第第頁2023﹣2024年高一數學寒假復習階段測試三時間：100分鐘滿分：150分姓名：得分：.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）LISTNUMOutlineDefault\l3如果向量a＝(1,2)，b＝(4,3)，那么a﹣2b＝()A.(9,8)B.(﹣7，﹣4)C.(7,4)D.(﹣9，﹣8)【答案解析】答案為：B.解析：a﹣2b＝(1,2)﹣(8,6)＝(﹣7，﹣4)，故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知tanα＝eq\f(m,3)，tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(2,m)，則m＝()A.﹣6或1B.﹣1或6C.6D.1【答案解析】答案為：A.解析：∵tanα＝eq\f(m,3)，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(3＋m,3－m).∵tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(2,m)，∴eq\f(2,m)＝eq\f(3＋m,3－m).解得m＝﹣6或m＝1.故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知sinα－cosα=eq\r(2)，α∈(0，π)，則sin2α=()A.－1B.－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)D.1【答案解析】答案為：A解析：∵sinα－cosα=eq\r(2)，∴(sinα－cosα)2=1－2sinαcosα=2，∴2sinα·cosα=－1，∴sin2α=－1.故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，M為AC的中點，eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(MD,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＋y=()A.1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,2)【答案解析】答案為：B.解析：eq\o(MD,\s\up6(→))=eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))=eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，故x=－1，y=eq\f(3,2)?x＋y=eq\f(1,2).LISTNUMOutlineDefault\l3已知非零向量a，b的夾角為60°，且|b|＝1，|2a﹣b|＝1，則|a|等于()A.eq\f(1,2)B.1C.eq\r(2)D.2【答案解析】答案為：A解析：由題意得a·b＝|a|×1×eq\f(1,2)＝eq\f(|a|,2)，又|2a﹣b|＝1，∴|2a﹣b|2＝4a2﹣4a·b＋b2＝4|a|2﹣2|a|＋1＝1，即4|a|2﹣2|a|＝0，又|a|≠0，解得|a|＝eq\f(1,2).LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2eq\r(3)，a與b的夾角的余弦值為sineq\f(17π,3)，則b·(2a﹣b)等于()A.2B.﹣1C.﹣6D.﹣18【答案解析】答案為：D解析：由題意知cos〈a，b〉＝sineq\f(17π,3)＝sin(6π﹣eq\f(\r(3),2))＝﹣sineq\f(π,3)＝﹣eq\f(\r(3),2)，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2eq\r(3)×(﹣eq\f(\r(3),2))＝﹣3，b·(2a﹣b)＝2a·b﹣b2＝﹣18.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖所示，一座建筑物AB的高為(30－10eq\r(3))m，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD.在它們之間的地面上的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為()A.30mB.60mC.30eq\r(3)mD.40eq\r(3)m【答案解析】答案為：B；解析：在Rt△ABM中，AM=eq\f(AB,sin∠AMB)=eq\f(30－10\r(3),sin15°)=eq\f(30－10\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))=20eq\r(6)(m).過點A作AN⊥CD于點N，如圖所示.易知∠MAN=∠AMB=15°，所以∠MAC=30°＋15°=45°.又∠AMC=180°－15°－60°=105°，所以∠ACM=30°.在△AMC中，由正弦定理得eq\f(MC,sin45°)=eq\f(20\r(6),sin30°)，解得MC=40eq\r(3)(m).在Rt△CMD中，CD=40eq\r(3)×sin60°=60(m)，故通信塔CD的高為60m.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C所對的邊，若2sinC=sinA＋sinB，cosC=eq\f(3,5)且S△ABC=4，則c=()A.eq\f(4\r(6),3)B.4C.eq\f(2\r(6),3)D.5【答案解析】答案為：A；解析：因為2sinC=sinA＋sinB，所以由正弦定理可得2c=a＋b，①由cosC=eq\f(3,5)可得c2=a2＋b2－2abcosC=(a＋b)2－eq\f(16,5)ab，②又由cosC=eq\f(3,5)，得sinC=eq\f(4,5)，所以S△ABC=eq\f(1,2)absinC=eq\f(2ab,5)=4，∴ab=10.③由①②③解得c=eq\f(4\r(6),3)，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，則△ABC為()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形【答案解析】答案為：A.解析：根據正弦定理得eq\f(c,b)=eq\f(sinC,sinB)<cosA，即sinC<sinBcosA，∵A＋B＋C=π，∴sinC=sin(A＋B)<sinBcosA，整理得sinAcosB<0，又三角形中sinA>0，∴cosB<0，eq\f(π,2)<B<π.∴△ABC為鈍角三角形.LISTNUMOutlineDefault\l3△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C=()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)【答案解析】答案為：C.解析：根據題意及三角形的面積公式知eq\f(1,2)absinC=eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以sinC=eq\f(a2＋b2－c2,2ab)=cosC，所以在△ABC中，C=eq\f(π,4).LISTNUMOutlineDefault\l3如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若eq\o(DE,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數)，則λ2＋μ2=()A.eq\f(5,8)B.eq\f(1,4)C.1D.eq\f(5,16)【答案解析】答案為：A解析：eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))=eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ=eq\f(1,4)，μ=－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2=eq\f(5,8).故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(2\r(3),3)，A＝eq\f(π,3)，b＝1，則△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)【答案解析】答案為：B.解析：由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(2\r(3),3)，又A＝eq\f(π,3)，b＝1，則a＝1，B＝eq\f(π,3)，所以△ABC是邊長為1的正三角形，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)×12×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）LISTNUMOutlineDefault\l3設sinα＝2cosα，則tan2α的值為________.【答案解析】答案為：﹣eq\f(4,3).解析：由題可知，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝﹣eq\f(4,3).LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在正方形網格中的位置如圖所示，若eq\o(AC,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λμ=.【答案解析】答案為：-3.解析：建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，則eq\o(AC,\s\up6(→))=(2，－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))=(1,2)，eq\o(AD,\s\up6(→))=(1,0)，由題意可知(2，－2)=λ(1,2)＋μ(1,0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ＋μ，,－2＝2λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝3，))所以λμ=－3.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°，距燈塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為______海里/小時.【答案解析】答案為：eq\f(17\r(6),2).解析：在△MNP中，由正弦定理可得，MN＝eq\f(68sin120°,sin45°)＝eq\f(68\r(6),2)＝34eq\r(6)(海里)，則這艘船的航行速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17\r(6),2)(海里/小時).LISTNUMOutlineDefault\l3已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為AB的中點，且2acosA＝bcosC＋ccosB，CD＝CB＝eq\r(7)，則A＝________，△ABC的面積為________.【答案解析】答案為：eq\f(π,3)(或60°),eq\f(3\r(3),2).解析：因為2acosA＝bcosC＋ccosB，即2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，所以cosA＝eq\f(1,2)，A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).過點C作CE⊥AB于點E，因為CD＝CB＝eq\r(7)，由三線合一得，E為BD的中點，設AC＝y，AD＝DB＝x.則DE＝EB＝eq\f(x,2)，AE＝eq\f(3x,2)，由勾股定理得，CE＝eq\r(BC2－BE2)＝eq\r(7－\f(x2,4))，因為A＝eq\f(π,3)，所以tanA＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(\r(7－\f(x2,4)),\f(3x,2))＝eq\r(3)，解得x＝1，所以AE＝eq\f(3,2)，AC＝2AE＝3，AB＝2x＝2，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×2×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).三、解答題（本大題共7小題，共70分）LISTNUMOutlineDefault\l3已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))=-eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).求：(1)sin2α；(2)tanα-eq\f(1,tanα).【答案解析】解：(1)由題知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))=coseq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\f(π,6)＋αeq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))=eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))=-eq\f(1,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))=-eq\f(1,2).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))=-eq\f(\r(3),2)，∴sin2α=sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))coseq\f(π,3)-coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,3)=eq\f(1,2).(2)由(1)得cos2α=coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))=coseq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))2α＋eq\f(π,3)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))·coseq\f(π,3)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,3)=-eq\f(\r(3),2)，∴tanα-eq\f(1,tanα)=eq\f(sinα,cosα)-eq\f(cosα,sinα)=eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)=eq\f(－2cos2α,sin2α)=2eq\r(3).LISTNUMOutlineDefault\l3已知|a|=4，|b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61.(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))=a，eq\o(BC,\s\up6(→))=b，求△ABC的面積.【答案解析】解：(1)因為(2a－3b)·(2a＋b)=61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2=61.又因為|a|=4，|b|=3，所以64－4a·b－27=61，所以a·b=－6.所以cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(－6,4×3)=－eq\f(1,2).又因為0≤θ≤π，所以θ=eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2=(a＋b)2=|a|2＋2a·b＋|b|2=42＋2×(－6)＋32=13，所以|a＋b|=eq\r(13).(3)因為eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角θ=eq\f(2π,3)，所以∠ABC=π－eq\f(2π,3)=eq\f(π,3).又因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|=|a|=4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|=|b|=3，所以S△ABC=eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|sin∠ABC=eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)=3eq\r(3).LISTNUMOutlineDefault\l3平面內給定三個向量a=(3,2)，b=(－1,2)，c=(4,1).(1)求滿足a=mb＋nc的實數m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k.【答案解析】解：(1)由題意得(3,2)=m(－1,2)＋n(4,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(2)a＋kc=(3＋4k,2＋k)，2b－a=(－5,2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)=0，解得k=－eq\f(16,13).LISTNUMOutlineDefault\l3已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cosC(acosC＋ccosA)＋b=0.(1)求角C的大小；(2)若b=2，c=2eq\r(3)，求△ABC的面積.【答案解析】解：(1)∵2cosC(acosC＋ccosA)＋b=0，∴由正弦定理可得2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB=0，∴2cosCsin(A＋C)＋sinB=0，即2cosCsinB＋sinB=0，又0°<B<180°，∴sinB≠0，∴cosC=－eq\f(1,2)，又0°<C<180°，∴C=120°.(2)由余弦定理可得(2eq\r(3))2=a2＋22－2×2acos120°=a2＋2a＋4，又a>0，∴解得a=2，∴S△ABC=eq\f(1,2)absinC=eq\r(3)，∴△ABC的面積為eq\r(3).LISTNUMOutlineDefault\l3已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且asinA＋csinC－bsinB=eq\r(2)asinC.(1)求角B的大小；(2)設向量m=(cosA，cos2A)，n=(12，－5)，邊長a=4，當m·n取最大值時，求b的值.【答案解析】解：(1)由題意得，asinA＋csinC－bsinB=eq\r(2)asinC，∴a2＋c2－b2=eq\r(2)ac，∴cosB=eq\f(a2＋c2－b2,2ac)=eq\f(\r(2)ac,2ac)=eq\f(\r(2),2)，∵B∈(0，π)，∴B=eq\f(π,4).(2)∵m·n=12cosA－5cos2A=－10（cosA-eq\f(3,5)）2＋eq\f(43,5)，∴當cosA=eq\f(3,5)時，m