蘇科版八年級（上）第二單元達標測試卷（二）

數學

（考試時間：100分鐘滿分：120分）

學校：班級：考號：得分：

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.如圖，在RhABC中，ZB=90.NC=3O'，以點A為圓心，任意長為半徑作弧，

分別交邊AB，AC于點P,<2；再分別以點P,。為圓心，以大于;PQ的長為半徑作弧,

兩弧交于點E，作射線AE交BC于點尸.設“BE,AABC的面積分別為邑，則去

的值為（）

1111

A.—B.—C.~~F=D.—

23V34

2.如圖，直線/,用相交于點。.P為這兩直線外一點，且OP=2.8.若點P關于直線/,

加的對稱點分別是點［，鳥，則［，?之間的距離可熊是（）

C.6D.7

3.如圖，在AABC中，/4=34。分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧

2

分別相交于點M、N,直線MN與AC相交于點E.過點C作CD_LAB,垂足為點D,CD

與踮相交于點F.若BD=CE,則NBFC的度數為（)

C.108°D.124°

4.某同學在畫AABC的軸對稱圖形時弄亂了步驟，則正確的畫圖步驟是（）

.44\H,

AZ--

①②

，4A|/7*，

sW二二海愜：

③④

A.③①②④B.①②④③C.③④①②D.①③②④

5.下列四個圖形分別是節能、節水、綠色食品和低碳標志，其中軸對稱圖形是（）

D

Aa。勘'

6.如圖，在MAABC中，ZACB=90°,將AABC繞頂點C逆時針旋轉得到VAEU,

M是8C的中點，P是A"的中點，連接PM，若5C=4,AC=3,則在旋轉的過程中,

線段PM的長度不可能是（）

A.5B.4.5C.2.5D.0.5

7.如圖，AABC中，AB=AC,ABAC.NABC的角平分線相交于點D.若

ZADB則44c等于（）

8.如圖，△ABC是等邊三角形，4。是BC邊上的高，且AD=6,E是AC的中點，P是AD上

的一個動點，則PC與PE的和最小是（）

A.3B.4C.6D.8

9.如圖，C,E和8,D,P分別在NG4H的兩邊上，^.AB=BC=CD=DE=EF,

若NA=18°,則NG￡F的度數為（）

10.如圖，長方形紙片ABCO,將NC8。沿對角線8。折疊得NC'BO,C5和"）相

交于點￡，將NA8E沿3E折疊得NA'BD，若NA'3￡>=a,則NCBD度數為（）

1

BC

aaa

A.45°+?B.60°+-C.300+-D.150+-

234

11.給出下面兩個命題：①如圖L若PA=PB,QA=QB,則PQ垂直平分A8；②如

圖2,若點P到OA,。8的距離PC,FO相等，則O尸平分NAQB.其中真命題是（）

圖1圖2

A.①B.②C.①②D.無

12.如圖，在△ABC中，ZC=90\按以下步驟作圖：①以點A為圓心、適當長為半徑作

圓弧，分別交邊AC、AB于點M、N；②分別以點M和點N為圓心、大于glVIN的長為半

徑作圓弧，在NBAC內，兩弧交于點P；③作射線AP交邊BC于點D,若CD=4,AB=9,

C.24D.36

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.如圖，已知直線m是正五邊形ABCDE的對稱軸，且直線m過點D,直線m與對角線

BE相交于點。，則NAOE=度.

14.圖，直線AB//CO,直線/與直線A8,CD相交于點E、F,點P是射線EA上的一個砂

點（不包括端點E）,將AEPF沿PF折疊,使頂點E落在點Q處.若NPEF=75°,2ZCFQ=NPFC,

則/EFP=

15.如圖所示的網格是正方形網格，點A,B,C是網格線交點，那么

ZBAC+ZACB=

16.如圖1是長方形紙帶，ZDEF^\90,將紙帶沿EF折疊成圖2,再沿8尸折疊成圖3,

則圖3中的ZCFE的度數是度.

17.在AABC中，ZB=60°,AB的垂直平分線分別交AB，AC于點。，E，若AE=BC,

則NA=

18.如圖所示，已知NAOB=40。，現按照以下步驟作圖：①在。4。8上分別截取線段。D,

0E,使。。=。￡；②分別以D,E為圓心，以DE長為半徑畫弧，在NAOB內兩弧交于點C；

③作射線。C：④連接DC、EC.則NOEC的度數為.

三'解答題（本大題共6小題，共66分，解答應寫出文字說明'演算步驟或推理過程）

19.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC<BC.

(1)動手操作：要求尺規作圖，不寫作法，但保留作圖痕跡.

①作出A8的垂直平分線MN,MN分別與AB交于點D,與8c交于點E.

②過點8作BF垂直于AE,垂足為F.

(2)推理證明：求證AC=BF.

20.已知：如圖，點A、B、C、。在一條直線上，FB//EA交EC于H點,EA=FB，

AB=CD.

(1)求證：VACE史BDE；

(2)若CH=BC,44=50°,求NO的度數.

21.在8x8的方格紙中，點A,B,C都在格點上，按要求畫圖(保留作圖痕跡):

(1)在圖1中找一點0,使點。在線段上，且NADC=2NB；

(2)在圖2中找一格點E，使N5AC+N3EC=180。.

A

//\

/\

BC

圖1圖2

22.如圖，在等邊△ABC中，AB=12cm,現有M,N兩點分別從點A,8同時出發，沿△A8C

的邊按順時針方向運動，已知點M的速度為lcm/s,點N的速度為2cm/s,當點N第一次

到達8點時，M,N同時停止運動，設運動時間為t(s).

(1)當t為何值時，M,N兩點重合？兩點重合在什么位置？

(2)當點M,N在BC邊上運動時，是否存在使的位置？若存在，請求出此時點

M,N運動的時間；若不存在，請說明理由.

23.如圖，在等邊△ABC中，NABC與NACB的角平分線相交于點。，點E、F分別在邊A8,

BC上，連接E。、F0,使NEOF=60°,連接EF.

(1)求NBOC的度數.

(2)求證：CF=BE+EF.

24.如圖，在△A8C中，A8=AC=2,N8=40。，點。在線段8c上運動(。不與8、C重合),

連接AD,作NADE=40。，DEJgACE.

(1)當NBDA=115。時，ZBAD=___°,ZDEC=°；當點。從B向C運動時，ZBDA

逐漸變(填"大"或"小""

(2)當。C等于多少時，AAB。與△OCE全等？請說明理由；

(3)在點。的運動過程中，AADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出N8DA

的度數；若不可以，請說明理由.

E

BDC.

參考答案

二、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.如圖，在RhABC中，ZB=90.ZC=30）以點A為圓心，任意長為半徑作弧，

分別交邊AB，AC于點P,2；再分別以點P,。為圓心，以大于gpQ的長為半徑作弧,

兩弧交于點E，作射線AE交BC于點F.設AABE,AABC的面積分別為邑，則法

的值為（）

【答案】B

【分析】

根據作圖過程可得A尸是44C的平分線，根據角平分線的性質和4=90°，ZC=30°,

可得E4=FC,設=則FC=E4=2x,BC=3x,根據三角形的面積公式分別求

出S，S?,再計算*即可.

?2

【詳解】

解：根據作圖過程可知：A廠是㈤。的平分線，

ZBAF=ZCAF=-ABAC,

2

.ZB=90°,ZC=30°,

ZBAC=60°

ZBAF=ZCAF=-ABAC=30°,

2

ZC4F=ZC=30°

FA=FC

設^?二工，則在RflB/7中，FA=2x

FC=FA=2x,BC=BF+FC=x+2x=3x,

1x13x

S.=-BF.AB=—AB,S,=—BC.AB=-AB,

122222

故選：B.

【點睛】

本題考查了角平分線的作法，角平分線的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形面積公式

等知識點，掌握角平分線的畫法與性質是解決本題的關鍵.

2.如圖，直線/,比相交于點。.P為這兩直線外一點，且OP=2.8.若點尸關于直線/,

俄的對稱點分別是點則之間的距離可能是（

4，P2,4，g）

R

A.0B.5

C.6D.7

【答案】B

【分析】

連接。匕PP,,OP2,PP2,P,P2根據軸對稱的性質和三角形三.邊關系可得結論.

【詳解】

解:連接。6P%。,尸，［鳥，如圖,

■-4是p關于直線?的對稱點，

宜線?是P《的垂直平分線，

OPi=OP=2.8

■■丹是P關于直線m的對稱點，

???直線m是尸鳥的垂直平分線，

OP2=OP=2.S

當幾。鳥不在同一條直線上時，。6-。鳥＜46＜。，+。鳥

即0＜利＜5.6

當幾。，鳥在同一條直線上時，［鳥=。4+。鳥=5.6

故選：B

【點睛】

此題主要考查了軸對稱變換，熟練掌握軸對稱變換的性質是解答此題的關鍵

3.如圖，在AA》。中，NA=34。分別以點A、C為圓心，大于^AC長為半徑畫弧，兩弧

2

分別相交于點M、N,直線MN與AC相交于點E.過點C作CQ_LAB,垂足為點D,CD

與破相交于點F.若8D=CE,則NBFC的度數為（）

A

A.102°B.1070C.108°D.124°

【答案】B

【分析】

連接DE,如圖，利用基本作圖得到AE=CE,則DE為斜邊AC的中線，所以DE=AE=CE,則

N4JE=NA=34。，接著證明8D=D￡,所以ND8E=NDEB=17。，然后利用三角形外角性質計算

Z8FC的度數.

【詳解】

解：連接DE,如圖，

由作法得MN垂直平分AC,

：.AE=CE,

CDA.AB,

：.ZCDB=ZCDE=90",

■■■DE為斜邊AC的中線，

DE=AE=CE,

：.ZADE=NA=34°,

?，-BD=CE,

：.BD=DE,

ZDBE=NDEB=—ZADE=17°,

2

Z8FC=NDBF+Z8DF=17°+90°=107°.

故選：B.

【點睛】

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角

等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線：過一點作已知直線的垂線）.

4a.某同學在畫AABC的軸對稱圖形時弄亂了步驟，則正確的畫圖步驟是（）

①

③

A.③①②④C.③④①②D.①③②④

【答案】D

【詳解】

略

5.下列四個圖形分別是節能、節水、綠色食品和低碳標志，其中軸對稱圖形是（）

A

【答案】C

【分析】

根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得到答案.

【詳解】

解：A.不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

B.不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C.是軸對?稱圖形，故本選項正確；

D.不是軸對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形沿著對稱軸折疊后可

完全重合即為軸對稱圖形.

6.如圖，在RhABC中，NACB=90°,將AABC繞頂點C逆時針旋轉得到V49C',

M是的中點，P是的中點，連接PM，若3c=4,AC=3,則在旋轉的過程中，

線段的長度不可能是（）

A.5B.4.5C.2.5D.0.5

【答案】A

【分析】

連接PC.首先依據宜角三角形斜邊上中線的性質求出PC=2,然后再依據三角形的三邊關系

可得到PMVPC+CM,故此可得到PM的最大值為PC+CM.

【詳解】

解：如圖連接PC.

在RtAABC中,8c=4,AC=3,

：.48=5,

根據旋轉不變性可知，A'B'=AB=5,

：.A'P=PB',

：.PC=—A'B'=2.5,

2

?，-CM=BM=2,

PM<PC+CM,即PM44.5,

線段PM的長度不可能是5.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查的是旋轉的性質，直角三角形的性質、三角形的三邊關系，掌握本題的輔助線

的作法是解題的關鍵.

7.如圖，AAbC中，AB=AC,ABAC.NA6C的角平分線相交于點D.若

441)8=130°,則NR4c等于()

【答案】D

【分析】

設NBAC=x,根據已知可以分別表示出NABD和NBAD,再根據三角形內角和定理即可求得

Z8AC的度數.

【詳解】

解：設NBAC=x,

,在AABC中,AB=AC,

：.ZABC=4C=—(180。*),

2

?「BD是NABC的角平分線，AD是NBAC的角平分線，

1、1

NA8D=—(180--x),ZDAB=—X,

42

ZABD+ZDAB+Z4DB=180°,

-(180°-x)+—x+130°=180o,

42

x=20°.

故選：D.

【點睛】

此題主要考查等腰三角形的性質、角平分線的定義、三角形內角和定理：三角形內角和是

180°.

8.如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，且AD=6,E是AC的中點，P是AD上

的一個動點，則PC與PE的和最小是（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】

連接與AD交手點P,連接CP,貝IJ8E的長度即為PE與PC和的最小值，根據三角形的

面積公式即可證出8E=AD=6,從而得出結論.

【詳解】

解：如圖，連接8E,與AD交于點P,連接CP,

△A8c是等邊三角形，AD±BC,

二垂直平分8C,BC=AC,

：.PC=PB,

：.PE+PC=PB+PE=BE,根據兩點之間線段最短，8E的長就是PE+PC的最小值，

E是AC的中點，

BEJ.AC,

11

?SAABC=-BC'AD=—AC'BE,

22

BE=AD=6,

即PC與PE的和最小值是6.

故選：C.

【點睛】

本題考查了最短線路問題及等邊三角形的性質，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的

關鍵.

9.如圖，C,E和3,D,尸分別在NG4H的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF,

若乙4=18°,則/6所的度數為（）

【答案】D

【分析】

由A8=8C=CD=DE=EF,根據等腰三角形的性質，即可得NACB=N4ZCDS=ZCBD,

ZCED=ZDCE,ZEFD=ZEDF,又由三角形外角的性質與NA=18。，即可求得/GEF的度數.

【詳解】

解：???A8=8C,

ZACB=Z4=18",

ZCBD=ZA+NACB=36",

■：BC=CD,

，ZCDB=ZCBD=36°,

ZDCE=ZA+NCDA=18°+36°=54°,

CD=DE,

ZCED=NDCE=54°,

ZEDF=N4+ZAED=18°+54°=72°,

DE=EF,

ZEFD=ZEDF=72°,

：.ZGEF=ZA+NAFE=180+72°=90°.

故選：D.

【點睛】

此題考查了等腰三角形的性質與三角形外角的性質.此題難度適中，解題的關鍵是注意數形

結合思想的應用.

10.如圖，長方形紙片ABC。，將NC6O沿對角線8。折疊得NC'BO,C5和A。相

交于點E,將Z4BE沿班折疊得N4BD,若NA'8D=a,則NC3D度數為（）

c

aaa

A.45°+?B.60°+-C.30°+-D.150+-

234

【答案】C

【分析】

設NCBD=6,根據折疊可得NC'BD=6,ZA'BE=6-a,依據NABC=NA8E+NE8D+NCBD

=90°,即可得到ZCBD的度數.

【詳解】

解：設NCBD=6,則NC'BD=6,

■.ZA'BD=a，

ZA'BE—6-a,

由折疊可得，ZABE=Z.A'BE=6-a,

■：ZABC=Z.ABE+Z.E8D+NCBD=90",

6-a+6+6=90°,

.-.6=30°+-,

3

故選C.

【點睛】

本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大

小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.

11.給出下面兩個命題：①如圖1,若PA=PB,QA=QB,則P。垂直平分AB；②如

圖2,若點P到OA,OB的距離PC,PO相等，則OP平分ZAOB.其中真命題是（)

【答案】C

【分析】

①根據線段垂直平分線的判定定理，可得P在A8的垂直平分線匕Q在A8的垂直平分線

上，又由兩點確定一條直線，即可知PQ垂直平分48；②由點P到。A,。8的垂線段PC,

PD相等，利用HL可證得RtAPC8RtAPDO,即可得OP平分NAOB.

【詳解】

解：①,??R4=P8,QA=QB,

，P在AB的垂直平分線上，Q在A8的垂直平分線上，

.PQ垂直平分AB；

②點P到。40B的垂線段PC,PD相等，

ZPCO=NPDO=90°,PC=PD,

在RtAPCO與RtAPDO中，

PC=PD

PO=PO'

：.RSPC。絲RtAPDO(HL),

ZP0C=4POD,

即OP平分NAOB.

故選：C.

【點睛】

此題考查了角平分線與線段垂直平分線的判定.此題難度不大，解題的關鍵是注意數形結合

思想的應用.

12.如圖，在△ABC中，ZC=90",按以下步驟作圖：①以點A為圓心、適當長為半徑作

圓弧，分別交邊AC、AB于點M、N；②分別以點M和點N為圓心、大于gMN的長為半

徑作圓弧，在NBAC內，兩弧交于點P；③作射線AP交邊BC于點D,若CD=4,AB=9,

則△ABD的面積是()

【答案】B

【分析】

作DE±AB于E,根據角平分線的性質得到DE=DC=A,根據三角形的面積公式計算即可.

【詳解】

解：作DEJ_AB于E,

由基本作圖可知，AP平分NCAB

「AP平分ZCA8,ZC=90°,DE±AB,

：.DE=DC=4,

：.△A8。的面積=！xA8xD￡=18,

2

故選：B.

【點睛】

本題考查基本作圖、角平分線的性質定理、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所

學知識解決問題.

二'填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

13.如圖，已知直線m是正五邊形A8CDE的對稱軸，且直線m過點D,直線m與對角線

BE相交于點0,則NAOE=度.

【分析】

證明AO^BO,求出NABO可得結論.

【詳解】

解：；直線m是正五邊形ABCDE的對稱軸，

AO=BO,

zBAE是正五邊形ABCDE的一個角，

(5-2)x180°

ZBAE=------------------=108°,

5

AE=AB,Ze/lf=108°,

ZAEB=N48E=36°,

ZBAO=NABO=36°,

：.ZAOE=ZBAO+NABO=36°+36°=72°,

故答案為：72.

【點睛】

本題考查正多邊形，軸對稱的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是求出

ZABE=36°.

14.圖，直線Ag〃C。，直線/與直線AB,8相交于點E、F,點P是射線EA上的一個利

，卓(不包括端點E),將“EPF沿PF折疊,使頂點E落在點Q處.若NPEF=75°,2ZCFQ=NPFC,

則ZEFP=.

/zPvE/B

cD

【答案】35°或63°

【分析】

分兩種情形：①當點Q在平行線A8,CD之間時.②當點。在CD下方時，分別構建方程

即可解決問題.

【詳解】

解：①當點Q在平行線A8,CD之間時，如圖1.

,/AB//CD

：.ZPEF+NCFF=180°

設NPFQ=X,由折疊可知NEFP=X,

,/2ZCFQ=ZCFP,

ZPFQ=ZCFQ=x,

/.75°+3x=180°,

???x=35°,

/.ZEFP=35°.

②當點Q在CD下方時，如圖2

?/2ZCFQ=ZCFP,

2

ZPFC=—x,

3

2

75°+-x+x=180°,

3

解得x=63°,

ZEFP=63°.

故答案為：35°或63°

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質以及翻折問題的綜合應用，正確掌握平行線的性質和軸對稱的

性質是解題的關鍵.

15.如圖所示的網格是正方形網格，點A,B,C是網格線交點，那么

ZBAC+ZACB=

【答案】135

【分析】

過點A作AD_LBC,垂足為點D,求出NABC,再運用三角形內角和定理可得結論.

【詳解】

解：過點A作ADLBC,垂足為點D,

則AD=BD

ZAB￡>=45°

ZABC+ABCA+ABAC=180°

.-.ABAC+ZACB=180°-ZABC=180°-45°=135°

故答案為：135.

【點睛】

此題主要考查了三角形內角和定理，等腰三角形的性質，求出NAB￡>=45。是解答本題的

關鍵.

16.如圖1是長方形紙帶，NDEF=19°,將紙帶沿EF折疊成圖2,再沿5尸折疊成圖3,

則圖3中的ZCFE的度數是度.

【分析】

由題意根據折疊的性質可得NDEF=NEFB=19°,圖2中根據平行線的性質可得NGFC=142。，

圖3中根據角的和差關系可得/CFE=ZGFC-ZEFG.

【詳解】

解：AD//BC,

：.ZDEF=Z.EFB=19",

在圖2中，NGFC=1800-ZFGD=1800-2ZEFG=142°,

在圖3中，ZCFE=4GFC-ZEFG=123°.

故答案為：123.

【點睛】

本題考查平行線的性質，圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于

軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變.

17.在AABC中，NB=60°,AB的垂直平分線分別交AB，AC于點。，E，若AE=BC,

則ZA=

【答案】40

【分析】

連接BE,根據中垂線和AE=5。得出兩個等腰三角形，再根據三角形內角和180。.即可算

出來.

【詳解】

連接BE

DE垂直平分AB

：.AE=BE,

NBAE=NEBA

AE=BC

BC=BE

NBEC=NECB

設NBAE=NEBA=x

則N8EC=NECB=NBAE+NEBA=2x

ZB=60°

NEBC=60°-x

在△EBC中，2x+2x+60°-x=180°

解得x=40°

Z4=40°

故答案是40

【點睛】

本題考查了中垂線，等腰三角形，三角形內角和等知識點，根據中垂線作出輔助線是解題關

鍵.

18.如圖所示，已知NAOB=40。，現按照以下步驟作圖：①在OB上分別截取線段。D,

OE,使。D=OE；②分別以D,E為圓心，以DE長為半徑畫弧，在NAO8內兩弧交于點C；

③作射線。C；④連接DC、EC.則NOEC的度數為.

D

0YEB

【答案】130°

【分析】

利用基本作圖得到OD=OE,利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出NOED=70。，再判

斷^DEC為等邊三角形得到NCED=60。，然后計算NOFD+ZCED即可.

【詳解】

解：由作法得。。=。￡,

ZOED=ZODE=(180°-40°)+2=70°,

---DE=DC=EC,

A△DEC為等邊三角形，

ZCFD=60°,

ZOEC=70°+60°=130°.

故答案為130°.

【點睛】

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖(作一條線段等于己知線段；作一個

角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作己知角的角平分線；過一點作已知直線的

垂線).

三、解答題(本大題共6小題，共66分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程)

19.如圖，在RQABC中，NC=90°,AC<BC.

(1)動手操作：要求尺規作圖，不寫作法，但保留作圖痕跡.

①作出AB的垂直平分線MN,MN分別與AB交于點D,與8C交于點E.

②過點B作BF垂直于AE,垂足為F.

(2)推理證明：求證4：=8F.

c

【答案】（l）①見解析；②見解析；（2）見解析

【分析】

（1）①根據垂直平分線的作法得出即可；②延長AE，再根據過直線外一點作已知直線

的垂線的作法得出即可；

（2）根據垂直平分線的性質得至ijAE=BE,再加上ZBFE=ZACE=90°,ZBEF=ZAEC，

證得：ABEF之AAEC,根據全等的性質得AC=防.

【詳解】

⑴①②：

如圖直線MN,BF就是所要求的作的圖形.

(2)證明：???MN垂直平分A8,

AE=BE.

BF±AE,垂足為F,

..NBFE=ZACE=90。.

ABEF=ZAEC,

■■■ABEFdAEC.

：.AC=BF.

【點睛】

此題主要考查了垂直平分線的作法、過直線外一點作己知直線的垂線的作法、垂直平分線性

質以及全等三角形的應用，根據已知得出AE與BE的關系是解題關鍵.

20.已知：如圖，點A、B、C、。在一條直線上，FB//EA交EC于H點,EA=FB，

AB=CD.

(1)求證：NACE^/BDF；

(2)若CH=BC,ZA=50°,求NO的度數.

【答案】(1)見解析；(2)80。

【分析】

(1)山胡//F8,利用同位角相等可得NE4C=NFa).山A5=CD,利用等式性質可

得AC=BD,可證AACE%BDF(SAS)；

(2)由E6//E4可得㈤C=/FBD=5()。，由CW=6C利用等角對等邊，可求

NHBC=/BHC=50°.利用三角形內角和可得NEC4=80°.利用VACE名丫比甲性

質，可得NEC4=NO=80°.

【詳解】

(1)證明：EA//FB,

ZEAC=ZFBD.

AB=CD,

AB+BC=CD+BC,EPAC=BD,

在AACE和ABZW中，

AC=BD

.<ZEAC=NFBD,

EA=FB

..^ACE^BDF(SAS).

(2)解：FB//EA,

：.NEAC=/FBA500,

CH=BC,

ZHBC=NBHC=50。.

AECA=180°-50°-50°=80°.

.NACE^BDF，

ZECA=ZD=80°.

【點睛】

本題考查平行線性質，等腰三角形性質，三角形全等判定與性質，三角形內角和，掌握平行

線性質，等腰三角形性質，三角形全等判定與性質，三角形內角和是解題關鍵.

21.在8x8的方格紙中，點A,B,C都在格點上，按要求畫圖（保留作圖痕跡）：

（1）在圖1中找一點。，使點O在線段上，且NADC=2NB；

（2）在圖2中找一格點E，使NBAC+NBEC=180。.

AA

/\

/

BCBC

圖1圖2

【答案】（1）見詳解：（2）見詳解

【分析】

（1）先作線段A8的垂線，然后根據直角三角形斜邊中線定理可進行作圖:

（2）分別作AB、AC的垂線，然后交于一點，則問題即可求解.

【詳解】

解：(1)作A8的垂線，構造直角三角形斜邊中線，如圖所示,

圖1

由直角三角形斜邊中線定理可得AD=8D,則有ZADC=2ZB：

(2)分別作A8、AC的垂線，然后交于一點，如圖所示：

圖2

ZABE=ZACE=90°,

..ZABE+ZACE=1SQ°,

..ABAC+ZBEC^180°,則點E即為所求.

【點睛】

本題主要考查直角三角形斜邊中線定理、垂線及中線的作法，熟練掌握直角三角形斜邊中線

定理、垂線及中線的作法是解題的關鍵.

22.如圖，在等邊△ABC中，A8=12cm,現有M,N兩點分別從點A,8同時出發，沿△ABC

的邊按順時針方向運動，已知點M的速度為lcm/s,點N的速度為2cm/s,當點N第一次

到達B點時，M,N同時停止運動，設運動時間為t(s).

(1)當t為何值時，M,N兩點重合？兩點重合在什么位置？

（2）當點M,N在BC邊上運動時?，是否存在使AM=AN的位置？若存在，請求出此時點

M,N運動的時間；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）當1=12時-，M,N兩點重合，此時兩點在點C處重合；（2）存在，此時M、

N運動的時間為16秒

【分析】

（1）由N的運動路程比M的運動路程多12cm,再列方程，解方程即可得到答案；

（2）由（1）知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，由AN=AM,證明AACMg△ABN

（AAS）,可得CM=BN,再列方程求解即可得到答案.

【詳解】

解:（1）由題意，txl+12=2t,

解得：t=12,

,當t=12時，M,N兩點重合，

此時兩點在點C處重合；

（2）結論：當點M、N在8c邊上運動時，可以得到AM=4V,即以MN為底邊的等腰三

角形.

理由：由（1）知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處,

如圖，假設是等腰三角形,

AN=AM,

ZAMN=NANM,

AAMC=Z.ANBf

V△4C8是等邊三角形，

NC=NB,

在△ACM和△ABN中，

ZC=ZB

<ZAMC=NANB,

AC=AB

△ACM合△ABN(AAS),

CM=BN,

設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間為y秒，AAMN是等腰三角形，

CM=y-12,WB=36-2y,

■：CM=NB,

：.y-12=36-2y,

解得：y=16.經檢驗符合題意，故假設成立.

當點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AM/V,此時M、N運動

的時間為16秒.

【點睛】

本題考查的是三角形全等的判定與性質，等邊三角形的性質，幾何動態問題，掌握利用方程

解決幾何動態問題是解題的關鍵.

23.如圖，在等邊△ABC中，NA8c與NACB的角平分線相交于點。，點￡、F分別在邊AB,

BC上，連接E。、F0,使N￡OF=60°,連接EF.

(2)求證：CF=BE+EF.

【答