(2020·常德)如圖，已知拋物線y=ax2(1)求拋物線的解析式；(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)A,M)且與拋物線交于另一點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,求證：MC2=MA-MB;(3)若點(diǎn)P,D分別是拋物線與直線l上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)C為一邊且頂點(diǎn)為O,C,P,D的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).∴直線l的解析式為令x=0,得到或即MC2=MA·MB.(3)如圖2中，設(shè)(2)如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)T,∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O,又∵∠FDE+∠FDC=180°,"DF平分∠ADE(2)如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)T,∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O,又∵∠FDE+∠FDC=180°,"DF平分∠ADE(3)①如圖2,連接CF,。②如圖3,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CE于3.(2020·黔東南州)已知拋物線y=a交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4)(1)求拋物線的解析式.(2)在y軸上找一點(diǎn)E,使得△EAC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).(3)點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為(1,-4),將點(diǎn)C(0,-3)代入拋物線y=a(x-1)2-4中，得a-4=-3.(2)由(1)知，拋物線的解析式為y=x2-2x-3,令x=0,則y=-3,設(shè)點(diǎn)E(0,m),則AE=√2+i,CE=|m+3|。分別過(guò)點(diǎn)D,Q作x軸的垂線，垂足分別為F∵拋物線y=x2-2x-3與x軸的右邊的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),且D(1,-4),∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(1+2√)-2=-1+2√或(1-2vz)-2=。【解答】(1)將A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+6,(2)過(guò)點(diǎn)P作PF//y軸，交BC于點(diǎn)F,如圖1所示.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c,將B(3,0)、C(0,6)代入y=kx+c,得：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,-2m2+4m+6),則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,∴S△rBc=-PF·OB=-3m2+9m=-3(m-號(hào))2+,∵點(diǎn)P(m,n)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)(3)存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CMN=90°,且△CMN與△OBC相似.如圖2,∠CMN=90°,當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C上方，過(guò)點(diǎn)M作MD設(shè)M(a,-2a2+4a+6),C(0,6),如圖3,當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C的下方，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E,或M(3,0),此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為或CMN=90°,且△CMN與△OBC相5.(2020·湖州)已知在△ABC中，AC=BC=m,D是AB邊上的一點(diǎn)，將∠B沿著過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)B落在AC邊的點(diǎn)P處(不與點(diǎn)A,C重合),折痕交BC邊于點(diǎn)E.(1)特例感知如圖1,若∠C=60°,D是AB的中點(diǎn)，求證：(2)變式求異如圖2,若∠C=90°,m=6vz,AD=7,過(guò)點(diǎn)(3)化歸探究如圖3,若m=10,AB=12,且當(dāng)AD=a時(shí)，存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍.(2)解：∵AC=BC=6v,∠C=90°,情形一：當(dāng)點(diǎn)B落在線段CH上的點(diǎn)P?處時(shí)，如圖2-1中，情形二：當(dāng)點(diǎn)B落在線段AH上的點(diǎn)P?處時(shí)，如圖2-2中，1綜上所述，滿足條件的AP的值為4V或3V2.(3)如圖3中，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H,過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AC于P.當(dāng)DB=DP時(shí)，設(shè)BD=PD=x,則AD=12-x,(1)如圖1,當(dāng)AC//x軸時(shí)，①已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,1),求拋物線的解析式；(2)如圖2,若b=-2,,是否存在這樣的點(diǎn)A,使四【解答】(1)①∵AC//x軸，點(diǎn)A(-2,1),11②如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E,交AB于點(diǎn)F,,。(2)如圖2,∵b=-2.∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+c,設(shè)點(diǎn)A(m,-m2-2m+c)(m<0),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E,交AB于F,∵四邊形AOBD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸于M,交DE于N,::∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,),N(-1,∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,c+1),。即可免費(fèi)獲取：知識(shí)點(diǎn)精講、解題技巧分事，大小考真題抑題詳∴存在這樣的點(diǎn)A,使四邊形AOBD是平行四邊形.反彈后球運(yùn)動(dòng)的路線為拋物線的一部分(如圖1所示建立直角坐標(biāo)系),拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)B.(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.②東東搶到球后，因遭對(duì)方防守?zé)o法投籃，他在點(diǎn)D處垂直球點(diǎn)E(4,1.3).東東起跳后所持球離地面高度h?(m)(傳球前)與東東起跳后時(shí)間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式h?=-2(t-0.5)2+2.7(O≤t≤1);小戴在點(diǎn)F(1.5,0)處攔截，他比東東晚0.3s垂直起跳，其攔截高度hz(m)與東東起跳后時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示(其中兩條拋物線的形狀相同).東東的直線傳球能否越過(guò)小戴的攔截傳到點(diǎn)E?若能，東東應(yīng)在起跳后什么時(shí)間范圍內(nèi)傳球?若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由(直線傳球過(guò)程中球運(yùn)動(dòng)時(shí)間忽略不計(jì))【解答】(1)設(shè)y=a(x-0.4)2+3.32(a≠0),把x=0,y=3代入，解得a=-2,(2)①把y=2.6代入y=-2(x-0.4)2+3.32,解得xi=-0.2(舍去),x?=1,②東東的直線傳球能越過(guò)小戴的攔截傳到點(diǎn)E.由圖1可得，當(dāng)O≤t≤0.3時(shí)，h?=2.2.東東在點(diǎn)D跳起傳球與小戴在點(diǎn)F處攔截的示意圖如圖2,設(shè)MD=h?,NF=h?,當(dāng)點(diǎn)M,N,E三點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥MD于點(diǎn)G,交NF于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)N作NP⊥MD于點(diǎn)P,MP=-2(t-0.5)2+2.7-2.2=-2(t-0NH=2.2-1.3=0.9.整理得(t-0.5)2=0.16,(Ⅱ)當(dāng)0.3<t≤0.65時(shí)，MP=MD-NF=-2(t-0.5)2+2.7NH=NF-HF=-2(t-0.8)2+2.7-1.3=-2(t-0.8)2+1.4,整理得t2-4.6t+1.89=0,給上所述，東東在起跳后傳球的時(shí)間范圍為和點(diǎn)C(0,3)與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MP//y軸，交拋物線于點(diǎn)P.(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得△QCO是等邊三角形?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)以M為圓心，MP為半徑作⊙M,當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切代入.【解答】(1)把點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)C(0,3)代入.①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右邊時(shí)，如圖1所示：過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OC于H,,,,②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的左邊時(shí)，如圖2所示：,,,則,當(dāng)M在線段BC上，⊙M與x軸相切時(shí)，如圖3所示：。則點(diǎn)D為⊙M與x軸的切點(diǎn)，即PM=MD,;,當(dāng)M在線段BC上，⊙M與y軸相切時(shí)，如圖4所示：延長(zhǎng)PM交AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E,則點(diǎn)E為⊙M與y軸的切點(diǎn)，即PM=ME,PD-MDX,設(shè)P),M(x,-2x+3),當(dāng)M在BC延長(zhǎng)線，⊙M與x軸相切時(shí)，如圖∴M的橫坐標(biāo)為-1,當(dāng)M在CB延長(zhǎng)線，⊙M與y軸相切時(shí)，如圖6所示：延長(zhǎng)PD交x軸于D,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E,則點(diǎn)E為⊙M與y軸的切點(diǎn)，即PM=ME,PD-MD=EM=設(shè)則點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A(1,3),將OA繞點(diǎn)O(1)求拋物線的解析式；(2)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A,C重合，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線，與△OAB的邊分別交于M,N兩點(diǎn)，將△AMN以直線MN為對(duì)稱軸翻折，得到△A'MN,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m.①當(dāng)△A'MN在△OAB內(nèi)部時(shí)，求m的取值范圍；②是否存在點(diǎn)P,使,若存在，求出滿足條件m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】(1)∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A(1,3),∴拋物線的解析式為y=a(x-1)2+3,把B(3,-1)代入y=a(x-1)2+3可得a=-1,∴拋物線的解析式為y=-(x-1)2+3,即y=-x2+2x+2,(2)①如圖1中，∴M。解得m=6+√G(舍棄)或6-√D,解得m=4±2√z(舍棄),不存在滿足條件的點(diǎn)P,∴滿足條件的m的值為6-vo.10.(2020·常德)已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°,∠ABC=30°,過(guò)點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF=90°,∠DFE=30°,連接CE并延長(zhǎng)CE到P,使EP=CE,連接BE,FP,BP,設(shè)BC與DE交于M,PB與EF交于N.(1)如圖1,當(dāng)D,B,F共線時(shí)，求證：①EB=EP;(2)如圖2,當(dāng)D,B,F不共線時(shí)，連接BF,求證：∠BFD+。證明(1)①∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,即M是BC的中點(diǎn)，。由①知：∠CBP=90°,(2)如圖2,延長(zhǎng)DE到Q,使EQ=DE,連接CD,PQ,FQ,。∴∠FDB=120°-∠FDC=120°-(60?+(1)判斷△AFG的形狀并說(shuō)明理由.。【解答】(1)解：如圖1中，△AFG是等腰三角形.。(2)證明：如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OL//AB交DF于L,則∠AFG=∠OLG.∵OL//AB∵四邊形ABCD是矩形。(3)解：如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于K,則∠DKA=∠···,設(shè)CD=2x,AC=3x,則AD=√x,(4)解：設(shè)OG=a,AG=k.①如圖4中，連接EF,當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA。，即10ka=3k2+4ka,即10ka=3k2-4ka,(1)如圖1,在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD=∠B.(2)如圖2,在ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為C上一點(diǎn)，∠BFE=∠A.若BF=4,BE=3,求AD的長(zhǎng).(3)如圖3,在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是△ABC=5,求菱形ABCD的邊長(zhǎng).【解答】(1)證明：∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠BFE=∠A,(3)如圖，分別延長(zhǎng)EF,DC相交于點(diǎn)G,形.探究發(fā)現(xiàn)(1)△BCD與△ACE是否全等?若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由.拓展運(yùn)用(2)若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的長(zhǎng).(3)若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上(如圖2),且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2,求△ACD的面積及AD的長(zhǎng).。(2)如圖3,由(1)得：△BCD≌△ACE,(3)如圖2,過(guò)A作AF⊥CD于F,DE,BF分別平分∠ADC,∠ABC,并交線段AB,CD于點(diǎn)E,之間),使BM=2FN.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q(1)判斷DE與BF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.(2)求DE,BF的長(zhǎng).①當(dāng)DP=DF時(shí)，通過(guò)計(jì)算比較BE與BQ的大小關(guān)系求所有滿足條件的x的值.如圖1所示：(2)令x=0,得y=12,令y=0,得x=10,(3)①連接EM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H,如圖2所示：。②(I)當(dāng)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，如圖3所示：(I)當(dāng)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，如圖4所示：(Ⅲ)當(dāng)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，如圖5所示：圖1圖2圖3(1)求證：四邊形AEFD為菱形.(2)求四邊形AEFD的面積.(3)若點(diǎn)P在x軸正半軸上(異于點(diǎn)D),點(diǎn)Q在y軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G,使得以點(diǎn)A,P,Q,G為頂點(diǎn)的四邊形與四邊形AEFD試說(shuō)明理由.相似?若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，【解答】(1)證明：如圖1中，∵E,D分別是OC,OB的中點(diǎn)(2)解：如圖1中，連接DE.(3)解：如圖1中，連接AF,設(shè)AF交DE于K,①當(dāng)AP為菱形的一邊，點(diǎn)Q在x軸的上方，有圖2,圖3兩如圖2中，設(shè)AG交PQ于H,過(guò)點(diǎn)H作HN⊥x軸于N,交AC于M,設(shè)AM=t.。∵菱形PAQG∽菱形ADFE,。如圖3中，過(guò)點(diǎn)H作HI⊥y軸于I,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸交IH于N,延長(zhǎng)BA交IN于M.設(shè)MH=t,②當(dāng)AP為菱形的邊，點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，有圖4,圖5兩作PN⊥MH于N.如圖5中，QH=3PH,過(guò)點(diǎn)H作HM⊥x軸于M交AC于I,過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥HM于N.::設(shè)PM=t,則HN=3t,過(guò)點(diǎn)H作HM⊥y軸于于點(diǎn)M,交AB于I,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥HM∵HI//x軸，AH=HP,的坐標(biāo)為(12,0)或(24,0)頂點(diǎn)A的點(diǎn)C(1,n)在該函數(shù)圖象上.(1)當(dāng)m=5時(shí)，求n的值.(3)作直線AC與y軸相交于點(diǎn)D.當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方，且在