2023-2024學年吉林省延邊市第二中學高考沖刺數學模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（）A． B． C． D．2．已知角的終邊經過點,則A． B．C． D．3．在平面直角坐標系中，已知是圓上兩個動點，且滿足，設到直線的距離之和的最大值為，若數列的前項和恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．4．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．5．如圖所示程序框圖，若判斷框內為“”，則輸出（）A．2 B．10 C．34 D．986．設a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設等差數列的前n項和為，若，則（）A． B． C．7 D．28．若復數z滿足，則（）A． B． C． D．9．函數的定義域為（）A． B． C． D．10．不等式組表示的平面區域為，則（）A．， B．，C．， D．，11．已知函數，集合，，則（）A． B．C． D．12．已知向量，若，則實數的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，若向量與共線，則________.14．安排名男生和名女生參與完成項工作，每人參與一項，每項工作至少由名男生和名女生完成，則不同的安排方式共有________種（用數字作答）.15．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點，、分別為曲線、的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為________.16．經過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點（點在第一象限），過點作軸的垂線，垂足為點.設直線與橢圓的另一個交點為.則的值是________________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在本題中，我們把具體如下性質的函數叫做區間上的閉函數：①的定義域和值域都是；②在上是增函數或者減函數.（1）若在區間上是閉函數，求常數的值；（2）找出所有形如的函數（都是常數），使其在區間上是閉函數.18．（12分）已知函數（）在定義域內有兩個不同的極值點.（1）求實數的取值范圍；（2）若有兩個不同的極值點，，且，若不等式恒成立.求正實數的取值范圍.19．（12分）已知橢圓，點為半圓上一動點，若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.（1）求證：；（2）當時，求的取值范圍.20．（12分）[2018·石家莊一檢]已知函數．（1）若，求函數的圖像在點處的切線方程；（2）若函數有兩個極值點，，且，求證：．21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程是（是參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）在曲線上取一點，直線繞原點逆時針旋轉，交曲線于點，求的最大值.22．（10分）在四棱柱中，底面為正方形，，平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

作于,于,分析可得,,再根據正弦的大小關系判斷分析得,再根據線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當且僅當重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內的直線所成角,故,當且僅當平面時取等號.故.故選：A【點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據題意確定角度的正弦的關系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.2、D【解析】因為角的終邊經過點,所以,則,即.故選D．3、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍，所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點到此直線距離的最大值的關系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設線段的中點，則，在圓上，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【點睛】本題考查了向量數量積，點到直線的距離，數列求和等知識，是一道不錯的綜合題.4、A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.5、C【解析】

由題意，逐步分析循環中各變量的值的變化情況，即可得解.【詳解】由題意運行程序可得：，，，；，，，；，，，；不成立，此時輸出.故選：C.【點睛】本題考查了程序框圖，只需在理解程序框圖的前提下細心計算即可，屬于基礎題.6、A【解析】

根據題意得到充分性，驗證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當"a=b當logab=log故選：A.【點睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學生的計算能力和推斷能力.7、B【解析】

根據等差數列的性質并結合已知可求出，再利用等差數列性質可得，即可求出結果．【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B【點睛】本題主要考查等差數列的性質及前項和公式，屬于基礎題．8、D【解析】

先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點睛】本題主要考查復數的運算和模的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9、C【解析】

函數的定義域應滿足故選C.10、D【解析】

根據題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區域，設，分析的幾何意義，可得的最小值，據此分析選項即可得答案.【詳解】解：根據題意，不等式組其表示的平面區域如圖所示，其中，，

設，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當過點時，直線在軸上的截距最大，即，當過點原點時，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯誤；

設，則的幾何意義為點與點連線的斜率，由圖可得最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯誤，D正確；故選：D.【點睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質以及應用，關鍵是對目標函數幾何意義的認識，屬于基礎題.11、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.12、D【解析】

由兩向量垂直可得，整理后可知，將已知條件代入后即可求出實數的值.【詳解】解：，，即，將和代入，得出，所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數量積，考查了向量的坐標運算.對于向量問題，若已知垂直，通常可得到兩個向量的數量積為0，繼而結合條件進行化簡、整理.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

計算得到，根據向量平行計算得到答案.【詳解】由題意可得，因為與共線，所以有，即，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了根據向量平行求參數，意在考查學生的計算能力.14、1296【解析】

先從4個男生選2個一組，將4人分成三組，然后從4個女生選2個一組，將4人分成三組，然后全排列即可.【詳解】由于每項工作至少由名男生和名女生完成，則先從4個男生選2個一組，將4人分成三組，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有種.故答案為：1296【點睛】本題主要考查了排列組合的應用，考查了學生應用數學解決實際問題的能力.15、【解析】

設，由橢圓和雙曲線的定義得到，根據是以為底邊的等腰三角形，得到，從而有，根據，得到，再利用導數法求的范圍.【詳解】設，由橢圓的定義得，由雙曲線的定義得，所以，因為是以為底邊的等腰三角形，所以，即，因為，所以，因為，所以，所以，即，而，因為，所以在上遞增，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.16、【解析】

作出圖形，設點，則、，設點，利用點差法得出，利用斜率公式得出，進而可得出，可得出，由此可求得的值.【詳解】設點，則、，設點，則，兩式相減得，即，即，由斜率公式得，，，故，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解，涉及了點差法與斜率公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）依據新定義，的定義域和值域都是，且在上單調，建立方程求解；（2）依據新定義，討論的單調性，列出方程求解即可。【詳解】（1）當時，由復合函數單調性知，在區間上是增函數，即有，解得；同理，當時，有，解得，綜上，。（2）若在上是閉函數，則在上是單調函數，①當在上是單調增函數，則，解得，檢驗符合；②當在上是單調減函數，則，解得，在上不是單調函數，不符合題意。故滿足在區間上是閉函數只有。【點睛】本題主要考查學生的應用意識，利用所學知識分析解決新定義問題。18、（1）；（2）.【解析】

（1）求導得到有兩個不相等實根，令，計算函數單調區間得到值域，得到答案.（2），是方程的兩根，故，化簡得到，設函數，討論范圍，計算最值得到答案.【詳解】（1）由題可知有兩個不相等的實根，即：有兩個不相等實根，令，，，，；，，故在上單增，在上單減，∴.又，時，；時，，∴，即.（2）由（1）知，，是方程的兩根，∴，則因為在單減，∴，又，∴即，兩邊取對數，并整理得：對恒成立，設，，，當時，對恒成立，∴在上單增，故恒成立，符合題意；當時，，時，∴在上單減，，不符合題意.綜上，.【點睛】本題考查了根據極值點求參數，恒成立問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）分兩種情況討論：①兩切線、中有一條切線斜率不存在時，求出兩切線的方程，驗證結論成立；②兩切線、的斜率都存在，可設切線的方程為，將該直線的方程與橢圓的方程聯立，由可得出關于的二次方程，利用韋達定理得出兩切線的斜率之積為，進而可得出結論；（2）求出點、的坐標，利用兩點間的距離公式結合韋達定理得出，換元，可得出，利用二次函數的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】（1）由于點在半圓上，則.①當兩切線、中有一條切線斜率不存在時，可求得兩切線方程為，或，，此時；②當兩切線、的斜率都存在時，設切線的方程為（、的斜率分別為、），，，，.綜上所述，；（2）根據題意得、，，令，則，所以，當時，，當時，.因此，的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓兩切線垂直的證明，同時也考查了弦長的取值范圍的計算，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）分別求得和，由點斜式可得切線方程；（2）由已知條件可得有兩個相異實根，，進而再求導可得，結合函數的單調性可得，從而得證.試題解析：（1）由已知條件，，當時，，，當時，，所以所求切線方程為（2）由已知條件可得有兩個相異實根，，令，則，1）若，則，單調遞增，不可能有兩根；2）若，令得，可知在上單調遞增，在上單調遞減，令解得，由有，由有，從而時函數有兩個極值點，當變化時，，的變化情況如下表單調遞減單調遞增單調遞減因為，所以，在區間上單調遞增，．另解：由已知可得，則，令，則，可知函數在單調遞增，在單調遞減，若有兩個根，則可得，當時，，所以在區間上單調遞增，所以．21、（1）（2）最大值為【解析】

（1）利用消去參數，求得曲線的普通方程，再轉化為極坐標方程.（2）設出兩點的坐標，求得的表達式，并利用三角恒等變換進行化簡，再結合三角函數最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）由消去得曲線的普通方程為.所以的極坐標方程為，即.（2）不妨設，，，，，則當時，取得最大值，最大值為.【點睛】本小題主要考查參數方程化為普通方程，普通方程化為極坐標方程，考查極坐標系下線段長度的乘積的最值的求法，考查三角恒等變換，考查三角函數最值的求法，屬于中檔題.22、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）連接，設，可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，根據線面平行判定定理可證得結論；（2）以為原