一階微分方程的習題課(一)一、一階微分方程求解二、解微分方程應用問題解法及應用第十二章2015.51微分方程習題課(1-2)一、一階微分方程求解

1.一階標準類型方程求解關鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標準類型方程求解(1)變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式(2)積分因子法——選積分因子,解全微分方程四個標準類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程2015.52微分方程習題課(1-2)例1.求下列方程的通解解答：故為分離變量方程:通解2015.53微分方程習題課(1-2)方程兩邊同除以x

即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.2015.54微分方程習題課(1-2)調換自變量與因變量的地位，化為這是一階線性方程通解：化簡為2015.55微分方程習題課(1-2)方法1

這是一個齊次方程.2015.56微分方程習題課(1-2)方法2

化為微分形式故這是一個全微分方程.2015.57微分方程習題課(1-2)內容小結1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程2015.58微分方程習題課(1-2)例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫為(貝努里方程)(分離變量方程)原方程化為2015.59微分方程習題課(1-2)令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為2015.510微分方程習題課(1-2)變方程為兩邊乘積分因子用湊微分法得通解:2015.511微分方程習題課(1-2)例3.設F(x)＝f(x)g(x),其中函數f(x),g(x)在(－∞,+∞)內滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表達式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:2015.512微分方程習題課(1-2)(2)由一階線性微分方程解的公式得于是2015.513微分方程習題課(1-2)練習題:(題3只考慮方法及步驟)P326題2求以為通解的微分方程.提示:消去

C

得P327題3

求下列微分方程的通解:提示:

令u=xy,化成可分離變量方程:提示:

這是一階線性方程,其中P326題1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)2015.514微分方程習題課(1-2)提示:

可化為關于

x

的一階線性方程提示:

為貝努里方程,令提示:

為全微分方程,通解提示:可化為貝努里方程令微分倒推公式2015.515微分方程習題課(1-2)思考:

能否根據草圖列方程?練習題:P327題5,6P327題5.

已知某曲線經過點(1,1),軸上的截距等于切點的橫坐標,求它的方程.提示:

設曲線上的動點為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點處切線方程為它的切線在縱2015.516微分方程習題課(1-2)二階微分方程的習題課(二)二、微分方程的應用

解法及應用一、兩類二階微分方程的解法第十二章2015.517微分方程習題課(1-2)一、兩類二階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解2015.518微分方程習題課(1-2)2.二階線性微分方程的解法

常系數情形齊次非齊次代數法

歐拉方程2015.519微分方程習題課(1-2)解答提示P327題2

求以為通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P327題3

求下列微分方程的通解提示:(6)令則方程變為2015.520微分方程習題課(1-2)特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思考若(7)中非齊次項改為提示:原方程通解為特解設法有何變化?2015.521微分方程習題課(1-2)P327題4(2)

求解提示:

令則方程變為積分得利用再解并利用定常數思考若問題改為求解則求解過程中得問開方時正負號如何確定?2015.522微分方程習題課(1-2)特征根:例1.求微分方程提示:故通解為滿足條件解滿足處連續且可微的解.設特解:代入方程定A,B,得得2015.523微分方程習題課(1-2)處的銜接條件可知,解滿足故所求解為其通解:定解問題的解:2015.524微分方程習題課(1-2)例2.且滿足方程提示:

則問題化為解初值問題:最后求得2015.525微分方程習題課(1-2)思考:

設提示:

對積分換元,則有解初值問題:答案:2015.526微分方程習題課(1-2)的解.例3.設函數內具有連續二階導(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(x)所滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件數,且解:上式兩端對

x

求導,得

(1)

由反函數的導數公式知(2003考研)2015.527微分方程習題課(1-2)代入原微分方程得①(2)方程①的對應齊次方程的通解為設①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:2015.528微分方程習題課(1-2)由初始條件得故所求初值問題的解為2015.529微分方程習題課(1-2)備用題

有特而對應齊次方程有解微分方程的通解.解:故所給二階非齊次方程為方程化為1.設二階非齊次方程一階線性非齊次方程2015.530微分方程習題課(1-2)故再積分得通解復習:

一階線性微分方程通解公式2015.531微分方程習題課(1-2)

2.(1)驗證函數滿足微分方程(2)利用(1)的結果求冪級數的和.解:(1)(02考研)2015.5