云南省曲靖市宣威市第九中學2024屆高二數學第二學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．己知函數，其中為函數的導數，求（）A． B． C． D．2．的展開式中，的系數為（）A．15 B．-15 C．60 D．-603．過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，若，則（）A． B．1 C． D．24．設函數，記，若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．5．若存在兩個正實數，使得等式成立，其中為自然對數的底數，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．6．袋中有6個不同紅球、4個不同白球，從袋中任取3個球，則至少有兩個白球的概率是（）．A． B． C． D．7．期末考試結束后，甲、乙、丙、丁四位同學預測數學成績甲：我不能及格.乙：丁肯定能及格.丙：我們四人都能及格.?。阂俏夷芗案瘢蠹叶寄芗案?成績公布后，四人中恰有一人的預測是錯誤的，則預測錯誤的同學是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．若函數在處取得極小值，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．69．命題的否定是（）A． B．C． D．10．已知函數，若且，則n-m的最小值為()A．2ln2-1 B．2-ln2 C．1+ln2 D．211．對于一個數的三次方，我們可以分解為若干個數字的和如下所示：…，根據上述規律，的分解式中，等號右邊的所有數的個位數之和為（）A．71 B．75 C．83 D．8812．已知f(x)=2x,x<0a+log2x,x≥0A．-2 B．2 C．0 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種飲料每箱裝6聽，若其中有2聽不合格，質檢員從中隨機抽出2聽，則含有不合格品的概率為________.14．函數的定義域為________．15．若復數是純虛數，則實數_________________．16．已知數列的前項和為，且，則數列的通項公式是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數在點處有極值.(1)求常數的值;(2)求曲線與軸所圍成的圖形的面積.18．（12分）在數列中，，，其中實數．(1)求，并由此歸納出的通項公式；(2)用數學歸納法證明(Ⅰ)的結論．19．（12分）的內角所對的邊分別是，已知.(1)求；(2)若的面積為，，，求，.20．（12分）已知復數，其中i為虛數單位.（1）若復數z是實數，求實數m的值；（2）若復數z是純虛數，求實數m的值.21．（12分）已知拋物線與橢圓有共同的焦點，過點的直線與拋物線交于兩點.(Ⅰ)求拋物線的方程；(Ⅱ)若，求直線的方程.22．（10分）如圖，在四邊形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設，判斷奇偶性和導數的奇偶性，求和即可得到所求值．【題目詳解】解：函數設，則即，即，則，又，，可得，即有，故選：．【題目點撥】本題考查函數的奇偶性和導數的奇偶性，考查運算能力，屬于中檔題．2、C【解題分析】試題分析：依題意有，故系數為.考點：二項式．3、C【解題分析】

根據拋物線的定義，結合，求出A的坐標，然后求出AF的方程求出B點的橫坐標即可得到結論．【題目詳解】拋物線的焦點F（1，0），準線方程為，設A（x，y），則，故x=4，此時y=4，即A（4，4），則直線AF的方程為，即，代入得，解得x=4（舍）或，則，故選：C．【題目點撥】本題主要考查拋物線的弦長的計算，根據拋物線的定義是解決本題的關鍵．一般和拋物線有關的小題，可以應用結論來處理；平時練習時應多注意拋物線的結論的總結和應用。尤其和焦半徑聯系的題目，一般都和定義有關，實現點點距和點線距的轉化。4、A【解題分析】試題分析：函數定義域是，，，設，則，設，則，，易知，即也即在上恒成立，所以在上單調遞增，又，因此是的唯一零點，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，，函數至少有一個零點，則，．故選B．考點：函數的零點，用導數研究函數的性質．【名師點睛】本題考查函數的零點的知識，考查導數的綜合應用，題意只要函數的最小值不大于0，因此要確定的正負與零點，又要對求導，得，此時再研究其分子，于是又一次求導，最終確定出函數的最小值，本題解題時多次求導，考查了學生的分析問題與解決問題的能力，難度較大．5、D【解題分析】試題分析：由得，即，即設，則，則條件等價為，即有解，設，為增函數，∵，∴當時，，當時，，即當時，函數取得極小值為：，即，若有解，則，即，則或，故選D．考點：函數恒成立問題.【方法點晴】本題主要考查不等式恒成立問題，根據函數與方程的關系，轉化為兩個函數相交問題，利用構造法和導數法求出函數的極值和最值是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大根據函數與方程的關系將方程進行轉化，利用換元法轉化為方程有解，構造函數求函數的導數，利用函數極值和單調性的關系進行求解即可．6、D【解題分析】

事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，然后利用古典概型的概率的計算公式可求出所求事件的概率．【題目詳解】事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，由古典概型的概率公式知，事件“兩個白球一個紅球”的概率為，事件“三個都是白球”的概率為，因此，事件“至少有兩個球是白球”的概率為，故選D．【題目點撥】本題考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解題時要弄清楚事件所包含的基本情況，結合概率的加法公式進行計算，考查分類討論數學思想，屬于中等題．7、A【解題分析】分析：若甲預測正確，顯然導出矛盾．詳解：若甲預測正確，則乙，丙，丁都正確，乙：丁肯定能及格.丙：我們四人都能及格.?。阂俏夷芗案?，大家都能及格.，即四人都及格顯然矛盾，故甲預測錯誤.故選A.點睛：本題考查推理與論證，根據已知分別假設得出矛盾進而得出是解題關鍵．8、B【解題分析】

先對函數求導，根據題意，得到，再用導數的方法研究函數單調性，進而可求出結果.【題目詳解】因為，所以，又函數在處取得極小值，所以，所以，因此，由得；由得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；所以；故選B【題目點撥】本題主要考查導數的應用，根據導數的方法研究函數的單調性，最值等，屬于常考題型.9、A【解題分析】

根據命題“”是特稱命題，其否定為全稱命題，將“?”改為“?”，“≤“改為“＞”即可得答案【題目詳解】∵命題“”是特稱命題∴命題的否定為．故選A．【題目點撥】本題主要考查全稱命題與特稱命題的相互轉化問題．這里注意全稱命題的否定為特稱命題，反過來特稱命題的否定是全稱命題．10、C【解題分析】

作出函數的圖象，由題意可得，求得，可得，，求出導數和單調區間，可得極小值，且為最小值，即可得解．【題目詳解】解：作出函數的圖象如下，，且，可得，，即為，可得，，，令，則當時，，遞減；當時，，遞增．則在處取得極小值，也為最小值，故選C．【題目點撥】本題考查分段函數及應用，注意運用轉化思想和數形結合思想，運用導數求單調區間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．11、C【解題分析】

觀察可知，等式右邊的數為正奇數，故在之前，總共使用了個正奇數，因此，，故所有數的個位數之和為83.【題目詳解】觀察可知，等式右邊的數為正奇數，故在之前，總共使用了個正奇數，所以的分解式中第一個數為，最后一個是，因此，所有數的個位數之和為83，故選C?！绢}目點撥】本題主要考查學生的歸納推理能力。12、C【解題分析】

由函數fx=2x,x<0a+log2【題目詳解】∵函數fx∴f（﹣1）＝12∴f[f（﹣1）]=f12解得：a＝0，故選：C．【題目點撥】本題考查的知識點是分段函數的應用，函數求值，難度不大，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

含有不合格品分為兩類：一件不合格和兩件不合格，分別利用組合公式即可得到答案.【題目詳解】質檢員從中隨機抽出2聽共有種可能，而其中含有不合格品共有種可能，于是概率為：.【題目點撥】本題主要考查超幾何分布的相關計算，難度不大.14、【解題分析】分析：直接解不等式組得函數的定義域.詳解：由題得，所以函數的定義域是.故答案為：點睛：（1）本題主要考查函數定義域的求法和對數不等式的解法，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)考慮函數的定義域時，要考慮全面，不能遺漏，本題不要漏掉了15、2【解題分析】

將復數化簡為標準形式,取實部為0得到答案.【題目詳解】【題目點撥】本題考查了復數的計算,屬于簡單題.16、【解題分析】分析：當時，求得；當時，類比寫出，兩式相減整理得，從而確定數列為等比數列，進而求出通項公式.詳解：當時，，得當時，由，得，兩式相減，，得數列是以1為首項為公比的等比數列通項公式故答案為.點睛：本題主要考查已知數列的前項和與關系，求數列的通項公式的方法.其求解過程分為三步：（1）當時，求出；（2）當時，用替換中的得到一個新的關系，利用便可求出當時的表達式；（3）對時的結果進行檢驗，看是否符合時的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分與兩段來寫．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】

（1）求出導函數，利用函數在處有極值，由且,解方程組，即可求得的值；（2）利用定積分的幾何意義，先確定確定函數的積分區間，被積函數，再求出原函數，利用微積分基本定理，結合函數的對稱性即可得結論.【題目詳解】(1)由題意知,且,即,解得.(2)如圖,由1問知.作出曲線的草圖,所求面積為陰影部分的面積.

由得曲線與軸的交點坐標是,和,而是上的奇函數,函數圖象關于原點中心對稱.所以軸右側陰影面積與軸左側陰影面積相等.所以所求圖形的面積為.【題目點撥】本題主要考查利用導數研究函數的極值、定積分的幾何意義以及微積分基本定理的應用，屬于中檔題.已知函數的極值求參數的一般步驟是：（1）列方程求參數；（2）檢驗方程的解的兩邊導函數符號是否相反.18、(1)(2)見解析【解題分析】試題分析：（1），，可歸納猜測；（2）根據數學歸納法證明原理，當時，由顯然結論成立．假設時結論成立，即只需證明當時，即可..試題解析：(1)由，及得，于是猜測:(2)下面用數學歸納法予以證明:當時，由顯然結論成立．假設時結論成立，即那么，當時，由顯然結論成立．由、知，對任何都有19、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）由正弦定理得；（2）由，再由余弦訂立的得.試題解析：（1）由已知結合正弦定理得所以即，亦即因為，所以.（2）由，，得，即，又，得所以，又，∴20、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）由實數定義可知虛部為零，由此構造方程求得結果；（2）由純虛數定義可知實部為零且虛部不為零，由此構造方程求得結果.【題目詳解】（1）令，解得：或當或時，復數是實數（2）令，解得：或又，即：且當時，復數是純虛數【題目點撥】本題考查根據復數的類型求解參數值的問題，關鍵是熟練掌握實數和純虛數的定義；易錯點是在復數為純虛數時，忽略的要求，造成求解錯誤.21、(Ⅰ)拋物線的方程為;(Ⅱ)直線的方程為或.【解題分析】分析：(Ⅰ)由題意可知橢圓的焦點坐標為,則,拋物線的方程為.(Ⅱ)依題意,可設直線的方程為．聯立直線方程與拋物線方程可得,結合韋達定理可得則,解得．直線的方程為或．詳解：(Ⅰ)因為橢圓的焦點坐標為,而拋物線與橢圓有共同的焦點，所以,解得，所以拋物線的方程為.(Ⅱ)依題意,可設直線的方程為．聯立,整理得,由題意,,所以或．則.則,.則又已知,所以,解得．所以直線的方程為或．化簡得直線的方程為或．點睛：(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．22、（1）見解析（2）【解