線性代數

LinearAlgebra任課教師:鄧輝文編輯ppt<<線性代數>>LinearAlgebra同濟大學數學系(第五版){高等數學、線性代數、概率與數理統計}高等教育出版社,2007編輯ppt前言一.代數最早就是求解方程或方程組.線性代數需要解決的第一個問題就是求解線性方程組.代數就是在所考慮的對象之間規定一些運算后得到的一種數學結構.運算運算運算運算編輯ppt二.線性代數的研究對象是線性空間,包括其上的線性變換線性代數涉及的運算主要是稱為加減和數乘的線性運算，這些線性運算須滿足一定的性質進而構成線性空間.線性運算線性運算線性運算線性運算LinearSpace編輯ppt從廣義的角度看，線性代數研究的是“線性問題〞.直觀地講，對所考慮的變量是一次的問題就是線性問題.

即使是大量出現的非線性問題有時也會轉換成線性問題進行處理，如高等數學中的微分等.編輯ppt三.矩陣和向量是重要的代數工具.在一定的意義上，它們以及其上的一些運算本身就構成線性空間.線性代數的主要內容分別是線性方程組、矩陣代數、向量空間、以及與線性變換密切相關的方陣的特征值和二次型這種線性空間之間特殊的雙線性函數等(Seebelow).編輯ppt以線性方程組為主線、以矩陣和向量為工具.線性方程組矩陣行列式向量特征值特征向量二次型代數幾何編輯ppt四.線性代數的特點是內容較抽象、概念和定理較多，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透.五.為何學習線性代數.線性化是重要的數學方法，在高等數學特別是優化問題的討論中會用到.在計算機程序設計語言特別是MATLAB中，矩陣是最根本的數據結構.編輯ppt在高等數學、微分方程、離散數學、算法分析與設計、計算機圖形圖像處理等課程中矩陣、向量、線性變換是經常要用的知識.隨著計算機的普及，線性代數在理論和實際應用中的重要性更加突出，這使得諸如計算機專業、電子信息專業、自動控制專業以及經濟管理專業等對線性代數內容從深度和廣度方面都提出了更高的要求.

編輯ppt六.學習線性代數要到達的目的.通過線性代數的學習，一方面可以進一步培養抽象思維能力和嚴密的邏輯推理能力，為進一步學習和研究打下堅實的根底，另一方面為立志報考研究生的同學提供必要的線性代數理論知識、解題技巧和方法.編輯ppt七.線性代數的主要內容Chapter1線性方程組Chapter2矩陣代數Chapter3向量空間Chapter4特征值與特征向量Chapter5二次型編輯ppt八.MATLAB程序設計語言MATLAB:matrixlaboratory.MATLAB(1)強大的數值計算和(2)符號計算功能、(3)卓越的數據可視化能力和(4)適用于各行各業的不同的工具箱.根本教學工具.是攻讀學位的理工科,甚至文科大學生、碩士生和博士生必須掌握的根本技能.編輯ppt本書介紹了使用MATLAB求解線性代數問題的一些常見命令，希望能引起大家學習興趣，較早進入MATLAB世界.九.每章都有精選習題，有些選自歷年的研究生入學考試線性代數題目.編輯ppt線性代數參考書魏戰線,工程數學?線性代數?(第2版)，遼寧大學出版社,2000(全國高等教育自學考試教材)(有同步輔導/同步訓練配套教材)編輯ppt第1章線性方程組線性方程組是線性代數的根本內容,是貫穿線性代數的一條主線.(線性代數最早的重點內容就是求解線性方程組.)學習線性方程組的重要性.線性方程組編輯ppt1.1線性方程組與矩陣的有關概念1.1.1線性方程組的有關概念編輯ppt對所考慮的未知量來說，和式中每項次數最高是一次的方程稱為線性方程(linearequation)，否那么稱為非線性方程(nonlinearequation).對于未知量x,y,z:√編輯ppt在高等數學中，對于未知函數y(x)以及未知函數y(x)的導數來說，最高是一次的微分方程稱為線性微分方程.編輯ppt每個方程均是線性方程的方程組稱為線性方程組(systemoflinearequations).

n元線性方程組的一般形式為m

n線性方程組.aij系數與bi常數.

編輯pptm和n是任意正整數，其關系可能為以下三種情況之一:m=n(恰定線性方程組:properlydeterminedequations).m>n(超定線性方程組:overdeterminedequations).m<n(欠定線性方程組:underdeterminedequations).對于n元線性方程組，應該討論:(1)解的存在性性.(2)求出其所有解，包括討論解的個數.編輯ppt1.1.2矩陣的有關概念1、矩陣在討論n元線性方程組的有關問題時，矩陣是一個很方便的工具.3階幻方:4階幻方?編輯ppt5階幻方?編輯ppt矩陣就是由一些數，也可以是一些表示數的符號，按一定順序排成假設干行和假設干列的一個表格.Definition1.1mn矩陣(matrixofsizemn).圓括符()或方括符[]將其括起來，但不能使用{}或||等符號.編輯ppt黑體及斜體(英文或希臘、大寫或小寫)字母或帶下標A,B,C,A1,A2,A3,a,b,c,p1,p2,p3,

,

,

,

1,

2,

3等表示矩陣.第i行元素,第j列元素.(i,j)位置元素aij是用雙下標表示的，第一個下標表示該元素所在的行，第二個下標表示該元素所在的列，這種表示方法本身就有一定的創意.編輯ppt系數矩陣(coefficientmatrix):增廣矩陣(augmentedmatrix):最早出現的矩陣!!編輯ppt例1.3系數矩陣和增廣矩陣分別為編輯ppt在寫線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣時，一方面要按一定順序，如x1,x2,x3或x,y,z得出未知量的系數，另一方面，假設有缺位，如例1.3中的第1個方程沒有x3，就認為x3的系數為0.有m行n列的矩陣A，就是“mn矩陣〞，讀作“m行n列矩陣A〞.在mn中，行數m寫在的前面，而列數n寫在的后面.復矩陣(complexmatrix)與實矩陣(realmatrix).編輯ppt行矩陣:列矩陣:方陣(Square):n

n矩陣又稱為n階矩陣(matrixofordern)或n階方陣(squarematrixofordern).n階方陣A也可以表示為或.由一個數a構成的1階方陣(a)就是元素a本身，即(a)=a.編輯ppt主對角線(principaldiagonal)，簡稱為A的對角線(diagonal).次對角線(secondarydiagonal).編輯ppt例1.4編輯ppt2、轉置矩陣轉置是另外一種排列方式:概念?轉置實際上是矩陣的一種運算--轉置運算?.編輯ppt3、幾種特殊矩陣(1)單位矩陣編輯ppt(2)對角矩陣單位陣是對角陣.對角線元素相同的n階對角陣稱為數量矩陣(scalarmatrix)，其一般形式為編輯ppt(3)零矩陣元素全為0的m

n矩陣稱為零矩陣(zeromatrix)，記為O或Om

n.編輯ppt(4)上(下)三角陣對角線以下元素全為0的方陣稱為上三角陣(uppertriangularmatrix):編輯ppt對角線以上元素全為0的方陣稱為下三角陣(lowertriangularmatrix):編輯ppt4、矩陣相等A=B:矩陣A和矩陣B對應的元素分別相等.Remark只有同型的兩個矩陣才可能相等.例1.5編輯ppt>>A=[1，2，3；4，5，6；7，8，9]>>A'>>B=A'在MATLAB中有很多產生特殊矩陣的命令，如元素全為1的矩陣ones(m,n)、元素全為0的矩陣zeros(m,n)和[0，1]上均勻分布的隨機矩陣rand(m,n)等.編輯ppt1.2線性方程組解的存在性1.2.1線性方程組的解1個解(asolution)?編輯ppt(1)非齊次線性方程組

編輯ppt(2)齊次線性方程組線性方程組有零解該線性方程組是齊次的.于是,齊次線性方程組有(零)解!!注意齊次線性方程組可能有非零解.編輯ppt1.2.2線性方程組的同解變換與矩陣的初等行變換編輯ppt線性方程組的同解變換:(1)交換第i個方程和第j個方程的位置.(2)第i個方程兩邊同時乘以不為0的數k.(3)第i個方程兩邊乘以同一個數k后，分別加在第j個方程的兩邊.采用同解變換得到的線性方程組與原線性方程組是同解的，即它們的解完全相同.編輯ppt(I)交換第1個方程和第2個方程的位置.編輯ppt(II)第3個方程兩邊同時乘以不為0的數1/3.編輯ppt(III)第1個方程兩邊乘以同一個數-2后，分別加在第2個方程.編輯ppt定義1.4矩陣的初等行變換(rowelementaryoperationsofamatrix)有以下3種：(1)換行交換第i行和第j行的位置，記為ri

rj.(2)倍乘將第i行乘以不為0的數k，記為kri.(3)倍加將第i行乘以一個數k加在第j行，記為kri+rj.編輯ppt1.2.3高斯消元法、行階梯形矩陣與矩陣的秩1.消元(elimination)?編輯ppt“換行〞和“倍乘〞是為了方便消元.C.F.Gauss提出該方法,后來稱為Gauss消元法,可直接稱為消元法.但中國人大約在公元前250年就會一些簡單的消元.在矩陣中這樣做,也稱為Gauss消元法或消元法.前面采用的是“向下消元〞,并可以繼續下去:編輯ppt編輯ppt編輯ppt2.行階梯陣(rowechelonmatrix)梯陣(echelonmatrix)，可以在該矩陣里面畫一條階梯線，滿足(1)線的下方元素全為0；(2)每個臺階只有一行，臺階數即為非零行的行數；(3)階梯線的豎線后面的第一個元素非零，該元素稱為該非零行的首非零元素即首元.編輯ppt以下幾個矩陣均不是行階梯形矩陣:編輯ppt3.矩陣的秩矩陣的秩是矩陣理論中最重要的概念之一,F.G.Frobenius(1917)借助于行列式引入的.Def1.5在矩陣A的行階梯形矩陣中，其非零行的行數稱為矩陣的秩(rankofthematrixA)，記為R(A)(或r(A)).

R(B)=3

R(A)=?(不看最后一列即可!)編輯ppt定理1.1設線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣分別為A和B，那么該線性方程組有解的充要條件是R(A)=R(B).第一，假設線性方程組有解，那么R(A)=R(B).因為R(A)R(B)，意味著在B的行階梯形矩陣的最后非零行里會出現0,0,…,0,d，其中d0.于是對應的同解線性方程組會出現0=d的情況，顯然原線性方程組無解.編輯ppt第二，假設R(A)=R(B)，那么線性方程組有解.這是由于在B的行階梯形矩陣對應的線性方程組里，不會出現0=d0的情況，因而至少可得出原線性方程組的一個解.例如，線性方程組(1.6)有解編輯ppt在R(A)=R(B)時，其秩記為r.對于齊次線性方程組，顯然有R(A)=R(B)，根據定理1.1容易知道，任意齊次線性方程組有解.當然，由于齊次線性方程組均有零解，可推出R(A)=R(B).注意齊次線性方程組可能有非零解.編輯ppt例1.6判斷以下線性方程組是否有解，說明理由.Hint編輯ppt4.矩陣的初等列變換完全類似于矩陣的初等行變換,最后介紹與求解線性方程組沒有直接聯系的矩陣的初等列變換:(1)換列交換第i列和第j列的位置，記為ci

cj.(2)倍乘將第i列乘以不為0的數k，記為kci(k

0).(3)倍加將第i列乘以一個數k加在第j列，記為kci+cj.編輯ppt矩陣的初等列變換在處理其他問題時有其獨特作用.等價矩陣:AB?(1)自反性:AA(2)對稱性:假設AB,那么BA(3)傳遞性:假設AB且BC,那么AC由于強調等價的傳遞性，而不是對稱性，使用“〞表示矩陣間的等價關系是合理的.編輯ppt矩陣的初等變換:初等行變換&初等列變換矩陣的標準形(standardform):使用矩陣的初等變換將左上角化為單位矩陣,而其余元素全為0.可在其行階梯形矩陣的根底上,再使用矩陣的初等列變換.注意使用矩陣的初等變換時,只能用“〞,不能用“=〞.編輯ppt1.3線性方程組的高斯求解方法求解線性方程組:先判斷是否有解;在有解時,再求出所有解(通解).1.3.1將增廣矩陣化為行階梯形矩陣例1.7求解以下線性方程組編輯pptSolutionR(A)=R(B)=3編輯ppt1.3.2將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣一個矩陣的行最簡形矩陣(reducedrowechelonformofamatrix),必須滿足以下3個條件:(1)是該矩陣的行階梯形矩陣.(2)行階梯形矩陣非零行的首元為1.(3)1所在列的其他元素全為0.行最簡形矩陣=約化行梯陣=簡化行梯陣.編輯ppt“向上消元〞?編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt一般來說,將非零行的首非零元素對應的未知量x1、x2和x3作為先導未知量(leadingunknown),而其余未知量x4是自由未知量(freeunknown).顯然,主導未知量的個數就是矩陣的秩R(A)=R(B)=r=3,進而自由未知量的個數為n–r=4–3=1.編輯ppt令x4=k(其中k為任意常數)

將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣的目的:方便求解.編輯ppt定理1.2假設n元線性方程組有解,其系數矩陣和增廣矩陣分別為A和B，那么(1)當R(A)=R(B)=r=n時,該線性方程組有唯一解.(2)當R(A)=R(B)=r<n時,該線性方程組存在n–r個自由未知量,進而有無限多個解.注意當R(A)R(B)時,該線性方程組無解.編輯ppt下面舉一個求解齊次線性方程組的例子.例1.8用高斯消元法求解齊次線性方程組編輯pptSolution編輯ppt其對應的同解齊次線性方程組為編輯ppt這時取x3和x4為自由未知量，令x3=k1，x4=k2，得原方程組的所有解為其中k1,k2為任