仿射變換1.透視仿射對應

定義對于空間中兩平面

,

',給定一個與兩平面不平行的投射方向,則確定了

到

'的一個透視仿射對應().

P在

'上的像即為過P且平行于投射方向的直線與

'的交點P'.

注1.

透視仿射對應的基本性質

(1)使共線點變為共線點的雙射,且對應點連線相互平行；

(2)平行直線變為平行直線；

(3)保持共線三點的簡單比,從而保持兩平行線段的比值不變.

注2.

,

'的交線稱為透視仿射的軸.若

//

'則沒有軸.仿射變換仿射變換原理解析2.仿射變換

定義對于空間中一組平面

,

1,

2,…,

n,

',設以下對應均為透視仿射對應：則稱這n個透視仿射的積

為

到

'的一個仿射對應.若

'

,則稱

為平面

上的一個仿射變換.

注.仿射變換的基本性質

(1)使共線點變為共線點的雙射；

(2)平行直線變為平行直線；

(3)保持共線三點的簡單比,從而保持兩平行線段的比值不變.仿射變換仿射變換原理解析

定義

設

為平面

上的一個點變換,滿足

(1)

為一個使共線點變為共線點的雙射；

(2)

使得共線三點的簡單比等于其對應共線三點的簡單比；

(3)

使得相互平行的直線變為相互平行的直線,則稱

為

上的一個仿射變換.

定理

仿射變換是雙射.設A表示平面上全體仿射變換的集合.則有

(1)

,

A,有

A.(2)恒同變換i

A.(3)

S,存在

1

A,滿足

1

1

i.上述性質使得A對于變換的乘法構成一個群,叫做仿射變換群.而且M

S

A.仿射變換仿射變換原理解析3.仿射坐標系

定義設在平面上取定一點O和以O為起點的兩個線性無關向量ex,ey,則由此構成平面上一個仿射坐標系(或仿射坐標架),記作O-exey.平面上任一點P的仿射坐標(x,y)由下式唯一確定,反之,對任意給定的有序實數偶(x,y),由(1.12)式可唯一確定仿射平面上的一個點具有坐標(x,y).建立了仿射坐標系的平面稱為仿射平面,ex,ey稱為基向量.

注

若ex,ey為單位正交向量,則O-exey成為笛卡兒直角坐標系.仿射變換仿射變換原理解析

定理設在平面

上取定了一個仿射坐標系O-exey,點變換

為

上的一個仿射變換

有表達式其中(x,y)與(x',y')為任一對對應點P,P'的坐標,矩陣滿足|A|

0,稱為仿射變換

的矩陣.

平面仿射幾何就是研究在仿射變換群A的作用下保持不變的幾何性質與幾何量.由定義,這些不變的性質和數量必定只與平行性、共線三點的簡單比有關.

定理

平面

上的仿射變換

將一個仿射坐標系O-exey變為另一個仿射坐標系O'-e'xe'y.仿射變換仿射變換原理解析一、正交變換

定義

保持平面上任意兩點間的距離不變的點變換稱為平面上的一個正交變換.

定理正交變換是雙射.設M表示平面上全體正交變換的集合.則有

(1)

,

M,有

M.(2)恒同變換i

M.(3)

M,存在

1

M,滿足

1=

1

=i.

注：設

為平面上的一個正交變換,A,B為平面上兩個點,且

(A)=A',

(B)=B'

,則|AB|=|A'B'|.上述性質使得M對于變換的乘法構成一個群,叫做正交變換群.幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析

定理正交變換使平面上共線三點變成共線三點;不共線三點變成不共線三點,而且保持兩直線的夾角不變.

證明設A,B,C為平面上三點,

為正交變換,且上述三點在

下的像依次為A',B',C'.

若A,B,C共線且B在A,C之間,則有|AB|+|BC|=|AC|.由正交變換的定義有即A',B',C'仍然為共線三點且B'在A',C'之間.

若A,B,C不共線,則必有即A',B',C'仍然為不共線三點.幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析

定理正交變換使平面上共線三點變成共線三點;不共線三點變成不共線三點,而且保持兩直線的夾角不變.

證明設A,B,C為平面上三點,

為正交變換,且上述三點在

下的像依次為A',B',C'.

設A,C分別在

B兩邊上且異于B,則A',B'分別在

B'的兩邊上.且|AB|=|A'B'|,|BC|=|B'C'|,|AC|=|A'C'|.即

ABC

A'B'C',于是,

B=

B',即正交變換保持兩直線的夾角不變.

推論

(1)正交變換使得一個三角形變為與其全等的三角形.進而,正交變換使得任何封閉圖形變為與其全等的封閉圖形,使得任何平面圖形變為可以與其疊合(合同)的圖形.(2)正交變換使得平行直線變為平行直線,矩形變為與之全等的矩形.幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析

推論正交變換使平面上的直角坐標系變為直角坐標系.

正交變換

將平面上的一個直角坐標系O-exey變為另一個直角坐標系O'-e'xe'y,有下述可能右手系→右手系右手系→左手系幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析

定理對于平面上的一個取定的直角坐標系,點變換

是正交變換

具有表達式

其中(x,y)與(x',y')為

的任一對對應點P,P'的坐標,矩陣

注：對于正交變換

的矩陣A,顯然有A

1=AT,且|A|=

1.

當|A|=1時,

將右手系變為右手系,稱

為第一類正交變換；當|A|=

1時,

將右手系變為左手系,稱

為第二類正交變換.稱為

的矩陣,滿足AAT=ATA=E,為二階正交矩陣.幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析(1).平移變換

定義

將平面上的每個點都向著同一個方向移動相同的距離的變換稱為平面上的一個平移變換,簡稱平移.

定理設在平面上取定了一個笛氏直角坐標系O-exey,并給定一個向量c(c1,c2).則由此可惟一確定平面上的一個平移

,其直角坐標表示為其中(x,y)與(x',y')為平面上任一點P與其在

下的像點P'的坐標.

注：顯然,平移是正交變換.正交變換特例幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析

定義

將平面上的每個點都繞著同一個點旋轉相同的角度的變換稱為平面上的一個旋轉變換,簡稱旋轉.(2).旋轉變換

定理

設旋轉

使得平面上的每個點都繞著坐標原點O旋轉角度

,則

的直角坐標表示為

證明設|OP|=|OP'|=r,OP與x軸正向夾角為

.則利用三角恒等式展開,可得幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析

注：顯然,旋轉變換是正交變換.

定理平面上的一個平移與一個旋轉的乘積是一個第一類正交變換.進而,平面上有限多個平移與旋轉的乘積是一個第一類正交變換.第一類正交變換稱為平面上的剛體運動.幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析(3).軸反射變換

怎樣的變換可以使得

ABC

重合于

A'B'C'?僅平移和旋轉是不可能的.幾種特殊的仿射變換

定義

設l為平面上取定的一條直線.將平面上的每個點都變為關于l的對稱點的變換稱為平面上的一個軸反射變換,簡稱軸反射,直線l稱為反射軸.仿射變換原理解析關于y軸的軸反射變換為

注1.顯然,軸反射是一個第二類正交變換.

注2.

應用(1.5)于上述平面,即可將

ABC變為

A'B'C'.

定理關于x軸的軸反射變換為幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析

定理平面上的一個軸反射與一個第一類正交變換的乘積是一個第二類正交變換.

從而,平面上一個點變換

是正交變換

可表示為有限次平移、旋轉與軸反射的乘積.

歸納：以幾何變換的觀點看待歐氏幾何.歐氏幾何就是研究在正交變換群M的作用下保持不變的幾何量和幾何性質,即所有與距離有關的幾何量和幾何性質.幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析

注.位似變換的基本性質

(1)對應點連線經過定點(位似中心);(2)保持共線三點的簡單比不變;(3)使得直線(不過O)變為其平行直線;(4)使得任意一對對應線段的比值等于位似比k.幾種特殊的仿射變換

定義設O為

上取定的一點,

為

上的一個點變換.滿足

(1)

(O)

O,(2)對于O

P

,

(P)

P',則P'在OP上,且(P'PO)=k(k

0),則

稱為

上的一個以O為位似中心,k為位似比的位似變換.二、相似變換1.位似變換仿射變換原理解析

定理設在平面

上取定了一個笛氏直角坐標系O-exey,k

0為任意實常數.則

上的一個點變換

是以O為位似中心,k為位似比的位似變換

可表示為其中(x,y)與(x',y')為平面

上任一點P與其在

下的像點P'的坐標.一個一般的位似變換是一個以原點為中心的位似與一個平移的積,若k

1則為平移,故平移是特殊的位似.

若位似中心的坐標為C(c1,c2),則(1.8)可化為幾種特殊的仿射變換仿射變換原理解析2.相似變換

定義設

為

上的一個點變換,P,Q為

上任意相異二點,

(P)P',

(Q)Q'.滿足則稱

為

上的一個以k為相似比的相似變換.

注.相似變換的基本性質

(1)保持共線三點的簡單比不變.(2)使得任意圖形變成其相似圖形;使平行直線變為平行直線.(3)保持任意兩條線段的比值不變.從而保持兩直線夾角不變.(4)正交變換、位似變換都是其特例.