2.5.2一元二次方程的應用--圖形面積與幾何動點問題數學湘教版九年級上一元二次方程

解：設截去的小正方形的邊長為xcm，則無蓋長方體盒子的底面邊長分別為：（40-2x）cm，（28-2x）cm.

根據題意，有（40-2x）（28-2x）=364．

整理得，x2-34x+189=0.

解得x1=27，x2=7．問題：如圖，一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長.如果截去的小正方形的邊長為27cm，那么左下角和右下角的兩個小正方形的邊長之和為54cm，這超過了矩形鐵皮的長40cm.因此x1=27不合題意，應當舍去．即所截去的小正方形的邊長為7cm.一元二次方程與面積問題要把握好面積問題中有關的面積公式；挖掘題目中隱含的等量關系，根據等量關系列相關方程；計算面積問題時候，注意平移拼接結算面積. 【例1】如圖，一長為32m、寬為20m的矩形地面上修建有同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分進行了綠化.若已知綠化面積為540m2，求道路的寬.

分析：雖然“整個矩形的面積-道路所占面積=綠化面積”，但道路不是規則圖形，因此不便于計算.

若把道路平移，此時綠化部分就成了一個新的矩形了.

若設道路寬為xm，則新矩形的長為（32-x）m，寬為（20-x）m，根據等量關系你能列出方程嗎？解：設道路寬為xm，則新矩形的長為（32-x）m，寬為（20-x）m，根據題意可以可到方程：

（32-x）（20-x）=540

整理，得x2-52x+100=0解得x1=2，x2=50

∵x2=50＞32，∴不符合題意，舍去，故x=2.答：道路的寬為2米.

如圖，在一塊長為92m，寬為60m

的矩形耕地上挖三條水渠，水渠的寬都相等，水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊，水渠應挖多寬？

分析：設水渠寬為xm，將所有耕地的面積拼在一起，變成一個新的矩形，長為（92–2x）m，

寬（60-x）m.解：設水渠的寬應挖xm.

（92-2x）（60-x）=6×885.解得x1=105（舍去），x2=1.答：水渠的寬為1cm.利用“圖形經過移動，它的面積大小不會改變”的性質，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）. 【例2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.點P沿AC邊從點A向終點C以1cm/s的速度移動；同時點Q沿CB邊從點C向終點B以2cm/s的速度移動，且當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止移動.問點P，Q出發幾秒后可使△PCQ的面積為9cm2？

一元二次方程與動點問題物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，找準等量關系；運行的路線與其他條件構成直角三角形時，運用直角三角形的性質列方程求解．

列一元二次方程解應用題的“六字訣“1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數量關系；2.設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數；3.列：根據等量關系，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程；4.解：求出所給方程的解；5.檢：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題；6.答：根據題意，選擇合理的答案.

1.用長為100cm的金屬絲制作一個面積為600cm2的矩形框子，設矩形框子的長為xcm，根據題意，可列方程（

）

A.x（100-x）=600

B.x（50-x）=600

C.x（50-2x）=600

D.x（100-2x）=600 2.如圖，把一根長為64cm的鐵絲剪成兩段，每段均折成正方形，若兩個正方形的面積和為160cm2，則這兩個正方形的邊長為（

）

A.8cm，8cm

B.10cm，6cm

C.12cm，4cm

D.14cm，2cmBC 3.如圖，某小區有一塊長為30m，寬為24m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為480m2，兩塊綠地之間以及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為

m.2解：設人行橫道的寬度為xm，則綠地的長為（24-2x）m，綠地的寬為（30-3x）m，根據題意得（24-2x）（30-3x）=480整理，得x2-22x+40=0解得x1=2，x2=20.當x=20時，30-3x=-30，24-2x=-16，不合題意舍去，即x=2. 4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P、Q同時由A、C兩點出發，分別沿AC、CB方向勻速運動，它們的速度都為1cm/s.求當P點運動到多少s時，△PCQ的面積是4cm2.

5.如圖，在寬為20米，長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540平方米，求道路的寬.

解：設道路寬為x米，由平移得到圖2，

則寬為（20-x）米，長為（32-x）米，

列方程得（20-x）（32-x）=540，整理得x2-52x+100=0，解得x1=50（舍去），x2=2.答：道路寬為2米.圖2一元二次方程的應用常見幾何圖形面積是等量關系.幾何圖形動點問題找準動點的運動規律