第一學期期末調研測試卷高二數學（理科）注意事項：1．本試卷共3頁，包括填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題~第20題）兩部分．本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘．2．答題前，請務必將自己的姓名、學校、班級、學號寫在答題卡的密封線內．試題的答案寫在答題卡上對應題目的答案空格內．考試結束后，交回答題卡．參考公式：圓錐的體積公式：V＝EQ\F(1,3)πr2h，側面積公式：S＝πrl，其中r，h和l分別為圓錐的底面半徑，高和母線長．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．1．命題“若ab＝0，則b＝0”的逆否命題是▲．2．已知復數z滿足z(1＋i)＝i，其中i是虛數單位，則|z|為▲．3．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2＝4x的焦點坐標是▲．4．“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的▲條件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中選一個填寫）．5．已知實數x，y滿足條件EQ\b\lc\{(\a\al(x≥0，,y≥1，,2x＋y－5≤0，))則z＝3x＋y的最大值是▲．6．函數f(x)＝xex的單調減區間是▲．xyOa31y＝f(x)lxyOa31y＝f(x)l（第7題圖）于點(a，3)．若f′(a)＝eq\f(2,3)，則實數a的值是▲．8．在平面直角坐標系xOy中，若圓(x－a)2＋(y－a)2＝2與圓x2＋(y－6)2＝8相外切，則實數a的值為▲．9．如圖，在三棱錐P—ABC中，M是側棱PC的中點，（第9題圖）ABCPM且eq\o(BM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＋zeq\o(AP,\s\up7(→))，（第9題圖）ABCPM則x＋y＋z的值為▲．10．在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的漸近線與拋物線x2＝4EQ\r(,3)y的準線相交于A，B兩點，則三角形OAB的面積為▲．11．在平面直角坐標系xOy中，若點A到原點的距離為2，到直線EQ\r(,3)x＋y－2＝0的距離為1，則滿足條件的點A的個數為▲．12．若函數f(x)＝x3－3x2＋mx在區間(0，3)內有極值，則實數m的取值范圍是▲．13．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓EQ\F(x2,a_x001F_2)＋EQ\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，直線AF2與橢圓的另一個交點為C．若eq\o(AF2,\s\up7(→))＝2eq\o(F2C,\s\up7(→))，則該橢圓的離心率為▲．14．已知函數f(x)＝x|x2－3|．若存在實數m，m∈(0，EQ\r(,5)]，使得當x∈[0，m]時，f(x)的取值范圍是[0，am]，則實數a的取值范圍是▲．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分14分）已知復數z＝EQ\F(2＋4mi,1－i)，（m∈R，i是虛數單位）．（1）若z是純虛數，求m的值；（2）設EQ\o(\s\up7(—),z)是z的共軛復數，復數EQ\o(\s\up7(—),z)＋2z在復平面上對應的點在第一象限，求m的取值范圍．16．（本題滿分14分）BB1（第16題圖）ADCA1C1D1EFG如圖，在正方體ABCD–A1B1C1D1中，點E，F，BB1（第16題圖）ADCA1C1D1EFG（1）求異面直線EF與DG所成角的余弦值；（2）設二面角A—BD—G的大小為θ，求|cosθ|的值．（本題滿分14分）如圖，圓錐OO1的體積為EQ\r(,6)π．設它的底面半徑為x，側面積為S．OO1（第17題圖）（1）試寫出SOO1（第17題圖）（2）當圓錐底面半徑x為多少時，圓錐的側面積最小？18．（本題滿分16分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C經過點A(1，3)，B(4，2)，且圓心在直線l：x－y－1＝0上。（1）求圓C的方程；（2）設P是圓M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一點，過點P作圓C的兩條切線PM，PN，M，N為切點，試求四邊形PMCN面積S的最小值及對應的點P坐標．19．（本題滿分16分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一條準線方程為x＝EQ\F(4EQ\r(,3),3)，離心率為EQ\F(EQ\r(,3),2)．（1）求橢圓C的方程；ONMAl1xl2yQ（第19題圖）（2）如圖，設A為橢圓的上頂點，過點A作兩條直線AM，AN，分別與橢圓CONMAl1xl2yQ（第19題圖）①設直線AM，AN的斜率分別是k1，k2，求k1k2的值；②過M作直線l1⊥AM，過N作直線l2⊥AN，l1與l2相交于點Q．試問：點Q是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請說明理由．20．（本題滿分16分）設函數f(x)＝EQ\F(1,2)ax2－1－lnx，其中a∈R．（1）若a＝0，求過點(0，－1)且與曲線y＝f(x)相切的直線方程；（2）若函數f(x)有兩個零點x1，x2，①求a的取值范圍；②求證：f′(x1)＋f′(x2)＜0．

第一學期期末檢測卷高二數學（文科）參考答案說明：1．本解答給出的解法供參考．如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．4．只給整數分數，填空題不給中間分數．一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1．“若b≠0，則ab≠0”2．EQ\F(EQ\r(,2),2)3．(1，0)4．充分不必要5．76．(－∞，－1)或(－∞，－1]7．4EQ\r(,5)8．39．310．3eq\r(3)11．(0，3)12．3EQ\F(EQ\r(,5),5)14．[－EQ\F(1,2e2)，e]二、解答題（本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（本題滿分14分）解（1）z＝EQ\F(2＋4mi,1－i)＝EQ\F((2＋4mi)(1＋i),(1－i)(1＋i))＝1－2m＋(2m＋1)i．……3分因為z是純虛數，所以1－2m＝0且2m＋1≠0，解得m＝EQ\F(1,2)．……6分因為EQ\o(\s\up7(—),z)是z的共軛復數，所以EQ\o(\s\up7(—),z)＝1－2m－(2m＋1)i．……8分所以EQ\o(\s\up7(—),z)＋2z＝1－2m－(2m＋1)i＋2[1－2m＋(2m＋1)i]＝3－6m＋(2m＋1)i．……10分因為復數EQ\o(\s\up7(—),z)＋2z在復平面上對應的點在第一象限，所以EQ\b\lc\{(\a\al(3－6m＞0，,2m＋1＞0，))……12分解得－EQ\F(1,2)＜m＜EQ\F(1,2)，即實數m的取值范圍為(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．……14分16．（本題滿分14分）解（1）由題意知，曲線C：x2＋(m2－6m)y2＝1是雙曲線，所以m2－6m＜0．……3分解得0＜m＜6，即m的取值范圍為(0，6)．……5分（2）由函數f(x)＝EQ\F(1,3)x3－mx2＋(2m＋3)x是單調增函數，可知f′(x)＝x2－2mx＋m＋3≥0恒成立．故△＝(－2m)2－4(2m＋3)≤0，解得－1≤m≤3．……8分因為p或q是真命題，p且q是假命題，所以p真q假或者p假q真．……11分因此EQ\b\lc\{(\a\al(0＜m＜6，,m＜－1或m＞3；))或者EQ\b\lc\{(\a\al(m≤0或m≥6，,－1≤m≤3．))故m的取值范圍是[－1，0]∪(3，6)．……14分17．（本題滿分14分）解（1）設圓錐OO1的高為h，母線長為l．因為圓錐的體積為EQ\r(,6)π，即EQ\F(1,3)πx2h＝EQ\r(,6)π，所以h＝EQ\F(3EQ\r(,6),x2)．……2分因此l＝EQ\r(,x2＋h2)＝EQ\r(,x2＋(EQ\F(3EQ\r(,6),x2))2)，從而S＝πxl＝πxEQ\r(,x2＋(EQ\F(3EQ\r(,6),x2))2)＝πEQ\r(,x4＋EQ\F(54,x2))，(x＞0)．……6分（2）令f(x)＝x4＋EQ\F(54,x2)，則f′(x)＝4x3－EQ\F(108,x3)，(x＞0)．……8分由f′(x)＝0，解得x＝EQ\r(,3)．……10分當0＜x＜EQ\r(,3)時，f′(x)＜0，即函數f(x)在區間(0，eq\r(3))上單調遞減；當x＞EQ\r(,3)時，f′(x)＞0，即函數f(x)在區間(eq\r(3)，＋∞)上單調遞增．……12分所以當x＝EQ\r(,3)時，f(x)取得極小值也是最小值．答：當圓錐底面半徑為EQ\r(,3)時，圓錐的側面積最小．………14分18．（本題滿分16分）解（1）設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圓心為(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))．因為圓C經過點A(1，3)，B(4，2)，且圓心在直線l：x－y－1＝0上，所以EQ\b\lc\{(\a\al(1＋9＋D＋3E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，,－EQ\F(D,2)＋EQ\F(E,2)－1＝0，))………4分解得EQ\b\lc\{(\a\al(D＝－4，,E＝－2，,F＝0．))所求圓C的方程為x2＋y2－4x－2y＝0．……7分（2）由（1）知，圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5．依題意，S＝2S△PMC＝PM×MC＝EQ\r(,PC2－5)×EQ\r(,5)．所以當PC最小時，S最小．……10分因為圓M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4，1)，半徑為1．因為C(2，1)，所以兩個圓的圓心距MC＝6．因為點P∈M，且圓M的半徑為1，所以PCmin＝6－1＝5．所以Smin＝EQ\r(,52－5)×EQ\r(,5)＝10．……14分此時直線MC：y＝1，從而P(－3，1)．……16分19．（本題滿分16分）解（1）設橢圓C：eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1的半焦距為c．由題意，得EQ\b\lc\{(\a\al(EQ\F(a2,c)＝EQ\F(4EQ\r(,3),3)，,EQ\F(c,a)＝EQ\F(EQ\r(,3),2)，))解得EQ\b\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝EQ\r(,3)，))從而b＝1．所以橢圓C的方程為eq\F(x2,4)＋y2＝1．……4分（2）①根據橢圓的性質，M，N兩點關于x軸對稱，故可設M(x0，y0)，N(x0，－y0)(x0≠0，y0≠0)，從而k1k2＝EQ\F(y0－1,x0)·EQ\F(－y0－1,x0)＝EQ\F(1－y02,x02)．……7分因為點M在橢圓C上，所以eq\F(x02,4)＋y02＝1，所以1－y02＝eq\F(x02,4)，所以k1k2＝EQ\F(1－y02,x02)＝EQ\F(1,4)．……10分②設Q(x1，y1)，依題意A(0，1)．因為l1⊥AM，所以EQ\F(y0－1,x0)·EQ\F(y1－y0,x1－x0)＝－1，即(y0－1)(y1－y0)＝－x0(x1－x0)；因為l2⊥AN，所以EQ\F(－y0－1,x0)·EQ\F(y1＋y0,x1－x0)＝－1，即(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0(x1－x0)，故(y0－1)(y1－y0)－(－y0－1)(y1＋y0)＝0，化得(y1＋1)y0＝0．……14分從而必有y1＋1＝0，即y1＝－1．即點Q在一條定直線y＝－1上．……16分20．（本題滿分16分）解（1）當a＝0時，f(x)＝－1－lnx，f′(x)＝－EQ\F(1,x)．設切點為T(x0，－1－lnx0)，則切線方程為：y＋1＋lnx0＝－EQ\F(1,x0)(x－x0)．……3分因為切線過點(0，－1)，所以－1＋1＋lnx0＝－EQ\F(1,x0)(0－x0)，解得x0＝e．所以所求切線方程為y＝－EQ\F(1,e)x－1．……5分（2）①考察函數g(x)＝x－1－lnx．g′(x)＝1－EQ\F(1,x)＝EQ\F(x－1,x)．當x∈(0，1)時，g′(x)＜0，函數g(x)在(0，1)上單調遞減；當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＞0，函數g(x)在(1，＋∞)上單調遞增，所以g(x)≥g(1)＝0，即當x∈(0，＋∞)時，lnx≤x－1恒成立．……8分②f′(x)＝ax－EQ\F(1,x)＝EQ\F(ax2－1,x)，x＞0．(i)若a≤0，則f′(x)＜0，所以函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，從而函數f(x)在(0，＋∞)上至多有1個零點，不合題意．……10分(ii)若a＞0，由f′(x)＝0，解得x＝EQ\F(1,EQ\r(,a))．當0＜x＜EQ\F(1,EQ\r(,a))時，f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減；當x＞EQ\F(1,EQ\r(,a))時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，所以f(x)min＝f(EQ\F(1,EQ\r(,a)))＝EQ\F(1,2)－lnEQ\F(1,EQ\r(,a))－1＝－EQ\F(1,2)－lnEQ\F(1,EQ\r(,a))．要使函數f(