第第頁專題11整式的乘法與因式分解壓軸題真題分類-高分必刷題（原卷版）專題簡介：本份資料包含《整式的乘法與因式分解》這一章中五種種類型的常考壓軸題，所選題目源自各名校期中、期末試題中的典型考題，具體包含的題型有：冪的運算的壓軸題、整式乘法的壓軸題、與平方差公式完全平方公式相關(guān)的的壓軸題、配方法的壓軸題、因式分解的壓軸題。適合于培訓(xùn)機構(gòu)的老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時使用或者學(xué)生沖刺高分刷題時使用。題型一：冪的運算的壓軸題1．（2021春?岳麓區(qū)）定義：如果2m＝n（m，n為正數(shù)），那么我們把m叫做n的D數(shù)，記作m＝D（n）．（1）根據(jù)D數(shù)的定義，填空：D（2）＝，D（16）＝．（2）D數(shù)有如下運算性質(zhì)：D（s?t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．根據(jù)運算性質(zhì)，計算：①若D（a）＝1，求D（a3）；②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，試求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．2．閱讀材料：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫這個復(fù)數(shù)的實部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部．它有如下特點：①它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．例如計算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若他們的實部和虛部分別相等，則稱這兩個復(fù)數(shù)相等；若它們的實部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個復(fù)數(shù)共軛，如1+2i的共軛復(fù)數(shù)為1﹣2i．根據(jù)材料回答：（1）填空：i3＝，i4＝；（2）求（2+i）2的共軛復(fù)數(shù)；（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．

3．（雨花區(qū)校級月考）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作（a，b），如果ac＝b，則（a，b）＝c．我們叫（a，b）為“雅對”．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．我們還可以利用“雅對”定義說明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．證明如下：設(shè)（3，3）＝m，（3，5）＝n，則3m＝3，3n＝5，故3m?3n＝3m+n＝3×5＝15，則（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，4）＝；（5，1）＝；（3，27）＝．（2）計算（5，2）+（5，7）＝，并說明理由．（3）利用“雅對”定義證明：（2n，3n）＝（2，3），對于任意自然數(shù)n都成立．題型二：整式乘法的壓軸題4．（2021?天心區(qū)開學(xué)）對于任意四個有理數(shù)a，b，c，d，可以組成兩個有理數(shù)對（a，b）與（c，d）．我們規(guī)定：（a，b）⊙（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）⊙（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題：（1）有理數(shù)對（3，﹣5）⊙（4，﹣2）＝；（2）當滿足等式（﹣2，3x﹣1）⊙（k，x+k）＝5+k的x是整數(shù)時，求正整數(shù)k的值；（3）若（s+2t，2s+t）⊙（x，﹣y）＝2t﹣s對于任意有理數(shù)s，t均成立，求x+y的值．

5．（2020秋?開福區(qū)月考）好學(xué)的小東同學(xué)，在學(xué)習(xí)多項式乘以多項式時發(fā)現(xiàn)：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的結(jié)果是一個多項式，并且最高次項為：x?2x?3x＝3x3，常數(shù)項為：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)她發(fā)現(xiàn)：一次項系數(shù)就是：×5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次項為﹣3x．請你認真領(lǐng)會小東同學(xué)解決問題的思路、方法，仔細分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多項式的一次項系數(shù)為．（2）若計算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多項式不含一次項，求a的值．（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，則a2020＝．6．（2014秋?雨花區(qū)校級月考）你能求（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，從簡單的情形入手．分別計算下列各式的值：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（2）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…由此我們可以得到：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝；請你利用上面的結(jié)論，完成下面兩題的計算：（1）299+298+297+…+2+1；（2）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1．

題型三：與平方差公式、完全平方公式相關(guān)的的壓軸題7．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù)．（1）28是神秘數(shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）①若長方形相鄰兩邊長為兩個連續(xù)偶數(shù)，試說明其周長一定為神秘數(shù)．②在①的條件下，面積是否為神秘數(shù)？為什么？8．一個正整數(shù)m能寫成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均為正整數(shù)，且a≠b），則稱m為“美滿數(shù)”，a、b為m的一個完美變形，在m的所有完美變形中，若a2+b2最大，則稱a、b為m的最佳完美變形，此時F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12為“完美數(shù)”，4和2為12的一個完美變形，32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因為92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美變形，所以F（32）＝130．（1）8（填“是”或“不是”）完美數(shù)；10（填“是”或“不是”）完美數(shù)；13（填“是”或“不是”）完美數(shù)；（2）求F（48）；（3）若一個兩位數(shù)n的十位數(shù)字和個位數(shù)字分別為x，y（1≤x≤y≤9），n為“完美數(shù)”且x+y能被8整除，求F（n）的最小值．

9．（2018秋?天心區(qū)校級期中）【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，請解答下列問題：（1）根據(jù)圖2，寫出一個代數(shù)恒等式：．（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝．（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為（2a+b）（a+2b）長方形，則x+y+z＝．【知識遷移】（4）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式：．

題型四：配方法的壓軸題10．（2020秋?長沙縣校級月考）閱讀下面文字內(nèi)容并解決問題：對于形如x2+2ax+a2的二次三項式，可以直接用完全平方公式把它分解成（x+a）2的形式．但x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3），對于二次三項式x2+4x﹣5就不能直接用完全平方公式分解了，對此，我們可以填上一項4，使它與x2+4x構(gòu)成一個完全平方式、然后再減去4，這樣整個多項式的值不變，即＝（x+5）（x﹣1）．像這樣，把一個二次三項式變成含有完全平方式的方法，叫做配方法．請用配方法來解下列問題：（1）用配方法因式分解：x2﹣6x+5；（2）已知：x2+y2﹣8x+12y+52＝0，求（x+y）2的值；（3）求x2+8x+7的最小值．11．配方法可以用來解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．例如：因為3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此時a＝0；同樣，因為﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此時a＝﹣1．（1）當x＝時，代數(shù)式2（x﹣1）2+3有最（填寫大或小）值為．（2）當x＝時，代數(shù)式﹣x2+4x+3有最（填寫大或小）值為．（3）矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長度是16m，當花園與墻相鄰的邊長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？

12．（2021秋?天心區(qū)校級月考）上數(shù)學(xué)課時，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學(xué)們運用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題（1）知識再現(xiàn)：當x＝時，代數(shù)式x2﹣6x+12的最小值是；（2）知識運用：若y＝﹣x2+2x﹣3，當x＝時，y有最值（填“大”或“小”），這個值是；（3）知識拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．13．（2021秋?開福區(qū)校級期中）閱讀下面材料，在代數(shù)式中，我們把一個二次多項式化為一個完全平方式與一個常數(shù)的和的方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，它不僅可以將一個看似不能分解的多項式因式分解，還能求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：求代數(shù)式：x2﹣12x+2020的最小值解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020＝（x﹣6）2+1984∵（x﹣6）2≥0，∴當x＝6時，（x﹣6）2的值最小，最小值為0，∴（x﹣6）2+1984≥1984，∴當（x﹣6）2＝0時，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值為1984，∴代數(shù)式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．例如：分解因式：x2﹣120x+3456解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456＝（x﹣60）2﹣144＝（x﹣60）2﹣122＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）＝（x﹣48）（x﹣72）．（1）分解因式x2﹣46x+520；（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；（3）當m，n為何值時，代數(shù)式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出這個最小值．14．（雨花區(qū)校級月考）對于形如x2+2xa+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對于二次三項式x2+2xa﹣3a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x2+2xa﹣3a2中先加上一項a2，使它與x2+2xa的和成為一個完全平方式，再減去a2，整個式子的值不變，于是有：x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）像這樣，先添一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”，利用“配方法”，解決下列問題：（1）分解因式：a2﹣6a+8；（2）若x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求xy的值．

題型五：因式分解的壓軸題15.閱讀，已知，ab=3，求的值。解：因為已知，ab=3，所以請你根據(jù)上述解題思路解答下列問題：已知，，求的值；已知，，求的值。16．先閱讀下列材料，然后回答后面問題：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．能分組分解的多項式通常有四項或六項，一般的分組分解有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：如“”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：；（2）分解因式：；（3）分解因式：．

17．將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：；（2）分解因式：；（3）分解因式：．18．（2019秋?雨花區(qū)校級月考）“十字相乘法”能把二次三項式分解因式，對于形如ax2+bxy+cy2的關(guān)于x，y的二次三項式來說，方法的關(guān)鍵是把x2項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積，即a＝a1?a2，把y2項系數(shù)c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積，即c＝c1?c2，并使a1?c2+a2?c1正好等于xy項的系數(shù)b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如圖1，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y）而對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法來分解，如圖2，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如圖3，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2＝②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12＝③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y＝（2）若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個一次因式的積，求m的值．19．閱讀下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分項數(shù)多于3的多項式只單純用上述方法就無法分解，如，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結(jié)合再運用平方差公式進行分解．過程如下：，這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：1．知識運用：試用“分組分解法”分解因式：；2．解決問題：（1）已知，，為的三邊，且，試判斷的形狀．（2）已知四個實數(shù)，，，，滿足，，并且，，，，同時成立．①當時，求的值；②當時，用含有的代數(shù)式分別表示，，（直接寫出答案即可）．20．（2017秋?岳麓