2024屆安徽省毫州市第二中學數學高二第二學期期末學業質量監測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知中，，，，點是邊的中點，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．42．設集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0},則A∩B＝（）A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）3．設函數（e為自然底數），則使成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．4．在中，，則角為（）A． B． C． D．5．已知甲、乙兩車由同一起點同時出發，并沿同一路線（假定為直線）行駛,甲車、乙車的速度曲線分別為和（如圖所示）,那么對于圖中給定的和，下列判斷中一定正確的是（）A．在時刻，兩車的位置相同B．時刻后，甲車在乙車后面C．在時刻，兩車的位置相同D．在時刻，甲車在乙車前面6．若，則，.設一批白熾燈的壽命（單位：小時）服從均值為1000，方差為400的正態分布，隨機從這批白熾燈中選取一只，則（）A．這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率為0.8186B．這只白熾燈的壽命在600小時到1800小時之間的概率為0.8186C．這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率為0.9545D．這只白熾燈的壽命在600小時到1800小時之間的概率為0.95457．三世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽首創割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法.所謂割圓術，就是不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周率的方法.如圖是劉徽利用正六邊形計算圓周率時所畫的示意圖，現向圓中隨機投擲一個點，則該點落在正六邊形內的概率為（）A． B． C． D．8．為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度9．設集合，．若，則()A． B． C． D．10．函數的單調遞減區間為（）A． B． C． D．11．設函數，若不等式恰有兩個整數解，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．12．正數a、b、c、d滿足，，則（）A． B．C． D．ad與bc的大小關系不定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數列中，，，則________.14．有5條線段，其長度分別為3,4,5,7,9,現從中任取3條，則能構成三角形的概率是_____.15．若，則整數__________．16．在xOy平面上，將雙曲線的一支及其漸近線和直線、圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分，記D繞y軸旋轉一周所得的幾何體為，過作的水平截面，計算截面面積，利用祖暅原理得出體積為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，矩形所在的平面與直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.（1）求證：面；（2）在線段上求一點，使銳二面角的余弦值為.18．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正方形，平面平面，直線與平面所成的角為，.（1）若，分別為，的中點，求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）已知的展開式前三項中的系數成等差數列．（1）求的值和展開式系數的和；（2）求展開式中所有的有理項．20．（12分）已知函數（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數的單調性.21．（12分）已知集合，，若，求實數的取值范圍.22．（10分）設數列的前項和為，且滿足.（1）若為等比數列，求的值及數列的通項公式；（2）在（1）的條件下，設，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用正弦定理求出的值，用基底表示，，則可以得到的值.【題目詳解】解：在中，由正弦定理得，，即，解得，因為，，所以故選B.【題目點撥】本題考查了正弦定理、向量分解、向量數量積等問題，解題的關鍵是要將目標向量轉化為基向量，從而求解問題.2、C【解題分析】

求得集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x<2}，根據集合的交集運算，即可求解．【題目詳解】由題意，集合A={x|x所以A∩B={x|-1≤x<2}=[-1,2)．故選：C．【題目點撥】本題主要考查了集合的交集運算，其中解答中正確求解集合A,B，再根據集合的運算求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．3、A【解題分析】

由可得：，結合充分、必要條件的概念得解.【題目詳解】解得：又“”可以推出“”但“”不能推出“”所以“”是“”充分不必要條件.故選：A.【題目點撥】本題主要考查了等價轉化思想及充分、必要條件的概念，屬于基礎題。4、D【解題分析】

利用余弦定理解出即可．【題目詳解】【題目點撥】本題考查余弦定理的基本應用，屬于基礎題．5、D【解題分析】

根據圖象可知在前，甲車的速度高于乙車的速度；根據路程與速度和時間的關系可得到甲車的路程多于乙車的路程，從而可知甲車在乙車前面.【題目詳解】由圖象可知，在時刻前，甲車的速度高于乙車的速度由路程可知，甲車走的路程多于乙車走的路程在時刻，甲車在乙車前面本題正確選項：【題目點撥】本題考查函數圖象的應用，關鍵是能夠準確選取臨界狀態，屬于基礎題.6、A【解題分析】

先求出，，再求出和，即得這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率.【題目詳解】∵，，∴，，所以，，∴.故選：A【題目點撥】本題主要考查正態分布的圖像和性質，考查指定區間的概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.7、A【解題分析】設圓的半徑為，則圓的面積，正六邊形的面積，所以向圓中隨機投擲一個點，該點落在正六邊形內的概率，故選A.8、D【解題分析】因為把的圖象向右平移個單位長度可得到函數的圖象，所以，為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象，向右平移個單位長度故選D.9、C【解題分析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故選C10、D【解題分析】

先求出函數的定義域，確定內層函數的單調性，再根據復合函數的單調性得出答案．【題目詳解】由題可得，即，所以函數的定義域為，又函數在上單調遞減，根據復合函數的單調性可知函數的單調遞減區間為，故選D．【題目點撥】本題考查對數函數的單調性和應用、復合函數的單調性、二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．11、D【解題分析】

求出函數的定義域、化簡不等式，構造新函數，結合函數的圖象，從而可得的范圍，得到答案．【題目詳解】由題意，函數的定義域為，不等式，即，即，兩邊除以，可得，又由直線恒過定點，若不等式恰有兩個整數解，即函數圖象有2個橫坐標為整數的點落在直線的上方，由圖象可知，這2個點為，可得，即，解得，即實數的取值范圍是，故選D．【題目點撥】本題主要考查了函數的零點的綜合應用，其中解答中把不等式的解，轉化為函數的圖象的關系，合理得出不等式組是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．12、C【解題分析】因為a，b，c，d均為正數，又由a+d=b+c得a2+2ad+d2=b2+2bc+c2所以（a2+d2）﹣（b2+c2）=2bc﹣2ad．①又因為|a﹣d|＜|b﹣c可得a2﹣2ad+d2＜b2﹣2bc+c2，②將①代入②得2bc﹣2ad＜﹣2bc+2ad，即4bc＜4ad，所以ad＞bc故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先根據分組求和得再求極限得結果.【題目詳解】因為，所以因此故答案為：【題目點撥】本題考查分組求和以及數列極限，考查基本分析求解能力，屬中檔題.14、【解題分析】

從5條線段中任取3條共有10種情況,將能構成三角形的情況數列出,即可得概率.【題目詳解】從5條線段中任取3條,共有種情況,其中,能構成三角形的有：3,4,5;3,5,7;3,7,9;4,5,7;4,7,9;5,7,9.共6種情況；即能構成三角形的概率是,故答案為：【題目點撥】本題考查了古典概型的概率公式,注意統計出滿足條件的情況數,再除以總情況數即可,屬于基礎題.15、2【解題分析】

由題得，再解方程即得解.【題目詳解】由題得，所以,所以，所以.故答案為：2【題目點撥】本題主要考查組合數的性質，考查組合方程的解法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、.【解題分析】分析：由已知中過（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，計算截面面積，利用祖暅原理得出Ω的體積．詳解：在xOy平面上，將雙曲線的一支及其漸近線和直線y=0，y=4圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．則直線y=a與漸近線交于一點A（，a）點，與雙曲線的一支交于B（，a）點，記D繞y軸旋轉一周所得的幾何體為Ω．過（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，則截面面積S=，利用祖暅原理得Ω的體積相當于底面面積為9π高為4的圓柱的體積，∴Ω的體積V=9π×4=36π，故答案為36π點睛：本題考查的知識點是類比推理，其中利用祖暅原理將不規則幾何體的體積轉化為底面面積為9π高為4的圓柱的體積，是解答的關鍵．祖暅原理也可以成為中國的積分，將圖形的橫截面的面積在體高上積分，得到幾何體的體積.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）為線段的中點.【解題分析】

（1）利用面面平行的判定定理證明出平面平面，再利用平面與平面平行的性質得出平面；（2）由，，由二面角的定義得出，證明出平面平面，過點在平面內作，可證明出平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，設點的坐標為，利用向量法結合條件銳二面角的余弦值為求出的值，由此確定點的位置.【題目詳解】（1）在矩形中，，又平面，平面，平面，同理可證平面，，、平面，平面平面，平面，平面；（2）在矩形中，，又，則矩形所在平面與直角梯形所在平面所成二面角的平面角為，即.又，平面，作于，平面，，又，、平面，平面.作于，，，，，，，.以為原點，、所在直線分別為軸、軸如圖建立空間直角坐標系，則、，設.則，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，，則平面的一個法向量為..又平面的一個法向量為，，解得或（舍去）.此時，，即所求點為線段的中點.【題目點撥】本題考查直線與平面平行的證明，以及二面角的計算，解題時要注意二面角的定義，本題考查二面角的動點問題，一般要建立空間直角坐標系，將問題轉化為空間向量進行求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.18、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）由平面平面得到平面，從而，根據，得到平面，得到，結合，得到平面；（2）為原點，建立空間坐標系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，得到法向量之間的夾角余弦，從而得到二面角的正弦值.【題目詳解】（1）證明：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，則為直線與平面所成的角，為，∴，而平面，∴又，為的中點，∴，平面，則平面，而平面∴，又，分別為，的中點，則，正方形中，，∴，又平面，，∴直線平面；（2）解：以為坐標原點，分別以，所在直線為，軸，過作的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，取，得；設平面的法向量為，則，即，取，得.∴.∴二面角的正弦值為.【題目點撥】本題考查面面垂直的性質，線面垂直的性質和判定，利用空間向量求二面角的正弦值，屬于中檔題.19、（1）；（2），，.【解題分析】

（1）展開式的通項公式為，則前3項的系數分別為1，，，成等差，即可列式求解．（2）由（1）知，則，對r賦值，即可求出所有的有理項．【題目詳解】（1）根據題意，（）n的展開式的通項為Tr+1＝?nr（）n﹣r（）r，其系數為?nr，則前3項的系數分別為1，，，成等差，∴，解可得：或，又由，則，在中，令可得：．（2）由（1）的結論，，則的展開式的通項為，當時，有，當時，有，當時，有；則展開式中所有的有理項為.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，通項公式，求展開式中某項的系數，熟練掌握展開式的通項公式是解題的關鍵，屬基礎題．20、（1）.（2）時，遞減區間為；當時，在遞減，在遞增.【解題分析】

（1）求導數，利用導數的幾何意義求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）先求出函數的導數，通過討論a的取值范圍求出函數的單調區間．【題目詳解】（1）當時，函數，，∴，，∴曲線在點處的切線方程為（2）.當時，，的單調遞減區間為；當時，在遞減，在遞增【題目點撥】本題考查利用導數研究切線方程、函數的單調性，考查學生分析