2023年高考數學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知b為拋物線)，2=4x的焦點，點A在拋物線上，且|AF|=5,過點尸的動直線/與拋物線8,C交于兩點，。為

坐標原點，拋物線的準線與x軸的交點為M.給出下列四個命題：

①在拋物線上滿足條件的點A僅有一個；

②若尸是拋物線準線上一動點，貝！||PA|+|PO|的最小值為2至；

③無論過點尸的直線/在什么位置，總有=

④若點。在拋物線準線上的射影為。，則三點8、O、。在同一條直線上.

其中所有正確命題的個數為()

A.1B.2C.3D.4

2.如圖是二次函數/(幻=%2一法+a的部分圖象，則函數g(x)=alnx+/'(x)的零點所在的區間是()

a>b已知函數/*)=『1=，g(x)=—二一，則函數尸(X)=/(x)?g(x)的最小值

3.定義a?b='

b,a<b'2-sin-x2-cosx

為()

24

A.-B.1C.一D.2

33

34/

4.設正項等差數列｛%｝的前幾項和為S〃，且滿足S6-2邑=2,則以的最小值為

a2

A.8B.16C.24D.36

5.ABC的內角A,8,C的對邊分別為“，瓦c,若(2。一切cosC=ccosB,則內角C=(

兀

6

6.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為”,b,c,已知。=0/=1,8=3（）,則4為（）

A.60B.120C.60或150D.60或120

7.某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長均為1,則該幾何體的體積是（)

3283216

一+一萬D.---h-71

333333

8.復數z滿足z-1=（z+1）i（i為虛數單位），則z的值是（)

A.1+zB.1C.i

z.

9.復數Z1=2+i,若復數Z1,Z2在復平面內對應的點關于虛軸對稱，則」?等于（）

Z?

3+4i3+4/-3+4Z

A.B.-----C.-3+4zD.------

555

10.已知A3是過拋物線f=4x焦點尸的弦，。是原點，則（）

A.-2B.-4C.3D.-3

11.設點A（f,0）,尸為曲線>=爐上動點，若點A,尸間距離的最小值為木，則實數f的值為（）

5cIn2cIn3

A.亞B.-C.2H----D.2+—

222

12.如圖，矩形A8CZ）中，AB=\,BC=拒，E是40的中點，將△ABE沿8E折起至，記二面角A—

的平面角為a,直線A'E與平面8CDE所成的角為力，AE與8c所成的角為7,有如下兩個命題：①對滿足題意的

任意的A的位置，a+/3<7i；②對滿足題意的任意的A'的位置，a+Y<7r,貝！］（）

A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立D.命題①不成立，命題②成立

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在體積為V的圓柱QO?中，以線段OU上的點。為項點，上下底面為底面的兩個圓錐的體積分別為匕，

V4-V

匕，則，^上的值是.

14.某高校組織學生辯論賽，六位評委為選手A成績打出分數的莖葉圖如圖所示，若去掉一個最高分，去掉一個最低

分，則所剩數據的平均數與中位數的差為.

82357

9S8

15.在ASC中，內角A、B、。的對邊長分別為a、b、c,已知/一02=28，且sinAcosC=3cosAsinC,則

b=.

16.已知尸為拋物線C：*2=8y的焦點，尸為c上一點，A/(-4,3),則APM尸周長的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=t

17.(12分)已知直線/的參數方程：\-(/為參數)和圓C的極坐標方程：Q=2sin6

y=\+2t

(1)將直線/的參數方程化為普通方程，圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；

(2)已知點M(l,3),直線/與圓C相交于A、B兩點,求+的值.

18.(12分)圖1是由矩形AOEB,RtAA8c和菱形8FGC組成的一個平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,N尸BC=60。,

將其沿AB,BC折起使得BE與5尸重合，連結。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面A8CL平面8CGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

A

r)t

19.(12分)已知函數/(幻=,一1|+,一。|

(I)當"=2時，解不等式/(x)N4.

(II)若不等式/(%)22。恒成立，求實數"的取值范圍

20.(12分)設函數/(x)=k+a],a>0.

(I)當a=2時，求不等式的解集；

(H)若函數g(x)=/(x)+/(l-x)的圖象與直線y=11所圍成的四邊形面積大于2(),求"的取值范圍.

21.(12分)已知ae(0詞，匹住兀)，cos〃=-；,sin(a+^)=1.

(1)求sina的值；

(2)求tan[a+,)的值.

22.(10分)如圖1,在等腰梯形A8KE中，兩腰Ag=B6=2,底邊AB=6,6入=4,D,。是43的三等

分點，E是￡工的中點.分別沿CE,OE將四邊形BCE￡和AD.折起，使耳，F2重合于點尸，得到如圖2所示

的幾何體.在圖2中，M，N分別為CO,Eb的中點.

國2

(1)證明：A&V1Y?ABCD.

(2)求直線CN與平面廠所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

①：由拋物線的定義可知|4目=。+1=5,從而可求A的坐標；②：做A關于準線x=—1的對稱點為A',通過分析

可知當A',P,O三點共線時|Q4|+|PO|取最小值，由兩點間的距離公式，可求此時最小值|A'O|；③：設出直線/方程,

聯立直線與拋物線方程，結合韋達定理,可知焦點坐標的關系，進而可求kMH+kMC=0,從而可判斷出NOMB/OMC

的關系；④：計算直線。208的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進而可判斷三點B、O、。在同一條直線上.

【詳解】

解：對于①，設&。力），由拋物線的方程得尸（1,0）,貝!!|4目=a+l=5,故a=4,

所以A（4,4）或（4,T）,所以滿足條件的點A有二個，故①不正確；

對于②，不妨設4（4,4）,則A關于準線x=—1的對稱點為A'（-6,4）,

^.\P^+\OP\=\PA'\+\OP\>\A'O\=452=2>/13,

當且僅當A',P,O三點共線時等號成立，故②正確；

對于③，由題意知，/（—1,0）,且/的斜率不為0,則設/方程為：x=〃少+1（加二0）,

設I與拋物線的交點坐標為6（玉,y）,C（%,斗），聯立直線與拋物線的方程為，

x=my+1、

<2\，整理得y2—4my—4=0,則X+%=4乂%二一4，所以

y=4x

22

x,+x2=4m2+2,x[x2—（沖1+l）（7ny2+1）=-4T?2+4m+1=1

+k=y，乃）'|（工2+1）+）'2（的+1）2），|+2上+2，町，|%

人JMB叱―玉+]/+]-（X1+l）（x2+l）"玉+/+%々+1

2X4^77—2/77X4

==0.故MB,MC的傾斜角互補,所以NQW8=NOWC,故③正確.

4〃/+2+1+1

對于④，由題意知。（一1,%），由③知，M+必=4，〃,弘必=~4

八

7y47..44+y.y2

則勺用=一=一，％。/>=_%,由左。8_自。=一+%=--------=0，

王弘y必

知koB=k0D，即三點3、。、。在同一條直線上，故④正確.

故選:C.

【點睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關系，考查了拋物線的性質，考查了直線方程，考查了兩點的

斜率公式.本題的難點在于第二個命題，結合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.

2.B

【解析】

根據二次函數圖象的對稱軸得出。范圍，.V軸截距，求出。的范圍，判斷g(x)在區間端點函數值正負，即可求出結論.

【詳解】

-f(x)=x2-bx+a,結合函數的圖象可知，

二次函數的對稱軸為x=2,0</(0)=。<1,

2

1h

—<%=—<!,Vf\x)=2x-h9

所以g(x)=。In尤+/'(%)=。Inx+2x-Z?在(0,+8)上單調遞增.

又因為In+1-Z?<0,g(l)=aIn1+2一〃>0,

所以函數g(x)的零點所在的區間是6』).

故選:B.

【點睛】

本題考查二次函數的圖象及函數的零點，屬于基礎題.

3.A

【解析】

根據分段函數的定義得F(x)>/(x),F(x)>g(x),則2F(x)>/(x)+g(x)，再根據基本不等式構造出相應的所需的

形式，可求得函數的最小值.

【詳解】

依題意得尸(x)?/(x),F(x)>g(x),貝1]2F(x)2/(x)+g(九),

f(x)+g(x)=-----5—+---1

12222

3^2-sin%+2-COS2X)[(2-sinx)+(2-cosx)]

2-sin-x2-cos-x

二22-cos2x2-sin2x)>1(2+2.2-cos2x2-sin2%_4(當且僅當2-cos2x_2-sin2x

------o'-------2-,即

2-sim2-cosx2-sin2x2-COS2X32-sin2x2-cos2x

sii?x=cos2x=g時“=”成立.此時,/(x)=g(x)=|■，二2F(x)f(x)的最小值為g,

故選：A.

【點睛】

本題考查求分段函數的最值，關鍵在于根據分段函數的定義得出2R(x)N/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題.

4.B

【解析】

方法一：由題意得S<「2S3=(S6-S3)-舄=2,根據等差數列的性質，得59-56總-53，/成等差數列，設53=X(X>0),

-

rn.icc,nc<?_ri4mn3a8-(3%)_(%+/+%)_(S9~S6)(x+4)16??I16^?.4

貝U5一、=x+2,-"=%+4,貝[j---——-------------=---------=-------=XH----F8>2.lx---1-8=16,

%3a2q+%+%S3xxNx

o2

當且僅當x=4時等號成立，從而％的最小值為16,故選B.

a2

方法二：設正項等差數列｛4｝的公差為d,由等差數列的前〃項和公式及邑-2s3=2,化簡可得

64+號4-2(34+當d)=2,即d=|,則3%、3(%+64=3(%+31+J6_+8>2L.JI+8=16,當且

229%%423a2N23生

僅當3%=普，即w=3時等號成立，從而且的最小值為16,故選B.

3出3a2

5.C

【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數恒等變換可得.

【詳解】

V(2(7-h)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sinB)cosC=sinCcosB,

:.2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

1JI

三角形中sinA/O,二cosC=—,C=一.

23

故選：C.

【點睛】

本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關鍵.

6.D

【解析】

由正弦定理可求得sinA=火，再由角A的范圍可求得角4.

2

【詳解】

由正弦定理可知，一=一也，所以M-=—L—,解得sinA=",又0<A<180，且。>人，所以A=60°或

sinAsinBsinAsin302

120’。

故選：D.

【點睛】

本題主要考查正弦定理，注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎題.

7.B

【解析】

該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4,

底面半徑為2,則其體積為V=—x4x4x2+—x-x^-x4x4,

223

8

=1ir6d---7T.

3

故選B

點睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正

視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據三視圖進行調整.

8.C

【解析】

直接利用復數的除法的運算法則化簡求解即可.

【詳解】

由z-l=(z+l)i得：z=~^=/~~\=i

'71-z(l+i)(l-?)

本題正確選項：C

【點睛】

本題考查復數的除法的運算法則的應用，考查計算能力.

9.A

【解析】

Z,

先通過復數Z1,Z2在復平面內對應的點關于虛軸對稱，得到Z2=-2+i,再利用復數的除法求解」.

Z2

【詳解】

因為復數4*2在復平面內對應的點關于虛軸對稱，且復數Z1=2+i,

所以Z2=-2+i

班以五=

2+i=2+i(_2-i)=_3_4

所以Z2-2+i(-2+z)(-2-z)55

故選：A

【點睛】

本題主要考查復數的基本運算和幾何意義，屬于基礎題.

10.D

【解析】

,設AB：x=my+l,聯立方程得到y%=-4,計算

OAOB=^^+

16

【詳解】

,故0408=皿2_+,力?

x=my+]

易知直線斜率不為0,設AB：X=my+19聯立方程

y1=4x

得到,2—4/〃），_4=0,故故04.06=A^+X%=_3.

故選：D.

【點睛】

本題考查了拋物線中的向量的數量積，設直線為x=my+1可以簡化運算，是解題的關鍵.

11.C

【解析】

設P(x,e*),求|AP『，作為x的函數，其最小值是6,利用導數知識求|AP『的最小值.

【詳解】

設P(x,e*),貝U|AP『=(x—f)2+e2x,記g(x)=e2，+(xT)2,

g'(x)=2e2'+2(xT),易知g'(x)=2e2，+2(x—f)是增函數，且g'(x)的值域是R,

二g'(X)=O的唯一解X。，且》<尤0時，g'(尤)<0,X>X()時，g'(X)>0,即g(X)min=g(Xo),

u

由題意g(x())=e~"+(%>—。一=6,而g'(x0)=2e~"+2(%0—7)=(),x0—t=—e'"',

.?.e2~+e4.%=6,解得e?刈=2，x=—.

02

2V,?In2

t-6~"+=2d—.

故選：C.

【點睛】

本題考查導數的應用，考查用導數求最值.解題時對七和f的關系的處理是解題關鍵.

12.A

【解析】

作出二面角。的補角、線面角夕、線線角/的補角，由此判斷出兩個命題的正確性.

【詳解】

①如圖所示，過A'作A0_L平面BCDE,垂足為。，連接OE,作OM工BE,連接A".

由圖可知NAA/O=萬一a,NAE。=夕<NAA/O=)一a,所以a+64萬，所以①正確.

②由于BC//DE,所以AE與8C所成角/=萬一/4后。4/4,加0="一。，所以a+所以②正確.

綜上所述，①②都正確.

故選：A

【點睛】

本題考查了折疊問題、空間角、數形結合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.一

3

【解析】

根據圓柱。Q的體積為V,以及圓錐的體積公式，計算即得.

【詳解】

1111v+V1

由題得，-oo,+-saOQ=[S限。。2=1丫，得六7上=不

3O1333V3

故答案為：—

3

【點睛】

本題主要考查圓錐體的體積，是基礎題.

3

14.-

2

【解析】

先根據莖葉圖求出平均數和中位數，然后可得結果.

【詳解】

1|75

剩下的四個數為83,85,87,95,且這四個數的平均數工=^(83+85+87+95)=寸，這四個數的中位數為

11753

-(85+87)=86,則所剩數據的平均數與中位數的差為可■-86=].

【點睛】

本題主要考查莖葉圖的識別和統計量的計算，側重考查數據分析和數學運算的核心素養.

15.4

【解析】

VsinAcosC=3cosAsinC

"24-A>2_2*4.八2_2

...根據正弦定理與余弦定理可得：ax"。Y=3xxc,即2c2=2片一/

lab2bc

?a:2—c2=2b

:.b1=4b

?附0

?'?。=4

故答案為4

16.5+V17

【解析】

△的周長最小，即求IPM1+IPRI最小，過P做拋物線準線的垂線，垂足為Q,轉化為求1PMi+IPQI最小,

數形結合即可求解.

【詳解】

如圖，尸為拋物線C：妙=89的焦點，尸為C上一點，M(-4,3),

拋物線C：3=8y的焦點為尸(0,2),準線方程為7=-2.

過P作準線的垂線，垂足為Q,則有IP/RPQI

\PM\+\PFHPM\+\PQ\>\MQ\=5,

當且僅當M,P,Q三點共線時，等號成立，

所以△PMF的周長最小值為5+J(-4)2+(3—2)2=5+.

故答案為：5+V17.

【點睛】

本題考查拋物線定義的應用，考查數形結合與數學轉化思想方法，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)I：y=2x+l,C：x2+(y-l)2=l；(2)275

【解析】

(1)消去參數/求得直線/的普通方程，將。=2sin8兩邊同乘以「，化簡求得圓C的直角坐標方程.

(2)求得直線/的標準參數方程，代入圓的直角坐標方程，化簡后寫出韋達定理，根據直線參數的幾何意義，求得

的值.

【詳解】

(1)消去參數/,得直線/的普通方程為y=2x+l,

將夕=2sin。兩邊同乘以0得夕2=2psin0,x2+(y-l)=1,

???圓C的直角坐標方程為爐+(y-I?=1；

x=iA

(2)經檢驗點M(l,3)在直線/上，|T+2/可轉化為<§①,

1+c二2V5

將①式代入圓C的直角坐標方程為1『=1得1+苧,+(竽,+2)=1,

化簡得產+2百+4=0，

設是方程/+2括/+4=0的兩根，則4+弓=一2石，丫2=4,

：￥2=4>0,；?八與今同號，

由t的幾何意義得|M4|+=W+囿=卜|+J|=26.

【點睛】

本小題主要考查參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程，考查利用直線參數的幾何意義求解距離問題,

屬于中檔題.

18.⑴見詳解；⑵30.

【解析】

⑴因為折紙和粘合不改變矩形ABE。，RtABC和菱形BFGC內部的夾角，所以AO//BE,BE//CG依然成立,

又因E和尸粘在一起，所以得證.因為AB是平面BCGE垂線，所以易證.(2)在圖中找到8-CG-A對應的平面角，

再求此平面角即可.于是考慮B關于GC的垂線，發現此垂足與A的連線也垂直于CG.按照此思路即證.

【詳解】

(1)證：AD//BE,BF//CG,又因為E和尸粘在一起.

AD//CG,A,C,G,D四點共面.

又AB±BE,AB±BC.

二平面BCGE,/Wu平面ABC,二平面ABC1平面BCGE,得證.

⑵過B作BHJ.GC延長線于H,連結AH,因為ABJ.平面BCGE,所以A3_LGC

而又8”_LGC,故GC_L平面H4B,所以AH1GC.又因為BH1GC所以是二面角B-CG-A的平面角,

而在中NB"C=90，又因為NEBC=60故NBCH=60，所以BH=8Csin60=6

而在A3”中NABH=90,tanN8”4=A曰=1==也，即二面角3-CG-A的度數為30.

BH布,3

【點睛】

很新穎的立體幾何考題.首先是多面體粘合問題，考查考生在粘合過程中哪些量是不變的.再者粘合后的多面體不是

直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法.最后將求二面角轉化為求二面角的平面角問題考查

考生的空間想象能力.

19.(I),XX<--，或X>—?；(II)|-8,—.

I22J5I3」

【解析】

試題分析：⑴根據零點分區間法，去掉絕對值解不等式；(2)根據絕對值不等式的性質得/(力且。-1|,因此將問

題轉化為|。一1|?2。恒成立，借此不等式即可.

試題解析:

“\X<1l<x<2x>2

（I）由得，或<或

3—Z.X241>42x-3>4

17

解得：x<—>—

22

I7

所以原不等式的解集為=，Mr>-

22

(n)由不等式的性質得：y(x)>|?-i|,

要使不等式/(X)之2a恒成立，則1|22a

當a40時，不等式恒成立；

當a>0時，解不等式|。一1122a得0<a<；.

綜上a<一.

3

所以實數。的取值范圍為;，」.

I3)

20.(1)(—oo,—l)u(2,+oo)(2)(0,4)

【解析】

(I)當4=2時，不等式為|x+2|<d.

若xN-2,則冗+2<%2,解得x>2或xv-l,結合1>-2得x>2或-2<xv-l.

若x<—2,則一x—2<d，不等式恒成立，結合xv—2得xv—2.

綜上所述,不等式解集為(f,-1)口(2,+8).

2x-l,x>6Z+1

(n)g(x)=H+4+|x-a-l|=<2a+l,-〃<x<a+l

—2x+1,x?-ci

則g(X)的圖象與直線y=11所圍成的四邊形為梯形，

令2x—1=11,得x=6,令—2x+l=ll,得％=—5,

則梯形上底為2。+1,下底為11,高為11-(2a+l)=10-2a.

S=——\——^(10-2a)>20.

化簡得/+。—20<0,解得—5<a<4,結合a>0,得"的取值范圍為(0,4).

點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是

運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函

數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向.

21.(1)-(2)辿

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【解析】

(1)先利用同角的三角函數關系解得sin/3和cos(a+。)，再由sina=sin[(a+4)一尸]，利用正弦的差角公式求解

即可；

(2)由(1)可得tana和tan￡,利用余弦的二倍角公式求得tan§,再由正切的和角公式求解即可.

【詳解】

解：(1)因為尸4),cos￡=-；,

所以sin'=-cos2p=

又ae，故a+夕G

所以cos(a+/?)=-Jl-sin“a+