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小學(xué)奧數(shù)思維訓(xùn)練

濃度與經(jīng)濟(jì)問題（經(jīng)典透析）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

題號一總分

得分

一、解答題

1.現(xiàn)有濃度為16%的糖水40千克，要得到含糖20%的糖水，可采用什么方法?

2.甲種酒精純酒精含量為72%,乙種酒精純酒精含量為58%,混合后純酒精含量為

62%.如果每種酒精取的數(shù)量比原來都多取15升，混合后純酒精含量為63.25%.問第一

次混合時(shí)，甲、乙兩種酒精各取多少升？

3.有甲、乙、丙三個(gè)容器，容量為1000毫升，甲容器的濃度為40%的糖水400毫

升；乙容器有清水400毫升，丙容器中有濃度為20%的糖水400毫升，先把甲，丙兩

容器中的糖水各一半倒入乙容器攪勻后，再把乙容器中的糖水200毫升倒入甲容器，

200毫升倒入丙容器，這時(shí)候甲、乙、丙容器中糖水的濃度各是多少？

4.A、B、C三個(gè)試管中各盛有10克、20克、30克水.把某種濃度的鹽水10克倒入

A中，混合后取出10克倒入B中，再混合后又從B中取出10克倒入C中，現(xiàn)在C中

的鹽水濃度是0.5%.最早倒入A中的鹽水濃度是多少？

5.某商店到水果產(chǎn)地去收購橘子，收購價(jià)為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是

400千米，運(yùn)費(fèi)為每噸貨物每運(yùn)1千米收1.50元。如果在運(yùn)輸及銷售過程中的損耗是

10%,商店要想實(shí)現(xiàn)25%的利潤率，零售價(jià)應(yīng)是每千克多少元？

6.某商場在迎元旦展銷期間，將一批電視機(jī)降價(jià)出售.如果打九折出售，可盈利215

元；如果打八折出售，虧損125元.此電視機(jī)的購入價(jià)是多少元？

7.甲、乙二人原有錢數(shù)相同，存入銀行，第一年的利息為4%,存入一年后利息降至

2%,甲將本錢和利息繼續(xù)存入銀行，而乙將一半本錢投資股市及房地產(chǎn)，獲利20%,

一年后，甲比乙賺到的錢的一半還少144元，則甲原來有多少元？

8.國家規(guī)定個(gè)人發(fā)表文章，出版圖書獲得稿費(fèi)的計(jì)算方法是：①稿費(fèi)不高于800元的

不納稅；②稿費(fèi)高于800元又不高于4000元的應(yīng)繳納超過800元的那一部分的14%的

稅：③稿費(fèi)高于4000元的應(yīng)繳納全部稿費(fèi)的11%的稅。今得知丁老師獲得一筆稿費(fèi)，

并且依法繳納個(gè)人所得稅420元，問丁老師這筆稿費(fèi)是多少元？又得知馬老師獲得一

筆稿費(fèi)，并且依法繳納個(gè)人所得稅550元，問馬老師這筆稿費(fèi)是多少元？

9.小剛家去年參加了家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額是20000元，每年的保險(xiǎn)費(fèi)是保險(xiǎn)金額

的0.3%.其家中被盜，丟失了一臺彩色電視機(jī)和一輛自行車，保險(xiǎn)公司賠償了2940

元.已知電視機(jī)的價(jià)格正好是自行車價(jià)格的7倍.如果要購買與原價(jià)相同的電視機(jī)和

自行車，那么加上已交的保險(xiǎn)費(fèi)，小剛家需比原來多花費(fèi)400元.電視機(jī)和自行車原

價(jià)各多少元？

參考答案:

1.加糖2千克，或者蒸發(fā)8千克水

【解析】

【分析】

原來糖水的濃度為16%,現(xiàn)在要將濃度變?yōu)?0%,是將濃度變大，通常首先會想到往溶液

中再加一下溶質(zhì).其實(shí)，我們也可以用“蒸發(fā)”的方法減少水的質(zhì)量來達(dá)到目的.

若用加糖的方法，水的質(zhì)量不變；若用蒸發(fā)的方法，糖的質(zhì)量不變.

【詳解】

解法一：采用加糖法，水的質(zhì)量保持不變.

原糖水中含水：40x（1-16%）=33.6（千克）也就是現(xiàn)在糖水中也是含水33.6千克，現(xiàn)在

水的濃度就是（1-20%）,現(xiàn)在糖水的質(zhì)量為：33.6+（1-20%）=42（千克）.

糖水增加的質(zhì)量就是要加的糖的質(zhì)量，所以要加糖：42-40=2（千克）

解法二：采用蒸發(fā)法，糖的質(zhì)量保持不變.

原糖水中含糖：40xl6%=6.4（千克），即為現(xiàn)在糖水中糖的質(zhì)量.現(xiàn)在糖水中含糖20%,

可求出現(xiàn)在糖水的質(zhì)量：6.4+20%=32（千克）.所以蒸發(fā)水：40—32=8（千克）.

答：可以加糖2千克，或者蒸發(fā)8千克水.

【點(diǎn)睛】

本題為典型的溶液混合題，只要抓住不變量，將混合前后各個(gè)量之間的關(guān)系聯(lián)系起來.有

時(shí)候利用不同的不變量，會有不同的解法.

2.甲取12升，乙取30升

【解析】

【分析】

這道題，我們可以把他看成一道分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)問題，首先選取單位力”，但是注意，兩次混合

就要選取兩次單位“1”,要對應(yīng)聯(lián)系起來，我們可以每次都選取乙為單位“1”.

【詳解】

解法一：第一次混合時(shí)甲種酒精用量是乙種酒精用量的分率為：（62%-58%）+（72%-

62%）=,；

3

第二次混合時(shí)甲種酒精用量是乙種酒精用量的分率（63.25%-58%）+（72%-63.25%）=

根據(jù)量率對應(yīng)的關(guān)系：

2023年-2024年

2

乙可取15引3；（5-3）一2；（5-2）卜（1-=）=30（升）

2

甲可取30X==12（升）.

解法二：可以采用“十字交叉相減”法，這個(gè)方法和杠桿原理很類似，兩種濃度不同的溶液

混合在一起，混合后的濃度一定在混合前兩種溶液的濃度之間，比大的小，比小的大，并

且接近質(zhì)量多的溶液.具體解體方法如下：

混合前甲，乙溶液濃度：

乙

交叉相減求差：62%-58%=4%72%-62%=10%

差的比值：4%10%

甲，乙溶液質(zhì)量的比值：25

第二次配比也是相同的方法

混合前甲，乙溶液濃度：

乙

交叉相減求差:63.25%-58%=5.25%72%-63.25%=8.75%

差的比值:5.25%8.75%

2023年-2024年

甲、乙溶液質(zhì)量的比值:35

這樣我們可以輕松的得到配比前兩種溶液質(zhì)量的比值，剩下的步驟就很容易了.

【點(diǎn)睛】

溶液的配比問題可以抓住不變量，利用方程或“十字交叉”法來解決.

3.甲：27.5%乙：15%丙：17.5%

【解析】

【分析】

對于涉及到多個(gè)變量反復(fù)操作的問題，我們最好采用列表處理的方法.

【詳解】

解：列表如下

甲

濃度溶液

開始40%400

第一次40%400-200=200

200x，

第二次

400

乙

濃度溶液

開始0400

200x，

第一次5

40。網(wǎng)網(wǎng)）秒則

第二次15%800-200-200=400

丙

濃度溶液

開始20%400

2023年-2024年

第一次40%400-200=200

200x：峭林3淋4清17

第二次

400

答：這時(shí)甲容器中糖水的濃度是27.5%,乙容器中糖水的濃度是15%,丙容器中糖水的濃

度是17.5%.

【點(diǎn)睛】

在做有關(guān)濃度的應(yīng)用題時(shí)，為了搞清楚溶質(zhì)質(zhì)量，溶液質(zhì)量的變化，尤其是多次變化的，

常用列表的方法，使它們之間的關(guān)系一目了然.

4.12%

【解析】

【分析】

可用倒推法的思想，先求出現(xiàn)在C管中糖的質(zhì)量，又因?yàn)镃中原來只有30g水，所以它的

糖是從B管取出的10g糖水中來的，由此可求出此前B管中糖的質(zhì)量.而B管中的糖又是

從A管中取出的10g糖水中來的，由此可求出A管里20g糖水中糖的質(zhì)量，即所求糖水中

的糖.

【詳解】

解法一：現(xiàn)在C管中的糖的質(zhì)量為(30+10)x0.5%=40x0.5%=0.2(g)

則此前B管中糖的質(zhì)量為：0.2-lOx(20+10)=0.6(g)

則此前A管中糖的質(zhì)量為0.6+lOx(10+10)=1.2(g),

最早到入A中的糖水濃度是12%.

解法二：設(shè)最早倒入A中糖水濃度為x,則A中糖水的濃度為10x+(10+10)=0.5x,

B中糖水的濃度為喘掾=：x

C中糖水的濃度為=

10+3024

所以—x=0.5%

24

x=12%.

答:最早倒入A中糖水的濃度為12%.

【點(diǎn)睛】

2023年-2024年

要想在解題過程中分清變化前后誰變了，誰沒變，緊緊抓住不變量是突破口.用倒推法能

讓思路清晰，避免糾纏于中間的變化過程.

5.2.50元

【解析】

【分析】

先求出每千克的成本價(jià)，然后根據(jù)售價(jià)=成本x（1+利潤率）。

【詳解】

每千克的運(yùn)費(fèi)是1.50x400-1000=0.60（元）

每千克的成本：

（1.20+0.60）（1-10%）

=1.8+0.9

=2.00（元）

零售價(jià)為：2.00X（25%+1）

=2x1.25

=2.50（元）

答：零售價(jià)應(yīng)是每千克2.50元。

【點(diǎn)睛】

本題的關(guān)鍵是搞清楚成本、利潤、售價(jià)、利潤率這幾個(gè)量的概念以及它們之間的關(guān)系。

6.2845元

【解析】

【詳解】

第二種方法比第一種多降了定價(jià)的20%-10%=10%,而導(dǎo)致第二種方法比第一種少賣了

215+125=340元.說明定價(jià)的10%就是340元.可以求出定價(jià)，也可以求出成本.

詳解過程：電視機(jī)的定價(jià)為：（215+125）+（20%-10%）=3400（元）

那么該電視機(jī)的購入價(jià)為：3400X（1-10%）-215=2845（元）

答：此電視機(jī)的購入價(jià)是2845元.

【點(diǎn)睛】

本題為折扣問題，是百分?jǐn)?shù)的典型應(yīng)用.注意折扣的單位“1”和利潤率的單位“1”不同，折

扣的單位“1”為原價(jià)（定價(jià)），利潤率的單位“1”為成本，注意區(qū)分和轉(zhuǎn)化.

7.10000元

2023年-2024年

【解析】

【分析】

本題為利息問題，本金X(1+利息'期數(shù))=本息

【詳解】

詳解過程：設(shè)甲和乙原有錢數(shù)都是X.

甲在銀行存了兩年，第一年利息為4%,錢變成了x(1+4%),接著再存了一年，第二年利

息是2%,本息和為x(1+4%)(1+2%),兩年賺的錢為：x(1+4%)(1+2%)-x=

0.0608x；

乙先將所有的錢在銀行存了一年，本息和為x(1+4%),第二年將一半本息接著存入銀

行，一半本錢投入股市，存入銀行的一年后本息和為gx(1+4%)(1+2%),投入股市的錢

一年后收入為:x(1+20%),乙兩年賺的錢為：

-x(1+4%)+-x(1+4%)(1+2%)+-x(1+20%)-x=0.1504x.

222

已知甲賺的比乙的一半還少144元，于是得到(144+0.0608x)x2=0.1504x,

解得x=10000元.

答：甲原來有10000元.

【點(diǎn)睛】

本題考察的是利息問題和利潤問題的綜合求解.在計(jì)算本息和時(shí)最好寫成X(1+4%),這

樣后面的也可以直接寫為x(1+4%)(1+2%)了，比較簡單明了方便計(jì)算.推而廣之，在

計(jì)算所有增加或者減少分率時(shí)都可以這樣處理，一般公式為單位'T'x(1士增加或減少分

率).

8.丁老師的稿費(fèi)為3800元，馬老師的稿費(fèi)為5000元

【解析】

【分析】

因?yàn)榈谝粰n的不納稅，先求出第二檔的要納稅錢數(shù)是多少，再用繳個(gè)人所得稅420元和

550元與第二檔的要納稅作比較，看屬于那個(gè)檔次再計(jì)算稿費(fèi)，據(jù)此解答。

【詳解】