收天線的軸截面如圖所示。衛星撥束近似平行狀態社如軸截面為拋物線的接

受天線，經反射聚焦到焦點處?已知接收天線的口徑為4.8m深度為0.5m,求拋物線的標

準方程和焦點坐標。

2.2.2拋物線的簡單性質

學習目標:1.使學生理解并掌握拋物線的幾何性質，并能從拋物線的標準方程出發，推導

這

些性質.

2.從拋物線的標準方程出發，推導拋物線的性質，從而培養學生分析、歸納、

推理等能力

重點、難點：理解并掌握拋物線的幾何性質；能從拋物線的標準方程出發，推導這些性質。

自主學習

1.平面內與一定點F和一條定直線1的距離相等的點的軌跡叫做定點F不在定直

線1上).定點F叫做拋物線的,定直線1叫做拋物線的.

2.拋物線的____在一次項對應的軸上，其數值是一次項系數的一倍，準線方程與焦

點坐標相反；反之可以逆推。

3.已知拋物線的標準方程是y2=8x,求它的焦點坐標和準線方程

4.已知拋物線的焦點是F(-2,0),求它的標準方程

合作探究

1.拋物線的幾何性質：通過和橢圓兒何性質相比，拋物線的幾何性質有什么特點？

(1)拋物線只位于半個坐標平面內，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線.

(2)拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準線或與頂點和焦點的連線重合,

拋物線沒有中心.

(3)拋物線只有一個頂點，它是焦點和焦點在準線上射影的中點.

(4)拋物線的離心率要聯系橢圓第二定義，并和拋物線的定義作比較.其結果是應規定拋

物線的離心率為1.

2.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(-3,m)到焦點的距離等于5,

求拋物線的方程和m的值.

3.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點，且A(xl,yl)、

2

B(x2,y2)求證：yjYj=-p,XjX2=

圖2-34

圖2-2-1

練習反饋

1.點M到點F(4,0)的距離比它到直線1：x+6=0的距離小2,求M得軌跡。

2.求頂點在原點，通過點(石，-6)，且以坐標為軸的拋物線的標準方程。

3.某單行隧道橫斷面由一段拋物線及矩形的三邊組成，尺寸如圖，某卡車載一集裝箱，車

寬3m,車與箱總高4.5m,此車能否安全通過隧道？說明理由。

圖222

2.3.1雙曲線及其標準方程

學習目標：1.理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會用雙曲線的定義解決實際問題;

2.理解雙曲線標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法；

重點、難點：理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義；

會用雙曲線的定義解決實際問題.

自主學習

復習舊知:L把平面內與兩個定點耳，B的距離之和等于（大于忻尼卜的點

的軌跡叫做橢圓（ellipse）.其中這兩個定點叫做,兩定點間的距離叫做

.即當動點設為〃時，橢圓即為點集尸=回防㈤*=2。｝.

2.平面內與一定點F和一條定直線1的距離相等的點的軌跡叫做定點F不在定直線

1±）.定點F叫做拋物線的,定直線1叫做拋物線的.

3.拋物線的______在一次項對應的軸上，其數值是一次項系數的一倍，準線方程與焦點

坐標相反；反之可以逆推。

合作探究

1.由教材探究過程容易得到雙曲線的定義.

叫做雙曲線.其中這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩定點間的距離叫做雙曲線的焦距.即

當動點設為M時，雙曲線即為點集P=。

2.雙曲線標準方程的推導過程

思考：已知橢圓的圖形，是怎么樣建立直角坐標系的？類比求橢圓標準方程的方法自

己建立直角坐標系.

類比橢圓：設參量6的意義：第一、便于寫出雙曲線的標準方程；第二、a,4c的關系

有明顯的幾何意義.

類比：寫出焦點在y軸上，中心在原點的雙曲線的標準方程

22

=推導過程：

3.已知雙曲線兩個焦點分別為6(-5,0),F2(5,0),雙曲線上一點P到耳，F2距離差的

絕對值等于6,求雙曲線的標準方程.

4.已知A,B兩地相距800機，在A地聽到炮彈爆炸聲比在8地晚2s,且聲速為

340/72/5,求炮彈爆炸點的軌跡方程.

練習反饋

1.求滿足下列條件的雙曲線的標準方程:

(1)a=3,b=4,焦點在x軸上；

(2)焦點為(0,-10),(0,10),雙曲線上的點到兩個焦點距離之差的絕對值是16；

(3)焦點為(0,-5),(0,5),經過點(2,--

2

2.證明：橢圓天+彳V=1與雙曲線15y2=15有相同的焦點。

2.3.2雙曲線的簡單性質

學習目標:1.了解平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據條件，求出表示曲線的方程；（2）

通過方程，研究曲線的性質.

2.理解雙曲線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點、漸近線的

概念；

3.掌握雙曲線的標準方程、會用雙曲線的定義解決實際問題；通過例題和探究

了解雙曲線的第二定義，準線及焦半徑的概念.

重點、難點：理解雙曲線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點、漸近線的

概念；

掌握雙曲線的標準方程、會用雙曲線的定義解決實際問題

自主學習

復習舊知

1.把平面內與兩個定點斗，尸2的距離的差的絕對值等于（小于|耳巴|）的點的軌跡

叫做雙曲線（hyperbola）.其中這兩個定點叫做雙曲線的,兩定點間的距離叫做雙

曲線的.即當動點設為M時，雙曲線即為點集2=｛必也用=

2.寫出焦點在x軸上，中心在原點的雙曲線的標準方程：

__,

3.寫出焦點在Y軸上，中心在原點的雙曲線的標準方程：

O

合作探究

1.通過圖像研究雙曲線的簡單性質：

22

①范圍：由雙曲線的標準方程得，2r=5一120,進一步得：或xNa.這

b~a'

說明雙曲線在不等式a,或xNa所表示的區域；

②對稱性：由以一％代X,以—y代y和一X代X,且以一y代y這三個方面來研究雙

曲線的標準方程發生變化沒有，從而得到雙曲線是以x軸和y軸為對稱軸，原點為對稱中

心；

③頂點：圓錐曲線的頂點的統一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做

圓錐曲線的頂點.因此雙曲線有兩個頂點，由于雙曲線的對稱軸有實虛之分，焦點所在的

對稱軸叫做實軸，焦點不在的對稱軸叫做虛軸；

④漸近線：直線y=±2x叫做雙曲線1一［=1的漸近線；

aab

⑤離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比e=￡叫做雙曲線的離心率（e>l）

a

2.求雙曲線9y2—16/=144的實半軸長和虛半軸長、焦點的坐標、離心率、漸近線方程.

3.求與雙曲線版一］=1共漸近線，且經過A（2j5,-3）點的雙曲線的標準方及離心率.

練習反饋

1.求下列雙曲線的實軸和虛軸的長，焦距和離心率：

22V2X2

（1）9丫—V=81;（2）---------=1

人）259

2.已知雙曲線土-二=1與雙曲線-±?+—=1,它們的離心率e,,02是否滿足等式

916916

-2-2_

g+8=1

3.如圖，設M（x,y）與定點尸（5,0）的距離和它到直線/：%=當的距離的比是常數

求點M的軌跡方程.

分析：若設點M（x,y）,貝加幀|=Jk_5）2+y2,到直線

/：x=—的距離d=x--,則容易得點M的軌跡方程.