第06講復數的四則運算（2個知識點+方法練+創新練+成果練）【目錄】【新知講解】知識點1.復數的加、減運算及其幾何意義知識點2.復數的乘、除運算【方法練】【創新練】【成果練】【知識導圖】【新知講解】知識點1.復數的加、減運算及其幾何意義1．復數加法與減法的運算法則(1)設z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復數，則①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)對任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．復數加減法的幾何意義如圖所示，設復數z1，z2對應向量分別為eq\o(OZ,\s\up14(→))1，eq\o(OZ,\s\up14(→))2，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up14(→))與復數z1＋z2對應，向量eq\o(Z2Z1,\s\up14(→))與復數z1－z2對應．規律方法1．用復數加、減運算的幾何意義解題的技巧(1)形轉化為數：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數運算去處理．(2)數轉化為形：對于一些復數運算也可以給予幾何解釋，使復數作為工具運用于幾何之中．2．常見結論在復平面內，z1，z2對應的點分別為A，B，z1＋z2對應的點為C，O為坐標原點，則四邊形OACB為平行四邊形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形；若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為正方形．3．復數代數形式的加減法滿足交換律、結合律，復數的減法是加法的逆運算．4．復數加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則，復數減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則．5．|z－z0|表示復數z和z0所對應的點的距離，當|z－z0|＝r(r＞0)時，復數z對應的點的軌跡是以z0對應的點為圓心，半徑為r的圓．例一、單選題1．（2023上·江蘇南通·高三海安高級中學校考階段練習）在復平面內，為原點，為虛數單位，復數對應的向量，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由復數的幾何意義可得，再根據題意計算復數的模即可.【詳解】因為復數對應的向量，所以，所以.故選：.2．（2023·全國·模擬預測）已知復數的共軛復數是，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，然后代入化簡，再結合復數相等的條件可求出，從而可求出復數.【詳解】設，則，所以，即，所以，解得，因此，故選：C．3．（2023下·寧夏銀川·高二寧夏育才中學校考期中）設復數，滿足，，復數在復平面內所對應的點分別為A，B，C，則三角形的面積為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】設，，根據復數的線性運算及幾何意義可得，，，，進而得到，可得，，，進而求解即可.【詳解】設，，則，所以，，，，所以，即，所以，又，，在中，過作，垂足為，則為中點，即，所以，所以.故選：D.

例二、解答題4．（2023·全國·高一隨堂練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)2(3)0(4)(5)(6)【分析】根據復數的加減運算求解.【詳解】（1）由題意可得：.（2）由題意可得：.（3）由題意可得：.（4）由題意可得：.（5）由題意可得：.（6）由題意可得：.5．（2023·全國·高一隨堂練習）類比復數加法的幾何意義，請寫出復數減法的幾何意義．【答案】答案見詳解【分析】根據復數的減法結合復數的幾何意義分析說明.【詳解】設，且在復平面內對應的向量分別為，可知，因為，設在復平面內對應的向量為，則，可知，即的差向量對應的復數即為，所以復數的減法可以按照向量的減法進行計算.知識點2.復數的乘、除運算例一、單選題1．（2024·河南·模擬預測）復數的實部與虛部之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】應用復數的乘除法化簡復數，進而求實部與虛部之和.【詳解】，所以實部與虛部之和為.故選：C2．（2023上·西藏林芝·高三統考期末）已知復數滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用復數的除法運算先求出，然后利用共軛復數定義求出即可解決問題.【詳解】因為，所以，所以，所以的虛部為2，故選：D.3．（2022上·安徽安慶·高三校考期末）若復數z滿足，則在復平面內對應的點在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】利用復數的除法運算及模長公式求出復數，再判斷即可得解.【詳解】由題意知，所以，所以，所以在復平面內對應的點為，在第一象限．故選：A．4．（2024·全國·模擬預測）已知，復數，且，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】先利用復數的相等列方程求，再進行復數的運算即可.【詳解】因為，且，所以，即，所以，解得，則，所以.故選:D.例二、解答題5．（2024·全國·高三專題練習）設，，，，為個復數．(1)如果，求證：；(2)若，則有什么樣的結果？【答案】(1)證明見解析(2)應有等式成立．【分析】（1）設出復數，表示共軛復數及復數的模，得到，，即可證明；（2）通過計算得到，結合（1）計算即可得到等式.【詳解】（1）設，則，，，由，得，，所以，即，，所以.（2）若，即，由（1）知，，所以，即，則，即個模相等且不為的復數，，，，應有等式成立．【方法練】一、單選題1．（2022·全國·校聯考模擬預測）下列關于復數的四個命題中，錯誤的是（

）A． B．C．z的共軛復數為1+i D．z的虛部為1【答案】B【分析】利用復數的運算法則計算出結果即可判斷四個選項正誤.【詳解】，則，選項正確；，選項不正確；的共軛復數為，選項正確；的虛部為，選項正確；故選：.2．（2021·四川成都·石室中學統考一模）已知（，，i為虛數單位），復數，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】對化簡，可求出復數，從而可求出【詳解】由，得．所以因為，所以，，所以．故選：A二、多選題3．（2022·山東濟南·統考模擬預測）若，，則（

）A． B．C．在復平面內對應的點在第二象限 D．是實數【答案】ABD【分析】利用復數的四則運算法則及復數的摸公式，結合復數的復數的幾何意義及復數的概念即可求解.【詳解】因為，所以A正確；因為，，所以B正確；因為，它在復平面內對應的點為，所以在復平面內對應的點在第一象限，所以C錯誤；因為，所以是實數，所以D正確．故選：ABD.4．（2023下·遼寧丹東·高一統考期末）在復平面內，是坐標原點，，則（

）A．的虛部為 B．C． D．【答案】BC【分析】根據復數的概念判斷A，根據復數代數形式的乘法運算及復數的模判斷B、C、D.【詳解】因為，所以的虛部為，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，所以，故D錯誤；故選：BC三、填空題5．若復數是純虛數，則實數的值是.【答案】【分析】先利用復數的除法運算化簡復數，再由實部等于，虛部不等于即可求解.【詳解】因為是純虛數，所以，解得，故答案為：.6．（2020下·高二課時練習）對個復數，，…，，如果存在不全為零的實數，，…，，使得等式，則稱復數，，…，線性相關；反之，稱為線性無關.那么復數，，的關系為.【答案】線性相關【分析】假定存在，，滿足等式，利用復數相等，建立方程組求解即可.【詳解】假定存在，，滿足等式，則有,，解得，，解得，若時，則全部為；若時，則全不為，假設，則有關系式，線性相關.故答案為：線性相關【點睛】本題考查了復數加法、復數相等、復數的新定義，屬于基礎題.四、解答題7．（2021·高一課時練習）（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【分析】根據復數四則運算法則計算、化簡即可求得結果.【詳解】（1），又，，，；（2）；（3）；（4），，；（5）；（6）.8．（2021·江蘇·高一專題練習）已知z是復數，z+2i、均為實數（i為虛數單位），（1）若復數在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．（2）若復數z1＝cosθ+isinθ（0≤θ≤π），求復數|z﹣z1|的取值范圍．【答案】（1）2＜a＜6；（2）．【分析】設,先利用已知條件求出復數z.（1）列出復數的實部與虛部滿足的不等式，求出范圍即可．（2）利用復數模求解三角函數的最值即可．【詳解】解：z是復數，、均為實數，設z＝x﹣2i，則，,．（1）復數（z+ai）2＝（4﹣2i+ai）2＝16﹣（2﹣a）2﹣8（2﹣a）i．復平面上對應的點在第一象限．，解得2＜a＜6．（2）復數（0≤θ≤π），復數．其中，且為銳角，，當時，左側取等號，當時右側取等號，．復數|z﹣z1|的取值范圍：．【點睛】本題考查復數的代數形式的混合運算，復數的基本概念的應用以及復數的模的求法．關鍵易錯點是誤認為的值域一定是[1,1],要注意先確定的正余弦和范圍，再根據的范圍確定的范圍，從而求得.【創新練】一、單選題1．（2022·江西·校聯考模擬預測）設i為虛數單位，，復數對應的點在第一象限的角平分線上，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據復數的乘方運算和除法運算求出復數，再根據復數的幾何意義可求出結果.【詳解】復數對應的點在第一象限的角平分線上，則，，又，∴.故選：C2．（2022·安徽馬鞍山·統考一模）復數滿足，則（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】由題可得，即得.【詳解】∵復數滿足，∴，∴.故選：B.二、多選題3．（2023·安徽滁州·校考模擬預測）設，是復數，則下列命題中正確的是（

）A．若是純虛數，則B．若，則C．若，則D．若復數滿足，則的最大值為【答案】CD【分析】根據純虛數的概念及乘法運算判斷A，取特殊值判斷B，利用復數的模及共軛復數的乘法運算判斷C，由復數模及不等式的性質判斷D.【詳解】對于A，因為是純虛數，所以設，則，所以A錯誤；對于B，取，，滿足，則不成立，所以B錯誤；對于C，設，因為，所以，因為，，所以，所以C正確；對于D，設，由，得，則可得，所以，時取等號，所以D正確.故選：CD4．（2023下·河北張家口·高一統考期末）實數x，y滿足，設，則（

）．A．z在復平面內對應的點在第一象限 B．C．z的虛部是 D．【答案】BCD【分析】利用復數相等求出復數，再逐項分析計算作答.【詳解】由，得，而，則，解得，即，對于A，復數在復平面內對應的點在第四象限，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，z的虛部是，C正確；對于D，，D正確.故選：BCD三、填空題5．（2022下·河南焦作·高二焦作市第一中學校聯考期中）已知復數是純虛數，則實數．【答案】【分析】由復數除法運算可化簡得到復數，由純虛數定義可構造方程求得.【詳解】，又為純虛數，，解得：.故答案為：.6．（2021·浙江·校聯考模擬預測）已知，，(是虛數單位)，則，.【答案】【分析】由復數乘法運算借助復數相等即可得a，b值而得解.【詳解】因，則有，而，，所以，解得，所以，.故答案為：；四、解答題7．（2023下·陜西西安·高一期中）計算下列各題:(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用復數的四則運算求解即可；（2）利用復數的四則運算求解即可.【詳解】（1）.；（2）..8．（2022·高一課時練習）在復數范圍內分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）結合復數運算求得正確答案.【詳解】（1）由于，所以.（2）由于，所以.【成果練】一、單選題1．（2020上·山西長治·高二山西省長治市第二中學校校考階段練習）設復數z滿足：，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先由，求出復數z，從而可得其共軛復數，進而可得答案【詳解】解：由，得，所以，所以在復平面內對應的點為，在第四象限，故選：D2．（2022·河南新鄉·統考一模）若，則的虛部為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據復數除法的運算法則，結合共軛復數的定義、復數虛部的定義進行求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以的虛部為1．故選：B二、多選題3．（2023下·山東·高一濱州一中校聯考期中）若，是方程的兩個虛數根，則（

）A．的取值范圍為 B．的共軛復數是C． D．為純虛數【答案】BCD【分析】，是方程的兩個虛數根，則，得，則根據一元二次方程方程的求根公式可知的共軛復數是，【詳解】由，得，A錯誤；因為原方程的根為，所以的共軛復數是，B正確；，C正確；因為等于或，所以為純虛數，D正確.故選：BCD.4．（2022下·全國·高一校聯考期中）已知為虛數單位，，，則下列選項中正確的有（

）A． B．的虛部為1C．在復數范圍內，為方程的根 D．【答案】BC【分析】根據虛數定義可判斷A；根據復數的分類可判斷B；把，代入驗證可判斷C；分別計算、可判斷D.【詳解】因為都是虛數，所以不能比較大小，故A錯誤；因為，所以的虛部為1，故B正確；因為，所以，所以為方程的根，故C正確；，，所以，故D錯誤.故選：BC.三、填空題5．（2022下·陜西咸陽·高二統考期中）若復數滿足（是虛數單位），則.【答案】【分析】根據復數的運算法則計算即可.【詳解】因為，所以.故答案為：.6．若為非零實數，則下列四個命題都成立：①②③若，則④若，則．則對于任意非零復數，上述命題仍然成立的序號是【答案】②④【詳解】對于①：解方程得ai，所以非零復數ai使得，①不成立；②顯然成立；對于③：在復數集C中，|1|=|i|，則?，所以③不成立；④顯然成立．則對于任意非零復數，上述命題仍然成立的所有序號是②④7．（2023·高一課時練習）設復數滿足，則．【答案】/【分析】設，結合條件根據復數相等列方程求即可.【詳解】設復數，因為，所以，，所以．故答案為：.8．（2023下·湖南衡陽·高一衡陽市一中校考期末）若復數，則z在復平面內對應的點的坐標為，【答案】1【分析】利用復數的運算法則求出z，即可得z在復平面內對應的點的坐標；利用共軛復數的概念求出，進而由模的公式求得.【詳解】，則z在復平面內對應的點的坐標為；，.故答案為：，1.四、解答題9．（2023下·海南省直轄縣級單位·高一校考期中）（1）化簡；（2）已知復數的，求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）應用復數的乘法計算即可；（2）先化簡得，再應用復數的除法運算可得結果.【詳解】（1）;（2）由已知得，∴.10．（2022下·廣西北海·高二統考期末）已知復數滿足：.(1)求復數；(2)化簡：.【答案】(1)(2)【分析】（1）設復數，根據復數的模的計算公式結合復數相等的定義，列出方程組，求出，從而可得出答案；（2）根據共軛復數的定義結合復數的模的計算公式及復數的除法運算計算即可得解.【詳解】（1）解：設復數，根據題意得，，則，；（2）解：由（1）得，則.11．（2021·高一單元測試）（1）已知復數，求.（2）已知是虛數單位，化簡復數：.【答案】（1）；（2）0；【分析】（1）利用復數的乘法、乘方運算化簡，根據共軛復數得到，進而求即可；（2）利用復數的四則運算，化簡求值即可；【詳解】（1），故，所以；（2）【點睛】本題考查了復數的概念以及四則運算，利用共軛復數概念得到共軛復數并求模，應用復數的四則運算化簡求值，注意、的應用；12．已知復數．（Ⅰ）當實數取什么值時，復數是純虛數；（Ⅱ）當時，化簡．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【詳解】試題分析：（Ⅰ）復數的實部為0,虛部不為0．（Ⅱ）當時，．先將整理即分母兩復數做加法,分子完全平方,之后再分母實數化即分子分母同乘以分母的共軛復數．試題解析：（Ⅰ）當時，解得，即時，復數為純虛數．（Ⅱ）當時，，13．（2022下·上海奉賢·高一校考期末）已知復數（其中、），存在實數，使成立．(1)求值：；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)3(2)【分析】（1）由，利用復