湖南省衡陽市衡陽縣第四中學2024屆數學高二下期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內切圓，現在大正方形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．2．在一項調查中有兩個變量x（單位：千元）和y（單位：t），如圖是由這兩個變量近8年來的取值數據得到的散點圖，那么適宜作為y關于x的回歸方程類型的是（）A．y＝a+bx B．y＝c+d C．y＝m+nx2 D．y＝p+qex（q＞0）3．已知函數在定義域上有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知拋物線的參數方程為，若斜率為1的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，則線段AB的長為A． B． C．8 D．45．下列命題中為真命題的是（）A．若B．命題：若，則或的逆否命題為：若且，則C．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件D．若命題，則6．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作垂直于實軸的弦，若，則的離心率為（）A． B． C． D．7．已知三個正態分布密度函數（,）的圖象如圖所示則（）A．B．C．D．8．已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是A． B． C． D．9．給出以下命題，其中真命題的個數是若“或”是假命題，則“且”是真命題命題“若，則或”為真命題已知空間任意一點和不共線的三點，若，則四點共面；直線與雙曲線交于兩點，若，則這樣的直線有3條；A．1 B．2 C．3 D．410．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線右支上的點，且，若坐標原點到直線的距離等于實半軸長，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．11．某單位為了落實“綠水青山就是金山銀山”理念,制定節能減排的目標,先調查了用電量y(單位:千瓦·時)與氣溫x(單位:oC)之間的關系,隨機選取了4天的用電量與當天氣溫,x（單位：oC171410-1y（單位：千瓦?時）24343864由表中數據得線性回歸方程:y=-2x+a,則由此估計:當某天氣溫為12oC時,A．56千瓦?時 B．36千瓦?時 C．34千瓦?時 D．38千瓦?時12．大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉鎮甲、乙丙3個村小學進行支教，若每個村小學至少分配1名大學生，則小明恰好分配到甲村小學的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知“”是“”的充分不必要條件，且，則的最小值是_____．14．若函數是偶函數,且在上是增函數,若,則滿足的實數的取值范圍是__________．15．若對于任意實數x，都有，則的值為_________.16．設圓錐的高是，母線長是，用過圓錐的頂點的平面去截圓錐，則截面積的最大值為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點（點均在第一象限），且直線的斜率成等比數列，證明：直線的斜率為定值.18．（12分）設函數（1）當時，求函數在上的值域；（2）若不論取何值，對任意恒成立，求的取值范圍。19．（12分）（1）用分析法證明：；（2）用數學歸納法證明：.20．（12分）已知函數，.（1）求函數的單調區間；（2）若關于的方程有實數根，求實數的取值范圍.21．（12分）從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；(ⅱ)求抽到紅球次數的數學期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，寫出抽完紅球所需次數的分布列.22．（10分）實數m取什么值時，復數是：（1）實數；（2）純虛數；（3）表示復數z的點在復平面的第四象限.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：設大正方形的邊長為1，其內切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.詳解：設大正方形的邊長為1，其內切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.點睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計算問題，其中根據題意，準確求解陰影部分的面積是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，以及函數與方程思想的應用，屬于基礎題.2、B【解題分析】散點圖呈曲線，排除選項，且增長速度變慢，排除選項，故選.3、D【解題分析】

根據等價轉化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數根，然后利用根的分布情況，進行計算，可得結果.【題目詳解】，令，方程有兩個不等正根，，則：故選：D【題目點撥】本題考查根據函數極值點求參數，還考查二次函數根的分布問題，難點在于使用等價轉化的思想，化繁為簡，屬中檔題.4、C【解題分析】分析：先根據拋物線方程求得拋物線的焦點坐標，進而根據點斜式求得直線的方程與拋物線方程聯立，消去，根據韋達定理求得的值，進而根據拋物線的定義可知求得答案．詳解：拋物線的參數方程為，普通方程為，拋物線焦點為，且直線斜率為1，

則直線方程為，代入拋物線方程得，設根據拋物線的定義可知|，

故選：C．點睛：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系，拋物線的簡單性質．對學生基礎知識的綜合考查．關鍵是：將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系，利用弦長公式即可求得|AB|值，從而解決問題．5、B【解題分析】分析：對四個命題，分別進行判斷，即可得出結論．詳解：對于A，，利用基本不等式，可得，故不正確；

對于B，命題：若，則或的逆否命題為：若且，則，正確；

對于C，“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，故不正確；

對于D，命題命題，則，故不正確．

故選：B．點睛：本題考查命題的真假判斷與應用，考查學生分析解決問題的能力，屬基礎題．6、C【解題分析】

由題意得到關于a,c的齊次式，然后求解雙曲線的離心率即可.【題目詳解】由雙曲線的通徑公式可得，由結合雙曲線的對稱性可知是等腰直角三角形，由直角三角形的性質有：，即：，據此有：，，解得：，雙曲線中，故的離心率為.本題選擇C選項.【題目點撥】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．7、D【解題分析】

正態曲線關于x＝μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，第一個曲線的均值比第二和第三和圖象的均值小，且二，三兩個的均值相等，又有σ越小圖象越瘦長，得到正確的結果．【題目詳解】根據課本中對正太分布密度函數的介紹知道：當正態分布密度函數為，則對應的函數的圖像的對稱軸為：，∵正態曲線關于x＝μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，∴第一個曲線的均值比第二和第三和圖象的均值小，且二，三兩個的均值相等，只能從A，D兩個答案中選一個，∵σ越小圖象越瘦長，得到第二個圖象的σ比第三個的σ要小，第一個和第二個的σ相等故選D．【題目點撥】本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查密度函數中兩個特征數均值和標準差對曲線的位置和形狀的影響，是一個基礎題．8、C【解題分析】試題分析：當時，，函數有兩個零點和，不滿足題意，舍去；當時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點，故不滿足題意，舍去；當時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則，選C．考點：1、函數的零點；2、利用導數求函數的極值；3、利用導數判斷函數的單調性．9、C【解題分析】(1)若“或”是假命題，則是假命題p是真命題，是假命題是真命題，故且真命題,選項正確.(2)命題“若，則或”的逆否命題是若a=2,且b=3,則a+b=5.這個命題是真命題，故原命題也是真命題.（3）∵++=1，∴P，A，B，C四點共面，故（3）正確，（4）由雙曲線方程得a=2，c=3，即直線l：y=k（x﹣3）過雙曲線的右焦點，∵雙曲線的兩個頂點之間的距離是2a=4，a+c=2+3=5，∴當直線與雙曲線左右兩支各有一個交點時，當k=0時2a=4，則滿足|AB|=5的直線有2條，當直線與實軸垂直時，當x=c=3時，得，即=，即則y=±，此時通徑長為5，若|AB|=5，則此時直線AB的斜率不存在，故不滿足條件．綜上可知有2條直線滿足|AB|=5，故（4）錯誤，故答案為C.10、B【解題分析】

利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與c之間的等量關系，進而求出雙曲線的離心率.【題目詳解】如圖，，，依題意，，

且，可知三角形是一個等腰直角三角形，

，，

在中，由余弦定理可得：

，

化簡得，

該雙曲線的離心率為．

故選：B．【題目點撥】本題主要考查余弦定理，雙曲線的定義、簡單幾何性質，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考查，屬中檔題．11、B【解題分析】

計算出x和y的值，將點x,y的坐標代入回歸直線方程，得出a的值，再將x=12代入可得出【題目詳解】由題意可得x=17+14+10-14由于回歸直線過樣本的中心點x,y，則-2×10+a回歸直線方程為y=-2x+60，當x=12時，y=-2×12+60=36（千瓦·【題目點撥】本題考查回歸直線方程的應用，解題的關鍵在于利用回歸直線過樣本中心點x,12、C【解題分析】

基本事件總數n36，小明恰好分配到甲村小學包含的基本事件個數m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小學的概率．【題目詳解】解：大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉鎮甲、乙、丙3個村小學進行支教，每個村小學至少分配1名大學生，基本事件總數n36，小明恰好分配到甲村小學包含的基本事件個數m12，∴小明恰好分配到甲村小學的概率為p．故選C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概率、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求解指數不等式，再運用充分不必要條件求解范圍.【題目詳解】，則由題意得，所以能取的最小整數是．【題目點撥】本題考查指數不等式和充分不必要條件，屬于基礎題.14、【解題分析】

根據偶函數性質得出在上是減函數，由此可得不等式．【題目詳解】∵是偶函數，且在上是增函數，，∴在上是減函數，．又，∴，解得且．故答案為．【題目點撥】本題考查函數的奇偶性與單調性，由奇偶性和單調性結合起來解函數不等式，這種問題一類針對偶函數，一類針對奇函數，它們有固定的解題格式．如偶函數在上是增函數，可轉化為，奇函數在上是增函數，首先把不等式轉化為再轉化為．15、【解題分析】

根據題意，分析可得，求出其展開式，可得為其展開式中含項的系數，由二項式定理求出項，分析可得答案．【題目詳解】解：根據題意，，其展開式的通項為，又由，則為其展開式中含項的系數，令可得：；即；故答案為：．【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，注意二項式定理的形式，屬于基礎題．16、1【解題分析】

求出圓錐的底面半徑，假設截面與圓錐底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面積關于的表達式，利用基本不等式求出面積的最大值．【題目詳解】解：∵圓錐的高是，母線長是，

∴底面半徑，設過圓錐頂點的平面SCD與圓錐底面交于CD，過底面中心O作OA⊥CD于E，

設，則，，∴截面SCD的面積，故答案為：1．【題目點撥】本題考查了圓錐的結構特征，基本不等式的應用，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）根據橢圓的離心率和所過的點得到關于的方程組，解得后可得橢圓的方程．（2）由題意設直線的方程為，與橢圓方程聯立后消元可得二次方程，根據二次方程根與系數的關系可得直線的斜率，再根據題意可得，根據此式可求得，為定值．試題解析：（1）由題意可得，解得．故橢圓的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，由，消去整理得，∵直線與橢圓交于兩點，∴．設點的坐標分別為，則，∴．∵直線的斜率成等比數列，∴，整理得，∴，又，所以，結合圖象可知，故直線的斜率為定值．點睛：（1）圓錐曲線中的定點、定值問題是常考題型，難度一般較大，常常把直線、圓及圓錐曲線等知識結合在一起，注重數學思想方法的考查，尤其是函數思想、數形結合思想、分類討論思想的考查．（2）解決定值問題時，可直接根據題意進行推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．18、（1）；（2）【解題分析】

（1）首先判斷出為上的減函數，進而可得其值域；（2）易知的最大值為2，原題等價于對任意恒成立，根據分離參數思想可得任意恒成立，求出兩端最值即可.【題目詳解】解：（1）與在上均為減函數，在上為減函數，的值域為（2）易知的最大值為2.由題意可知，即對任意恒成立，即任意恒成立。設，，，，，【題目點撥】本題主要考查了函數值域的求法，不等式恒成立問題，分離參數求最值是解題的關鍵，該題有一定難度.19、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

（1）利用分析法逐步平方得出成立，可證明出原不等式成立；（2）先驗證時等式成立，然后假設當時等式成立，可得出，然后再等式兩邊同時加上，并在所得等式右邊提公因式，化簡后可得出所證等式在時成立，由歸納原理得知所證不等式成立.【題目詳解】（1）要證明成立，只需證明成立，即證明成立，只需證明成立，即證明成立，因為顯然成立，所以原不等式成立，即；（2）①當時，，等式左邊，右邊，等式成立；②設當時，等式成立，即，則當時，，即成立，綜上所述，．【題目點撥】本題考查分析法與數學歸納法證明不等式以及等式問題，證明時要熟悉這兩種方法證明的基本步驟與原理，考查邏輯推理能力，屬于中等題.20、（1）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）當時，方程有實數根.【解題分析】試題分析：(1)結合函數的解析式可得，，結合導函數與原函數的單調性的關系可得函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.(2)原問題等價于方程有實數根，構造函數，利用導函數研究函數存在零點的充要條件可得：當時，方程有實數根.試題解析：（1）依題意，得，.令，即，解得；令，即，解得，故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）由題得，.依題意，方程有實數根，即函數存在零點，又，令，得.當時，，即函數在區間上單調遞減，而，，所以函數存在零點；當時，，隨的變化情況如表：極小值所以為函數的極小值，也是最小值.當，即時，函數沒有零點；當，即時，注意到，，所以函數存在零點.綜上所述，當時，方程有實數根.點睛：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題．(4)考查數形結合思想的應用．21、(1)①;②見解析;(2)見解析.【解題分析】分