山東省煙臺市芝罘區煙臺一中2024屆數學高二下期末學業水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線，過點的任意一條直線與拋物線交于兩點，拋物線外一點，若∠∠，則的值為()A． B． C． D．2．已知m＞0，n＞0，向量則的最小值是（

）A． B．2 C． D．3．若復數滿足，其中為虛數單位，則A． B． C． D．4．從不同品牌的4臺“快譯通”和不同品牌的5臺錄音機中任意抽取3臺,其中至少有“快譯通”和錄音機各1臺,則不同的取法共有()A．140種 B．84種 C．70種 D．35種5．已知高為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，若二面角的正切值為4，則（）A． B． C． D．6．在區間上隨機取一個數x，的值介于0到之間的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數，若，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．8．《數學統綜》有如下記載：“有凹錢，取三數，小小大，存三角”.意思是說“在凹（或凸）函數（函數值為正）圖象上取三個點，如果在這三點的縱坐標中兩個較小數之和最大的數，則存在將這三點的縱坐標值作為三邊長的三角形”.現已知凹函數，在上取三個不同的點，均存在為三邊長的三角形，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．9．函數（，）的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A． B． C． D．10．某高中舉辦了一場中學生作文競賽活動，現決定從參賽選手中選出一等獎一名、二等獎二名、三等獎二名，通過評委會獲悉在此次比賽中獲獎的學生為3男2女，其中一等獎、二等獎的獎項中都有男生，請計算一下這5名學生不同的獲獎可能種數為（）A．12 B．15 C．18 D．2111．已知向量與向量的模均為2，若，則它們的夾角是（）A． B． C． D．12．下列命題正確的是（）A．進制轉換：B．已知一組樣本數據為1，6，3，8，4，則中位數為3C．“若，則方程”的逆命題為真命題D．若命題：，，則：，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．人排成一排.其中甲乙相鄰，且甲乙均不與丙相鄰的排法共有__________種．14．在ΔABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，D是AB的中點，若CD=1且(a-15．高一、高二、高三三個年級共有學生1500人，其中高一共有學生600人，現用分層抽樣的方法抽取30人作為樣本，則應抽取高一學生數為_______．16．若復數是純虛數，則實數的值為____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有名學生排成一排，求分別滿足下列條件的排法種數，要求列式并給出計算結果.（1）甲不在兩端；（2）甲、乙相鄰；（3）甲、乙、丙三人兩兩不得相鄰；（4）甲不在排頭，乙不在排尾。18．（12分）今年4月23日我市正式宣布實施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的語文、數學、外語三門學科，“1”是指在物理和歷史中必選一科，“2”是指在化學、生物、政治、地理四科中任選兩科．為了解我校高一學生在物理和歷史中的選科意愿情況，進行了一次模擬選科.已知我校高一參與物理和歷史選科的有1800名學生，其中男生1000人，女生800人.按分層抽樣的方法從中抽取了36個樣本，統計知其中有17個男生選物理，6個女生選歷史．（I）根據所抽取的樣本數據，填寫答題卷中的列聯表.并根據統計量判斷能否有的把握認為選擇物理還是歷史與性別有關？（II）在樣本里選歷史的人中任選4人，記選出4人中男生有人，女生有人，求隨機變量的分布列和數學期望．（的計算公式見下），臨界值表：19．（12分）已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為萬元，每生產千件需另投入萬元．設該公司一年內共生產該品牌服裝千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且.（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；（2）年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）20．（12分）一個盒子內裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個數字，這8個數字各不相同，且奇數有3個，偶數有5個．每張卡片被取出的概率相等．（Ⅰ）如果從盒子中一次隨機取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數字相加得到一個新數，求所得新數是偶數的概率；（Ⅱ）現從盒子中一次隨機取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數是偶數則停止取出卡片，否則繼續取出卡片．設取出了次才停止取出卡片，求的分布列和數學期望．21．（12分）某公園設有自行車租車點，租車的收費標準是每小時元(不足一小時的部分按一小時計算)．甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為，一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為，兩人租車時間都不會超過三小時．（1）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（2）設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數學期望．22．（10分）已知函數.（I）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當時，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

設出點和直線，聯立方程得到關于的韋達定理，將轉化為斜率相反，將根與系數關系代入得到答案.【題目詳解】設，設直線AB：又恒成立即答案為D【題目點撥】本題考查了直線和拋物線的位置關系,定點問題,設直線方程時消去可以簡化運算,將角度關系轉化為斜率關系是解題的關鍵,計算量較大,屬于難題.2、C【解題分析】分析：利用向量的數量積為0，求出m，n的方程，然后利用基本不等式求解表達式的最小值即可.詳解：m＞0，n＞0，向量，可得，則，當且僅當時，表達式取得最小值.故選：C.點睛：條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值．3、B【解題分析】

由復數的除法運算法則化簡，由此可得到復數【題目詳解】由題可得；；故答案選B【題目點撥】本題主要考查復數的除法運算法則，屬于基礎題。4、C【解題分析】分析：從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，有兩種方法，一是2臺和1臺；二是1臺和2臺，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數.詳解：由題意知本題是一個計數原理的應用，從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，快譯通2臺和錄音機1臺，取法有種；快譯通1臺和錄音機2臺，取法有種，根據分類計數原理知共有種.故選：C.點睛：本題考查計數原理的應用，考查分類和分步的綜合應用，本題解題的關鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個中檔題目.5、D【解題分析】

過作平面于，為中點，連接.證明面角的平面角為,計算得到,通過勾股定理計算得到答案.【題目詳解】如圖：正三棱錐，過作平面于，為中點，連接.易知：為中點二面角的平面角為正切值為4在中，根據勾股定理：故答案選D【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.6、A【解題分析】因為,若,則,，故選A.7、D【解題分析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關系．【題目詳解】,,根據對數函數的單調性得到a>c,,又因為，，再由對數函數的單調性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．【題目點撥】考查對數的運算性質，對數函數的單調性．比較兩數的大小常見方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構造函數利用函數的單調性得到結果.8、A【解題分析】

由題意，三點的縱坐標中兩個較小數之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出結論．【題目詳解】易知，所以，在上的最小值為.由題意可知，當，∴或，，故選A.【題目點撥】本題考查新定義，考查學生轉化問題的能力，正確轉化是關鍵．9、A【解題分析】

利用，求出，再利用，求出即可【題目詳解】，，，則有，代入得，則有，，，又，故答案選A【題目點撥】本題考查三角函數的圖像問題，依次求出和即可，屬于簡單題10、B【解題分析】

一等獎為男生，則從3個男生里選一個；二等獎有男生，可能是一男一女，可能是兩男；剩下的即為三等獎的學生，依照分析求組合數即可【題目詳解】由題可知，一等獎為男生，故；二等獎可能為2個男生或1個男生，1個女生，故故獲獎可能種數為，即選B【題目點撥】本題考查利用排列組合解決實際問題，考查分類求滿足條件的組合數11、A【解題分析】

由題意結合數量積的運算法則可得，據此確定其夾角即可.【題目詳解】∵，∴，∴，故選A.【題目點撥】本題主要考查向量夾角的計算，向量的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.12、A【解題分析】

根據進制的轉化可判斷A，由中位數的概念可判斷B，寫出逆命題，再判斷其真假可判斷C.根據全稱命題的否定為特稱命題，可判斷D.【題目詳解】A.,故正確.B.樣本數據1，6，3，8，4，則中位數為4.故不正確.C.“若，則方程”的逆命題為:“方程,則”，為假命題，故不正確.D.若命題：，.則：，，故不正確.故選：A【題目點撥】本題考查了進制的轉化、逆命題，中位數以及全稱命題的否定，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24.【解題分析】分析：由題意結合排列組合的方法和計算公式整理計算即可求得最終結果.詳解：將甲乙捆綁后排序，有種方法，余下的丙丁戊三人排序，有種方法，甲乙均不與丙相鄰，則甲乙插空的方法有2種，結合乘法原理可知滿足題意的排列方法有：種.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．14、15【解題分析】

由題意及正弦定理得到a2+b2-c2=ab2，于是可得cosC=14，sin【題目詳解】如圖，設∠CDA=θ，則∠CDB=π-θ,在ΔCDA和ΔCDB中，分別由余弦定理可得cosθ=兩式相加，整理得c2∴c2由(a-12b)整理得a2由余弦定理的推論可得cosC=a2把①代入②整理得a2又a2+b所以4≥2ab+ab2=所以SΔABC即ΔABC面積的最大值是155故答案為155【題目點撥】本題考查解三角形在平面幾何中的應用，解題時注意幾何圖形性質的合理利用．對于三角形中的最值問題，求解時一般要用到基本不定式，運用時不要忽視等號成立的條件．本題綜合性較強，考查運用知識解決問題的能力和計算能力．15、12【解題分析】

由題得高一學生數為，計算即得解.【題目詳解】由題得高一學生數為.故答案為：12【題目點撥】本題主要考查分層抽樣，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.16、－【解題分析】

由純虛數的定義，可以得到一個關于的等式和不等式，最后求出的值.【題目詳解】因為復數是純虛數，所以有，.故答案為.【題目點撥】本題考查了純虛數的定義，解不等式和方程是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）30240（2）10080（3）14400（4）30960【解題分析】

（1）先把甲安排到中間6個位置的一個，再對剩下位置全排列；（2）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復合元素，再和另外6人全排列；（3）把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6個空中的三個空，結合公式求解；（4）可采用間接法得到；【題目詳解】（1）假設8個人對應8個空位，甲不站兩端，有6個位置可選，則其他7個人對應7個位置，故有：種情況（2）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復合元素，再和另外6人全排列，故有種情況；（3）把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6個空中的三個空，故有種情況；（4）利用間接法，用總的情況數減去甲在排頭、乙在排尾的情況數，再加上甲在排頭同時乙在排尾的情況，故有種情況【題目點撥】本題考查排列組合的應用，先根據已知條件找到突破口，學會尋找位置間的相關關系，特殊位置優先處理，相鄰位置捆綁，不相鄰位置插空，正難則反等思想方法常用于解答此類題型，屬于中檔題18、（I）沒有90%的把握認為選擇物理還是歷史與性別有關；（II）見解析【解題分析】

（I）由條件知，按分層抽樣法抽取的36個樣本數據中有個男生，16個女生，根據題意列出列聯表，求得的值，即可得到結論．（II）由（I）知在樣本里選歷史的有9人.其中男生3人，女生6人，求得可能的取值有，進而求得相應的概率，列出隨機變量的分布列，利用公式求解期望．【題目詳解】（I）由條件知，按分層抽樣法抽取的36個樣本數據中有個男生，16個女生，結合題目數據可得列聯表：男生女生合計選物理17320選歷史10616合計279得而，所以沒有90%的把握認為選擇物理還是歷史與性別有關.（II）由（I）知在樣本里選歷史的有9人.其中男生3人，女生6人．所以可能的取值有.且，；，，所以的分布列為：20所以的期望.【題目點撥】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，以及離散型隨機變量的分布列與期望的計算，其中解答中認真審題，準確得出隨機變量的取值，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．19、（1）（2）當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝生產中獲利最大【解題分析】試題分析：解：（Ｉ）當時，；當時，．∴年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數關系式為（Ⅱ）當時，由，即年利潤在上單增，在上單減∴當時，取得最大值，且（萬元）．當時，，僅當時取“=”綜上可知，當年產量為千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大，最大值為萬元．考點：本試題考查了函數模型在實際生活中的的運用。點評：解決應用題，首先是審清題意，然后利用已知的關系式表述出利潤函數：收入-成本=利潤。將實際問題轉換為代數式，然后利用函數的性質，或者均值不等式來求解最值，但是要注明定義域，屬于中檔題。20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）記“任取2張卡片，將卡片上的數字相加得到的新數是偶數”為事件,事件總數為，因為偶數加偶數，奇數加奇數，都是偶數，則事件種數為，得.所得新數是偶數的概率.