2024屆河南省新鄉市新鄉市一中高二數學第二學期期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．函數f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象如圖所示，為了得到g（x）＝Acosωx的圖象，只需把y＝f（x）的圖象上所有的點（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度3．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．4．已知函數f（x）對任意的實數x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，則f（2022）等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．35．若關于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4個不同的實根，則實數a的取值范圍為()A． B． C． D．6．已知的二項展開式中含項的系數為，則()A． B． C． D．7．下列函數中，與函數的奇偶性相同，且在上單調性也相同的是（）A． B． C． D．8．曲線上一點處的切線方程是（）．A． B．C． D．9．函數的圖象是（）A． B．C． D．10．把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號總大于乙所得電影票的編號，則不同的分法共有（）A．90種 B．120種 C．180種 D．240種11．已知，，則等于（）A． B． C． D．112．已知函數在定義域上有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，.已知矩陣，其中，，那么B=________.14．若對一切，復數的模始終不大于2，則實數a的取值范圍是_______；15．如圖，矩形的四個頂點坐標依次為，記線段以及的圖象圍成的區域（圖中陰影部分）為，若向矩形內任意投一點，則點落在區域的概率為__________．16．設，若函數有大于零的極值點，則實數的取值范圍是_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的展開式中，奇數項的二項式系數之和為128，且前三項系數成等差數列.（1）求的值；（2）若，展開式有多少有理項？寫出所有有理項.18．（12分）在二項式的展開式中.（1）若展開式后三項的二項式系數的和等于67，求展開式中二項式系數最大的項；（2）若為滿足的整數，且展開式中有常數項，試求的值和常數項.19．（12分）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）若，且，求的取值范圍.20．（12分）如圖，已知三棱柱，底面，，，為的中點.（I）證明：面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響，隨機記錄了該店1月份中5天的日銷售量（單位：千克）與該地當日最低氣溫（單位：）的數據，如下表：2589111210887（1）求出與的回歸方程；（2）判斷與之間是正相關還是負相關；若該地1月份某天的最低氣溫為6，請用所求回歸方程預測該店當日的營業額；附:回歸方程中,,.22．（10分）某公司訂購了一批樹苗，為了檢測這批樹苗是否合格，從中隨機抽測株樹苗的高度，經數據處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中最高的株樹苗的高度的莖葉圖如圖2所示，以這株樹苗的高度的頻率估計整批樹苗高度的概率.（1）求這批樹苗的高度于米的概率，并求圖中的值；（2）若從這批樹苗中隨機選取株，記為高度在的樹苗數量，求的分布列和數學期望；（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態分布的概率分布，如果這批樹苗的高度近似于正態分布的概率分布，則認為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗是否被簽收？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

首先解一元二次不等式，再根據集合的包含關系判斷充分條件、必要條件；【題目詳解】解：因為，所以或，即因為，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：【題目點撥】本題考查一元二次不等式的解法，充分條件、必要條件的判定，屬于基礎題.2、B【解題分析】

由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，得出結論．【題目詳解】根據函數f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象，可得A＝1，，∴ω＝1．再根據五點法作圖可得1×+φ＝π，求得φ＝，∴函數f（x）＝sin（1x+）．故把y＝f（x）的圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得y＝sin（1x++）＝cos1x＝g（x）的圖象.故選B．【題目點撥】確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法：(1)求A，b，確定函數的最大值M和最小值m，則A＝，b＝；(1)求ω，確定函數的最小正周期T，則可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點求解(此時要注意交點在上升區間上還是在下降區間上)．②特殊點法：確定φ值時，往往以尋找“最值點”為突破口．具體如下：“最大值點”(即圖象的“峰點”)時ωx＋φ＝；“最小值點”(即圖象的“谷點”)時ωx＋φ＝.3、A【解題分析】

直接求交集得到答案.【題目詳解】集合，集合，則.故選：.【題目點撥】本題考查了交集的運算，屬于簡單題.4、B【解題分析】

分析可得，即函數是周期為4的周期函數，據此可得，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據題意，函數對任意的實數均有，即，則有，即函數是周期為4的周期函數，則，故選B．【題目點撥】本題主要考查了函數的周期的判定及其應用，其中解答中根據題設條件，求得函數的周期是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．5、A【解題分析】

根據方程和函數的關系轉化為函數，利用參數分離法，構造函數，求函數的導數，研究函數的單調性和極值，利用數形結合進行求解即可．【題目詳解】當x=0時，0=0，∴0為方程的一個根．當x＞0時，方程|x4﹣x3|=ax等價為a=|x3﹣x2|，令f（x）=x3﹣x2，f′（x）=3x2﹣2x，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0得x＜0或x＞，∴f（x）在(0,)上遞減，在上遞增，又f（1）=0，∴當x=時，函數f（x）取得極小值f（）=﹣，則|f（x）|取得極大值|f（）|=，∴設的圖象如下圖所示，則由題可知當直線y=a與g（x）的圖象有3個交點時0＜a＜，此時方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4個不同的實根，故．故答案為：A【題目點撥】（1）本題主要考查函數與方程的應用，考查利用導數求函數的單調區間，考查函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合分析推理能力.(2)解答本題的關鍵有兩點，其一是分離參數得到a=|x3﹣x2|，其二是利用導數分析函數的單調性得到函數的圖像.6、C【解題分析】分析：先根據二項式定展開式通項公式求m,再求定積分.詳解：因為的二項展開式中，所以,因此選C.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.7、A【解題分析】

先分析的奇偶性以及在的單調性，然后再對每個選項進行分析.【題目詳解】函數為偶函數,且在上為增函數，對于選項,函數為偶函數，在上為増函數，符合要求；對于選項,函數是偶函數，在上為減函數，不符合題意；對于選項,函數為奇函數，不符合題意；對于選項,函數為非奇非偶函數，不符合要求；只有選項符合要求，故選.【題目點撥】奇偶函數的判斷：（滿足定義域關于原點對稱的情況下）若，則是奇函數；若，則是偶函數.8、A【解題分析】

求導利用導數的幾何意義求出曲線上一點處的切線斜率,再用點斜式寫出方程即可.【題目詳解】由題.故.故曲線上一點處的切線方程是.化簡得.故選：A【題目點撥】本題主要考查了根據導數的幾何意義求解函數在某點處的切線方程.屬于基礎題.9、A【解題分析】

根據已知中函數的解析式，利用導數法分析出函數的單調性及極值，比照四個答案函數的圖象，可得答案．【題目詳解】∵，∴，令得；當時，，即函數在內單調遞減，可排除B,D；又時，，排除C，故選A.【題目點撥】本題考查的知識點是函數的圖象，分析出函數的單調性是解答的關鍵，屬于中檔題.10、A【解題分析】

從6張電影票中任選2張給甲、乙兩人，共種方法；再將剩余4張票平均分給丙丁2人，共有種方法；根據分步乘法計數原理即可求得結果.【題目詳解】分兩步：先從6張電影票中任選2張給甲，乙兩人，有種分法；再分配剩余的4張，而每人最多兩張，所以每人各得兩張，有種分法，由分步原理得，共有種分法．故選：A【題目點撥】本題主要考查分步乘法計數原理與組合的綜合問題.11、A【解題分析】

根據和角的范圍可求出=—，再根據兩角和與差的正弦求出的值，進而求出，代入求出結果即可.【題目詳解】因為，，=—，所以==，所以，所以=.故選A.【題目點撥】本題考查三角函數給值求角，兩角和與差的正弦，誘導公式的應用，特殊角的三角函數值，屬于基礎題.12、D【解題分析】

根據等價轉化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數根，然后利用根的分布情況，進行計算，可得結果.【題目詳解】，令，方程有兩個不等正根，，則：故選：D【題目點撥】本題考查根據函數極值點求參數，還考查二次函數根的分布問題，難點在于使用等價轉化的思想，化繁為簡，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據條件列方程組，解得結果.【題目詳解】由定義得，所以故答案為：【題目點撥】本題考查矩陣運算，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、【解題分析】

由模的定義求出模，列出不等式，用幾何意義解釋此不等式，問題為點到的距離不大于2，而點以原點為圓心的單位圓上，因此只要到圓心距離不大于1即可．【題目詳解】由題意，設，，則，而在圓上，∴，即，解得．故答案為：【題目點撥】本題考查復數的模的定義，考查平面上兩點間的距離公式．解題關鍵是利用的幾何意義，把它轉化為兩點間的距離，而其中一點又是單位圓上的動點，由點到圓上點的距離最大值為此點到圓心距離加半徑，從而問題可轉化為點到圓心的距離不大于1，這樣問題易求解．15、【解題分析】因空白處的面積，故陰影部分的面積為，故由幾何概型的計算公式可得所求概率，應填答案．16、【解題分析】

先求導數，求解導數為零的根，結合根的分布求解.【題目詳解】因為，所以，令得，因為函數有大于0的極值點，所以，即.【題目點撥】本題主要考查利用導數研究函數的極值點問題，極值點為導數的變號零點，側重考查轉化化歸思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2或14；（2），，.【解題分析】

先由二項式系數的性質求，再根據二項式展開式的通項公式和等差中項公式求；（2）根據二項式展開式的通項公式，令的指數為整數次求解.【題目詳解】因為奇數項的二項式系數之和為128，所以，解得，所以二項式為第一項：，系數為1，第二項：，系數為，第三項：，系數為，由前三項系數成等差數列得：，解得或.（2）若，由（1）得二項式為，通項為：，其中所以，令即，此時；令即，不符題意；令即，不符題意；令即，此時；令即，不符題意；令即，不符題意；令即，此時綜上，有3項有理項，分別是：，，.【題目點撥】本題考查二項式定理的系數性質和展開式的通項公式，等差中項公式.注意是第項.18、（1）展開式中二項式系數最大的項為第6和第7項，，（2），常數項為【解題分析】

（1）根據條件求出的值，然后判斷第幾項二項式系數最大，并求之；（2）常數項其實說明的指數為，根據這一特點，利用項數與第幾項的關系求解出的值.【題目詳解】解：（1）由已知整理得，顯然則展開式中二項式系數最大的項為第6和第7項（2）設第項為常數項，為整數，則有，所以，或當時，；時，（不合題意舍去），所以常數項為【題目點撥】對于形如的展開式，展開后一共有項，若為奇數，則二項式系數最大的項有項，分別為項，為若為偶數，則二項式系數最大的項有項，即為項（也可借助楊輝三角的圖分析）.19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）求導得到，討論，，三種情況，分別計算得到答案.（2）根據函數單調性得到，解得答案.【題目詳解】(1)，令或，當時，，則在上單調遞增；當時，，在單調遞減，在單調遞增；當時，，在,單調遞減，在單調遞增.（2），故，當時，；當時.所以，因為，所以，所以.【題目點撥】本題考查了函數單調性，存在性問題，轉化為函數的最值問題是解題的關鍵.20、（I）證明見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）連接，交于，則為的中點，由中位線的性質得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明平面；（Ⅱ）以，，為，，軸建立空間直角坐標系，并設，計算出平面的一個法向量，記直線平面所成角為，于是得出可得出直線與平面所成角的正弦值?！绢}目詳解】（Ⅰ）證明：連接，交于，所以為的中點，又因為為的中點，所以，因為在面內，不在面內，所以面；（Ⅱ）以，，為，，軸建立空間直角坐標系（不妨設）.所以，，，，設面的法向量為，則，解得.因為，記直線平面所成角為.所以.【題目點撥】本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的計算，常見的有定義法和空間向量法，可根據題中的條件來選擇，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中等題。21、(1)，(2)9.56【解題分析】試題分析：（1）根據公式求出線性回歸直線方程的系數，可得方程；（2）由回歸方程中的系數的正負確定正相關還