山西省忻州市2023年九年級數學第一學期期末聯考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，已知⊙O的直徑為4，∠ACB＝45°，則AB的長為（）A．4 B．2 C．4 D．22．如圖，正方形的邊長為4，點在的邊上，且，與關于所在的直線對稱，將按順時針方向繞點旋轉得到，連接，則線段的長為（）A．4 B． C．5 D．63．為了讓人們感受丟棄塑料袋對環境造成的影響，某班環保小組的6名同學記錄了自己家中一周內丟棄塑料袋的數量，結果如下：（單位：個）33，25，28，26，25，31，如果該班有45名學生，那么根據提供的數據估計本周全班同學各家總共丟棄塑料袋的數量為（）A．900個 B．1080個 C．1260個 D．1800個4．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點，，，以某點為位似中心，作出的位似圖形，則位似中心的坐標為（）A． B． C． D．5．如圖，在平面直角坐標系中，點P在函數y＝（x＞0）的圖象上從左向右運動，PA∥y軸，交函數y＝﹣（x＞0）的圖象于點A，AB∥x軸交PO的延長線于點B，則△PAB的面積（）A．逐漸變大 B．逐漸變小 C．等于定值16 D．等于定值246．已知是的反比例函數，下表給出了與的一些值，表中“▲”處的數為（）▲A． B． C． D．7．某人從處沿傾斜角為的斜坡前進米到處，則它上升的高度是（）A．米 B．米 C．米 D．米8．“學雷鋒”活動月中，“飛翼”班將組織學生開展志愿者服務活動，小晴和小霞從“圖書館，博物館，科技館”三個場館中隨機選擇一個參加活動，兩人恰好選擇同一場館的概率是（）A． B． C． D．9．如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，AE=6，則EC等于（）A．10 B．4 C．15 D．910．已知二次函數的圖象與軸有兩個不同的交點，其橫坐標分別為若且則（）A． B． C． D．11．與相似，且面積比，則與的相似比為（）A． B． C． D．12．方程x2﹣2x﹣4=0的根的情況（）A．只有一個實數根 B．有兩個不相等的實數根C．有兩個相等的實數根 D．沒有實數根二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在平面直角坐標系中，點在拋物線上運動，過點作軸于點，以為對角線作矩形連結則對角線的最小值為．14．在中，，則的面積是__________．15．如圖，，如果，，，那么___________．16．已知圓錐的底面圓半徑是1，母線是3，則圓錐的側面積是______．17．函數y＝kx，y＝，y＝的圖象如圖所示，下列判斷正確的有_____．（填序號）①k，a，b都是正數；②函數y＝與y＝的圖象會出現四個交點；③A，D兩點關于原點對稱；④若B是OA的中點，則a＝4b．18．一個扇形的弧長是，面積是，則這個扇形的圓心角是___度．三、解答題（共78分）19．（8分）某種蔬菜的銷售單價y1與銷售月份x之間的關系如圖（1）所示，成本y2與銷售月份之間的關系如圖（2）所示（圖（1）的圖象是線段圖（2）的圖象是拋物線）（1）分別求出y1、y2的函數關系式（不寫自變量取值范圍）；（2）通過計算說明：哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？20．（8分）在平面內，給定不在同一直線上的點A，B，C，如圖所示．點O到點A，B，C的距離均等于a（a為常數），到點O的距離等于a的所有點組成圖形G，的平分線交圖形G于點D，連接AD，CD．（1）求證：AD=CD；（2）過點D作DEBA，垂足為E，作DFBC，垂足為F，延長DF交圖形G于點M，連接CM．若AD=CM，求直線DE與圖形G的公共點個數．21．（8分）如圖，點P是上一動點，連接AP，作∠APC=45°，交弦AB于點C．AB=6cm．小元根據學習函數的經驗，分別對線段AP，PC，AC的長度進行了測量．下面是小元的探究過程，請補充完整：（1）下表是點P是上的不同位置，畫圖、測量，得到線段AP，PC，AC長度的幾組值，如下表：AP/cm01.002.003.004.005.006.00PC/cm01.212.092.69m2.820AC/cm00.871.572.202.833.616.00①經測量m的值是（保留一位小數）．②在AP，PC，AC的長度這三個量中，確定的長度是自變量，的長度和的長度都是這個自變量的函數；（2）在同一平面直角坐標系xOy中，畫出（1）中所確定的函數圖象；（3）結合函數圖象，解決問題：當△ACP為等腰三角形時，AP的長度約為cm（保留一位小數）．22．（10分）已知二次函數．用配方法將其化為的形式；在所給的平面直角坐標系xOy中，畫出它的圖象．23．（10分）已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足為H，連接BC，過點D作DE⊥BC于點E，DE交AC于點F（1）如圖1，求證：BD平分∠ADF；（2）如圖2，連接OC，若AC＝BC，求證：OC平分∠ACB；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AB，過點D作DN∥AC交⊙O于點N，若AB＝3，DN＝1．求sin∠ADB的值．24．（10分）李明準備進行如下操作實驗，把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個正方形．(1)要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2，李明應該怎么剪這根鐵絲？(2)李明認為這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2，你認為他的說法正確嗎？請說明理由．25．（12分）如圖，已知的三個頂點的坐標分別為、、，P（a，b）是△ABC的邊AC上一點：（1）將繞原點逆時針旋轉90°得到,請在網格中畫出，旋轉過程中點A所走的路徑長為.（2）將△ABC沿一定的方向平移后，點P的對應點為P2（a+6，b+2），請在網格畫出上述平移后的△A2B2C2，并寫出點A2、的坐標:A2（）.（3）若以點O為位似中心，作△A3B3C3與△ABC成2:1的位似，則與點P對應的點P3位似坐標為（直接寫出結果).26．如圖，某中學有一塊長為米，寬為米的矩形場地，計劃在該場地上修筑寬都為2米的兩條互相垂直的道路（陰影部分），余下的四塊矩形小場地建成草坪．（1）請分別寫出每條道路的面積（用含或的代數式表示）；（2）若，并且四塊草坪的面積之和為144平方米，試求原來矩形場地的長與寬各為多少米？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】連接OA、OB，根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即可求出∠AOB＝90°，再根據等腰直角三角形的性質即可求出AB的長.【詳解】連接OA、OB，如圖，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2．故選：D．【點睛】此題考查的是圓周角定理和等腰直角三角形的性質，掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解決此題的關鍵.2、C【分析】如圖，連接BE，根據軸對稱的性質得到AF=AD，∠EAD=∠EAF，根據旋轉的性質得到AG=AE，∠GAB=∠EAD．求得∠GAB=∠EAF，根據全等三角形的性質得到FG=BE，根據正方形的性質得到BC=CD=AB=1．根據勾股定理即可得到結論．【詳解】解：如圖，連接BE，∵△AFE與△ADE關于AE所在的直線對稱，∴AF=AD，∠EAD=∠EAF，∵△ADE按順時針方向繞點A旋轉90°得到△ABG，∴AG=AE，∠GAB=∠EAD．∴∠GAB=∠EAF，∴∠GAB+∠BAF=∠BAF+∠EAF．∴∠GAF=∠EAB．∴△GAF≌△EAB（SAS）．∴FG=BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=1．∵DE=1，∴CE=2．∴在Rt△BCE中，BE=，∴FG=5，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質以及旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．3、C【分析】先求出6名同學家丟棄塑料袋的平均數量作為全班學生家的平均數量，然后乘以總人數45即可解答．【詳解】估計本周全班同學各家總共丟棄塑料袋的數量為（個）．【點睛】本題考查了用樣本估計總體的問題，掌握算術平均數的公式是解題的關鍵．4、C【分析】直接利用位似圖形的性質得出位似中心．【詳解】如圖所示，點P即為位似中點，其坐標為（2，2），故答案為：（2，2）．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似中心的定義是解題關鍵．5、C【分析】根據反比例函數k的幾何意義得出S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，即可得出，從而得出，通過證得△POC∽△PBA，得出，即可得出S△PAB＝1S△POC＝1．【詳解】如圖，由題意可知S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，∵S△POC＝OC?PC，S矩形ACOD＝OC?AC，∴，∴，∴，∵AB∥軸，∴△POC∽△PBA，∴，∴S△PAB＝1S△POC＝1，∴△PAB的面積等于定值1．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數的性質以及矩形的面積的計算，利用相似三角形面積比等于相似比的平方是解決本題的關鍵．6、D【分析】設出反比例函數解析式，把代入可求得反比例函數的比例系數，當時計算求得表格中未知的值.【詳解】是的反比例函數，，，，，當時，，故選：D.【點睛】本題考查了用待定系數法求反比例函數解析式；點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標適合函數解析式，在同一函數圖象上的點的橫縱坐標的積相等．7、A【分析】利用坡角的正弦值即可求解．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠A=α，AB=600，∴sinα=，∴BC=600sinα．

故選A．【點睛】此題主要考查坡度坡角問題，正確掌握坡角的定義是解題關鍵．8、A【分析】畫樹狀圖（用、、分別表示“圖書館、博物館、科技館”三個場館）展示所有9種等可能的結果數，找出兩人恰好選擇同一場館的結果數，然后根據概率公式求解.【詳解】畫樹狀圖為：（用分別表示“圖書館，博物館，科技館”三個場館）共有9種等可能的結果數，其中兩人恰好選擇同一場館的結果數為3，所以兩人恰好選擇同一場館的概率．故選A．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果，再從中選出符合事件或的結果數目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率.9、B【解析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【詳解】解：∵DE∥BC，∴AEEC=ADDB解得，EC=4，故選：B．【點睛】考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．10、C【分析】首先根據二次函數開口向下與軸有兩個不同的交點，得出，然后再由對稱軸即可判定.【詳解】由已知，得二次函數開口向下，與軸有兩個不同的交點，∴∵且∴其對稱軸∴故答案為C.【點睛】此題主要考查二次函數圖象的性質，熟練掌握，即可解題.11、B【分析】根據面積比為相似比的平方即可得出答案．【詳解】與相似，且面積比與的相似比為與的相似比為故答案為：B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，比較簡單，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．12、B【詳解】Δ=b2－4ac=（－2）2－4×1×（－4）=20＞0，所以方程有兩個不相等的實數根.故選B.【點睛】一元二次方程根的情況：（1）b2－4ac＞0，方程有兩個不相等的實數根；（2）b2－4ac=0，方程有兩個相等的實數根；（3）b2－4ac＜0，方程沒有實數根.注：若方程有實數根，那么b2－4ac≥0.二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】先利用配方法得到拋物線的頂點坐標為（1，1），再根據矩形的性質得BD=AC，由于AC的長等于點A的縱坐標，所以當點A在拋物線的頂點時，點A到x軸的距離最小，最小值為1，從而得到BD的最小值．【詳解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，

∴拋物線的頂點坐標為（1，1），

∵四邊形ABCD為矩形，

∴BD=AC，

而AC⊥x軸，

∴AC的長等于點A的縱坐標，

當點A在拋物線的頂點時，點A到x軸的距離最小，最小值為1，

∴對角線BD的最小值為1．

故答案為1．14、24【分析】如圖，由三角函數的定義可得，可得AB=，利用勾股定理可求出AC的長，根據三角形面積公式求出△ABC的面積即可．【詳解】∵，∴AB=，∴()2=AC2+BC2，∵BC=8，∴25AC2=9AC2+9×64，解得：AC=6（負值舍去），∴△ABC的面積是×8×6=24，故答案為：24【點睛】本題考查三角函數的定義，在直角三角形中，銳角的正弦是角的對邊與斜邊的比值；余弦是角的鄰邊與斜邊的比值；正切是角的對邊與鄰邊的比值；熟練掌握三角函數的定義是解題關鍵．15、1【分析】由于l1∥l2∥l3，根據平行線分線段成比例得到，然后把數值代入求出DF．【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，

∴，即，

∴DE=1．故答案為：1【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．16、3π．【解析】∵圓錐的底面圓半徑是1，∴圓錐的底面圓的周長=2π，則圓錐的側面積=×2π×3=3π，故答案為3π．17、①③④【分析】根據反比例函數、一次函數的性質以及反比例函數系數k的幾何意義即可判斷．【詳解】解：由圖像可知函數y＝kx經過一、三象限，h函數y＝，y＝在一、三象限，則k＞0，a＞0，b＞0，故①正確；由圖像可知函數y＝與y＝的圖像沒有交點，故②錯誤；根據正比例函數和反比例函數的圖像都是中心對稱圖像可知，A，D兩點關于原點對稱，故③正確；若B是OA的中點，軸OA＝2OB，作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，∴BN∥AM，∴△BON∽△AOM，∴，∴，∴b＝4a，故④正確：故答案為①③④．【點睛】本題考查了相似性質、反比例函數、一次函數的性質以及反比例函數系數k的幾何意義，數形結合的思想是解題的關鍵18、150【分析】根據弧長公式計算．【詳解】根據扇形的面積公式可得：，解得r=24cm，再根據弧長公式，解得.故答案為：150.【點睛】本題考查了弧長的計算及扇形面積的計算，要記熟公式：扇形的面積公式，弧長公式.三、解答題（共78分）19、（1）y1＝;y2＝x2﹣4x+2；（2）5月出售每千克收益最大，最大為．【分析】（1）觀察圖象找出點的坐標，利用待定系數法即可求出y1和y2的解析式；（2）由收益W=y1-y2列出W與x的函數關系式，利用配方求出二次函數的最大值．【詳解】解：（1）設y1＝kx+b，將（3，5）和（6，3）代入得，，解得．∴y1＝﹣x+1．設y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝．∴y2＝（x﹣6）2+1，即y2＝x2﹣4x+2．（2）收益W＝y1﹣y2，＝﹣x+1﹣（x2﹣4x+2）＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴當x＝5時，W最大值＝．故5月出售每千克收益最大，最大為元．【點睛】本題考查了一次函數和二次函數的應用，熟練掌握待定系數法求解析式是解題關鍵，掌握配方法是求二次函數最大值常用的方法20、依題意畫出圖形G為⊙O，如圖所示,見解析；（1）證明見解析；（2）直線DE與圖形G的公共點個數為1個.【解析】（1）根據線段垂直平分線的性質得出圖形G為⊙O，再根據在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等得出；從而得出弦相等即可．（2）先根據HL得出△CDF≌△CMF，得出DF=MF，從而得出BC為弦DM的垂直平分線，根據圓心角和圓周角之間的關系定理得出∠ABC=∠COD，再證得DE為⊙O的切線即可【詳解】如圖所示，依題意畫出圖形G為⊙O，如圖所示（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴，∴AD=CD（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°在Rt△CDF和Rt△CMF中，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC為弦DM的垂直平分線∴BC為⊙O的直徑，連接OD∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE為⊙O的切線.∴直線DE與圖形G的公共點個數為1個.【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，圓心角和圓周角之間的關系定理，切線的判定，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵．21、（1）①3.0；②AP的長度是自變量，PC的長度和AC的長度都是這個自變量的函數；（答案不唯一）;(2)見解析;（3）2.3或4.2【分析】（1）①根據題意AC的值分析得出PC的值接近于半徑；②由題意AP的長度是自變量，分析函數值即可；（2）利用描點法畫出函數圖像即可；（3）利用數形結合的思想解決問題即可.【詳解】解：（1）①AC=2.83可知PC接近于半徑3.0；②AP的長度是自變量，PC的長度和AC的長度都是這個自變量的函數；（答案不唯一）（2）如圖（答案不唯一，和（1）問相對應）；（3）結合圖像根據AP=PC以及AC=PC進行代入分析可得AP為2.3或4.2【點睛】本題考查函數圖像的相關性質，利用描點法畫出函數圖像以及利用數形結合的思想進行分析求解.22、（1）；（2）見解析.【分析】（1）利用配方法把二次函數解析式化成頂點式即可；（2）利用描點法畫出二次函數圖象即可．【詳解】解：==，頂點坐標為，對稱軸方程為．函數二次函數的開口向上，頂點坐標為，與x軸的交點為，，其圖象為：故答案為（1）；（2）見解析.【點睛】本題考查二次函數的配方法，用描點法畫二次函數的圖象，掌握配方法是解題的關鍵．23、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）sin∠ADB的值為．【分析】(1)根據等角的余角相等即可證明；(2)連接OA、OB．只要證明△OCB≌△OCA即可解決問題；(3)如圖3中，連接BN，過點O作OP⊥BD于點P，過點O作OQ⊥AC于點Q，則四邊形OPHQ是矩形，可知BN是直徑，則HQ=OP=DN=，設AH=x，則AQ=x+，AC=2AQ=2x+1，BC=2x+1，CH=AC﹣AH=2x+1﹣x=x+1，在Rt△AHB中，BH2=AB2﹣AH2=()2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2即(2x+1)2=()2﹣x2+(x+1)2，解得x=3，BC=2x+1=15，CH=x+1=12求出sin∠BCH，即為sin∠ADB的值．【詳解】(1)證明：如圖1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD=∠BED=10°，∴∠DAH+∠ADH=10°，∠DBE+∠BDE=10°，∵∠DAC=∠DBC，∴∠ADH=∠BDE，∴BD平分∠ADF；(2)證明：連接OA、OB．∵OB=OC=OA，AC=BC，∴△OCB≌△OCA(SSS)，∴∠OCB=∠OCA，∴OC平分∠ACB；(3)如圖3中，連接BN，過點O作OP⊥BD于點P，過點O作OQ⊥AC于點Q．則四邊形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN=∠BHC=10°，∴BN是直徑，則OP=DN=，∴HQ=OP=，設AH=x，則AQ=x+，AC=2AQ=2x+1，BC=AC=2x+1，∴CH=AC﹣AH=2x+1﹣x=x+1在Rt△AHB中，BH2=AB2﹣AH2=()2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2，即(2x+1)2=()2﹣x2+(x+1)2，整理得2x2+1x﹣45=0，(x﹣3)(2x+15)=0，解得：x=3(負值舍去)，BC=2x+1=15，CH=x+1=12，BH=1∵∠ADB=∠BCH，∴sin∠ADB=sin∠BCH===．即sin∠ADB的值為．【點睛】本題考查了圓的垂徑定理、銳角三角函數、勾股定理、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形或特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．24、(1)李明應該把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段；(2)李明的說法正確，理由見解析.【解析】試題分析：（1）設剪成的較短的這段為xcm，較長的這段就為（40﹣x）cm．就可以表示出這兩個正方形的面積，根據兩個正方形的面積之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（