4.4對數函數的圖象與性質TOC\o"13"\h\z\u題型1對數函數的概念 2題型2對數函數求值 4◆類型1對數函數求解析式 4◆類型2對數函數求值 4◆類型3對數函數含參求值 5題型3與對數函數有關的定義域問題 6◆類型1對數函數的定義域 6◆類型2對數型復合函數的定義域 6◆類型3與定義域相關的含參取值問題 7◆類型4與定義域相關的含參取值范圍問題 8題型4對數函數圖象過定點問題 8◆類型1對數型函數的定點 8◆類型2對數型函數與點坐標相關的問題 9題型5對數函數圖像問題 10◆類型1對函型函數的圖形選擇 10◆類型2對數型函數圖像的畫法 12◆類型3對數型函數的圖像含參問題 13◆類型4對數型函數的圖像與底數的大小關系問題 14題型6利用對數函數的性質比較大小 16題型7對數函數不等式 17◆類型1不含參的對數不等式 17◆類型2含參對數不等式 18◆類型3抽象不等式 18題型8與對數函數的單調性有關的問題 20◆類型1對數函數單調性的判斷 20◆類型2對數函數的單調區間 21◆類型3復合函數的單調性 22◆類型4單調性求參數取值范圍問題 23題型9奇偶性相關問題 24知識點一.對數函數的定義1．對數函數的概念函數y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞)．2.兩種特殊的對數函數（1）常用對數函數：以10為底的對數函數.（2）自然對數函數：以無理數e為底的對數函數.知識點二.對數函數的圖象與性質對數函數的圖象與性質列表如下：y＝logax(a>0，且a≠1)底數a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R單調性在(0，＋∞)上是增函數在(0，＋∞)上是減函數共點性圖象過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0函數值特點x∈(0,1)時，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)時，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)時，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)時，y∈(－∞，0]對稱性函數y＝logax與y＝的圖象關于x軸對稱注意：掌握對數函數的圖象和性質，其關鍵是理解圖象的特征，利用幾何直觀掌握函數的性質.知識點三.不同底的對數函數圖象的相對位置一般地，對于底數a>1的對數函數，在區間(1，＋∞)內，底數越大越靠近x軸；對于底數0<a<1的對數函數，在區間(1，＋∞)內，底數越小越靠近x軸．題型1對數函數的概念【方法總結】判斷一個函數是否為對數函數的方法對數函數必須是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：(1)對數式系數為1.(2)底數為大于0且不等于1的常數．(3)對數的真數僅有自變量x.【例題1】（2021上·高一校考課時練習）下列函數中，是對數函數的有①y=logax(a∈R)；②y=log8x；③A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式11】1.（2022·高一課時練習）下列函數是對數函數的是（

）A．y=loga(2x) B．y=lg【變式11】2.（多選）（2023上·貴州遵義·高一統考期末）（多選題）下列函數表達式中，是對數函數的有（

）A．y=logπx B．y=log【變式11】3.（多選）（2022上·高一課時練習）下列函數為對數函數的是（

）A．fx=logm-1x（m>1C．fx=【變式11】4.（2023·全國·高一專題練習）指出下列函數中，哪些是對數函數？①y=5②y=-log③y=log④y=log⑤y=log題型2對數函數求值◆類型1對數函數求解析式【例題21】（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ兄旒医侵袑W?？茧A段練習）已知對數函數過點(4,2)，則其解析式為．【變式21】1．（2023上·高一課時練習）對數函數的圖象過點16,2，則對數函數的解析式為.【變式21】2.（2022·江蘇省濱海中學模擬預測）寫出滿足條件“函數y=fx在0,+∞上單調遞增，且f【變式21】3．（2023上·全國·高一專題練習）已知函數fx=b+logax（x>0(1)求fx(2)fx【變式21】4．（2023上·高一課時練習）已知對數函數fx的圖象過點4(1)求fx(2)解方程fx【變式21】5．（2023下·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學?？计谥校┮阎瘮礷x=logax，g(x)=(1)求fx，g(2)若fm=gn◆類型2對數函數求值【例題22】（2023上·高一課時練習）已知對數函數fx的圖象過點8,3，則f【變式22】1.（2023·高一課時練習）已知對數函數y=fx的圖像過點e,1，則【變式22】2.（2022上·北京·高三北京市第十三中學?？奸_學考試）已知函數fx=logax，且f2【變式22】3．（2023上·黑龍江大慶·高一大慶實驗中學?？计谥校┮阎猤x為R上的偶函數，當x>0時，gx=【變式22】4.（2023上·天津·高一?？茧A段練習）已知函數f(x)=log3(ax+b)的圖象經過點A(2,1)B(5,2)．則f(14)÷f3+1【變式22】5.（2023上·高一課前預習）已知fx=cx+dex+b,g◆類型3對數函數含參求值【例題23】（2023上·高一課時練習）若函數f(x)=aA．1或2 B．1C．2 D．a>0且a≠1【變式23】1．（2023上·高一課時練習）函數f(x)=(a【變式23】2.（2023上·高一課時練習）已知函數f(x)=2m2【變式23】3.（2022上·廣東深圳·高一校考期末）設a∈R，若函數fx=log2A．7 B．3 C．1 D．-1【變式23】4.（2018·高一課時練習）已知函數fx=logax+2A．-2 B．2 C．12 D．【變式23】5.（2023上·江蘇無錫·高一統考期末）已知對數函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象過點4,1A．14 B．12 C．2題型3與對數函數有關的定義域問題【方法總結】求對數型函數的定義域時應遵循的原則1分母不能為0.2根指數為偶數時，被開方數非負.3對數的真數大于0，底數大于0且不為1.◆類型1對數函數的定義域【例題31】（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學?？计谀┖瘮礷xA．x|x≥-12C．x|x≥-12且x≠2【變式31】1.（2023上·貴州畢節·高一校考階段練習）函數fxA．-1,2 B．-1,2 C．1,2 D．1,2【變式31】2.（2023上·陜西咸陽·高一?？茧A段練習）函數fx【變式31】3．（2023上·廣東汕頭·高一?？茧A段練習）函數fx【變式31】4.（2023·四川成都·成都七中校考一模）與y=1A．y=x2C．y=lg10◆類型2對數型復合函數的定義域【例題32】（2022上·黑龍江大慶·高一?？计谀┖瘮祔=logA．0,12 B．0,1【變式32】1．（2023上·新疆烏魯木齊·高一校考期末）函數y=lg【變式32】2．（2023上·安徽·高一校聯考競賽）已知函數y=f2x的定義域為[-32A．[0,74C．-2,4 D．-2,-1【變式32】3．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學校聯考階段練習）已知函數y=f12x+1的定義域是2,4A．2,3 B．2,3C．2,3∪3,6【變式32】4．（2019·云南曲靖·高三曲靖一中階段練習）已知函數fx=lg【變式32】5．（2023上·陜西渭南·高三?？茧A段練習）已知fx的定義域為0,2，則函數gA．1,3 B．C．1,2 D．◆類型3與定義域相關的含參取值問題【例題33】（2019上·高一課時練習）設函數f(x)=a-lgx的定義域為0,10A．0 B．10 C．1 D．1【變式33】1.（2022下·山東濟寧·高二期末）若函數y=x2+2x+a+lnx+2的定義域為1,+∞，則a=A．-3 B．3 C．1 D．-1【變式33】2.（2023上·陜西西安·高一統考期末）已知函數fx=ax-x2【變式33】3.（2015上·湖北武漢·高一統考期中）已知函數fx(1)若函數fx的定義域為-∞,1(2)若函數fx的定義域為R，值域為-∞,-1(3)若函數fx在-∞,1◆類型4與定義域相關的含參取值范圍問題【例題34】（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ羞M才中學校聯考階段練習）已知a∈R，若函數y=lgx2-ax+1定義域為【變式34】1.（2023上·江蘇蘇州·高一校考階段練習）若函數f(x)=lgA．(-1,0) B．[-1,1] C．(0,1) D．(1,+【變式34】2.（2023上·廣東深圳·高一?？计谥校┮阎瘮礷x=log2mx2【變式34】3.（2023下·貴州遵義·高一統考期中）已知函數fx(1)若fx(2)若f0題型4對數函數圖象過定點問題【方法總結】y＝logax(a>0，且a≠1)圖象過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0◆類型1對數型函數的定點【例題41】（2024上·江蘇揚州·高二統考學業考試）函數f(x)=loga(2x-3)+5（a>0，a≠1）的圖象過定點AA．(1,0) B．(1,5) C．(2,5) D．(2,6)【變式41】1.（2024上·遼寧遼陽·高一統考期末）函數y=loga6-x4+2x(a>1)【變式41】2．（2023上·湖北·高一校聯考階段練習）函數y=logax+ax-1+2（a>0且a≠1）的圖象恒過定點k,b，若m+n=b-k且A．9 B．8 C．92 D．【變式41】3.（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習）已知曲線y=loga(x-2)+1（a>0且a≠1）過定點(s,t)，若m+n=s-t且m>0，n>0A．16 B．10 C．8 D．4【變式41】4.（2023上·海南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習）函數fx=loga2x+1+2（a>0，a≠1）的圖象經過定點A，若點A也在函數【變式41】5.（2021·湖北·高一階段練習）若函數fx=ax+2+1與gx◆類型2對數型函數與點坐標相關的問題【例題42】（2023上·高一課時練習）若點a,b在y=log2xA．1a,C．2a,【變式42】1.（2021·全國·高一專題練習）若點(a，b)在函數fxA．1a,-bC．ea,1-b【變式42】2.（多選）（2021·高一課時練習）已知點m,n在函數y=logaxA．m2,2nC．m+a,n+a D．m題型5對數函數圖像問題◆類型1對函型函數的圖形選擇【例題51】（2023·廣東·高三統考學業考試）下列函數可能是對數函數的是（

）A． B．C． D．【變式51】1.（2019·新疆烏魯木齊·統考三模）當0<a<1時，在同一坐標系中，函數y=a-x與A． B．C． D．【變式51】2.（2022·浙江省富陽中學）設a>0且a≠1,b∈R，函數fA． B．C． D．【變式51】3.（2023上·福建三明·高一三明一中校考期中）若函數y=ax(a>0，且a≠1)的圖象過點2,4A． B．C． D．【變式51】4.（2023上·江蘇鹽城·高一鹽城市伍佑中學校聯考階段練習）已知a>1，則函數y=ax與函數A． B．C． D．【變式51】5．（2021上·陜西漢中·高一校聯考期中）已知lga=-lgb≠0，則函數fx=a-xA． B．C． D．◆類型2對數型函數圖像的畫法【例題52】（2021·高一課時練習）畫出函數f(x)=log【變式52】1.（2020·高一課時練習）畫出函數y=lg【變式52】2．（2022·湖南·高一課時練習）畫出函數y=log3【變式52】3.（2016上·廣西桂林·高一統考期末）已知函數f(x)={（1）在表中畫出該函數的草圖；（2）求函數y=f(x)的值域、單調增區間及零點．【變式52】4.（2023上·廣東佛山·高一?？茧A段練習）已知fx為定義在區間-∞,0∪0,+(1)當x∈-∞,0(2)在給出的坐標系中畫出函數fx的圖象，寫出函數f◆類型3對數型函數的圖像含參問題【例題53】（2023上·江西南昌·高一統考期末）若0<b<1<a，則函數y=logA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式53】1.（2023上·山東聊城·高一校聯考期末）已知a>1，-2<b<-1，則函數y=logA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式53】2．（多選）（2023上·河北石家莊·高一石家莊精英中學?？茧A段練習）已知函數y=loga(3x-5)+2（a>0且a≠1）恒過定點(m,n)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式53】3．（2022·全國·高一課時練習）已知函數fx=logax-b（aA．a>0，b<-1 B．aC．0<a<1，b<-1 D．【變式53】4．（2021·全國·高一單元測試）（多選）已知函數y=logax+A．a>1 B．0<a<1C．【變式53】5．（2022上·廣西南寧·高一南寧二中校聯考階段練習）已知定義在-2,0上的函數fx=loga-x+1a>0,a≠1的值域是-1,0.若函gx◆類型4對數型函數的圖像與底數的大小關系問題【例題54】（2021·全國·高一課時練習）如圖是對數函數y=logax的圖象，已知a值取5，53，45，18，則相應的CA．18，45，53，5 B．5，53，45，18C．53，5，45，1【變式54】1．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如圖是三個對數函數的圖象，則a、b、c的大小關系是（

）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b【變式54】2．（2021·全國·高一）圖中曲線分別表示y=logaA．0<a<C．0<c<【變式54】3．（多選）（2021·全國·高一課時練習）(多選)如圖是三個對數函數的圖象，則（

）A．a>1 B．0<b<1C．【變式54】4.（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，A，B，C，D是y=lgx，y=log4x（1）函數y=lg（2）函數y=log（3）函數y=log（4）函數y=log題型6利用對數函數的性質比較大小【方法總結】比較對數值大小的常用方法1同底數的利用對數函數的單調性.2同真數的利用對數函數的圖象或用換底公式轉化.3底數和真數都不同，找中間量.注意：比較數的大小時先利用性質比較出與零或1的大小.【例題6】（2022·全國·高一課時練習）分別比較下列各組數的大小：(1)log3.82.5，log2.8(2)8-0.7，log70.8(3)log25與【變式61】1.（2023上·河南鄭州·高一河南省實驗中學?？茧A段練習）設a=log31π，b=π13，c=A．a>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>c>a【變式61】2.（2023上·天津西青·高一天津市西青區楊柳青第一中學校考期末）已知a=30.6，b=logA．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b【變式61】3.（2023上·湖北襄陽·高一?？计谀┤粢阎猘=log23，b=logA．b<a<c B．c<b<aC．a<b<c D．b<c<a【變式61】4．（2023上·湖南長沙·高一長沙市第十五中學校聯考階段練習）已知a=log372，b=1413，A．c>a>b B．b>a>cC．c>b>a D．a>b>c題型7對數函數不等式【方法總結】(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論．(2)形如logax>b的不等式，應將b化為以a為底數的對數式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數進行求解，或利用函數圖象求解．◆類型1不含參的對數不等式【例題71】解下列關于x的不等式：(1)(2)log3x<1；（3）log2(x－1)>1；（4）log0.7(2x)<log0.7(x－1)【變式71】1．（2022·全國·高一專題練習）不等式log1【變式71】2．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中高一期末）解關于x的不等式：log【變式71】3．（2022·陜西·咸陽市高新一中高一開學考試）已知函數f(x)=【變式71】4．（2022·河南焦作·高一期末）已知則p:x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式71】5．（2022·吉林·長春外國語學校高一開學考試）已知p：log3b>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式71】6.（2023上·江蘇無錫·高一泰州中學校聯考階段練習）不等式x2◆類型2含參對數不等式【例題72】（2023上·全國·高一專題練習）已知logaA．0,34∪1,+∞ B．【變式72】1.（2022上·北京海淀·高一?？茧A段練習）已知loga53A．0,1∪1,C．0,53【變式72】2.（2021上·內蒙古通遼·高二霍林郭勒市第一中學校考階段練習）若logaa2A．(0,1) B．0,12 C．1【變式72】3．（2022·全國·高一課時練習）解關于x的不等式：loga(x+1)>log【變式72】4.（2022·全國·高一專題練習）解下列不等式：(1)logx(2)log(◆類型3抽象不等式考點1解析式已知【例題73】（2022·河南新鄉·高一期末）已知函數fx=log2【變式73】1．（2022·全國·高一課時練習）設函數fx=lgx2+1A．13,1 B．-1,32【變式73】2．（2023上·廣西玉林·高一博白縣中學?？茧A段練習）已知函數fx=eA．0,2 B．0,12∪1【變式73】3．（2023上·廣東深圳·高一深圳外國語學校?？茧A段練習）設函數f(x)=|ln(xA．(-∞,1) B．(-13考點2解析式未知【例題74】（2023下·陜西榆林·高二校聯考期中）已知fx是定義在R上的奇函數，且在區間0,+∞上單調遞增，則不等式A．0,1 B．1,+∞ C．0,2 D．【變式74】1．（2022上·安徽阜陽·高三安徽省太和中學?？茧A段練習）已知奇函數fx在R上單調遞增，且f1=1，則關于xA．0,1 B．1,+∞ C．0,e【變式74】2．（2023上·江蘇徐州·高一統考期末）已知函數fx是定義在R上的奇函數，當x>0時，fx=【變式74】3．（2023上·上海徐匯·高一上海市西南位育中學?？计谀┮阎瘮礷x是定義在R上的偶函數，且在0,+∞上是嚴格增函數，f-1=0，則不等式flog【變式74】4.（2023·高一課時練習）已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在0,+∞上為增函數，f13=0◆類型5與復合函數有關的不等式【例題75】（2023上·湖南長沙·高二雅禮中學?？茧A段練習）若函數fx=x【變式75】1.（2022·浙江大學附屬中學高一期末）已知fx是在定義域0,+∞上的單調函數，且對任意x∈0,+∞都滿足：ffx【變式75】2.2023上·四川成都·高一四川省成都列五中學校考階段練習）設函數flog2x的定義域為14,4【變式75】3.（2023上·陜西渭南·高三校考階段練習）已知函數fx是定義在R上的偶函數，當x≤0時，fx單調遞減，則不等式【變式75】4.（2023上·貴州六盤水·高一統考階段練習）已知函數fx=loga((1)若a>1，b=0，求不等式fx+1(2)若?m∈[1,+∞)，題型8與對數函數的單調性有關的問題◆類型1對數函數單調性的判斷【例題81】（2020·全國·高一課時練習）函數fxA．0,+∞上的增函數 B．0,+∞上的減函數C．R上的增函數 D．R上的減函數【變式81】1．（2022·全國·高一課時練習）判斷下列函數的單調性：y=（2）y=（3）y=（4）y=lg(3-2【變式81】2．（2022·全國·高三專題練習）判斷及證明函數y=【變式81】3．（2020·上?！じ咭徽n時練習）求證：函數y=loga【變式81】4．（2019·湖南·長沙市雅禮書院中學高一期中）已知f(（1）求函數f(（2）求f(【變式81】5．已知函數f(x)=◆類型2對數函數的單調區間【方法總結】求形如y＝logaf(x)的函數的單調區間的步驟(1)求出函數的定義域．(2)研究函數t＝f(x)和函數y＝logat在定義域上的單調性．(3)判斷出函數的增減性求出單調區間．【例題82】（2022下·浙江紹興·高二校考學業考試）關于函數fxA．在R上是增函數 B．在R上是減函數C．在區間（14，+【變式82】1.（2021·全國·高一專題練習）函數fx【變式82】2．（2021·全國·高一課時練習）函數y=【變式82】3．（2022·全國·高一課時練習）函數f(A．0,12 B．0,1C．0,+∞【變式82】4.（2019上·湖南·高一校聯考階段練習）函數fx◆類型3復合函數的單調性【例題83】（2023上·江蘇南通·高一海安高級中學?？茧A段練習）已知函數fx=log【變式83】1.（2022·全國·高一課時練習）函數y=ln【變式83】2.（2023上·河北唐山·高三開灤第一中學?？茧A段練習）若fx=aexA．0,1 B．-∞,1 C．3【變式83】3.（2020上·安徽蚌埠·高一固鎮縣第一中學?？茧A段練習）已知函數f(x)=loga(-（1）當a=7時，求函數的單調減區間（使用復合函數思想判斷，不用定義判斷）；（2）若f(x)存在單調遞增區間，求a的取值范圍．【變式83】4.（2020上·寧夏·高三寧夏大學附屬中學校考階段練習）已知函數f(x)=log（1）當a=10時，求函數的單調減區間；（2）若fx存在單調遞增區間，求a【例題84】（2021·重慶市育才中學）已知f(x-2)=lnA．(-2,+∞) B．(-2,0) C．(0,+∞) D．(0,2)【變式84】1.（2022·江蘇南通）設函數fx=-x2+2A．-∞,1 B．-2,1 C．1,+∞ D．1,4【變式84】2.（2023上·湖南長沙·高一長沙市第十五中學校聯考階段練習）若函數f(x)=12x，函數f(x)與函數g(x)圖象關于y=xA．[-2,0) B．(-2,0] C．(0,2] D．[0,2)◆類型4單調性求參數取值范圍問題【方法總結】1．已知對數型函數