2024年1月19日19時23分

流體力學

流體力學的任務與研究對象

流體力學是研究流體運動規律及其應用的科學，是力學的一個重要分支。流體力學研究的對象——液體和氣體。固體有一定的體積和一定的形狀；液體有一定的體積而無一定的形狀；氣體既無一定的體積也無一定的形狀。固體、液體和氣體的宏觀表像差異：流體力學的發展簡史流體力學發展簡史第一階段（16世紀以前）：流體力學形成的萌芽階段第二階段（16世紀文藝復興以後-18世紀中葉）流體力學成為一門獨立學科的基礎階段第三階段（18世紀中葉-19世紀末）流體力學沿著兩個方向發展——歐拉、伯努利第四階段（19世紀末以來）流體力學飛躍發展第一階段（16世紀以前）：流體力學形成的萌芽階段西元前2286年－西元前2278年大禹治水——疏壅導滯（洪水歸於河）（傳說）西元前300年左右（秦帝國）鄭國渠、都江堰、靈渠西元584年－西元610年隋朝南北大運河、船閘應用；埃及、巴比倫、羅馬、希臘、印度等地水利、造船、航海產業發展系統研究古希臘哲學家阿基米德《論浮體》（西元前250年）奠定了流體靜力學的基礎都江堰位於四川省都江堰市城西，是中國古代建設並使用至今的大型水利工程，被譽為“世界水利文化的鼻祖”。通常認為，都江堰水利工程於西元前256年左右修建的，是全世界迄今為止，年代最久、唯一使用至今、以無壩引水為特徵的宏大水利工程。

秦帝國修建了三條渠：鄭國渠、都江堰、靈渠對於水利工程除了地質要求外，還有三個重要自然因數需要解決。①汛期的防洪；②枯水期的正常使用；③泥沙淤積問題。

都江堰

第二階段（16世紀文藝復興以後-18世紀中葉）流體力學成為一門獨立學科的基礎階段1586年斯蒂芬——水靜力學原理1612年伽利略——物體沉浮的基本原理1650年帕斯卡——“帕斯卡原理”1686年牛頓——牛頓內摩擦定律1738年伯努利——理想流體的運動方程即伯努利方程1775年歐拉——理想流體的運動方程即歐拉運動微分方程第三階段（18世紀中葉-19世紀末）流體力學沿著兩個方向發展——歐拉（理論）、伯努利（實驗）工程技術快速發展，提出很多經驗公式

1769年謝才——謝才公式（計算流速、流量）

1895年曼寧——曼寧公式（計算謝才係數）

1732年比托——比託管（測流速）

1797年文丘裏——文丘裏管（測流量）理論

1823年納維，1845年斯托克斯分別提出粘性流體運動方程組（N-S方程）第四階段（19世紀末以來）流體力學飛躍發展理論分析與試驗研究相結合量綱分析和相似性原理起重要作用

1877-1878年LordRaleigh——在其《聲理論》中闡述了“因次方法”

1883年雷諾——雷諾實驗（判斷流態）

1903年普朗特——邊界層概念（繞流運動）

1911年，俄國人A.Federmann和Raibouchinsky分別發現了量綱分析的基本定理

1914年，美國人E.Buckingham引入了術語“

-定理”

1933-1934年尼古拉茲——尼古拉茲實驗（確定阻力係數）

……流體力學與相關的鄰近學科相互滲透，形成很多新分支和交叉學科第1章流體力學的基本概念1.1

流體力學的研究方法理論研究方法

力學模型→物理基本定律→求解數學方程→分析和揭示本質和規律實驗方法相似理論→實驗建模→實驗（《現代實驗方法》）數值方法電腦數值方法是現代分析手段中發展最快的方法之一。（研究生學習階段）理論分析方法、實驗方法、數值方法相互配合，互為補充1.2

連續介質假設剛體：有形狀、有體積液體：無形狀、有體積氣體：既無形狀、也無體積1.2

連續介質假設[contd.]假設流體是由一個接一個、連續充滿空間的具有確定品質的流體微團（或流體質點）組成的。微團之間無孔洞，在運動過程中相鄰微團之間不能超越也不能落後，微團變形過程中相鄰微團永遠連接在一起。（連續性）其目的是在流體力學研究中，利用連續函數的概念和場論的方法。流體力學的模型①連續介質流體微元——具有流體宏觀特性的最小體積的流體團②理想流體不考慮粘性的流體③不可壓縮性ρ=c1.3

作用在流體上的力應力場根據作用方式的不同，可將力分為品質力和表面力。1.3.1品質力：如：重力、慣性力、電磁①單位品質力單位品質力具有加速度量綱力作用在所研究的流體品質中心，與品質成正比式中：流體微元體的品質；：作用在該微元體上的品質力；單位品質流體所受的品質力稱為單位品質力，記作②重力單位品質重力x圖1-1

作用在流體表面的品質力與表面力zyΔP表面力③慣性力單位品質慣性力1.3.2.表面力：①應力切線方向：切向應力——剪切力內法線方向：法向應力——壓強ΔPΔAΔPnΔPt剪切力：流體相對運動時，因粘性而產生的內摩擦力表面力具有傳遞性外界對所研究流體表面的作用力。與所作用的表面積大小成正比圖1-1作用在流體表面的品質力與表面力zyx小結：流體表面所受的力有兩類：①品質力；②表面力。1.3.3.應力場：圖1-2一點處的應力MABnt圖1-3一點處的應力關係（四面體）O

nzxyA

B

C

MO

zy-xC

B

正面負面M（b）（a）對於圖1-2，在外法線為n的面上的點M的的應力為：該應力可分解為如圖1-3所示的分力：正面：負面：指外法線為n的面上見下頁，過點M的法向應力和切向應力均為作用面法向單位向量n的函數。這是表面應力的一個重要特徵。根據牛頓第三定律：x、y、z方向上的面積投影關係：（1-7）則最終作用在四面體四個微元面積上的總外表面力分別為：作用在四面體上的外力還有品質力（包括慣性力）根據達朗伯原理：其中四面體ABC面的高（1-9）當四面體趨向於點M時，，則（1-9）式可變為（1-11）應力在三個方向上的投影形式為（1-12）應力所在平面法線法向應力的方向將（1-12）改為矩陣形式（1-13）（1-14）切向應力④靜止和理想流體中的應力場由（1-14）（1-15）靜止流體不顯示粘性，理想流體模型無粘性。根據靜止流體和理想流體的性質可知，流體靜力學中的壓強1.4

流體的性質及其模型的分類1.4.1易流動性任何微小的剪切力都可以使流體連續變形的性質稱為流體的易流動性。靜止流體不能抵抗剪切力，即不顯示粘性。與固體相比，流體微團的易流動性，使其不能用位移和變形量本身來量度，而必須用速度和變形速度來量度。1.4.2慣性連續介質範圍分子效應範圍振盪範圍OM微元體圖1-4一點處密度的定義點密度對於均質流體1.4.3重力特徵均質流體的重度，又稱均質流體容重非均質流體任意一點的重度（1-23）fluidelementxydyxFux靜止板恒定速度ux二板的面積均為A圖1-5PlanarCouette（庫愛特粘度計）1.4.4粘性Viscosity理想流體模型Thisratioisusedtodefinetheshearviscosity,η（eit

）.Theshearviscositymaydependontemperature,pressure,andshearrate.velocitygradientorshearrate1687年，IsaacNewton首先提出了流體粘度的模型。儘管Newton定義的粘度是理想的。但對於諸如低分子液體、稀薄的氣體，在許多條件下仍然適用；然而對於諸如聚合物、溶液、熔液、血液、油墨和膠體懸浮液不能用Newton定律進行描述。這樣的流體被稱為

non-Newtonian.1.4.5粘性係數對於二維平面

Couette流,Newton定義的粘度可以由下式給出（1-27）Eq.(1-27),whereistheshearstress,andμ,afunctionoftemperatureandpressure,isthecoefficientofviscosityorsimplytheviscosity.

absoluteviscosity因此對於Newtonianfluid

η=μ。注意：μ是Newtonian-model參數,其與溫度和壓力有關；而η是一個更一般的材料特性，可以隨剪切率做非線性變化。h與m概念不相同1.4.6速度梯度的物理意義——角變形速度（剪切變形速度）流體與固體在摩擦規律上完全不同固體：與正壓力成正比，與速度無關流體：與成正比O塑性流體脹塑性流體牛頓流體假塑性流體圖1-7牛頓流體與非牛頓流體Theabsoluteviscosityofafluiddividedbyitsdensity.Alsoknownascoefficientofkinematicviscosity（運動粘度，相對粘度）.1.4.7kinematicviscosity運動粘度（1-32）與溫度有關單位與溫度和壓力有關；單位RelativeViscosity（相對粘度）

Itiscalculatedexperimentallybymeasuringthe

timethatittakesforthepuresolventtopassthroughacertaintube,incertainconditions,andcomparingitwiththetimeittakesforthesolutiontopassthroughthesametube,inthesamecondition.ThetermApparentViscosity（表觀粘度）isusedwhenyoucalculatetheviscosityofanon-Newtonianfluidbyapplyingequationsthatarederived（派生、起源）fortheviscosityofaNewtonianfluid.Soitisnottheactualviscosity.kinematic

viscosity[contd.]

Englerdegree（恩氏度）0E——

中國、德國前蘇聯等用

SayboltFurolSecond

（賽氏秒)SSU——

美國用

Redwood（雷氏秒）R——

英國用

巴氏度0B——

法國用恩氏粘度與運動粘度之間的換算關係

ν=（7.310E-6.31/0E）×10-6InChina,ascaleusedasameasureofkinematicviscosity.Symbol,Eor°E.UnliketheSayboltandRedwoodscales,theEnglerscaleisbasedoncomparingaflowofthesubstancebeingtestedtotheflowofanothersubstance,namelywater.ViscosityinEnglerdegreesistheratioofthetimeofflowof200cubic（立方）centimetersoftheoilwhoseviscosityisbeingmeasuredtothetimeofflowof200cubiccentimetersofwateratthesametemperature(usually20°Cbutsometimes50°Cor100°C)inastandardizedEnglerviscositymeter.TheEnglerdegreeisnamedforCarlOswaldViktorEngler，Germany，(1842-1925).

Englerdegreekinematic

viscosity[contd.]恩氏粘度用恩氏粘度計測定，即將200ml被測液體裝入恩氏粘度計中，在某一溫度下，測出液體經容器底部直徑為φ2.8㎜小孔流盡所需的時間t1，與同體積的蒸餾水在20℃時流過同一小孔所需的時間t2（通常t2=52s）的比值，便是被測液體在這一溫度時的恩氏粘度。SymbolsSSU,SUS.USAAscheme（體系）

formeasuringviscosity,beingthesecondsrequiredfor60mLoffluidtopassthroughaspecifiedorifice（節流孔）.TheSayboltFurolSecondisavariantusedforheavieroils,beingabouttentimestheSUS.TheusualconversionfromSUStokinematicviscosityincentistokesis,forreadingS

SayboltFurolSecondkinematic

viscosity[contd.]SymbolRed,specificallyRedIandRedII.UKAschemeformeasuringviscosity,beingthesecondsrequiredforadefinedvolumeoffluidtopassthroughaspecifiedorifice,therebeingscalesIandII;forlighteroils1secRedI=4to7centipoises;forheavieroils1secRedIIisabouttentimestheformer.

RedwoodPropertiesofhydraulicfluids[contd.]Viscosity:well-knownTemperaturedependenceUbbelohde(厄布洛德)-Walther(沃爾頓):

c,m,Kvareconstants, TisinKνt[°CorK]

log-log

scaleVogel-Cameron:

A,B,Careconstants, tisin°CPropertiesofhydraulicfluids(contd.)Pressuredependence

of

viscosity

0,

0

viscosityatatmosphericpressure

10

20

30

401,522,53p[MPa]30°C40°C50°CT=80°C

EffectofViscosityupontheVolumetricandMechanicalEfficiencyofHydraulicPumps

例1-1：汽缸直徑D=120mm，活塞直徑d=119.6mm，活塞長度L=140mm，活塞往復運動的速度為1m/s，工作時的潤滑油的μ=0.1Pa·s。求：作用在活塞上的粘性力。解：sDld因屬於牛頓流體注意面積、速度梯度的取法消耗功率例1-2：旋轉圓筒粘度計，外筒固定，內筒轉速n=10r/min。內外筒間充入實驗液體。內筒r1=19.3mm，外筒r2=20mm，內筒高h=70mm，間隙d=0.2mm，轉軸上扭距M=0.0045N·m。求該實驗液體的粘度。解：因屬於牛頓流體1）對於外圓表面粘度計孔軸旋轉hnr1r2d2）對於端面（圓盤旋轉）OωBdzydr圓盤縫隙中的回轉運動總力矩計算得1.4.8壓縮（膨脹）性不可壓縮流體模型壓縮係數在一定溫度下，密度的變化率與壓強的變化成正比①流體的壓縮性和熱脹性因品質守恆Hooke’slaw②體積彈性模量E的單位當壓強一定，溫度發生變化時③熱膨脹係數1.4.9理想氣體狀態方程R——氣體常數空氣R=8.31/0.029=287J/kg·K等溫過程：壓縮係數等壓過程：膨脹係數絕熱過程：壓縮係數低速（標準狀態，v<68m/s）氣流可按不可壓縮流體處理Suckingair（吸入的空氣）withthepumphappens，butisbyproperinstallation（裝置）

avoidable.Theoilisquicklyintosolutionduringtheincreasingpressure.Airbubbles

（氣泡）cometooilmostlysothatwithdecreasingpressuretheair“goesoutofsolution”.

-dissolving（溶解）coefficientatnormalpressureAtnormalpressureVa=Vf

.Athighpressure,thevolumeofthedissolvedairismuchmorethanthevolumeoftheliquid.1.4.10Aircontentinoilisharmful.Propertiesoffluids(contd.)HydraulicFluidsSudden,jerkymovements（停停動動）,oscillation,noiseLateswitchingReducedheatconduction（降低了熱傳導）Acceleratedaging（老化）oftheliquid,disintegration（分解）

ofoilmoleculesCavitationerosion（氣蝕）Problemswithaircontent:Kl : liquidcompressibilityVf : volumeofliquidVa0 : volumeofgasinnormalstatep0 : normalpressurep : underinvestigation（研究）1.5

流體運動的數學描述運動要素：表徵流體運動狀態的物理量

場的概念：如果在全部空間或部分空間的每一點、都對應某個物理量的一個確定的值，就說在這個空間裏確定了該物理量的一個場，如果這個物理是數量，就稱這個場為數量場。若是向量，就稱這個場為向量場。場的描述方法：Lagrange法和Euler法場又可分為：穩定場時變場（不穩定場）1.5.1Lagrange法（隨體法或跟蹤法）基本思想：跟蹤每個流體微團的運動全過程，記錄它們在運動過程中的各物理量及其變化規律。

基本參數：

時刻，微團座標為（a，b，c）；則t時刻位移流體質點的位置座標變為：獨立變數：（a,b,c,t）——區分流體質點的標誌物理概念清晰，但處理問題十分困難（1-53）1.流體質點的位置座標：2.速度：3.流體質點的加速度：微團物理量：流體質點的運動方程1.5.2Euler法（歐拉法）

Euler描述法：在流體所佔據的空間中，對每一個固定點，研究流體質點經過該點時其力學量的變化情況，整個流體的運動可認為是空間各點流動參量變化情況的綜合。

用空間點位置座標(x,y,z)來表示某一確定點，稱(x,y,z)為Euler座標或空間座標。通常稱f

(x,y,z,t

)為Euler變數。若以f表示流體的某一個物理量，其Euler描述的數學運算式是：

（1-56）

在任意t時刻，空間任意一點(x,y,z

)的V、p、T、ρ將是（x,y,z,t

）的函數，即（1-57）若x、y、z為常量，上式表示在空間某一特定點上，V、p、T、ρ隨時間的變化情況；若t恒定，則上式表示空間各個點在某一個特定時刻有關力學量的數值分佈。V,p,ρ等有關力學量都是空間點x、y、z座標的函數

速度場、壓力場、密度場等

流體運動的問題轉化為研究有關向量場和數量場問題

按場內函數空間位置

x、y、z是否變化，

分為均勻場和非均勻場。按場內函數與t的關係，分為定常場（穩定場）和非定常場（不穩定場）。1.5.3Lagrange法與Euler法的關係設運算式f=（a、b、c、d、t）表示流體質點在t

時刻的物理量。如果設想流體質點（a、b、c、d）恰好在t時刻運動到空間點（x,y,z）上，則應有LagrangeEuler為了與教材一致設Euler運算式：及常微分方程的解為：當時，將此式代入f=F(x，y，z，t

)，即得到Lagrange描述。

1.5.4

加速度場AOrr+drdrBMAM’xzyOM（x，y，z）u（x，y，z，t）M’M’（x+dx，y+dy，z+dz）u’（x+dx，y+dy，z+dz，t+dt）dt圖1-16Lagrange法與Euler法圖1-17流場內空間點

速度場中某點M位置以u為中心，將u’

按Taylor級數展開

由上，則有

a在直角坐標上的投影：

討論：在歐拉描述中，著眼點是空間點（不是質點），物理量被表示為空間點的函數；因此，要描述質點物理量的時間變化沒有Lagrange直接。要求一質點物理量隨時間的變化，必須跟著質點看物理量變化，這時作為質點空間位置的座標（x,y,z）也就是時間t的函數了（注意，在歐拉描述中，x,y,z本是引數，但討論到質點運動，作為質點空間位置的x,y,z時，它就變為時間t的函數）。這樣，求歐拉的物理量F跟隨質點的時間變化率－隨體導數（有時稱質點導數）時，就有：由上式看出，隨體導數是兩項之和，第一項，是物理量F場的時間變化率（x,y,z不變），稱局部導數，第二項，是物理量F隨質點位置變化引起的（u方向上F的變化），稱對流導數（或位變導數）。W.R.HamiltonNabla[‘n?bl?]加速度的向量表達方式：W.R.Hamilton

Operator。運算中其具有向量和微分的雙重性質。其運算規則是：數量場

補充：

數性微分算子它既可以作用在數性函數u（Ｍ），也可以作用在矢性函數Ｂ（Ｍ）上。如：Ａ與上述Ａ完全不同

當地加速度；時變導數質點加速度：遷移加速度；位變導數第一部分：是由於某一空間點上的流體質點的速度隨時間的變化而產生的，稱為當地加速度第二部分：是某一瞬時由於流體質點的速度隨空間點的變化而產生的，稱為遷移加速度定常流動、穩態流動均勻流壓力場密度場同樣可以寫出：例1-3：已知速度場解：試問（1）點（1，1，2）的加速度是多少；（2）流動是幾元流?（3）流動是恒定流還是非恒定流?（4）是均勻流還是非均勻流動。代入點（1，1，2）得三元流；不隨時間變化，穩定流（恒定流）；隨空間變化，非均勻流。例1-4：流場的速度分佈為：求流體在點（2，1，4）和時間t

=3時的速度、加速度。解：代入點（2，1，4）

和時間t

=3，得速度值為因代入點（2、1、4）與t=3的值，得加速度的值例1-5已知Lagrange描述：

，求速度與加速度的Euler描述。解：速度與加速度的Lagrange描述為：因已知，可得並，將此式代入上式，得Euler描述例1-6已知Euler描述：

，初始條件為，，求速度與加速度的Lagrange描述。解：1.6跡線和流線1.6.1跡線：跡線：流體質點在不同時刻的運動位置的聯線。跡線的概念直接與Lagrange描述聯繫。

對於Euler描述求跡線較為複雜。

流線方程1.6.2流線：流線：描述流場中各點流動方向的曲線，線上任一點的切線方向與該點在該時刻的速度向量方向一致。流線的性質：（1）過一點只能有一條流線；（2）流線不能轉折。

注意：1.

流線是指某一時刻的，而跡線是某一流體質點的；2.

定常流（穩定流）中流線與跡線完全重合；非定常流（非穩定流，隨時間變化）中一般不重合。

注意啊！Thelinetracedbyaliquidorgasasitmoves.Streamlinesaremostcommonlyusedindescribingtheflowofaliquidorgasaroundasolidobject.

streamline流線

(a)Inthesteadyflowofaliquid,acoloreddyereveals（顯示）

thestreamlines.(b)Asmokestreamerrevealsastreamlinepatternfortheairflowingaroundthispursuitcyclist,ashetestshisbikeforwindresistanceinawindtunnel.WindTunnel

CurveBall

WindTunnel

1.6.3流面、流管與流束C對於場中的任意一條曲線C（非向量線），在其上的每一個點處，也皆有且僅有一條向量線通過，這些向量線的全體，就構成一張通過曲線C的曲面，稱之為向量面。當C為一封閉曲線時，通過C的向量面，就構成了一個管形曲面，稱之為向量管。對於流體分別稱之為流面和流管。C流面流管流束：流管內的流線組成一束。流體朝一個方向流動即流道的軸線方向流動，這樣可以把空間近似看成一個流管。在數學上變成一微問題，用斷面上平均物理量來代替斷面上的物理量的實際分佈。流管的兩個重要特性：（1）流體不能穿越流管；（2）當封閉曲線的面積ΔA很小時，流管斷面可認為物理量均勻分佈。管狀流動：

流道上與流線族成正交的面。其面積用A來表示，則斷面上的平均速度定義為過流斷面：其中，流量端面上一點的速度平均速度例1-6已知：，，。求t=0時，經過點M（-1，-1）的流線和跡線。解：流線微分方程為：當t=0時，x=-1，y=-1經過點M（-1，-1）的流線為求跡線，當t=0時，x=-1，y=-1消去t例1-7已知流體質點運動軌跡是x=at+1,y=bt–1，求流線族。

解：a、b運算式，為流體質點的運動速度將a、b代入上式由流線方程流線族1.7速度分解定理剛體運動：平移運動旋轉運動流體微團：平移運動旋轉運動變形運動角變形運動線變形運動u

dudy平移繞定軸旋轉變形（線性變形與轉角變形）剪切流動：圖1-28方形流體微團ADCBM①流體微團的平移運動

平移運動速度

②流體微團的線變形運動

A、C點之間在x方向上的速度差：線變形速度:ADCBMdt時間內拉伸長度單位長度、單位時間線性變形速度單位體積膨脹率：同理可得：表示無源或不可壓縮流體表示被壓縮，或有洩漏、蓄能器蓄能等表示被拉伸、膨脹；流體有補充，即有泵、蓄能器釋放能量等②流體微團的線變形運動[contd.]

③

流體微團的旋轉運動

B、C點速度B、C點相對於M點的旋轉角速度：

B點C點dy/2規定：逆時針旋轉為正

MBFCB’F’C’yxdx/2速度增量與x軸相反速度增量與y軸相同

MF相對於M點的旋轉角速度為BM和CM這兩條邊旋轉角速度的平均值

同理可推至空間座標或右手定則若有勢無旋

渦線方程：

渦量（即旋度）：等於2倍的ω。其值越大，渦旋強度越大。④

流體微團的角變形運動

角變形速度：直角邊MC與對角線MF的夾角的變形速度。推廣到三元MB’’F’C’B’F’’C’’xy⑤Helmholtz速度分解定理

為小量時，鄰點M速度為t時刻，流場中取一點鄰域中任一點的速度分量為由泰勒級數展開，當的速度分量為平移運動旋轉運動線變形運動角變形運動Helmholtz速度分解定理圓柱座標的表達形式旋轉角速度：線變形速度：角變形速度：例1-9已知二維流場為，求：流體在點（3，2）的線變形速度和角變形速度。解：求在點（3，2）的線變形速度求角變形速度例1-10已知二維流場速度分佈為，求：流體在點（x=3，y=4）處的旋轉角速度。解：點（x=3，y=4），則圓柱座標下為因是二維流動1.8

流體運動的分類1.8.1按運動形式分類①無旋流場②有旋流場例1-11試判斷如下剪切流動和點渦的運動形式是有旋，還是無旋？OyxOyxb）點渦的運動a）剪切流動速度場剪切流動：有旋流場點渦運動：除原點以外，處處無旋該點渦運動中，流體微團沒有自轉。1.8.2

按流場與時間的關係分類不穩定場，不定常流場穩定場，定常流場1）在水位恒定情況下：AA’BB’①A

A’，時變、位變加速度均為0。②BB’，時變0、存在位變加速度。2）在水位變化情況下：①A

A’，存在時變加速度；但不存在位變加速度。②BB’，時變、位變加速度均存在。1.8.3按流場與空間座標的關係分一維（元）、二維（元）、三維（元）

第1章作業1或2、6、9、10、11、25、27、28、29、31、32、36、39、41、43、45、46、47、48第2章流體靜力學流體的平衡狀態，有二種：①流體相對於地球靜止。（絕對平衡狀態）②流體相對於容器靜止，容器相對地球有運動。（相對平衡狀態）根據IsaacNewton流體粘度的模型可知：由於由於流體靜止，流體層與層之間沒有相對運動，所以流體不顯示粘性，即，剪切力為0。因此，平衡流體的表面力只有法向力。P1P3P2P5P4圖2—1平衡流體中的分離體2-1

流體靜壓強及其特性2.1.1流體靜壓強（2—1）M點的靜壓強：壓強國際單位：Pascal大小與方向均與受壓面有關2.1.2流體靜壓強的兩個重要特徵①靜壓強方向永遠沿著作用面內法線方向

為了區別雙側曲面的兩側，常常取定其中的一側為曲面的正側，另一側為負側；對於封閉曲面習慣取外側為正側。這種取定了正側的曲面，叫做有向曲面；且其n向和t向恒指向我們研究問題的一側。參見圖2-1與圖2-2標量表示受壓方向流體靜壓力P的大小和方向均與受壓面有關。②靜止流體中任何一點上各個方向的靜壓強大小相等，與作用面方位無關。即平衡流體內部任何一點的流體靜壓強在各個方向上均相等。它的大小由質點所在的座標位置確定。圖2—2平衡流體中的微元四面體O證明：在平衡流體中圍繞某點O取一微元四面體OABC，且座標原點與O點重合。如圖2-2所示。流體處於平衡狀態，因此，代入上式，簡化後有：微元流體上的品質力為：品質力表面力當

趨於零時，四面體縮到O點，其上任何一點的壓強就變成O點上各個方向的流體靜壓強，於是得到

不同空間點的流體靜壓強，一般來說是各不相同的，即流體靜壓強是空間座標的連續函數。（2-6）流體靜止與時間無關2.2流體平衡微分方程及等壓面2.2.1

流體平衡微分方程式（Euler’sequilibriumequation）ABCEDHGzxOyFMNP

如圖2-3，在平衡流體中任取邊長為的一個微元六面體ABCDEFG，其中心為P。設A點的密度為，壓強為。表面力：因為平衡流體，所以方程兩邊同除微元體的品質，得即流體平衡微分方程式Euler’sequilibriumequation2.2.1.1

Principleofahydraulicdrive液壓傳動原理

Pascal'slaw

isthebasisofhydraulicdrivesystems.Asthepressureinthesystemisthesame,theforcethatthefluidgivestothesurroundingsisthereforeequaltopressurexarea.Insuchaway,asmallpistonfeelsasmallforceandalargepistonfeelsalargeforce.HydraulicSystems[contd.]Pascal’slawHYDROSTATICSFORCEF1AREAA1AREAA2已知：F1=1.2kNA1=100mm2P=F1=1.2

kNA1100mm2

=12MPa(SamePressureP)A2=1000mm2F2=PxA2

=

12MPax1000mm2=

12kNHYDROSTATICSFORCEF2HYDROSTATICSFORCEF1AREAA1AREAA2已知：F1=1.2kNA1=100mm2p=F1=1.2

kNA1100mm2

=12MPa(SamePressurep)A2=1000mm2F2=pxA2

=

12MPax1000mm2=

12kNHYDROSTATICSFORCEF2力放大了A2/A1=10倍PressureisdeterminedbyLoad!載荷確定系統壓強1CmLAWOFCONSERVATIONOFENERGY1Cm210Cm2100kg10kg10Cm

Energycanneitherbecreatednordestroyed!Whatisgainedbyforceissacrificed（犧牲）

inthedistancemoved!

WORKDONE=FORCExDISTANCEMOVEDW=FxdW=Fxd=10kgx10cm=100kg-cmW=Fxd=100kgx1cm=100kg-cmMOVINGTHESMALLPISTON10cmDISPLACES1cm2x10cm=10cm3OFLIQUID

10CmOFLIQUIDWILLMOVELARGERPISTONONLY1Cm.10cm2x1Cm=10Cm3

Q=Axh

2.2.2

品質力勢函數與有勢品質力

數學定義：設有向量場A（M），若存在單值函數u（M）滿足則稱此向量場為有勢場；命v=-u，並稱v為這個場的勢函數。A與勢函數v之間的關係：C為任意常數若均為A的勢函數，則有於是有：現在分析在品質力的作用下，平衡流體的內部壓強p（x，y，z）

的分佈規律Euler’sequilibriumequation對求全微分因此，品質分力為有勢場。歐拉平衡方程式的綜合式（壓強微分公式）根據勢函數的定義，與上式令品質力勢函數是其全微分有勢品質力

只有在有勢品質力的作用下流體才能平衡。例2-1

試確定重力場中平衡流體的品質力勢函數，並解釋其物理意義。解：如圖2-4所示zzyxm-g圖2-4令品質力勢函數若以z=0，W=0為基準。則Z>0時，具有位置勢能2.2.3

等壓面及其性質等壓面：平衡流體中壓強相等的各點組成的面（平面或曲面）。等壓面微分方程（2-12）等壓面的性質：①等壓面也是等勢面；品質力勢函數等於常數②等壓面與品質力向量正交；因此，等壓面與單位品質力向量垂直。等壓面上的任意曲線例如，當品質力僅僅為重力時，平衡流體的等壓面為水平面。C為常數。是一族水平面③兩種互不混合的流體處於平衡狀態時，其相互接觸的分界面是等壓面；（請自行證明）2.3

重力場中流體靜壓強基本方程對於連續、均勻、不可壓縮的流體而言，g=常數，則上式可改寫為Oxzyz1z2z0zh在靜止流體中任取1點和2點上面二式，為不可壓縮、均質流體靜壓強基本方程Oxzyz1z2z0zhp0對於任意一點：不可壓縮、均質流體靜壓強計算公式Zeroreference（零基準）Althoughpressureisanabsolutequantity,everydaypressuremeasurements,suchasfortirepressure,areusuallymaderelativetoambientairpressure（環境氣壓）.Inothercasesmeasurementsaremaderelativetoavacuum（真空）ortosomeotheradhoc

（特別）reference.Whendistinguishing（區別）betweenthesezeroreferences,thefollowingtermsareused:

Absolutepressure

（絕對壓力）iszeroreferencedagainstaperfectvacuum,soitisequaltogaugepressure（表壓）

plusatmosphericpressure（大氣壓）.

Gaugepressure（表壓）

iszeroreferencedagainstambientairpressure,soitisequaltoabsolutepressureminusatmosphericpressure.Negativesignsareusuallyomitted.

Differentialpressure（壓差）

isthedifferenceinpressurebetweentwopoints.測壓兩個基準絕對壓強—以絕對零壓為基準所測相對壓強—以大氣壓力為基準所測Thepressureabovetheabsolutezerovalueofpressurethattheoreticallyobtainsinemptyspaceorattheabsolutezerooftemperature,asdistinguished（區別）fromgagepressure.

absolutepressure

Thezeroreferenceinuseisusuallyimpliedbycontext,andthesewordsareonlyaddedwhenclarification（說明）isneeded.Tirepressureandbloodpressurearegaugepressuresbyconvention（約定、習俗）,whileatmosphericpressures,deepvacuumpressures,andaltimeter（高度計）pressuresmustbeabsolute.Differentialpressuresarecommonlyusedinindustrialprocesssystems.Differentialpressuregaugeshavetwoinletports,eachconnectedtooneofthevolumeswhosepressureistobemonitored（監控）.Ineffect,suchagaugeperformsthemathematicaloperationofsubtractionthroughmechanicalmeans,obviating（消除）theneedforanoperatororcontrolsystemtowatchtwoseparategaugesanddeterminethedifferenceinreadings.Moderate（中等的）vacuumpressuresareoftenambiguous（不明確）,astheymayrepresentabsolutepressureorgaugepressurewithoutanegativesign.2.3.3

靜壓強的計算單位及靜壓強基本方程的意義2.3.3.1靜壓強的計算單位靜壓強的計算單位有三種。①應強單位；（按壓強定義）②大氣壓單位；(N45°，0°C的海平面）③液柱單位。以水和水銀柱的高度表示TheSIunitforpressureisthePascal(Pa),equaltooneNewtonpersquaremeter(N·m-2orkg·m-1·s-2).Thisspecialnamefortheunitwasaddedin1971;beforethat,pressureinSIwasexpressedinunitssuchasN/m2.Whenindicated,thezeroreferenceisstatedinparenthesisfollowingtheunit,forexample101kPa(abs).ThePoundspersquareinch(psi)isstillinwidespreaduseintheUSandCanada,notably（尤其）forcars.Aletterisoftenappendedtothepsiunittoindicatethemeasurement‘szeroreference;psiaforabsolute,psigforgauge,psidfordifferential,althoughthispracticeisdiscouragedbytheNIST.

(Pa)(bar)(at)(atm)(Torr)(psi)1Pa≡1N/m210?51.0197×10?59.8692×10?67.5006×10?3145.04×10?61bar100,000≡106

dyn/cm21.01970.98692750.0614.50377441at98,066.50.980665≡1kgf/cm20.96784735.5614.2231atm101,3251.013251.0332≡1atm76014.6961torr133.3221.3332×10?31.3595×10?31.3158×10?3≡1Torr;≈

1

mmHg19.337×10?31psi6,894.7668.948×10?370.307×10?368.046×10?351.715≡1lbf/in2PressureUnitstechnicalatmosphere真空度（托）1at=10m水柱例2-3某設備內流體的絕對壓強為0.3atm。求真空壓強？解：真空壓強最大真空度：G1G3G6h5h1h2h3h4水酒精⑥①②③④⑤例2-4

如圖2-9所示的裝置中，h1=1.2m，h2=1m，h3=0.8m，h4=1m，h5=1.5m，大氣壓=101300Pa（1atm），水密度r=1000kg/m3，酒精密度r’=790kg/m3，空氣密度忽略不計。試求：1、2、3、4、5、6各點的絕對壓強及三個壓力錶G1、G2、G3的示值。解：（1）G1=①（2）②=1atm=101300Pa（3）（4）2.3.3.2靜壓強基本方程的意義zz2z1hphp2hp1p01圖2-10容器中靜止的流體A（1）物理意義（能量意義）設A質點的品質為m，所受重力為mg。若質點A下降高度為z，則重力做功為mgz，即位置勢能。若在點插入一真空管，則質點A將在壓力作用下，上升至hp，hp=p/g；則質點A具有壓力勢能

的壓力勢能。總勢能=位置勢能+壓力勢能總比能=總勢能/重量

從幾何角度看：

z

表示某點位置到基準面的高度，稱為位置水頭；表示某點壓強作用下液柱高度，稱為壓強水頭；稱為靜水頭。

在平衡流體中，各點的位置勢能與壓力勢能可以相互轉化，但總勢能是一常數。對於任意兩點，有如下關係（2）幾何意義（只有長度量綱）Hs壓強水頭位置水頭10mH2O靜力水頭線測壓管水頭線2.3.4

靜壓強分佈圖hghhzh2

h1

gh1gh2hghh1h22.3.5

靜壓強測量測量方法有三種：金屬式：壓力錶電測式：壓力感測器表液柱式：壓力錶h單管測壓計①單管測壓計（測壓管）圖2-14單管測壓計h1h2A圖2-15U形管測壓計若O②U形管測壓計h1h212h③U形管差壓計圖2-17U形管差壓計若g起始液面h1③

斜管差壓計A1α高壓介面p低壓介面pah2hA2L起始面已知，求上升高度h微壓計常數：微壓計自校準零點起上升的長度：L微壓計放大倍數：一般2.4.平衡流體作用於壁面上的總壓力2.4.1

平面上平衡流體的總壓力hDOxyhyDα圖2-20平面上平衡流體總壓力分析其中是浸水面積A對Ox軸的靜力矩。①總壓力的大小作用在A面上流體的體積重量②總壓力的作用點（壓力中心座標的確定）設壓力中心點D的座標為（xD，,yD）1）yD的確定對Ox取矩其中，為面積A對x軸的慣性矩。

即壓力中心D位於平面A圖形的形心C的下方。即壓力中心永遠低於平面形心。根據材料力學有關慣性矩的定理，有2）xD的確定參見教材p76，表2-23）總壓力的作用方向方向：垂直於A，且過壓力中心D點h2

h1

gh1gh2yD1yDFpFp1Fp2yD2papa圖2-21液體對矩形平壁的合力例2-7：求合力及壓力中心。壁寬BO解：1）對於左側矩形平壁，有：2）對於右側矩形平壁：3）求兩側總壓力的合力：水準向右，作用在左側②總壓力的方向：①總壓力的大小：③總壓力的作用點：設合力的作用點離左側液面深為yD。（對於點O（液面處））2.4.2

曲面上的平衡流體總壓力yxzOdAxdAyhα取微元如圖，面積為dA，微元總壓力dFp與水平面成a角。微元所受總壓力為：Vp：稱作壓力體該式說明：曲面總壓力的垂直分力的數值等於壓力體的液重，它的作用線通過壓力體的重心。①曲面總壓力的x、z軸上的分力：②曲面總壓力的合力：③曲面總壓力的方向：④曲面總壓力的作用點：求出的交點，合力方向指向受壓面，且與水準方向成α角

⑤壓力體的概念及垂直分力的方向xxh壓力體液重並不一定是壓力體內實際具有的液體重力，只是一個虛構概念。2.4.3

浮力原理（液體作用在封閉曲面上的總壓力）xyVp1Vp2V浮力：潛體，懸浮體沉體浮體思考題：1）一枚雞蛋浮在鹽水中，如圖所示，問當容器做平穩等加速向上或向下運動時，雞蛋的運動狀態？2）當容器向左做等加速運動時，雞蛋在水準方向向左還是向右運動？2.5

流體的相對平衡容器相對地球有相對運動，而流體質點之間、流體與容器之間無沒有相對運動。這種狀態我們稱之為相對平衡狀態。工程中常見的兩種狀態，勻速直線運動和等角速度回轉運動。2.5.1

容器做勻加速度直線運動如圖2-33所示。單位品質力（向量形式）為zyba運動方向gama圖2-33勻加速直線運動單位品質分力為：（2-45）①等壓面由等壓面微分方程（2-12）：將（2-45）代入此式有其中，（等壓面的斜率）等壓面是與水平面成b的一族平面，且該平面與單位分力的合力相互垂直。②靜壓強的分佈規律當時，自由表面的壓強p=p0，C=p0

。此式液體靜壓強在不同點（y，x）上的分佈規律。當α=0或α=π/2時，為水準或垂直加速運動。下麵分別討論。1）當α=0(如圖所示)即容器水準向左做加速運動對於任意一點M，有bgayzHM1）當α=90即容器垂直向下做加速運動2.5.2

容器做勻速回轉運動RzxygMOωΔHΔh=zOrω2ra1.等壓面對於等壓面，有平衡方程液面上升的最大高度ΔH：液面上升的總體積V：液面上升部分圓柱體的體積2.靜壓強分佈規律積分常數C需根據不同的條件來確定。下麵分別三種實際情況進行討論。1）密閉容器，液面上壓強為p0RzMOωΔHΔhp0rhRzMOωp02）容器盛滿液體，頂蓋中心有通孔對於頂蓋（z=0）各處的壓強：對頂蓋的靜壓力例2-13鑄造車輪時，為了使輪面更加緻密，採用離心鑄造，如圖2-38所示。已知：h0=200mm，D=900mm，鑄造機轉速為600rpm，鐵水重度g=68700N/m3。求輪緣M點處的相對壓強。Dh0ωMpa解：因M點水準方向受到重力g產生的壓力，另一個為離心運動產生的慣性壓力。xz作業：2-4、5、8、10、14、15、16、17、19、20、24、25第3章流體動力學HydrokineticsChapter3hydrokineticsFluiddynamics

流體動力學（fluiddynamics）是研究氣體和液體運動的流體力學的（fluidmechanics）子學科。它包括空氣動力學（aerodynamics）和水利動力學（hydrodynamics）。流體動力具有廣泛的用途，包括飛行器運動和受力計算，石油通過管線的品質流速的確定，天氣預報，星際空間星雲的觀測與研究，以及核武器爆炸的模擬。如果將交通看成連續的流體時，某些原理也可以應用到交通運輸工程。"Thatwehavewrittenanequationdoesnotremovefromtheflowoffluidsitscharmormysteryoritssurprise."--RichardFeynman[1964]3.1流體動力學的有關基本概念3.1.1系統（質點系）與控制體系統（質點系）：流體微團（或質點）的任何集合稱為“系統”。隔離出來的系統的表面，稱之為邊界面，該系統通常稱之為“隔離體”。該系統具有一定流動參數的流體實體。由於系統屬於實體，當受到了外界的作用（如力、熱）時，系統會發生變形（壓縮、拉伸、熱脹、冷縮等），但在邊界層上不會發生品質交換（即沒有流體的穿越）Lagrange表達控制體：由空間點所構成的、用來觀察流體運動的任意一個空間體積（區域）稱之為“控制體”（符號CV）。控制體的封閉邊界稱之為“控制表面”（符號CS）。控制體相對於坐標系具有固定的位置、有確定的形狀；流體質點可以按照自身運動規律穿越控制表面，出入控制體；並且受到外界的作用。如何將Lagrange表達的三大定律改寫成Euler表達？Euler表達3.1.2

體積積分的隨體導數（質點導數）對於場內定義的物理量函數，系統的體積為，體積積分I的隨體導數為：時間函數對其體積積分，得的隨體導數為運輸公式，流體隨體導數公式

奧氏公式運輸公式，流體隨體導數公式由上式可知，體積分的隨體導數是兩項之和：第一項，是物理量

場的時間變化率（x，y，z不變），稱局部導數；反映場的非定常性。第二項，是物理量F隨質點位置變化引起的（u方向上

的變化），稱對流導數（或位變導數）；反映場的非均勻性。

控制體（3-2）若為標量，由奧-高公式，則有（3-2）（3-7）討論：當

=1時。即為單位量時體積通量：單位時間內流體通過控制表面A的體積大小。討論：當

=

（x，y，z，t）時。第二項品質通量，單位時間內流體通過控制表面A的品質大小。[contd.]討論：當

=

u（x，y，z，t）時，即單位體積流體的動量。第二項動量通量，單位時間內流體通過控制表面A的動量。[contd.]3.1.3流量與動能、動量修正係數1）流量：單位時間內流過某一控制面的流體體積。流量體積流量品質流量重量流量單位：或不加說明的流量，指體積流量。過流斷面與速度方向垂直；即與流線垂直如果控制體是過流斷面。過流斷面形狀平面曲面微元流束：控制面為平面：控制面為曲面：因上述三式的速度與面積均為向量，所以其控制面不強調是否是過流斷面總流量3.1.3流量與動能、動量修正係數[contd.]控制面如果是封閉曲面，稱之為淨流量或淨通量，qQ與q均為標量，但有大小與正負3.1.3流量與動能、動量修正係數[contd.]3.1.3流量與動能、動量修正係數[contd.]是沿A的外側積分。因此，表示從內流出A的正流量與從外流入A的負流量的代數和。當流出多於流入。即，S內有正源，也許還有洩漏（漏洞）；流入多於流出。即，S內有負源，也許還有洩漏（漏洞）；上述兩種情況，合稱有源。3.1.3流量與動能、動量修正係數[contd.]當時，不能判斷A內是否無源。此時可能正源與負源正好抵消。動能、動量修正係數動能動能、動量修正係數[contd.]y+Dy-DyrOu=u(r)圖3-3管中平均速度與真實速度令y為流體的平均速度，且代替u，保證通過上述假設，可得動能、動量修正係數[contd.]其中，有+，有-動能、動量修正係數[contd.]關於Dy與Dy3的有關說明為高階補充說明有+，有-動能、動量修正係數[contd.]動能修正係數：對於層流a=2，對於紊流a=1.06，近似取1。動能、動量修正係數[contd.]動量修正係數：動能、動量修正係數[contd.]動量修正係數：對於層流b=4/3，對於紊流b=1.02，近似取1。使用外購產品時，a、b值可以向經銷商諮詢。3.2

TheEquationofContinuityHaveyoueverusedyourthumbtocontrolthewaterflowingfromtheendofahose?Whentheendofahoseispartiallyclosedoff,thusreducingitscross-sectionalarea,thefluidvelocityincreases.Thiskindoffluidbehaviorisdescribedbytheequationofcontinuity.Yes.…3.2.1連續性方程品質守恆定律：在流體流動過程中，系統的品質為常數（保持不變）。