專題14三角函數中參數的求解策略13種常見考法歸類考點一利用三角函數的值域求參數考點二利用三角函數的周期性求參數考點三利用三角函數的單調性求參數考點四利用三角函數的最值求參數考點五利用三角函數的單調+最值求參數考點六利用三角函數的奇偶性求參數考點七利用三角函數的對稱性求參數考點八利用三角函數的對稱+周期求參數考點九利用三角函數的對稱+單調求參數考點十利用三角函數的對稱+最值求參數考點十一利用三角函數的圖象求參數考點十二利用三角函數的零點求參數考點十三利用三角函數的多種性質求參數各級各類模擬試題中經常出現一類求函數的參數的取值范圍問題，主要考查三角函數知識的應用，以及考查學生邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養.此類問題對許多學生是一難點，學生往往無從入手，或者因不明算理而陷入繁瑣的運算當中，花費大量時間卻不得正解．本專題通過歸類解析的形式說明這類問題的解法，以期幫助學生理解、掌握其內在規律、特點.一.基礎知識1.正弦函數y=sin?(1)定義域:R.(2)值域:sin?(3)周期性：周期函數，周期是2kπ,(k∈Z(4)奇偶性:奇函數,其圖象關于原點對稱.(5)單調性:增區間:?減區間:π對稱性:對稱軸:x=π2.正弦型函數y=(1)定義域:R.(2)值域:[?(3)周期性：周期函數，周期是T=(4)奇偶性:當φ=kπ,(5)單調性:當ω>0時:令?令π2當ω<0(6)對稱性:對稱軸:令ωx+對稱中心:令ωx+余弦型類似推導,此處不再贅述.可以看到,處理復合型函數性質的妙招就在于換元,令t=3.一些復雜的性質(1)零點與對稱軸之間的距離等于四分之一個周期的奇數倍;(2)對稱軸方程就是一條對稱軸加半個周期的整數倍;(3)若f(x)在區間[a,綜上可得b(4)對稱軸公式:①f(5)中心對稱公式①f(6)最值表示:?二.解題策略1、與三角函數單調性有關的參數問題含參數的正弦型函數，若已知其在某區間上的單調性，求參數的取值范圍時，一般先求出單調區間的一般形式，再根據包含關系可求參數的取值范圍.注：一般來說,若已知函數f(x)=sin?(ωx+φ)2、與三角函數的最值有關的參數問題不等式恒成立問題常見方法：①分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數形結合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立.3、與對稱性有關的參數問題一般來說,若函數f(x)=sin?(ωx+φ)在某個區間上單調,并且給出了對稱軸方程,則可先利用“該區間長度小于或等于半周期長度”大致確定ω4、與三角函數的零點有關的參數問題已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解注：一般來說,已知函數f(x)=sin?(ωx+φ)三、錯解剖析（1）錯看函數零點例1：若f(x)=sin?ωx+π5(錯解:當x∈[0,2π]時,πx+π5∈π5錯解剖析:畫圖不完整,考慮不周全.如圖可得,求解中只從字面上考慮了動區間2πω+π5的下界5π,要想有且只有5個零點,還需考慮上界6（2）忽略單調檢驗例2：已知函數f(x)=sin?(ωx+φ)ω>0,|φ|?π2,x=?π4為f(x)錯解:依題意,當x=?π4為f(x)的零點,x=π4為y=f(x)圖象的對稱軸,則2n+14?T=π錯解剖析:忘記檢驗條件,忽略單調性.事實上,當ω=11時,?11π4+φ=kπ,k∈Z,由|φ|?π2,則φ=?π4,此時11x?π（3）誤求對稱中心(軸)例3：若函數f(x)=sin?(ωx+φ錯解:由f(0)+fπ2=0得,f(x)圖象關于點π4,0對稱,又f(x)錯解剖析:想當然,考慮欠佳,事實上，由f(0)+fπ2=0示,點π4,0就不是正確解答:由f(x)圖象關于點π12,0對稱,則π12ω+φ=kπ,k∈Z,(1)由f(0)+fπ2（4）曲解函數最值例4：已知函數f(x)=cos?(ωx+φ)(ω>0)是奇函數,且存在正數α使得函數f(x錯解:依題意f(x)可化簡為f(x)=sin?ωx,當x∈?π3錯解剖析:概念混淆,想當然.解答中將函數取得最小值直接默認為就是1,導致錯誤.事實上,當?πω3>?π2時,即0<考點一利用三角函數的值域求參數1．（2024上·全國·高一期末）已知函數的值域是，則實數的值等于（

）A．2 B．2 C． D．【答案】C【分析】分類討論，根據正弦函數的值域列式可得結果.【詳解】當時，由，得，因為的值域為，所以，解得，當時，顯然不符合題意；當，由，得，因為的值域為，所以，解得，故選：C2．（2023下·上海閔行·高一閔行中學校考期末）已知函數在區間上的值域為，且，則的值為．【答案】/【分析】根據函數值域滿足，結合正弦函數的圖象可知時滿足題意，得解.【詳解】，令，,,，作出函數的圖象，如圖，由圖可知，以為中心，當變大時，若，函數最大值，最小值，不滿足，若時，函數最大值，所以只需要確定函數最小值，因為，需函數最小值為，所以當時，即時，函數值域為，滿足，當時，函數最小值，此時不滿足，綜上.故答案為：.3．（2024上·全國·高一期末）若函數的值域為，則（

）A． B．4 C． D．3【答案】B【分析】根據正弦函數的值域求解的值域，再與已知值域端點值對應相等，求解結果.【詳解】因為，所以，.由題意得所以故.故選：B.4．（2022上·福建龍巖·高一上杭一中校考期末）已知函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據正弦函數的圖象特征和性質，結合定義域和值域，即可求解.【詳解】，因為，所以，因為，所以.正弦函數在一個周期內，要滿足上式，則，所以，所以的取值范圍是.故選：D5．（2022上·湖北武漢·高一華中師大一附中校考期末）已知函數（其中，）的最小正周期為，當時，取到最大值.(1)求函數的單調遞增區間；(2)當時，若函數在區間上的值域為，求實數，的值.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據已知條件，結合三角函數的周期公式，求出，再結合當時，取到最大值，推出的解析式，再結合三角函數的單調性即可得出答案；（2）結合（1）的結論，的取值范圍，得出的范圍，即可得出的值域，根據已知條件列出方程組求解即可得出答案.【詳解】（1）函數（其中，）的最小正周期為，，則，又當時，取到最大值，，，解得，，，，則，令，，解得，，故函數的單調遞增區間為，；（2），，，，函數在區間上的值域為，，解得，.考點二利用三角函數的周期性求參數6．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統考期末）函數（，）的最小正周期為4，且，則.【答案】0【分析】由輔助角公式化簡函數式，根據題意求出的解析式，求出，，，，結合周期性，即可求出的值.【詳解】，因為最小正周期為4，所以，，所以，又因為，所以，故，因為，所以，所以，所以，，，，所以，且，由于的周期為4，所以.故答案為：07．（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）已知函數的最小正周期為，為了得到函數的圖像，只要將的圖像（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】A【分析】根據最小正周期為可得，進而得到，再根據誘導公式結合三角函數圖象平移的性質分析即可.【詳解】因為函數的最小正周期為，所有，即，因為，所以只需將函數圖象左平移個單位長度即可得到函數圖象.故選：.8．（2023下·湖南邵陽·高二統考期末）已知函數的最小正周期為，則函數在區間上的最小值為.【答案】/.【分析】根據周期求出，再利用正弦函數的圖象可得結果.【詳解】依題意可得，得，所以.令，則，因為，所以，所以當時，取得最小值為.所以在區間上的最小值為.故答案為：.9．（2023下·四川成都·高一石室中學校考期末）記函數的最小正周期為，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知函數的圖象關于直線對稱，可得出，再利用函數的最小正周期求出的取值范圍，即可得出的值.【詳解】對任意的，，則為函數的最大值或最小值，故函數的圖象關于直線對稱，故，解得，又因為且函數的最小正周期滿足，即，解得，故.故選：D.10．（2023下·內蒙古阿拉善盟·高一統考期末）已知函數的最小正周期為，將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），所得函數圖象的一條對稱軸方程是，則的值為．【答案】0【分析】根據函數的最小正周期求出，求出圖象平移、伸縮變化后的解析式，再由對稱軸方程可得答案.【詳解】因為函數的最小正周期為，所以，，將函數的圖象向左平移個單位長度，可得，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），可得，因為所得函數圖象的一條對稱軸方程是，所以，可得，因為，所以.故答案為：0.11．【多選】（2023下·云南楚雄·高二統考期末）已知函數的最小正周期為，則（

）A．B．C．直線是圖象的一條對稱軸D．在上的值域為【答案】AC【分析】利用三角恒等變換整理得，結合三角函數性質逐項分析判斷.【詳解】因為，則的最小正周期為，且，解得，故A正確，B錯誤；可得，因為為最大值，所以直線是圖象的一條對稱軸，故C正確；當時，則，可得，所以在上的值域為，故D錯誤；故選：AC．12．【多選】（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）已知函數的圖象的兩條對稱軸間的最小距離為，則下列說法中正確的是（

）A．B．C．D．在上單調遞增【答案】AC【分析】確定函數的最小正周期，即可求得，判斷A；確定函數解析式，計算的值，可判斷B，C；由x的范圍，確定，根據正弦函數的單調性可判斷D.【詳解】由題意可知的最小正周期為,故，A正確；由A可知，則，，故不恒成立，成立，B錯誤，C正確；對于D，當時，，由于在上單調遞減，故在上單調遞減，D錯誤，故選：AC13．（2024上·天津南開·高三統考期末）設函數.若，且的最小正周期大于，則（

）A．. B．C． D．【答案】C【分析】由題意求得，再由周期公式求得，再由可得，結合，求得值，即可得解．【詳解】由的最小正周期大于，可得，因為，可得，則，且，所以，即，由，即，可得，，則，，且，可得，，所以，.故選：C．考點三利用三角函數的單調性求參數14．（2023下·江西宜春·高一江西省豐城中學校考期末）函數在單調遞減，求.【答案】【分析】根據題意，由正弦型函數的單調區間列出不等式，即可得到結果.【詳解】因為函數在單調遞減，所以，當時，，則有，又，解得，故答案為：15．（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）設，若在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據正弦函數的單調性，求出函數的單增區間，列不等式組，整理即可得解.【詳解】由正弦函數的單調性可得，所以，，因為在區間上單調遞增，所以，，解得，,因為，所以，解得，當時，解得.故選：D【點睛】本題考查了利用三角函數單調性求參數的取值范圍，考查了恒成立思想，要求較高的計算能力，屬于難題.16．（2023下·北京豐臺·高一統考期末）若函數在區間上單調遞增，則常數的一個取值為.【答案】（答案不唯一）【分析】當時，化簡得到，滿足在區間上單調遞增，即可得到答案.【詳解】由函數的圖象與性質，可得函數在區間上單調遞增，當時，可得，此時函數滿足在區間上單調遞增，當時，，所以常數的一個取值可以為.故答案為：（答案不唯一）.17．（2023上·全國·高一期末）已知函數在上單調遞增，則的最大值為．【答案】【分析】求出函數的單調遞增區間，再借助集合的包含關系，列式計算即得.【詳解】函數中，由，得，即函數的單調遞增區間為，依題意，，則，解得，由，得，即，而，因此，所以的最大值為.故答案為：18．（2023上·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學校考期末）已知函數其中．若在區間上單調遞增，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦函數的單調性求出單調遞增區間，然后分類討論可得.【詳解】由解得，所以函數的單調遞增區間為，因為在區間上單調遞增，所以，所以.當時，由在區間上單調遞增可知，得；當時，由解得；當時，無實數解.易知，當或時不滿足題意.綜上，ω的取值范圍為.故選：D19．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高三統考期末）若函數在上單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得到，然后根據在單調求解.【詳解】解：因為，所以，因為在單調，所以，∴，故選：D.20．（2023下·陜西西安·高二長安一中校考期末）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若在區間上單調遞增，則滿足條件的實數的取值范圍是.【答案】【分析】先求出，再由正弦型函數的單調性即可求解.【詳解】，將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，因為，所以，因為函數在區間上是單調遞增，所以，解得：，又因為，所以實數的取值范圍是.故答案為：21．【多選】（2023上·全國·高一期末）已知函數，則（

）A．若，則B．若函數為偶函數，則C．若在上單調，則D．若時，且在上單調，則【答案】BD【分析】將代入求出函數值，根據的范圍即可判斷選項A；根據偶函數的性質即可判斷選項B；根據在上單調，則即可判斷選項C；根據整體思想以及正弦函數的性質即可判斷選項D.【詳解】對于選項A，若，則，即，∵，∴，則A錯誤；對于選項B，若函數為偶函數，則或，即，則B正確；對于選項C：若在上單調，則，但不一定小于，則C錯誤；對于選項D：若，則，當時，，∵在上單調，∴，解得，則D正確．故選：BD．22．（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中學校聯考期末）已知函數，且，都有，則的取值范圍可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據已知轉化，得，設，由正弦函數的單調性可得的可能取值范圍可判斷出選項A正確，B錯誤；分別取和，可判斷選項C和D錯誤.【詳解】由，得，設，由于，且，時，可知在上單調遞減，由正弦函數性質可知，故當時，，即時，即時，已知不等式成立，故選項A正確，B錯誤；對于選項C，當時，，當時，，顯然此時的在上不是單調遞減，故選項C錯誤；對于選項D，當時，，顯然此時的在上不是單調遞減，故選項D錯誤；故選：A考點四利用三角函數的最值求參數23．（2023上·全國·高一期末）已知函數，若，且在區間上有最小值無最大值，則.【答案】或【分析】根據三角函數的對稱性、最值求得正確答案.【詳解】因為，且在區間上有最小值無最大值，則，則，可得，解得，且，解得，可知：或1，或.故答案為：或.24．【多選】（2023上·吉林白山·高一統考期末）若在上僅有一個最值，且為最大值，則的值可能為（

）A． B．1 C． D．【答案】BD【分析】根據正弦函數的性質，可得關于參數的不等式，求得的范圍，從而得出結論.【詳解】因為，所以，所以由題意得，Z，解得，Z,為負整數時，的范圍時小于零的，與已知不符.時，；時，.因為，故A不正確；由題可知BD正確，C不正確.故選：BD．25．（2023上·江蘇南京·高三期末）已知函數在區間上恰有兩個最大值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出，根據題意結合圖象，則有，解出即可.【詳解】因為，則，所以由題意得：，解得.故選：D.26．（2023上·山東臨沂·高一校考期末）已知函數在區間內不存在最值，且在區間上，滿足恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正弦型函數的區間最值情況得，，進而有或，討論結合已知恒成立確定最終的取值范圍.【詳解】由，則內不存在最值，即，則，，則或，由，則中恒成立，只需且，或；所以的取值范圍是.故選：D27．（2023上·上海松江·高三統考期末）已知函數，．對任意，存在，使得，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】根據和的值域以及恒成立、存在性等知識求得的取值范圍.【詳解】，所以.的開口向下，對稱軸為，所以在區間上單調遞增，，所以，由于任意，存在，使得，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：考點五利用三角函數的單調+最值求參數28．（2022上·山西長治·高一校考期末）已知函數，其中為實數，且，若對恒成立，且，則的單調遞增區間為.【答案】【分析】由題意可知為函數的最大值或最小值，所以，由，得到或，即可得的表達式，根據，即可驗證值，代入正弦函數單調遞增區間，化簡整理，即可得答案.【詳解】由對恒成立知，，得到或，因為，所以或，當時，，此時，，，不合題意，舍，當時，，此時，，，符合題意，所以，所以由得，所以的單調遞增區間是.故答案為：29．（2023下·遼寧葫蘆島·高一統考期末）已知函數，對于，，且在區上單調遞增，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據不等式的恒成立，得到在時取得最大值，再利用函數的單調性，從而求得的最大值.【詳解】因為對于，，可得在時取得最大值，即，可得，所以，又因為在上單調遞增，所以且，解得，當時，，所以的最大值為.故選：C.30．（2024上·江蘇揚州·高一揚州市江都區丁溝中學校考期末）已知函數在上存在最值，且在上單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用整體法，結合三角函數圖像性質對進行最值分析，對區間上進行單調分析；【詳解】當時，因為，則，因為函數在上存在最值，則，解得，當時，，因為函數在上單調，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則．當時，；當時，；當時，．又因為2，因此的取值范圍是．故選：C．【點睛】關鍵點睛：整體法分析是本題的突破點，結合三角函數圖像分析是本題的核心.31．（2023下·陜西漢中·高二統考期末）已知函數在上單調遞減，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數在上單調遞減，結合正弦型函數的單調性可求得的取值范圍，由已知可得出，可得出的表達式，即可得出的值.【詳解】因為函數，當時，，因為函數在上單調遞減，則，其中，所以，，其中，解得，所以，，解得，又因為且，則，所以，，因為，，即，所以，，解得，因此，.故選：D.32．（2023下·廣西南寧·高二南寧三中校考期末）已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是【答案】【分析】根據三角函數的單調性和周期，求得的一個取值范圍，結合三角函數的最值，求得的另一個取值范圍.根據兩個取值范圍的交集，求得的取值范圍.【詳解】由，可得，因為函數在區間上是增函數，所以，解得，由，得，因為函數在區間上恰好取得一次最大值，所以，解得，綜上的取值范圍是.故答案為：.33．（2023下·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期末）已知函數的最大值為；(1)求常數的值；(2)若在上單調遞增；求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用三角函數關系式的恒等變換，把函數的關系式變形成正弦型函數，進一步利用正弦型函數的性質求出的值；（2）利用函數的單調性和集合間的子集關系求出的最大值．【詳解】（1）由于函數由于，故函數的最大值為，解得．（2）由于，，解得，；故函數的單調遞增區間為，；故,，；故取，則故，即的最大值為．考點六利用三角函數的奇偶性求參數34．（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）已知函數是偶函數，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦函數的奇偶性列出關于的方程，從而得解.【詳解】因為是偶函數，所以，即，又，所以.故選：C.35．【多選】（2021上·福建莆田·高一校考期末）函數的圖像向左平移個單位后得到一個偶函數的圖像，則的值可以為（

）A．0 B． C． D．【答案】BC【分析】利用圖象變換可求平移后的函數解析式，結合偶函數可求滿足的條件，從而可得正確的選項.【詳解】函數的圖像向左平移個單位后對應的解析式為：，因為該函數為偶函數，故，故，所以可取，不可取，否則若，，與為整數矛盾；若，，與為整數矛盾；故選：BC.36．【多選】（2023上·河北唐山·高一灤南縣第一中學校考期末）設函數，若函數為偶函數，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據三角函數變換結合條件可得，進而，即得.【詳解】因為，所以，又函數為偶函數，所以，即，所以的值可以是，.故選：BC.37．（2022上·北京·高二北京市第五中學校考期末）將函數的圖像向右平移個單位長度，得到函數的圖像，若是奇函數，則的可能取值有個.【答案】2【分析】根據函數圖像平移得到解析式，由是奇函數解出的取值，再由，確定取值的個數.【詳解】函數的圖像向右平移個單位長度，得到函數的圖像，∴，若是奇函數，則有，解得，由，則時，；時，，的可能取值有2個.故答案為：238．【多選】（2023下·江西上饒·高一統考期末）已知函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，函數為偶函數，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據三角函數平移變換可得，由奇偶性可知，，求得后即可對照選項得到結果.【詳解】由已知得，又函數為偶函數，則，，所以，，當時，CD正確，故選：CD.39．（2022上·福建福州·高一統考期末）若函數是奇函數，則可取的一個值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】的圖象左右平移仍為奇函數，即可求得.【詳解】的圖象左右平移仍為奇函數，則.故選：A.40．（2022下·山東淄博·高一統考期末）已知函數是奇函數，為了得到函數的圖象，可把函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】根據是奇函數可求得，利用誘導公式得，即可得出結果.【詳解】因為是奇函數，所以，即，因為，所以，所以，因為，所以可把函數的圖象向右平移個單位長度.故選：D.41．【多選】（2023上·浙江杭州·高一杭州市長河高級中學校考期末）將函數圖象向右平移φ個單位長度后得到函數的圖象，若函數為奇函數，則φ的可能值為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先由平移變換得到，再根據函數為奇函數，由求解.【詳解】解：函數圖象向右平移φ個單位長度后得到函數的圖象，因為函數為奇函數，所以，解得，所以φ的可能值為或，故選：AC考點七利用三角函數的對稱性求參數42．（2024上·山東泰安·高三校考期末）“”是“函數的圖象關于直線對稱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據正弦型函數的對稱性結合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若，則當，可得，為最大值，所以函數的圖象關于直線對稱，即充分性成立；若函數的圖象關于直線對稱，則，解得，不一定成立，即必要性不成立；綜上所述：“”是“函數的圖象關于直線對稱”的充分不必要條件.故選：A.43．（2024上·甘肅慶陽·高一校考期末）設函數，的圖象的一條對稱軸是直線．(1)求的值；(2)求函數的單調增區間．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦型函數的對稱性，把代入函數解析式求的值；（2）整體代入法求正弦型函數的單調增區間.【詳解】（1）是函數的圖象的對稱軸，則有．解得，又，所以．（2）由（1）知，因此．由題意得當x滿足時，函數單調遞增．即當時，單調遞增．所以函數的單調遞增區間為．44．（2023下·云南大理·高一統考期末）將函數向右平移（）個單位長度后得到一個關于對稱的函數，則實數的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和的正弦公式化簡，再根據三角函數的變換規則得到平移后的解析式，根據正弦函數的對稱性求出的取值，即可得解.【詳解】因為，將函數向右平移個單位長度得到函數，由函數關于對稱，所以，所以，又，．故選：A.45．【多選】（2023下·湖南·高二校聯考期末）已知函數，滿足，則（

）A．B．的最小正周期為C．在區間單調遞增D．【答案】ABD【分析】根據對稱軸定義結合參數范圍判斷A選項，根據周期公式判斷B選項，根據單調區間計算得出C選項，結合周期和特殊角的值可以得出D選項.【詳解】因為，所以的函數圖像關于直線成軸對稱，則，，得，，又因為，所以，故A正確；所以，所以，故B正確；令，，所以，，當時，為的單調遞增區間，所以在區間有增有減，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD.46．（2023下·陜西安康·高二校聯考期末）將函數（）的圖象向右平移1個單位長度后，得到的圖象關于原點對稱，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】先求得的圖象平移后的解析式，再列出關于的方程，進而求得的最小值.【詳解】的圖象向右平移1個單位長度后，可得函數的圖象，則，，即，.又，故的最小值為1.故選：B47．（2023下·江西景德鎮·高一景德鎮一中校考期末）已知函數，（）在區間上恰好有兩條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B．.C． D．【答案】A【分析】求出函數的對稱軸方程為，，原題等價于有2個整數k符合，解不等式即得解.【詳解】因為，令，，則，，函數在區間上有且僅有2條對稱軸，即有2個整數k符合，又在區間上恰好有兩條對稱軸，由，得，若，則，∴；若，則，∴.故選：A.48．（2023上·全國·高一期末）已知函數在區間內不存在對稱軸，則的最大值是.【答案】【分析】由正弦函數性質及已知條件建立不等式組即可【詳解】因為，且，所以，因為在區間內不存在對稱軸，所以，解得，當時，；當時，；當時，不成立，即，故答案為：.考點八利用三角函數的對稱+周期求參數49．（2018上·天津·高三統考期末）設函數，其圖象的一條對稱軸在區間內，且的最小正周期大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用輔助角公式化簡，再求出函數的對稱軸方程，由圖象的一條對稱軸在區間內，求出的取值范圍，驗證周期得答案.【詳解】，由，得，取，得，取，得，由，得，此時，由，得，此時，不合題意，依次當取其它整數時，不合題意，所以的取值范圍為，故選：D50．（2023下·河南焦作·高二統考期末）已知函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角化簡函數解析式為，分析可知，函數的最小正周期滿足，求出的取值范圍，求出函數圖象對稱中心的橫坐標，可得出所滿足的不等式，即可得出的取值范圍.【詳解】因為，因為函數的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，所以，函數的最小正周期滿足，即，則，由可得，因為函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，則，可得，又因為且存在，則，解得，因為，則，所以，，故選：B.考點九利用三角函數的對稱+單調求參數51．（2023上·全國·高一期末）已知函數，的圖象關于直線對稱，且在上單調，則的最大值為.【答案】【分析】先根據正弦函數的對稱性可求出的一個范圍，再根據函數在上單調，可得，再求出的一個范圍，進而可得出答案.【詳解】因為的圖象關于直線對稱，所以，，解得，，因為在上單調，所以，即，解得，當時，，當時，，所以當時，單調遞減，故的最大值為.故答案為：.52．【多選】（2023下·江西贛州·高一統考期末）已知函數，若，，且在區間上單調遞減，則下列說法正確的有（

）A．B．對任意，均有C．函數在區間上單調D．【答案】ABD【分析】根據函數的單調性及取值關系，可得點是函數的一個對稱中心，直線是函數的一條對稱軸，從而得函數最小正周期，即可得的值，再跟腱炎對稱性列方程可得的值，于是得函數解析式，根據正弦型三角函數的性質逐項判斷即可.【詳解】因為在區間上單調遞減，且所以點是函數的一個對稱中心，并且最小正周期滿足，即，所以當，則直線是函數的一條對稱軸與對稱中心相鄰，則，即，所以，故A正確；則，由于是函數的一個對稱中心，所以，得，又，所以，故D正確；則，所以，又的最大值為，則對任意，均有，故B正確；當時，，則函數在區間上不單調，故C錯誤.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查正弦型三角函數的圖象性質，解題關鍵是找結合函數單調性兩個函數值相同與相反確定函數的對稱中心與對稱軸，從而可得正弦型函數的最小正周期，確定三角函數的解析式，從而可利用解析式分析其它圖象性質．考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．53．（2023下·安徽宣城·高二統考期末）已知函數滿足，且在區間上單調，則的最大值為.【答案】/【分析】由函數在區間上單調，求出的取值范圍，再由，得到，即可求出的取值集合，從而求出的最大值；【詳解】因為在區間上單調，所以，，，解得；因為，，所以，所以，所以，所以；當，解得，所以.故答案為：.54．（2023下·廣東佛山·高一統考期末）已知函數在區間單調，且，其中，．(1)求圖象的一個對稱中心；(2)求的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）由在區間單調知，判斷出結合可得圖象的一個對稱中心．（2）由得，分別討論是否符合題意，確定解析式.【詳解】（1）因為在區間單調，所以的最小正周期．由于，故圖象的一個對稱中心的橫坐標為，即是圖象的一個對稱中心．（2）由（1）知，故．又因為，所以．由（1）知是圖象的一個對稱中心，所以，．①若，則，．又因為，所以，此時，當時，，此時在不單調，不合題意：②若，則，．又因為，所以，此時，當時，，此時在單調，符合題意：③若，則，．又因為，所以，此時，當時，，此時在不單調，不合題意：綜上，，，所以．55．（2023下·遼寧大連·高一統考期末）已知函數（，，）在區間上單調，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將化成的形式，根據單調性及周期性得到的取值范圍，根據等式關系得到各參數的關系，最后利用輔助角公式中的關系得到關于的不等式，解出不等式即可.【詳解】，，，在區間單調，，，，，，，，，，，，，，，，.故選：A.【點睛】關鍵點定睛：本題難點在于單調性與周期性之間的關系以及輔助角公式的巧妙運用.56．（2023上·全國·高一期末）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意分別求出其周期，再根據其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區間單調遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.57．（2023下·浙江麗水·高二統考期末）函數，已知點為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在區間上單調遞減，則滿足條件的所有的值的和為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數的單調性，結合正弦函數的性質，即可得出.根據函數的單調性，推得，進而得出或或，解出相對應的值，檢驗即可得出答案.【詳解】因為在區間上單調遞減，所以，所以.又為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且.因為，所以.又根據正弦函數的圖象可知，，所以或或.當時，有，此時有，.由已知可得，在處取得最大值，所以有，解得.又，所以，滿足題意；當時，有，此時有，.由已知可得，在處取得最大值，所以有，解得.又，所以無解，舍去；當時，有，此時有，.由已知可得，在處取得最大值，所以有，解得.又，所以，滿足題意.綜上所述，或.所以，滿足條件的所有的值的和為.故選：C.【點睛】方法點睛：根據已知條件，結合正弦函數的圖象及其性質，推出周期滿足的方程，即可得出答案.考點十利用三角函數的對稱+最值求參數58．（2023上·江蘇·高一期末）已知函數（，），，，且在區間上有且只有一個最大值，則的最大值為．【答案】【分析】根據題意列出方程組，求出的表達式，求出符合條件的，再根據在區間上有且只有一個最大值，分類討論確定的值是否適合題意，可得答案.【詳解】由知，關于對稱，又因為，所以,，則,，，其中，,當時，，，；當時，，，.又在區間上有且只有一個最大值，所以，得，即，所以.當時，，，此時，此時有2個最大值，舍去；當時，，此時，此時有1個最大值，成立，所以的最大值為，故答案為：59．（2023上·全國·高一期末）若函數在處取得最大值，且的圖象在上有4個對稱中心，則的取值范圍為.【答案】【詳解】根據題意，，代入可得，再由且的圖象在上有4個對稱中心，則，由即可得解.【分析】依題知，所以，解得，所以，因為，所以當時，，依題知，解得.故答案為：60．（2023上·浙江麗水·高一統考期末）已知函數，，滿足，，且在區間上有且僅有一個使，則的最大值為.【答案】【分析】根據函數的對稱軸以及可求得關于正整數k的表達式，根據在區間上有且僅有一個使，可確定正整數k的取值范圍，分類討論，即可確定答案.【詳解】因為滿足，，即為的一條對稱軸，故，且，，則，其中，，且同為奇數或偶數；又在區間上有且僅有一個使，故要求的最大值，需使包含的周期應最多，所以，得，即，當時，，為奇數，，則，此時，當等于或時，，不合題意；當時，，為偶數，，則，此時，當等于或時，，不合題意；當時，，為奇數，，則，此時，當等于時，，合乎題意；由于，即隨著k的增大而增大，故的最大值為，故答案為：【點睛】難點點睛：本題是關于三角函數解析式的求解問題，要根據函數的性質求得解析式中得參數，難點在于求得參數的表達式之后，要能根據函數在區間上有且僅有一個使，結合正弦函數性質，分類討論k的取值，確定.考點十一利用三角函數的圖象求參數61．（2023下·上海寶山·高一統考期末）函數的部分圖象如圖所示，則.【答案】/【分析】根據圖象推出，，然后根據最大值，結合的取值范圍，求出的值，代入，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，所以，.又因為在處取得最大值，所以有，所以，.因為，，所以，所以，，所以，.故答案為：.62．（2023下·廣東梅州·高一統考期末）已知函數的圖象如圖所示.(1)求函數的解析式；(2)若函數的圖象在區間上恰好含10個零點，求實數b的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由圖象確定函數周期求得，再利用特殊點坐標代入函數表達式，可求得，即得答案；（2）函數的圖象在區間上恰好含10個零點轉化為與的圖象在區間上恰好含有10個交點，結合正弦函數的性質列出不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意可得，的最小正周期為，故，又圖象過點，故，則，即，而，故，所以；（2）由（1）知，令，由，得，因為函數的圖象在區間上恰好含10個零點，等價于與的圖象在區間上恰好含有10個交點，設，即與的圖象恰有10個交點，故，即.63．（2022上·廣西百色·高一統考期末）已知函數的部分圖象如圖所示.(1)求的解析式；(2)若在上單調遞增，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）結合圖像的最高點可求出，根據軸上的數據可求出周期，然后在代入一個點可求出解析式；（2）根據三角恒等變換化簡得出，然后根據正弦函數的單調性求解.【詳解】（1）依題意，由圖知，，，即，得，所以，又，所以，，即，，由得，所以.（2）由（1）可知，，則，

因為，所以，根據正弦函數在上遞增可知，所以，即，所以m的取值范圍為.64．（2023上·重慶長壽·高一重慶市長壽中學校校考期末）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法不正確的是（）A．B．圖象的一條對稱軸的方程為C．在區間上單調遞增D．的解集為【答案】C【分析】由圖象結合五點法求得函數解析式，然后根據正弦函數的性質判斷各選項．【詳解】由題意，最小正周期為，∴，又，，且，∴，∴，故A正確；，∴直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；時，，即時，取得最大值.因此在區間上不單調，故C錯；由得，，，故D正確．故選：C．65．（2023上·山東菏澤·高一校考期末）函數的部分圖象如圖所示，若、，且，則.【答案】【分析】利用圖象求出函數的解析式，求出、的取值范圍，結合正弦型函數的對稱性求出的值，由此可求得的值.【詳解】由圖象可得，函數的最小正周期為，所以，，則，因為，且函數在附近單調遞增，所以，，則，因為，所以，，則，因為、，則，，又因為，則，可得，因此，.故答案為：.66．（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知函數的部分圖象如圖所示，且點，，若，且，則．【答案】/【分析】根據函數圖象求得參數，確定函數解析式，再根據可得，確定的范圍，結合正弦函數性質，可得的值，即可求得答案.【詳解】由圖象可得，周期，解得，，，，點在軸的非負半軸上，結合圖象知y軸圖象右側先遞增，故為銳角,故，，又且，，而，由于在之間的對稱軸為，，，故答案為：考點十二利用三角函數的零點求參數67．（2023下·江西新余·高一統考期末）已知（其中），其函數圖像關于直線對稱，若函數在區間上有且只有三個零點，則的范圍為．【答案】【分析】由三角函數的對稱性求出，再由的范圍求出的范圍，根據三角函數的性質即可求出答案.【詳解】函數關于直線對稱，所以，所以，因為，所以，所以，當，則，要使函數在區間上有且只有三個零點，所以，所以的范圍為：.故答案為：68．（2023下·廣西南寧·高二賓陽中學校聯考期末）設函數在上恰有2個零點，且的圖象在上恰有2個最高點，則的取值范圍是.【答案】【分析】結合三角函數的圖象性質，找出到滿足條件的所在的區間，解不等式組即可作答.【詳解】因為，則，而函數在上恰有2個零點，且的圖象在上恰有2個最高點，因此，即，當時，不符合題意，當時，不等式組為，不等式組無解，當時，不等式組為，解得，當時，不等式組無解，所以的取值范圍是.故答案為：69．（2022上·河南周口·高一校聯考期末）函數滿足，且恒成立，若在區間上有最小值而無最大值，則.【答案】/【分析】由題意可得為函數的對稱中心，為函數的對稱軸，再結合在區間上有最小值而無最大值，可得，即可得解.【詳解】因為，所以為函數的對稱中心，因為恒成立，所以，所以為函數的對稱軸，又因為在區間上有最小值而無最大值，所以，解得，所以.故答案為：70．（2023下·湖南長沙·高二長沙一中校考期末）若函數，在上恰有兩個最大值點和四個零點，則實數ω的取值范圍是．【答案】【分析】先化簡函數式得，再結合三角函數的圖象與性質，利用整體代換計算即可.【詳解】由三角恒等變換可得，時，有，若要滿足題意則需：.故答案為：71．（2023上·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學校聯考期末）已知，滿足，若函數在區間上有且只有三個零點，則的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正弦函數的周期性和對稱性分析可得為函數的對稱軸，再根據周期性分析零點即可.【詳解】由題意可知：函數的最小正周期，因為，則為函數的對稱軸，則函數在之后的零點依次為，若函數在區間上