離散型隨機變量1.隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示（隨著試驗結果變化而變化的變量），那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母X，Y，ξ、η等表示2.離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量3．連續(xù)型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結果不可以一一列出注：若是隨機變量，SKIPIF1<0是常數(shù)，則也是隨機變量并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）例題：1.拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為ξ，試問：“ξ>4”表示的試驗結果是什么？2.1.①某尋呼臺一小時內(nèi)收到的尋呼次數(shù)SKIPIF1<0；②長江上某水文站觀察到一天中的水位SKIPIF1<0；③某超市一天中的顧客量SKIPIF1<0其中的SKIPIF1<0是連續(xù)型隨機變量的是（）A．①；B、②；C．③；D．①②③隨機變量SKIPIF1<0的所有等可能取值為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0；B．SKIPIF1<0；C、SKIPIF1<0；D．不能確定.如果SKIPIF1<0是一個離散型隨機變量，則假命題是()A.SKIPIF1<0取每一個可能值的概率都是非負數(shù)；B.SKIPIF1<0取所有可能值的概率之和為1；C.SKIPIF1<0取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和；D、SKIPIF1<0在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和離散型隨機變量的分布列ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…1.分布列:設離散型隨機變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為SKIPIF1<0，則稱表為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列2.分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足:SKIPIF1<0，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．對于離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和即SKIPIF1<0ξ01PSKIPIF1<0SKIPIF1<03.兩點分布列:像上面這樣的分布列稱為兩點分布列．如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布而稱SKIPIF1<0=P(X=1）為成功概率．兩點分布又稱0一1分布．由于只有兩個可能結果的隨機試驗叫伯努利（Bernoulli)試驗，所以還稱這種分布為伯努利分布．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．X01…SKIPIF1<0PSKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<04.超幾何分布列：一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件{X=k｝發(fā)生的概率為SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布).注：1.超幾何分布的兩個特點：(1)超幾何分布是不放回抽樣問題．(2)隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．2.超幾何分布的應用：超幾何分布是一個重要分布，其理論基礎是古典概型，主要應用于抽查產(chǎn)品，摸不同類別的小球等概率模型．例題：1.在某年級的聯(lián)歡會上設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同．一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎．求中獎的概率．P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4）十P(X=5)

注超幾何分布的上述模型中，“任取件”應理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取件”.如果是有放回地抽取，就變成了重貝努利試驗，這時概率分布就是二項分布.所以兩個分布的區(qū)別就在于是不放回地抽樣，還是有放回地抽樣.ξ10－1PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02．一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍，黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機取出一個球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得－1分，試寫出從該盒中取出一球所得分數(shù)ξ的分布列．3.某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率．0.88X－101Peq\f(1,2)1－2qq24.設X是一個離散型隨機變量，其分布列為：則q等于()1－eq\f(\r(2),2) 5.從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，則取得次品數(shù)為1的概率是()A.eq\f(32,35)B、eq\f(12,35)C.eq\f(3,35)D.eq\f(2,35)ξ－128Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)6.某電視臺的一個智力游戲節(jié)目中，有一道將中國四大名著《三國演義》、《水滸傳》、《西游記》、《紅樓夢》與它們的作者連線的題目，每本名著只能與一名作者連線，每名作者也只能與一本名著連線，每連對一個得2分，連錯得－1分，某觀眾只知道《三國演義》的作者是羅貫中，其他不知道隨意連線，將他的得分記作ξ.(1)求該觀眾得分ξ為負數(shù)的概率；1/3(2)求ξ的分布列．7.隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))的值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D、eq\f(5,6)ξ－101Pabc8．在15個村莊中有7個村莊交通不便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用ξ表示這10個村莊中交通不便的村莊數(shù)，下列概率中等于eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是()A．P(ξ＝2)B．P(ξ≤2)C、P(ξ＝4)D．P(ξ≤4)X01234P0.20.10.10.3m9.隨機變量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________．2/3－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3)10.設離散型隨機變量X的分布列如圖求：①2X＋1的分布列；②|X－1|的分布列．11.已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和．求X的分布列；條件概率定義：設A和B為兩個事件，P(A)>0，那么，在“A已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的條件概率.SKIPIF1<0讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．SKIPIF1<0.由這個定義可知，對任意兩個事件A、B，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.例題：1、拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P（A），P（B），P（AB），P（A︱B）。有一批種子發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中隨機取一粒，則這粒種子能長成幼苗的概率.已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率()A.eq\f(3,10)B、eq\f(1,3)C.eq\f(3,8)D.eq\f(2,9)4.某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的條件下，他在周六晚上值班的概率為________．1/6相互獨立事件：設A,B為兩個事件，如果P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立，即注：1.若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是相互獨立事件，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0也相互獨立2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率：SKIPIF1<03.互斥事件:不可能同時發(fā)生的兩個事件．SKIPIF1<0一般地：如果事件SKIPIF1<0中的任何兩個都是互斥的，那么就說事件SKIPIF1<0彼此互斥4.對立事件:必然有一個發(fā)生的互斥事件．SKIPIF1<05.互斥事件的概率的求法:如果事件SKIPIF1<0彼此互斥，那么SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0例題：1.甲、乙獨立地解決同一數(shù)學問題，甲解決這個問題的概率是0.8，乙解決這個問題的概率是0.6，那么其中至少有1人解決這個問題的概率是()A．0.48B．0.52C．0.8D、0.922.甲、乙兩隊進行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊每局獲勝的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,3)D、eq\f(3,4)3.兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為2/3和3/4，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為5/12.3/53/704.三個人獨立地破譯一個密碼，他們能單獨譯出的概率分別是1/5，1/3，1/4，假設他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被譯出的概率為5.加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分別為1/70、1/69、1/68，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為________．6.紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A，B，C進行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設各盤比賽結果相互獨立．(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；0.55用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ)．0.1獨立重復實驗與二項分布1．所謂獨立重復試驗，是在相同的條件下重復地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗，也叫貝努里試驗．特點：每一次試驗的結果只有兩種(某事要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的．2．一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X，如果在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．例題：1.種植某種樹苗，成活率為0.9，若種植這種樹苗5棵，則恰好成活4棵的概率是0.332.在4次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率是65/81，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是1/33.任意拋擲三枚均勻硬幣，恰有2枚正面朝上的概率為3/84.甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，甲隊與乙隊實力之比為3∶2，比賽時均能正常發(fā)揮技術水平，則在5局3勝制中，甲打完4局才勝的概率為ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲．(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；8/27(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；1/9.(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望E(ξ)．6.已知隨機變量X服從二項分布，X～B(6，eq\f(1,3))，則P(X＝2)等于()eq\f(80,243)離散型隨機變量的均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，反映了離散型隨機變量取值的平均水平．2.方差稱D(X)＝為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標準差．2．離散型隨機變量的性質(zhì)：如果X為(離散型)隨機變量，則Y＝aX＋b(其中a，b為常數(shù))也是(離散型)隨機變量，且P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．D(aX＋b)＝a2D(X)3.若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p(p為成功概率)D(X)＝p(1－p)．X4a910P0.30.1b0.2若隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np．D(X)＝np(1－p)例題1.已知X的分布列為：E(X)＝7.5，則a等于72.節(jié)日期間，某種鮮花進價是每束2.5元，售價是每束5元；X200300400500P0.200.350.300.15節(jié)后賣不出的鮮花以每束1.6元處理．根據(jù)前五年銷售情況預測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量X(束)的分布列如下表．若進這種鮮X123P0.20.40.4花500束，則期望利潤是()7063.已知隨機變量X的分布列為則E(6X＋8)＝()21.23.4.現(xiàn)有10張獎券，8張2元的，2張5元的，某人從中隨機地、無放回地抽取3張，則此人得獎金額的數(shù)學期望是7.85.體育課排球發(fā)球考試規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設學生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學期望E(X)>1.75，則p的取值范圍是()(0，eq\f(1,2))6.有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則D(X)＝________.9/167.若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為3·2－108.某班50名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．從樣本成績不低于80分的學生中隨機選取2人，這2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學期望為1/2正態(tài)分布：X～N(μ，σ2)1.正態(tài)曲線的性質(zhì)：(1)曲線位于x軸，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關于直線對稱；(3)曲線在處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為；(5)當σ一定時，曲線隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．2.正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.99743..μ，σ在正態(tài)分布中的實際意義是什么？μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標準差．例題：1.設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，則P(－1<ξ<0)＝eq\f(1,2)－p.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)＝0.33.若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，則P(|ξ|<1.96)＝0.950已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝0.954如果隨機變量X～N(2,22)，若P(X<a)＝0.2，則P(X<4－a)＝0.86.在某次數(shù)學測試中，學生成績ξ服從正態(tài)分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)內(nèi)的概率為0.8，則ξ在(0,80)內(nèi)的概率為0.17已知隨機變量x服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，則P(5<x<6)＝0.13598.為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖所示．若體重大于58.5kg小于等于62.5kg屬于正常情況，則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是（）A.997B.954C.819D.6839.某學校1000名高三年級的學生在2013～2014學年第一學期期末考試中的數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布N(120,225)，則成績在135分以上的大約有________人．15910.假設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為P0.(1)求P0的值；(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.)0.9772A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.51、（2016年北京高考）A、B、C三個班共有100名學生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）；1）試估計C班的學生人數(shù)；402）從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設所有學生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；3/83）再從A、B、C三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，試判斷和的大小，（結論不要求證明）三組平均數(shù)分別為總均值但中多加的三個數(shù)據(jù)平均值為，比小，故拉低了平均值0123462、（2016年山東高考）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：(Ⅰ)“星隊”至少猜對3個成語的概率；2/3(Ⅱ)“星隊”兩輪得分之和的分布列和數(shù)學期望．．3、（2016年四川高考）我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；0.3（=2\*ROMANII）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；3.6（=3\*ROMANIII）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由.（III）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占百分比為：即的居民月均用水量小于2.5噸